2.2 第1课时 基本不等式-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

１．若－１＜α＜β＜１,则下列各式中恒成立的是 (　　) A．－２＜α－β＜０　　B．－２＜α－β＜－１ C．－１＜α－β＜０ D．－１＜α－β＜１ ２．已知a＞b,不等式:①a２＞b２;②１a＞ １ b ; ③ １a－b＞ １ a 成立的个数是 (　　) A．０　　　B．１　　　C．２　　　D．３ ３．给出下列结论: ①若a＜b,则ac２＜bc２; ②若１a＜ １ b＜０ ,则a＞b; ③若a＞b,c＞d,则a－c＞b－d; ④若a＞b．c＞d,则ac＞bd． 其中正确的结论的序号是　　　　． ４．若１≤a≤５,－１≤b≤２,则a－b的取值范围 为　　　　． ５．如果a＞b＞０,c＜d＜０,f＜０,证明:fa－c ＞ fb－d． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．２　基本不等式 第１课时　基本不等式 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 掌握基本不等式a＋b ２ ≥ ab (a,b都是正数)．能用 基本不等式解决问题 通过学习基本不等式及其简单应用,重点 培养数学运算、逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] (１)对∀a、b∈R．a２＋b２ 与 ２ab的大小如何? (２)在图中,AB 是圆的直径, 点C 是AB 上一点,AC＝a, BC＝b．过点C 作垂直于AB 的弦DE,连接 AD,BD．可得到CD＝ ab,１２AB＝ a＋b ２ ,由 CD 小于或等于圆的半径,可得出什么样的不 等关系? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０４􀅰 数学􀅰必修第一册 [知识梳理] [知识点一]　重要不等式与基本不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．重要不等式 ∀a,b∈R,有　　　　　,当且仅当a＝b 时,等号成立． ２．基本不等式 如果a＞０,b＞０,有 ab≤a＋b２ ,当且仅当 　　　时,等号成立． 其中,a＋b ２ 叫做正数a,b的　　　　,ab叫 做正数a,b的　　　　　． 基本不等式表明:两个正数的算术平均数 　　　它们的几何平均数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．基本不等式中的a,b只能是具体的 某个数吗? ２．基本不等式成立的条件“a,b＞０”能省略吗? 请举例说明． [知识点二]　基本不等式与最值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 已知x,y都是正数,则 (１)如果积xy等于定值p(积为定值),那么当 　　　时,和x＋y有最小值　　　; (２)如果和x＋y等于定值s(和为定值),那么当 　　　时,积xy有最大值１４s ２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．x＋１x 上的最小值是２吗? [预习自测] １．(多选)下列结论正确的是 (　　) A．对于任意a,b∈R,a２＋b２≥２ab,a＋b≥２ ab均成立 B．若a,b同号,则ba＋ a b≥２ C．若a＞０,b＞０,则ab≤a＋b２ 恒成立 D．若a＞０,b＞０,且a≠b,则a＋b＞２ ab ２．已知实数a,b,则“ab≥０”是“a＋b≥２ ab”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ３．不等式(x－２y)＋ １x－２y≥２ 成立的前提条 件为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　利用基本不等式比较大小 [例１]设０＜a＜b,则下列不等式中正确的是 (　　) A．a＜b＜ ab＜a＋b２ 　B．a＜ ab＜ a＋b ２ ＜b C．a＜ ab＜b＜a＋b２ D．ab＜a＜ a＋b ２ ＜b 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 [思路点拨]　当a＞０,b＞０时,a＋b２ ≥ ab,当且仅当a＝b时取等号,注意等号成 立的条件． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用基本等式比较实数大小的注意事项 (１)利用基本不等式比较大小,常常要注意 观察其形式(和与积)． (２)利用基本不等式时,一定要注意条件是 否满足a＞０,b＞０． 􀳀[变式训练] １．已知p＝a＋ １a－２ (a＞２),q＝－b２－２b＋３(b ∈R),则p,q的大小关系为 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１４􀅰 第二章　一元二次函数、方程和不等式 A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．p＜q 　　利用基本不等式判断不等式的成立 [例２](１)下列不等式中正确的是 (　　) A．a＋４a≥４ B．a ２＋b２≥４ab C．ab≥a＋b２ D．