2.2 第2课时 基本不等式的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

１．下列不等式成立的是 (　　) A．ab≤a ２＋b２ ２ 　　　　　B．ab≥ a２＋b２ ２ C．a＋b≥２ ab D．a＋b≤２ ab ２．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a ＜b),其全程的平均时速为v,则 (　　) A．a＜v＜ ab B．v＝ ab C．ab＜v＜a＋b２ D．v＝ a＋b ２ ３．已知a,b是不相等的正数,x＝ a＋b ２ ,y＝ a＋b,则x,y的大小关系是　　　　． ４．若a＞０,b＞０．a＋b＝２．则下列不等式①ab≤１, ②a＋b≤２;③a２＋b２≥２;④１a＋ １ b≥２． 对满 足条件的a,b恒成立的是　　　　(填序号)． ５．已 知 a＞０,b＞０,a＋b＝ab．求 证: １＋１a æ è ç ö ø ÷ １＋１b æ è ç ö ø ÷≤９４． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　基本不等式的应用 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 掌握基本不等式 ab≤a＋b２ (a,b≥０)．结合具体实例,能用 基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 通过学习基本不等式及其应用, 重点提升数学运算、逻辑推理、数 学建模素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] (１)某养殖场要用１００米的篱 笆围成一个矩形的鸡舍,怎样 设计才能使鸡舍面积最大? (２)某农场主想用篱笆围成一个１００００平方 米的矩形农场,怎样设计才能使所用篱笆最 省呢? [问题]　实例中两个问题的实质是什么? 如 何求解? [知识梳理] [知识点]　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．用基本不等式求最值． ①设x,y为正实数,若x＋y＝s(s为定值), 则当x＝y＝s２ 时,积xy有最大值为s ２ ４． ②设x,y为正实数,若xy＝p(p 为定值), 则当 x＝y＝ p时,和 x＋y 有 最 小 值 为　　　． ２．基本不等式求最值的条件 ①x,y必须是正数． ②求积xy的最大值时,应看和x＋y 是否 为定值;求和x＋y的最小值时,应看积xy 是否为定值． ③等号成立的条件是否满足． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３４􀅰 第二章　一元二次函数、方程和不等式 [预习自测] １．若x ２－x＋１ x－１ (x＞１)在x＝t处取得最小值, 则t等于 (　　) A．１＋ ２　　B．２　　　C．３　　　D．４ ２．已知正数x,y满足８x＋ １ y＝１ ,则x＋２y的 最小值是 (　　) A．１８　　　B．１６　　　C．８　　　D．１０ ３．已知正数a,b满足ab＝１０,则a＋b的最小 值是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　利用基本不等式求最值 [例１](１)若x＞０,求函数y＝x＋４x 的最小 值,并求此时x的值; (２)设０＜x＜３２ ,求函数y＝４x(３－２x)的最 大值; (３)已知x＞２,求x＋ ４x－２ 的最小值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)直接应用基本不等式求 最值 ． (２)y＝４x(３－２x)＝２[２x(３－２x)]． (３)x＋ ４x－２＝x－２＋ ４ x－２＋２． (４)利用基本不等式求最值,“一正、二定、 三相等”三个条件缺一不可． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．常数代换法求最值的方法步骤 　常数代换法适用于求解条件最值问题． 应用此种方法求解最值的基本步骤为: (１)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (２)把确定的定值(常数)变形为１． (３)把“１”的表达式与所求最值的表达式相 乘或相除,进而构造和或积的形式． (４)利用基本不等式求解最值． ２．含有多个变量的条件最值问题的解决 方法 　对含有多个变量的条件最值问题,若无 法直接利用基本不等式求解,可尝试减 少变量的个数,即用其中一个变量表示 另一个,再代入代数式中转化为只含有 一个变量的最值问题． ３．