2.3 第1课时 一元二次不等式的解法-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

　　　２．３　二次函数与一元二次方程、不等式 　　　第１课时　一元二次不等式的解法 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 ２．掌握图象法解一元二次不等式 ３．会对含参数的一元二次不等式分类讨论 通过求一元二次方程的解集及根 与系数关系的应用,提升逻辑推 理和数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 利用恒等式的变形,推导一元二次方程根与系 数的关系如下 设一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０),两根 为x１,x２, 令ax２＋bx＋c＝a(x－x１)(x－x２)＝ax２－a (x１＋x２)x＋ax１x２, ∴ b＝－a(x１＋x２), c＝ax１x２,{ 即 x１＋x２＝－ b a , x１x２＝ c a． ì î í ï ï ï ï [知识梳理] [知识点一]　一元二次不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．一般地,我们把只含有　　　未知数,并且 未知数的最高次数是　　　的不等式,称为 一元二次不等式． ２．一元二次不等式的一般形式是　　　　或 　　　　　(其中a,b,c均为常数,a≠０)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．不等式x２＋２x＞０ 是一元二次不等 式吗? ２．一元二次不等式的一般形式中“a≠０”可以 省略吗? [知识点二]　二次函数的零点 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　一般地,对于二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０), 我们把使　　　　　　的实数x叫做二次函 数y＝ax２＋bx＋c的零点． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．二次函数y＝ax２＋bx＋c的零点是 点吗? [知识点三]　二次函数与一元二次方程、不等 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 式的解的对应关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．对应关系 Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０ y＝ax２ ＋ bx＋c(a＞ ０)的图象 ax２＋bx＋c ＝０(a＞０) 的根 有两个不相 等的实数根 x１,x２(x１＜ x２) 有两个相等 的 实 数 根 x１ ＝x２ ＝ －b２a 没 有 实 数根 ax２＋bx＋c ＞０(a＞０) 的解集 　　　　　 　　　　　 　　　 ax２＋bx＋c ＜０(a＞０) 的解集 　　　　　 　　 　　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７４􀅰 第二章　一元二次函数、方程和不等式 ２．本质:一元二次方程、一元二次不等式是— 元二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０)的特殊 情况,它们之间是一种包含关系,也就是当 y＝０时,函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０)就转化 为方程,当y＞０或y＜０时,就转化为一元 二次不等式． ３．应用:①解一元二次不等式;②已知一元二 次不等式的解集求参数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．当Δ＝０时,不等式ax２＋bx＋c≥０ (a＞０)与ax２＋bx＋c≤０(a＞０)的解集分 别是什么? [预习自测] １．不等式－２x２＋x＋３＜０的解集是 (　　) A．{x|x＜－１}　　B．{x|x＞３２ } C．{x|－１＜x＜３２ } D．{x|x＜－１,或x＞３２ } ２．下面四个不等式中解集为R的是 (　　) A．－x２＋x＋１≥０ B．x２－２ ５x＋５＞０ C．