2.3 第2课时 一元二次不等式解法的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

２．解:方程x２＋(１－a)x－a＝０的解为x１＝－１,x２＝a,函 数y＝x２＋(１－a)x－a的图象开口向上,则当a＜－１ 时,原不等式解集为{x|a＜x＜－１}; 当a＝－１时,原不等式解集为⌀; 当a＞－１时,原不等式解集为{x|－１＜x＜a}． ３．解析:∵ax２＋bx＋c＞０的解集为{x|－３＜x＜４}, ∴a＜０且－３和４是一元二次方程ax２＋bx＋c＝０的 两根, ∴ －３＋４＝－ba －３×４＝ca ì î í ïï ï ,解得 b＝－a c＝－１２a{ ． ∴不等式bx２＋２ax－c－３b＜０ 可化为－ax２＋２ax＋１５a＜０, 即x２－２x－１５＜０, ∴－３＜x＜５, ∴所求不等式的解集为{x|－３＜x＜５}． 随堂步步夯实 １．C　２．BCD　 ３．{a|１≤a≤２} ４．m≤１或m≥９ ５．解:原不等式即为(ax－１)(x＋２)＜０． ①当a＝０时,－x－２＜０,解得x＞－２,故不等式的解集 为{x|x＞－２}; ②当a＞０时,１a＞－２ ,解原不等式可得－２＜x＜１a ,此 时原不等式的解集为 x －２＜x＜１a{ }; ③当－１２＜a＜０ 时,１ a ＜－２ ,解原不等式可得x＜ １a 或 x ＞ － ２, 此 时, 原 不 等 式 的 解 集 为 x x＜１a 或x＞－２{ }; ④当a＝－１２ 时,原不等式即为－１２ (x＋２)２＜０,解得x ≠－２,此时,原不等式的解集为{x|x≠－２}; ⑤当a＜－１２ 时,１ a＞－２ ,解原不等式可得x＜－２或x ＞１a ,此时,原不等式的解集为 x x＜－２或x＞１a{ }． 综 上 所 述,当 a ＜ － １２ 时,原 不 等 式 的 解 集 为 x x＜－２或x＞１a{ }; 当a＝－１２ 时,原不等式的解集为{x|x≠－２}; 当 － １２ ＜ a ＜ ０ 时, 原 不 等 式 的 解 集 为 x x＜１a 或x＞－２{ }; 当a＝０时,原不等式的解集为{x|x＞－２}; 当a＞０时,原不等式的解集为 x －２＜x＜１a{ }． 第２课时　一元二次不等式解法的应用 课前预习学案 情境引入 　提示:不等价;{x|０＜x＜１}． 知识梳理 知识点一、(１)０⇔f(x)􀅰g(x)＞０　(２)f(x)􀅰g(x)≤０ g(x)≠０　 预习自测 １．C　２．B　３．{m|０＜m＜２} 课堂互动学案 [例１]　解析:(１)原不等式等价于 ⇔ x２－x－６＞０ x－１＞０{ ,或 x２－x－６＜０ x－１＜０{ ． 解得x＞３或－２＜x＜１． ∴原不等式的解集为{x|x＞３,或－２＜x＜１}． (２)原不等式可化为２x－１３－４x－１＞０ ,即３x－２ ４x－３＜０ ,等价于 (３x－２)(４x－３)＜０, ∴２３＜x＜ ３ ４． ∴原不等式的解集为{x|２３＜x＜ ３ ４ }． [例２]　[解]　(１)由题意,得y＝[１．２×(１＋０．７５x)－１× (１＋x)]×１０００×(１＋０．６x)(０＜x＜１),整理得y＝－ ６０x２＋２０x＋２００(０＜x＜１)． (２)要 保 证 本 年 度 的 利 润 比 上 年 度 有 所 增 加,当 且 仅 当 y－(１．２－１)×１０００＞０, ０＜x＜１,{ 即 －６０x２＋２０x＞０, ０＜x＜１,{ 解不等式组,得０＜x＜１３ , 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成 本增加的比例x的范围为{x|０＜x＜１３ }． [例３]　[解]　函数y＝mx２＋mx＋(m－１)的值恒为负 值,即不等式mx２＋mx＋(m－１)＜０对一切实数x都成 立,于是 ①当m＝０时,－１＜０恒成立; ②当m≠０时,要使其恒成立, 则有 m＜０, Δ＝m２－４m(m－１)＜０,{ 解得m＜０． 综上,m 的取值范围为{m|m≤０}． 变式训练 １．解析:(１)x－ax＋１＞０⇔ (x＋１)(x－a)＞０, 又因为原不等式的解集为{x|x＜－１,或x＞４}, 所以(x＋１)(x－４)＞０,所以a＝４． (２)原不等式化为２x－１３＋４x－１＞０ ,即x＋２ ４x＋３＜０ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０８３􀅰 数学􀅰必修第一册 所以(x＋２)(４x＋３)＜０,所以－２＜x＜－３４． 所以原不等式的解集为{x|－２＜x＜－３４ }． 答案:(１)４　(２){x|－２＜x＜－３４ } ２．