应用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值,必须按照“一 正,二定,三相等”的原则,即: (１)一正:符合基本不等式a＋b２ ≥ ab 成立 的前提条件,a＞０,b＞０; (２)二定:化不等式的一边为定值; (３)三相等:必须存在取“＝”号的条件,即 “＝”号成立．以上三点缺一不可． ４．基本不等式的常见变形 (１)a＋b≥２ ab; (２)ab≤(a＋b２ )２≤a ２＋b２ ２ (其中a＞０,b＞ ０,当且仅当a＝b时等号成立)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４４􀅰 数学􀅰必修第一册 􀳀[变式训练] １．已知x＞０,y＞０,且２x＋８y－xy＝０．求: (１)xy的最小值; (２)x＋y的最小值． 　　　利用基本不等式求参数的值(范围) [例２]已知a＞０,b＞０,若不等式２a＋ １ b≥ m ２a＋b 恒成立,则m 的最大值等于 (　　) A．１０　　　B．９　　　C．８　　　D．７ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 [思路点拨]　a＞０,b＞０时,２a＋ １ b≥ m ２a＋b 恒成立,等价于 m≤(２a＋b)(２a＋ １ b )恒成立,利用基本不等式求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 含参数不等式的求解策略 (１)观察题目特点,利用基本不等式确定相 关成立条件,从而得参数的值或取值范围． (２)在处理含参数的不等式恒成立问题时, 往往将已知不等式看作关于参数的不等 式,体现了主元与次元的转化． (３)恒成立问题:若f(x)在区间D 上存在 最小值,则不等式f(x)＞A 在区间D 上 恒成立⇔f(x)min＞A;若f(x)在区间D 上 存在最大值,则不等式f(x)＜B在区间D上 恒成立⇔f(x)max＜B． 􀳀[变式训练] ２．(多选)已知正实数x,y满足x＋２y＝２,若 不等式３x２－２m２xy＋６y２＋２x＋４y＞０恒 成立,则实数m 的值可以为 (　　) A．－４ B．－２ C．１ D．３ 　　　利用基本不等式解决实际问题 [例３]某房地产开发公司计划在一楼区内建造 一个 长 方 形 公 园 ABCD,公 园 由 长 方 形 A１B１C１D１ 的休闲区和环公园人行道(阴影部 分)组成．已知休闲区 A１B１C１D１ 的面积为 ４０００平方米,人行道的宽分别为４米和１０米 (如图所示)． (１)若设休闲区的长和宽的比 A１B１ B１C１ ＝x(x＞１), 求公园ABCD 所占面积S关于x的函数解 析式; (２)要 使 公 园 所 占 面 积 最 小,则 休 闲 区 A１B１C１D１ 的长和宽该如何设计? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　设出长和宽,列出面积公式． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时,首先审清题意,然后将实际问 题转化为数学问题,再利用数学知识(函数及 不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决 此类问题时,应按如下步骤进行: (１)先理解题意,设变量．设变量时一般把要 求最大值或最小值的变量定为函数． (２)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象 为函数的最大值或最小值问题． (３)在定义域内,求出函数的最大值或最 小值． (４)正确写出答案． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５４􀅰 第二章　一元二次函数、方程和不等式 􀳀[变式训练] ３．某厂家拟在２０２４年举行某产品的促销活动,经 调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量) x(单位:万件)与年促销费用m(m≥０)(单位: 万元)满足x＝３－ km＋１ (k为常数),如果不举 行促销活动,该产品的年销售量是１万件．已 知２０２４年生产该产品的固定投入为８万元,每 生产１万件该产品需要再投入１６万元,厂家将 每件产品的销售价格定为每件产品年平均成 本的１．５倍(产品成本包括固定投入和再投入 两部分资金,不包括促销费用)． (１)将２０２４年该产品的利润y(单位:万元)表 示为年促销费用m的函数; (２)该厂家２０２４年的促销费用为多少万元时, 厂家的利润最大? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知x＞－２,则x＋ １x＋２ 的最小值为 (　　) A．－１２　　B．－１　　C．２　　D．０ ２．