x２＋６x＋１０＞０ D．２x２－３x＋４＜０ ３．若二次函数y＝ax２＋bx＋c(a＜０)的图象 与x轴的两个交点为(－１,０)和(３,０),则不 等式ax２＋bx＋c＜０的解集是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　一元二次不等式的解法 [例１]解下列不等式: (１)２x２＋５x－３＜０; (２)－３x２＋６x≤２; (３)４x２＋４x＋１＞０; (４)－x２＋６x－１０＞０． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先求对应方程的解,再依据 二次函数的图象写出不等式的解集． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一元二次不等式的两种解法 (１)图象法:一般地,当a＞０时,解形如 ax２＋bx＋c＞０(或≥０)或ax２＋bx＋c＜０ (或≤０)的一元二次不等式,一般可分为 三步: ①确定对应方程ax２＋bx＋c＝０的解; ②画出对应函数y＝ax２＋bx＋c的图象; ③由图象得出不等式的解集． 对于a＜０的一元二次不等式,可以直接采 取类似a＞０时的解题步骤求解;也可以先 把它化成二次项系数为正的一元二次不等 式,再求解． (２)代数法:将所给不等式化为一般式后借 助分解因式或配方求解,当p＜q时,若(x －p)(x－q)＞０,则x＞q或x＜p;若(x－ p)(x－q)＜０,则p＜x＜q．有口诀如下“大 于取两边,小于取中间”． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８４􀅰 数学􀅰必修第一册 􀳀[变式训练] １．解下列不等式: (１)x２－x－６＞０; (２)２５x２－１０x＋１＞０; (３)－２x２＋x＋１＜０． 　　含参数的一元二次不等式的解法 [例２]解关于x的不等式ax２－(a＋１)x＋１ ＜０． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　分a＝０和a≠０两种情况讨 论． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 含参数的一元二次不等式的解法 􀳀[变式训练] ２．解关于x的不等式x２＋(１－a)x－a＜０． 　　　三个“二次”关系的应用 [例３](１)若不等式ax２＋bx＋２＞０的解集是 {x|－１２＜x＜ １ ３ },则a＋b＝　　　　． (２)已知不等式ax２＋bx＋c＞０的解集为{x |２＜x＜３},则不等式cx２－bx＋a＞０的解 集为　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　设一元二次方程ax２＋bx＋ c＝０(a≠０)的两个根为x１,x２,则x１＋x２ ＝－ba ,x１x２＝ c a． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９４􀅰 第二章　一元二次函数、方程和不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 (１)求解方法: 由已知不等式的解可转化为一元二次方程 的两根,从而由根与系数的关系,找出系数 a,b,c之间的关系,写出不等式的解集． (２)求解步骤: 第一步:审结论———明确解题方向 如要解cx２＋bx＋a＜０,首先确定c的符 号,最好能确定a,b,c的值． 第二步:审条件———挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式 的解集的关系列出关于a,b,c的方程组, 用a表示b,c． 第三步:建联系———找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a, b,c的方程组→用a表示b,c→代入所求 不等式→求解cx２＋bx＋a＜０的解集． 􀳀[变式训练] ３．若关于x的不等式ax２＋bx＋c＞０的解集 为{x|－３＜x＜４},求关于x的不等式bx２ ＋２ax－c－３b＜０的解集． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．集合A＝{x|－２≤x≤２},B＝{x|x２－５x－ ６≤０},则(∁RA)∪B＝ (　　) A．{x|x＜－２或x＞２}　　　B．{x|２＜x≤６} C．{x|x＜－２或x≥－１} D．{x|２≤x≤３} ２．