解析:税率降低后是(８－x)％,收 购 量 为 m(１＋２x％) kg,税率降低后的税收为１２m(１＋２x％)(８－x)％元,原 来的税收为１２m×８％元． 根据题意,可 得 １２m(１＋２x％)(８－x)％≥１２m×８％ ×７８％, 即x２＋４２x－８８≤０,解得－４４≤x≤２． 又x＞０,∴０＜x≤２, ∴实数x的取值范围是{x|０＜x≤２}． ３．解析:∀１≤x≤４,不等式x２－(a＋２)x＋４≥－a－１恒 成立,即∀１≤x≤４,a(x－１)≤x２－２x＋５恒成立． ①当x＝１时,不等式为０≤４恒成立,此时a∈R; ②当１＜x≤４时,a≤x ２－２x＋５ x－１ ＝x－１＋ ４ x－１． ∵１＜x≤４,∴０＜x－１≤３, ∴x－１＋ ４x－１≥２ (x－１)􀅰 ４x－１＝４ (当且仅当x－１ ＝ ４x－１ ,即x＝３时取等号), ∴a≤４． 综上,实数a的取值范围为{a|a≤４}． 答案:{a|a≤４} 随堂步步夯实 １．A　２．B　 ３．２ ４．{k|０≤k≤１} ５．解析:设花坛的宽度为xm, 则草坪的长为(８００－２x)m,宽为(６００－２x)m, 根据题意得(８００－２x)􀅰(６００－２x)≥１２×８００×６００ , 整理得x２－７００x＋６００００≥０, 解不等式得x≥６００(舍去)或x≤１００, 由题意知x＞０,所以０＜x≤１００． 当x在(０,１００]之间取值时,绿草坪的面积不小于总面 积的二分之一． 章末归纳提升 归纳提升[例１]　[解析]　(１)C　(２)A　[(１)因为c＜a． 且ac＜０,所以c＜０,a＞０． A成立,因为c＜b,所以ac＜ab,即ab＞ac． B成立,因为b＜a,b－a＜０, 所以c(b－a)＞０． C不一定成立,当b＝０时,cb２＜ab２ 不成立． D成立,因为c＜a,所以a－c＞０, 所以ac(a－c)＜０． (２)∵x２＋６x＋１０＝(x＋３)２＋１＞０, ∴原不等式的解集为⌀．] (３)因为－２＜b＜－１,所以１＜－b＜２． 又因为２＜a＜３,所以２＜－ab＜６, 所以－６＜ab＜－２． 因为－２＜b＜－１,所以１＜b２＜４． 因为２＜a＜３,所以１３＜ １ a＜ １ ２ , 所以１ ３＜ b２ a＜２． 所以ab的取值范围为－６＜ab＜－２,b ２ a 的取值范围为 １ ３＜ b２ a＜２． [例２]　[解]　(１)原不等式等价于 x２＋２x－１＞－１, x２＋２x－１≤２,{ 即 x２＋２x＞０,　　　　　① x２＋２x－３≤０,　　　　　②{ 由①得x(x＋２)＞０, 所以x＜－２或x＞０; 由②得(x＋３)(x－１)≤０, 所以－３≤x≤１． 将①②的解集在数轴上表示出来,如图． 求其交集得原不等式的解集为{x|－３≤x＜－２,或０＜x≤ １}． (２)当m＝０时,－３＜０恒成立,解集为 R． 当m≠０时,二次项系数 m２＞０,Δ＝１６m２＞０,不等式化 为(mx＋３)(mx－１)＜０． 当m＞０时,解集为{x|－３m＜x＜ １ m }; 当m＜０时,解集为{x|１m＜x＜－ ３ m }． [例３]　[解析]　(１)∵a＞０,b＞０,且２a＋b＝１, ∴１a＋ ２ b＝ (１ a＋ ２ b )(２a＋b) ＝４＋ba ＋ ４a b ≥４＋２ b a 􀅰４a b ＝８ , 当且仅当 ２a＋b＝１, b a ＝ ４a b ,{ ,即 a＝１４ , b＝１２ ì î í ïï ï 时等号 成 立．∴ １a ＋ ２ b 的最小值为８． (２)∵a２＋b ２ ２＝１ ,∴２a２＋b２＝２． 又∵a是正数,b也是正数, ∴y＝a １＋b２＝ a２􀅰(１＋b２) ＝１ ２ 􀅰 ２a２(１＋b２)≤１ ２ 􀅰２a ２＋１＋b２ ２ ＝３４ ２ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１８３􀅰 参考答案 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 (１)求解方法: 由已知不等式的解可转化为一元二次方程 的两根,从而由根与系数的关系,找出系数 a,b,c之间的关系,写出不等式的解集． (２)求解步骤: 第一步:审结论———明确解题方向 如要解cx２＋bx＋a＜０,首先确定c的符 号,最好能确定a,b,c的值． 第二步:审条件———挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式 的解集的关系列出关于a,b,c的方程组, 用a表示b,c． 第三步:建联系———找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a, b,c的方程组→用a表示b,c→代入所求 不等式→求解cx２＋bx＋a＜０的解集． 􀳀[变式训练] ３．