某公司租地建仓库,每月土地占用费y１ 与仓 库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运 费y２ 与到车站的距离成正比．如果在距离车 站１０千米处建仓库,这两项费用y１ 和y２ 分别 为２万元和８万元,那么要使这两项费用之和 最小,仓库应建在离车站 (　　) A．５千米处　　　　　B．４千米处 C．３千米处 D．２千米处 ３．已知a＞０,b＞０,３a＋b＝２ab,则a＋b的最小值 为　　　　． ４．若对任意x＞０, x x２＋３x＋１ ≤a恒成立．则a的 取值范围是　　　　． ５．某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面 粉６吨,每吨面粉的价格为１８００元,面粉的保 管费及其他费用为平均每吨每天３元,购买面 粉每次需支付运费９００元．求该厂多少天购买 一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用 最少? 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４􀅰 数学􀅰必修第一册 又 ab－a＝ a(b－ a)＞０,即 ab＞a,排除 D 项,故 选B． 法二　取a＝２,b＝８,则 ab＝４,a＋b２ ＝５ ,所以a＜ ab ＜a＋b２ ＜b． 答案:B [例２]　解析:(１)a＜０,则a＋４a ≥４ 不成立,故 A 错;a＝ １,b＝１,a２＋b２ ＜４ab,故 B 错;a＝４,b＝１６,则 ab＜ a＋b ２ ,故 C错．由基本不等式可知 D项正确． (２)当ba ,a b 均为正数时,b a ＋ a b ≥２ ,故只须a、b同号 即可,∴①③④均可以． 答案:(１)D　(２)C [例３]　证明　(１)∵a２＋b２≥２ab, b２＋c２≥２bc, c２＋a２≥２ac． ∴２(a２＋b２＋c２)≥２(ab＋bc＋ca)(当且仅当a＝b＝c取 等号) ∴a２＋b２＋c２≥ab＋bc＋ca． (２)因为a,b,c全不相等, 所以b a 与a b ,c a 与a c ,c b 与b c 全不相等, 所以b a ＋ a b ＞２ ,c a ＋ a c ＞２ ,c b ＋ b c ＞２ , 三式相加得,b a ＋ c a ＋ c b ＋ a b ＋ a c ＋ b c ＞６ , 所以(b a ＋ c a －１ )＋(cb ＋ a b －１ )＋(ac ＋ b c －１ )＞３, 即b＋c－a a ＋ a＋c－b b ＋ a＋b－c c ＞３． 变式训练 １．A　[因为a＞２,所以p＝a＋ １a－２＝ (a－２)＋ １a－２＋２≥ ２ (a－２)􀅰 １a－２＋２＝４ ,当且仅当a－２＝ １a－２ ,即a＝ ３时,等号成立,所以p≥４．又q＝－b２－２b＋３＝－(b＋ １)２＋４,所以q≤４,所以p≥q．] ２．D　[对于 A,若a＝－１,b＝１,则ba ＋ a b ＝－２ ,故 A 错 误;对 于 B,因 为(a－b)２≥０,所 以a２＋b２≥２ab,所 以 a２＋b２＋２ab ４ ≥ab ,即 a＋b ２( ) ２ ≥ab,当且仅当a＝b时取 等号,故B错误;对于 C,若a＝－１,b＝－１,则a＋b＝－ ２＜２ |ab|＝２,故 C错误;对于 D,因为(a＋b)２≥０,所 以a２＋b２＋２ab≥０,即a２＋b２≥－２ab,当且仅当a＝－b 时取等号,故 D正确．] ３．证明:因为x,y,z是互不相等的正数,且x＋y＋z＝１, 所以１ x－１＝ １－x x ＝ y＋z x ＞ ２ yz x ,① １ y－１＝ １－y y ＝ x＋z y ＞ ２ xz y ,② １ z－１＝ １－z z ＝ x＋y z ＞ ２ xy z ,③ 又x,y,z为正数,由①×②×③,得 (１ x－１ )(１ y－１ )(１ z－１ )＞８． 随堂步步夯实 １．A　２．A　 ３．x＜y ４．①③④ ５．证明:因为a＞０,b＞０,所以ab＝a＋b≥２ ab,当且仅当 a ＝ b ＝ ２ 时 取 等 号,即 有 ab ≥ ４,于 是 得 １＋１a( ) １＋ １ b( )＝１＋ １ a＋ １ b＋ １ ab＝１＋ a＋b ab ＋ １ ab＝ ２＋１ab≤２＋ １ ４＝ ９ ４ ,所以 １＋１a( ) １＋ １ b( ) ≤ ９ ４ 成立． 第２课时　基本不等式的应用 课前预习学案 情境引入 　提示　这两个都是求最值问题．第一个问题是矩形周长 一定,即长x 与宽y 的和一定,求xy 的最大值,xy≤ (x＋y ２ )２＝２５２＝６２５,当且仅当x＝y＝２５时取等号,即 鸡舍为正方形,长与宽各为２５米时鸡舍面积最大．第二 个问题是矩形面积一定,求矩形长x 与宽y 之和最小 值,x＋y≥２ xy＝２ １００００＝２００,当且仅当x＝y＝ １００时取等号,即当农场为正方形,边长为１００米时,所 用篱笆最省． 知识梳理 知识点、１．２ p 预习自测 １．B　２．