(多选题)关于x的不等式mx２－ax－１＞０ (m＞０)的解集不可能是 (　　) A．{x|x＜－１,或x＞１４ }　　B．R C．{x|－１３＜x＜ ３ ２ } D．⌀ ３．已知集合A＝{x|１＜x＜２},B＝{x|x２－ ２ax＋a２－１＜０},若A⊆B,则实数a的取值 范围是　　　　． ４．方程x２＋(m－３)x＋m＝０有两个实根,则 实数m 的取值范围是　　　　． ５．解关于x的不等式ax２＋(２a－１)x－２＜０． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　一元二次不等式解法的应用 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．会解简单的分式不等式 ２．通过三个“二次间的关系”解简单一元二次不等式恒成立问题 ３．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以 求解 通过求方程组解集,提 升数学运算、数学抽象 和逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀅰０５􀅰 数学􀅰必修第一册 ∴函数y＝４x(３－２x)(０＜x＜３２ )的最大值为９ ２． (３)∵x＞２,∴x－２＞０, ∴x＋ ４x－２＝x－２＋ ４ x－２＋２ ≥２ (x－２)􀅰 ４x－２＋２＝６ , 当且仅当x－２＝ ４x－２ , 即x＝４时,等号成立．∴x＋ ４x－２ 的最小值为６． [例２]　B　[因为a＞０,b＞０,所以２a＋b＞０, 所以要使２ a＋ １ b≥ m ２a＋b 恒成立, 只需m≤(２a＋b)(２a＋ １ b )恒成立, 而(２a＋b)(２a ＋ １ b )＝４＋２ab ＋ ２b a ＋１≥５＋４＝９ ,当且 仅当a＝b时,等号成立,所以m≤９．] [例３]　[解]　(１)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由 a２x＝４０００,得a＝２０ １０ x ． 则S＝(a＋８)(ax＋２０)＝a２x＋(８x＋２０)a＋１６０＝４０００ ＋(８x＋２０)􀅰２０ １０ x ＋１６０ ＝８０ １０(２ x＋ ５ x )＋４１６０(x＞１)． (２)因 为 ８０ １０(２ x＋ ５ x )＋４１６０≥８０ １０× ２ ２ x× ５ x ＋４１６０＝１６００＋４１６０＝５７６０,当且仅当 ２ x＝ ５ x ,即x＝２．５时,等号成 立,此 时a＝４０,ax＝ １００,所以要使公园所占面积最小,休闲区 A１B１C１D１ 应 设计为长１００米,宽４０米． 变式训练 １．解析:(１)xy＝２x＋８y≥２ １６xy,当且仅当２x＝８y, 即x＝１６,y＝４时等号成立, ∴ xy≥８,∴xy≥６４, ∴xy的最小值为６４． (２)由２x＋８y＝xy,得２y＋ ８ x＝１ , ∴x＋y＝(x＋y) ２y＋ ８ x( ) ＝１０＋ ２x y ＋ ８y x ≥１０＋８ ＝１８, 当且仅当２x y ＝ ８y x ． 即x＝１２,y＝６时等号成立, ∴x＋y的最小值为１８． ２．BC　[由题可得m２＜３x ２＋６y２＋２x＋４y ２xy 恒成立． ∵(x＋２y)２＝４＝２x＋４y, ∴m２ ＜３x ２＋６y２＋２x＋４y ２xy ＝ ３x２＋６y２＋(x＋２y)２ ２xy ＝ ４x２＋１０y２＋４xy ２xy ＝ ２x y ＋ ５y x ＋２ , 而２x y ＋ ５y x ≥２ ２x y 􀅰５y x ＝２ １０ ,当且仅当２x２＝５y２, 即x＝４ １０－１０３ ,y＝８－２ １０３ 时 取 等 号,则 m２ ＜２ １０＋２≈８．] ３．解:(１)由题意,可知当m＝０时,x＝１,∴１＝３－k,解得k ＝２,∴x＝３－ ２m＋１ , 又每件产品的销售价格为１．５×８＋１６xx 元, ∴y＝x(１．５×８＋１６xx )－(８＋１６x＋m)＝４＋８x－m ＝４＋８(３－ ２m＋１ )－m ＝－[１６m＋１＋ (m＋１)]＋２９(m≥０)． (２)∵m≥０,１６m＋１＋ (m＋１)≥２ １６＝８,当且仅当 １６m＋１ ＝m＋１,即m＝３时等号成立, ∴y≤－８＋２９＝２１,∴ymax＝２１． 故该厂家２０２４年的促销费用为３万元时,厂家的利润最 大,最大利润为２１万元． 随堂步步夯实 １．D　２．A　 ３．２＋ ３ ４．a|a≥１５{ } ５．解:设该厂每x天购买一次面粉．其购买量为６x吨． 