若关于x的不等式ax２＋bx＋c＞０的解集 为{x|－３＜x＜４},求关于x的不等式bx２ ＋２ax－c－３b＜０的解集． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．集合A＝{x|－２≤x≤２},B＝{x|x２－５x－ ６≤０},则(∁RA)∪B＝ (　　) A．{x|x＜－２或x＞２}　　　B．{x|２＜x≤６} C．{x|x＜－２或x≥－１} D．{x|２≤x≤３} ２．(多选题)关于x的不等式mx２－ax－１＞０ (m＞０)的解集不可能是 (　　) A．{x|x＜－１,或x＞１４ }　　B．R C．{x|－１３＜x＜ ３ ２ } D．⌀ ３．已知集合A＝{x|１＜x＜２},B＝{x|x２－ ２ax＋a２－１＜０},若A⊆B,则实数a的取值 范围是　　　　． ４．方程x２＋(m－３)x＋m＝０有两个实根,则 实数m 的取值范围是　　　　． ５．解关于x的不等式ax２＋(２a－１)x－２＜０． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　一元二次不等式解法的应用 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．会解简单的分式不等式 ２．通过三个“二次间的关系”解简单一元二次不等式恒成立问题 ３．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以 求解 通过求方程组解集,提 升数学运算、数学抽象 和逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀅰０５􀅰 数学􀅰必修第一册 [情境引入] 不等式１ x＞１ 与x＜１等价吗? １x＞１ 的解集 应是什么? [知识梳理] [知识点一]　一般的分式不等式的同解变形 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 法则 􀪋􀪋 (１)f (x) g(x)＞　　　　　　　 ; (２)f (x) g(x)≤０⇔ 　　　　　　, 　　　　　;{ (３)f (x) g(x)≥a⇔ f(x)－ag(x) g(x) ≥０． [知识点二]　一元二次不等式恒成立的情况 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (１)ax２＋bx＋c＞０(a≠０)恒成立⇔ a＞０ Δ＜０{ ; (２)ax２＋bx＋c≤０(a≠０)恒成立⇔ a＜０ Δ≤０{ ． [预习自测] １．不等式x－１x＋２＜０ 的解集为 (　　) A．{x|x＞１}　　　B．{x|x＜－２} C．{x|－２＜x＜１}D．{x|x＜－２,或x＞１} ２．若集合A＝{x|－１≤２x＋１≤３},B＝{x| x－２ x ≤０ },则A∩B＝ (　　) A．{x|－１≤x＜０}B．{x|０＜x≤１} C．{x|０≤x≤２} D．{x|０≤x≤１} ３．不 等 式 x２＋mx＋m２＞０ 恒 成 立 的 条 件 是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　解简单的分式不等式 [例１]解不等式 (１)x ２－x－６ x－１ ＞０ ;(２)２x－１３－４x＞１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 [思路点拨]　(１)x ２－x－６ x－１ ＞０⇔ (x２－x －６)(x－１)＞０ (２)２x－１３－４x＞１⇔ ３x－２ ４x－３＜０⇔ (３x－２)(４x－ ３)＜０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解分式不等式的策略 (１)对于形如f (x) g(x)＞０ (＜０)的不等式可等价 转化为f(x)g(x)＞０(＜０)来解决;对于形如 f(x) g(x)≥０ (≤０)的 不 等 式 可 等 价 转 化 为 f(x)􀅰g(x)≥０(≤０) g(x)≠０{ ,来解决． (２)对于不等号右边不为零的较复杂的分 式不等式,先移项再通分(不要去分母),使 之转化为不等号右边为零,然后再用上述 方法求解． 􀳀[变式训练] １．(１)关于x的不等式x－ax＋１＞０ 的解集为{x| x＜－１,或x＞４},则实数a＝　　　　． (２)不等式２x－１３＋４x＞１ 的解集为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１５􀅰 第二章　一元二次函数、方程和不等式 　　　一元二次不等式的实际应用 [例２]某摩托车生产企业,上年度生产摩托 车的投入成本为１万元/辆,出厂价为１．