A　３．２ １０ 课堂互动学案 [例１]　[解析]　(１)∵x＞０, ∴x＋４x≥２ x 􀅰４ x ＝４ , 当且仅当x＝４x ,即x２＝４,x＝２时取等号． ∴函数y＝x＋４x (x＞０)在x＝２时取得最小值４． (２)∵０＜x＜３２ ,∴３－２x＞０, ∴y＝４x(３－２x)＝２[２x(３－２x)] ≤２[２x＋ (３－２x) ２ ]２＝９２． 当且仅当２x＝３－２x,即x＝３４ 时,等号成立． ∵３４∈ (０,３２ ), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７７３􀅰 参考答案 ∴函数y＝４x(３－２x)(０＜x＜３２ )的最大值为９ ２． (３)∵x＞２,∴x－２＞０, ∴x＋ ４x－２＝x－２＋ ４ x－２＋２ ≥２ (x－２)􀅰 ４x－２＋２＝６ , 当且仅当x－２＝ ４x－２ , 即x＝４时,等号成立．∴x＋ ４x－２ 的最小值为６． [例２]　B　[因为a＞０,b＞０,所以２a＋b＞０, 所以要使２ a＋ １ b≥ m ２a＋b 恒成立, 只需m≤(２a＋b)(２a＋ １ b )恒成立, 而(２a＋b)(２a ＋ １ b )＝４＋２ab ＋ ２b a ＋１≥５＋４＝９ ,当且 仅当a＝b时,等号成立,所以m≤９．] [例３]　[解]　(１)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由 a２x＝４０００,得a＝２０ １０ x ． 则S＝(a＋８)(ax＋２０)＝a２x＋(８x＋２０)a＋１６０＝４０００ ＋(８x＋２０)􀅰２０ １０ x ＋１６０ ＝８０ １０(２ x＋ ５ x )＋４１６０(x＞１)． (２)因 为 ８０ １０(２ x＋ ５ x )＋４１６０≥８０ １０× ２ ２ x× ５ x ＋４１６０＝１６００＋４１６０＝５７６０,当且仅当 ２ x＝ ５ x ,即x＝２．５时,等号成 立,此 时a＝４０,ax＝ １００,所以要使公园所占面积最小,休闲区 A１B１C１D１ 应 设计为长１００米,宽４０米． 变式训练 １．解析:(１)xy＝２x＋８y≥２ １６xy,当且仅当２x＝８y, 即x＝１６,y＝４时等号成立, ∴ xy≥８,∴xy≥６４, ∴xy的最小值为６４． (２)由２x＋８y＝xy,得２y＋ ８ x＝１ , ∴x＋y＝(x＋y) ２y＋ ８ x( ) ＝１０＋ ２x y ＋ ８y x ≥１０＋８ ＝１８, 当且仅当２x y ＝ ８y x ． 即x＝１２,y＝６时等号成立, ∴x＋y的最小值为１８． ２．BC　[由题可得m２＜３x ２＋６y２＋２x＋４y ２xy 恒成立． ∵(x＋２y)２＝４＝２x＋４y, ∴m２ ＜３x ２＋６y２＋２x＋４y ２xy ＝ ３x２＋６y２＋(x＋２y)２ ２xy ＝ ４x２＋１０y２＋４xy ２xy ＝ ２x y ＋ ５y x ＋２ , 而２x y ＋ ５y x ≥２ ２x y 􀅰５y x ＝２ １０ ,当且仅当２x２＝５y２, 即x＝４ １０－１０３ ,y＝８－２ １０３ 时 取 等 号,则 m２ ＜２ １０＋２≈８．] ３．解:(１)由题意,可知当m＝０时,x＝１,∴１＝３－k,解得k ＝２,∴x＝３－ ２m＋１ , 又每件产品的销售价格为１．５×８＋１６xx 元, ∴y＝x(１．５×８＋１６xx )－(８＋１６x＋m)＝４＋８x－m ＝４＋８(３－ ２m＋１ )－m ＝－[１６m＋１＋ (m＋１)]＋２９(m≥０)． (２)∵m≥０,１６m＋１＋ (m＋１)≥２ １６＝８,当且仅当 １６m＋１ ＝m＋１,即m＝３时等号成立, ∴y≤－８＋２９＝２１,∴ymax＝２１． 故该厂家２０２４年的促销费用为３万元时,厂家的利润最 大,最大利润为２１万元． 随堂步步夯实 １．D　２．A　 ３．２＋ ３ ４．a|a≥１５{ } ５．解:设该厂每x天购买一次面粉．其购买量为６x吨． 由题意可知,面粉的保管费及其他费用为 ３×[６x＋６(x－１)＋６(x－２)＋􀆺＋６×１]＝９x(x＋１)． 设平均每天所支付的总费用为y１ 元, 则y１＝ １ x [９x(x＋１)＋９００]＋６×１８００＝９x＋９００x ＋１０ ８０９≥２ ９x􀅰９００x ＋１０８０９＝１０９８９ (元), 当且仅当９x＝９００x ,即x＝１０时,等号成立． 所以该厂每１０天购买一次面粉,才能使平均每天所支付 的总费用最少． ２．３　二次函数与一元二次方程、不等式 第１课时　一元二次不等式的解法 课前预习学案 知识梳理 知识点一、１．一个　２　２．ax２＋bx＋c＞０　ax２＋bx＋c＜０ 知识点二、ax２＋bx＋c＝０　 知识点三、{x|x＜x１,或x＞x２}　{x|x≠－ b ２a }　R　{x| x１＜x＜x２}　⌀　⌀　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８７３􀅰 数学􀅰必修第一册