由题意可知,面粉的保管费及其他费用为 ３×[６x＋６(x－１)＋６(x－２)＋􀆺＋６×１]＝９x(x＋１)． 设平均每天所支付的总费用为y１ 元, 则y１＝ １ x [９x(x＋１)＋９００]＋６×１８００＝９x＋９００x ＋１０ ８０９≥２ ９x􀅰９００x ＋１０８０９＝１０９８９ (元), 当且仅当９x＝９００x ,即x＝１０时,等号成立． 所以该厂每１０天购买一次面粉,才能使平均每天所支付 的总费用最少． ２．３　二次函数与一元二次方程、不等式 第１课时　一元二次不等式的解法 课前预习学案 知识梳理 知识点一、１．一个　２　２．ax２＋bx＋c＞０　ax２＋bx＋c＜０ 知识点二、ax２＋bx＋c＝０　 知识点三、{x|x＜x１,或x＞x２}　{x|x≠－ b ２a }　R　{x| x１＜x＜x２}　⌀　⌀　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８７３􀅰 数学􀅰必修第一册 [思考] １．提示:不是,一元二次不等式一定为整式不等式． ２．提示:不可以,若a＝０,就不是二次不等式了． ３．提示:不是,二次函数y＝ax２＋bx＋c的零点是方程ax２ ＋bx＋c＝０的根． ４．提示:R,{x|x＝－b２a }． 预习自测 １．D　２．C　３．{x|x＞３,或x＜－１} 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)Δ＝４９＞０,方程２x２＋５x－３＝０的两根 为x１＝－３,x２＝ １ ２ , 作出函数y＝２x２＋５x－３的图象,如图①所示． 由图可得原不等式的解集为{x|－３＜x＜１２ }． (２)原不等式等价于３x２－６x＋２≥０．Δ＝１２＞０,解方程 ３x２－６x＋２＝０,得x１＝ ３－ ３ ３ ,x２＝ ３＋ ３ ３ , 作出函数y＝３x２－６x＋２的图象,如图②所示,由图可 得原不等式的解集为{x|x≤３－ ３３ 或x≥３＋ ３３ }, (３)∵Δ＝０,∴方程４x２＋４x＋１＝０ 有两个相等的实根x１＝x２＝－ １ ２． 作出函数y＝４x２＋４x＋１的图象如 图③所示． 由图可得原不等式的解集为 {x|x≠－１２ ,x∈R}． (４)原不等式可化为x２－６x＋１０＜０, ∵Δ＝－４＜０, ∴方程x２－６x＋１０＝０无实根, ∴原不等式的解集为⌀． [例２]　[解]　①当a＝０时,原不等式即为－x＋１＜０,解得 x＞１． ②当a＜０时,原不等式化为(x－１a )(x－１)＞０,解得x ＜１a 或x＞１． ③当a＞０时,原不等式化为(x－１a )(x－１)＜０． 若a＝１,即１a＝１ 时,不等式无解; 若a＞１,即１a＜１ 时,解得１ a＜x＜１ ; 若０＜a＜１,即１a＞１ 时,解得１＜x＜１a． 综上可知,当a＜０时,不等式的解集为{x|x＜１a ,或x＞１}; 当a＝０时,不等式的解集为{x|x＞１}; 当０＜a＜１时,不等式的解集为{x|１＜x＜１a }; 当a＝１时,不等式的解集为⌀; 当a＞１时,不等式的解集为{x|１a＜x＜１ }． [例３]　[解析]　(１)由已知得, ax２＋bx＋２＝０的解为－１２ ,１ ３ ,且a＜０． ∴ －ba ＝－ １ ２＋ １ ３ , ２ a＝ (－１２ )×１３ , ì î í ïï ï 解得 a＝－１２, b＝－２,{ ∴a＋b＝－１４． (２)由题意知 ２＋３＝－ba , ２×３＝ca , a＜０, ì î í ï ï ï ï 即 b＝－５a, c＝６a, a＜０． { 代入不等式cx２－bx＋a＞０, 得６ax２＋５ax＋a＞０(a＜０)． 即６x２＋５x＋１＜０,解得－１２＜x＜－ １ ３ , 所以所求不等式的解集为{x|－１２＜x＜－ １ ３ }． [答案]　(１)－１４　(２){x|－１２＜x＜－ １ ３ } 变式训练 １．解析:(１)方程x２－x－６＝０的两根为x１＝－２,x２＝３, 结合二次函数y＝x２－x－６的图象知x２－x－６＞０的 解集为{x|x＞３,或x＜－２}． (２)方程２５x２－１０x＋１＝０的两相等实根,x１＝x２＝ １ ５． 结合二次函数y＝２５x２－１０x＋１的图象知２５x２－１０x＋ １＞０的解集为{x|x≠１５ }． (３)方法一:方程－２x２＋x＋１＝０的 解为x１＝－ １ ２ ,x２＝１,函 数y＝－ ２x２＋x＋１的图象是开口向下的抛物 线,与x轴的交点为(－ １２ ,０)和(１, ０),如图, 观察图象知不等式的解集为{x|x＜－１２ ,或x＞１}． 方法二:在不等式两边同乘－１,可得 ２x２－x－１＞０,方程２x２－x－１＝０的 解为x１＝－ １ ２ ,x２＝１;画出函数y＝ ２x２－x－１的图象如图所示． 