２ 万元/辆,年销售量为１０００辆．本年度为适 应市场需求,计划提高产品档次,适度增加 投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为 x(０＜x＜１),则出厂价相应的提高比例为 ０．７５x,同时预计年销售量增加的比例为 ０．６x．已知年利润＝(出厂价一投入成本)× 年销售量． (１)写出本年度预计的年利润y与投入成本 增加的比例x 的关系式; (２)为使本年度的年利润比上年度有所增 加,问投入成本增加的比例x 应在什么范 围内? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　年利润＝(出厂价－投入成 本)×年销售量．所以y＝－６０x２＋２０x＋ ２００(０＜x＜１)解不等式． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀳀[变式训练] ２．假设国家计划收购mkg某种农副产品,收 购价格是每千克１２元,其中征税标准是每 １００元征税８元(称为税率是８％),为了减 轻农民负担,国家决定将税率降低x 百分 点,预计收购量可增加２x百分点,要使此项 税收在税率降低后不低于原计划的７８％, 试确定实数x的取值范围． 　　　一元二次不等式的恒成立问题 [例３]已知函数y＝mx２＋mx＋(m－１)的值恒 为负值,求m的取值范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　讨论m＝０和m≠０两种情况． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２５􀅰 数学􀅰必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一元二次不等式在R上的恒成立问题 (１)①一元二次不等式ax２＋bx＋c＞０,对任 意实数x∈R恒成立的条件是 a＞０, Δ＜０{ ; ②一元二次不等式ax２＋bx＋c≥０,对任 意实数x∈R恒成立的条件是 a＞０, Δ≤０;{ ③一元二次不等式ax２＋bx＋c＜０,对任 意实数x∈R恒成立的条件是 a＜０, Δ＜０;{ ④一元二次不等式ax２＋bx＋c≤０,对任 意实数x∈R恒成立的条件是 a＜０, Δ≤０．{ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[提醒]　当不等式ax２＋bx＋c＞０未说明为 一元二次不等式时,对任意实数x∈R恒成 立时满足的条件为 a＞０, Δ＜０{ ,或 a＝b＝０, c＞０．{ (２)在给定区间上的恒成立问题． ①a＞０时,ax２＋bx＋c＜０在x∈{x|α≤x ≤β}上恒成立⇔y＝ax ２＋bx＋c在x＝α,x ＝β时的函数值同时小于０．②a＜０时, ax２＋bx＋c＞０在x∈{x|α≤x≤β}上恒成 立⇔y＝ax２＋bx＋c在x＝α,x＝β时的函 数值同时大于０． 􀳀[变式训练] ３．若∀１≤x≤４,不等式x２－(a＋２)x＋４≥－a－ １恒成立,则实数a的取值范围为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．不等式x ２－２x－２ x２＋x＋１ ＜２的解集为 (　　) A．{x|x≠－２}　　　B．R C．⌀ D．{x|x＜－２或x＞２} ２．２０２４年１２月２０日,将迎来澳门回归祖国２５周 年,为了迎接这一历史性时刻,某商店购进一 批澳门回归２５周年纪念章,每枚的最低售价 为１５元,若每枚按最低售价销售,每天能卖出 ４５枚,每枚售价每提高１元,日销售量将减少３ 枚,为了使这批纪念章每天获得６００元以上的 销售收入,则这批纪念章的销售单价x(单位: 元)的取值范围是 (　　) A．{x|１０＜x＜２０} B．{x|１５≤x＜２０} C．{x|１６＜x＜２０} D．{x|１５≤x＜２５} ３．若关于x的不等式ax２－６x＋a２＜０的非空解 集为{x|１＜x＜m},则m＝　　　　． ４．若关于x的不等式是kx２－６kx＋k＋８≥０在R 上恒成立,则实数k的取值范围是　　　　． ５．爱护环境,从点滴做起,让我们 共同守护祖国美丽的蓝天绿水． 某施工单位在对一个长８００m,宽６００m的草 坪进行绿化时,是这样想的:中间为矩形绿草 坪,四周是等宽的花坛,如图所示,若要保证绿 草坪的面积不小于总面积的二分之一,试确定 花坛宽度的取值范围． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３５􀅰 第二章　一元二次函数、方程和不等式