观察图象,可得原不等式的解集为{x|x＜－１２ ,或x＞１}． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９７３􀅰 参考答案 ２．解:方程x２＋(１－a)x－a＝０的解为x１＝－１,x２＝a,函 数y＝x２＋(１－a)x－a的图象开口向上,则当a＜－１ 时,原不等式解集为{x|a＜x＜－１}; 当a＝－１时,原不等式解集为⌀; 当a＞－１时,原不等式解集为{x|－１＜x＜a}． ３．解析:∵ax２＋bx＋c＞０的解集为{x|－３＜x＜４}, ∴a＜０且－３和４是一元二次方程ax２＋bx＋c＝０的 两根, ∴ －３＋４＝－ba －３×４＝ca ì î í ïï ï ,解得 b＝－a c＝－１２a{ ． ∴不等式bx２＋２ax－c－３b＜０ 可化为－ax２＋２ax＋１５a＜０, 即x２－２x－１５＜０, ∴－３＜x＜５, ∴所求不等式的解集为{x|－３＜x＜５}． 随堂步步夯实 １．C　２．BCD　 ３．{a|１≤a≤２} ４．m≤１或m≥９ ５．解:原不等式即为(ax－１)(x＋２)＜０． ①当a＝０时,－x－２＜０,解得x＞－２,故不等式的解集 为{x|x＞－２}; ②当a＞０时,１a＞－２ ,解原不等式可得－２＜x＜１a ,此 时原不等式的解集为 x －２＜x＜１a{ }; ③当－１２＜a＜０ 时,１ a ＜－２ ,解原不等式可得x＜ １a 或 x ＞ － ２, 此 时, 原 不 等 式 的 解 集 为 x x＜１a 或x＞－２{ }; ④当a＝－１２ 时,原不等式即为－１２ (x＋２)２＜０,解得x ≠－２,此时,原不等式的解集为{x|x≠－２}; ⑤当a＜－１２ 时,１ a＞－２ ,解原不等式可得x＜－２或x ＞１a ,此时,原不等式的解集为 x x＜－２或x＞１a{ }． 综 上 所 述,当 a ＜ － １２ 时,原 不 等 式 的 解 集 为 x x＜－２或x＞１a{ }; 当a＝－１２ 时,原不等式的解集为{x|x≠－２}; 当 － １２ ＜ a ＜ ０ 时, 原 不 等 式 的 解 集 为 x x＜１a 或x＞－２{ }; 当a＝０时,原不等式的解集为{x|x＞－２}; 当a＞０时,原不等式的解集为 x －２＜x＜１a{ }． 第２课时　一元二次不等式解法的应用 课前预习学案 情境引入 　提示:不等价;{x|０＜x＜１}． 知识梳理 知识点一、(１)０⇔f(x)􀅰g(x)＞０　(２)f(x)􀅰g(x)≤０ g(x)≠０　 预习自测 １．C　２．B　３．{m|０＜m＜２} 课堂互动学案 [例１]　解析:(１)原不等式等价于 ⇔ x２－x－６＞０ x－１＞０{ ,或 x２－x－６＜０ x－１＜０{ ． 解得x＞３或－２＜x＜１． ∴原不等式的解集为{x|x＞３,或－２＜x＜１}． (２)原不等式可化为２x－１３－４x－１＞０ ,即３x－２ ４x－３＜０ ,等价于 (３x－２)(４x－３)＜０, ∴２３＜x＜ ３ ４． ∴原不等式的解集为{x|２３＜x＜ ３ ４ }． [例２]　[解]　(１)由题意,得y＝[１．２×(１＋０．７５x)－１× (１＋x)]×１０００×(１＋０．６x)(０＜x＜１),整理得y＝－ ６０x２＋２０x＋２００(０＜x＜１)． (２)要 保 证 本 年 度 的 利 润 比 上 年 度 有 所 增 加,当 且 仅 当 y－(１．２－１)×１０００＞０, ０＜x＜１,{ 即 －６０x２＋２０x＞０, ０＜x＜１,{ 解不等式组,得０＜x＜１３ , 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成 本增加的比例x的范围为{x|０＜x＜１３ }． [例３]　[解]　函数y＝mx２＋mx＋(m－１)的值恒为负 值,即不等式mx２＋mx＋(m－１)＜０对一切实数x都成 立,于是 ①当m＝０时,－１＜０恒成立; ②当m≠０时,要使其恒成立, 则有 m＜０, Δ＝m２－４m(m－１)＜０,{ 解得m＜０． 综上,m 的取值范围为{m|m≤０}． 变式训练 １．解析:(１)x－ax＋１＞０⇔ (x＋１)(x－a)＞０, 又因为原不等式的解集为{x|x＜－１,或x＞４}, 所以(x＋１)(x－４)＞０,所以a＝４． (２)原不等式化为２x－１３＋４x－１＞０ ,即x＋２ ４x＋３＜０ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０８３􀅰 数学􀅰必修第一册