x ２＋３ x２ ≥２ ３ (２)给出下列条件:①ab＞０;②ab＜０;③a＞ ０,b＞０;④a＜０,b＜０,其中能使ba＋ a b≥２ 成立的条件有 (　　) A．１个　B．２个　C．３个　D．４个 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据基本不等式成立的条件 判断． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 不等式a２＋b２≥２ab与a＋b≥ ab的比较 (１)两个不等式a２＋b２≥２ab与a＋b２ ≥ ab 成立的条件是不同的．前者要求a,b是实 数即可,而后者要求a,b都是正实数(实际 上后者只要a≥０,b≥０即可)． (２)两个不等式a２＋b２≥２ab和a＋b２ ≥ ab 都是带有等号的不等式,都是“当且仅当a ＝b时,等号成立”． 􀳀[变式训练] ２．下列不等式恒成立的是 (　　) A．ba＋ a b≥２ B．ab≥ a＋b ２ æ è ç ö ø ÷ ２ C．a＋b≥２ |ab| D．a２＋b２≥－２ab 　　　利用基本不等式证明不等式 [例３](１)证明不等式a２＋b２＋c２≥ab＋bc＋ca; (２)已知a,b,c是全不相等的正实数,求证: b＋c－a a ＋ a＋c－b b ＋ a＋b－c c ＞３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利用基本不等式证明不等式, 注意等号成立的条件． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用基本不等式证明不等式的注意事项 (１)策略:从已证不等式和问题的已知条件出 发,借助不等式的性质和有关定理,经过 逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题, 其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向 “未知”． (２)注意事项: ①多次使用基本不等式时,要注意等号能 否成立; ②累加法是不等式证明中的一种常用方 法,在证明不等式时注意使用条件; ③对不能直接使用基本不等式的证明可 重新组合,形成基本不等式模型再使用． 􀳀[变式训练] ３．已知x,y,z是互不相等的正数,且x＋y＋z＝ １,求证:(１x－１ )(１ y－１ )(１ z－１ )＞８． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２４􀅰 数学􀅰必修第一册 １．下列不等式成立的是 (　　) A．ab≤a ２＋b２ ２ 　　　　　B．ab≥ a２＋b２ ２ C．a＋b≥２ ab D．a＋b≤２ ab ２．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a ＜b),其全程的平均时速为v,则 (　　) A．a＜v＜ ab B．v＝ ab C．ab＜v＜a＋b２ D．v＝ a＋b ２ ３．已知a,b是不相等的正数,x＝ a＋b ２ ,y＝ a＋b,则x,y的大小关系是　　　　． ４．若a＞０,b＞０．a＋b＝２．则下列不等式①ab≤１, ②a＋b≤２;③a２＋b２≥２;④１a＋ １ b≥２． 对满 足条件的a,b恒成立的是　　　　(填序号)． ５．已 知 a＞０,b＞０,a＋b＝ab．求 证: １＋１a æ è ç ö ø ÷ １＋１b æ è ç ö ø ÷≤９４． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　基本不等式的应用 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 掌握基本不等式 ab≤a＋b２ (a,b≥０)．结合具体实例,能用 基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 通过学习基本不等式及其应用, 重点提升数学运算、逻辑推理、数 学建模素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] (１)某养殖场要用１００米的篱 笆围成一个矩形的鸡舍,怎样 设计才能使鸡舍面积最大? (２)某农场主想用篱笆围成一个１００００平方 米的矩形农场,怎样设计才能使所用篱笆最 省呢? [问题]　实例中两个问题的实质是什么? 如 何求解? [知识梳理] [知识点]　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．用基本不等式求最值． ①设x,y为正实数,若x＋y＝s(s为定值), 则当x＝y＝s２ 时,积xy有最大值为s ２ ４． ②设x,y为正实数,若xy＝p(p 为定值), 则当 x＝y＝ p时,和 x＋y 有 最 小 值 为　　　． ２．基本不等式求最值的条件 ①x,y必须是正数． ②求积xy的最大值时,应看和x＋y 是否 为定值;求和x＋y的最小值时,应看积xy 是否为定值． ③等号成立的条件是否满足． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３４􀅰 第二章　一元二次函数、方程和不等式 [思考] １．提示:解方程过程中的去分母、移项、系数化为１的步骤 都是利用了等式的性质． ２．提示:a＋c＞b＋d成立,a－c＞b－d不一定成立,但a－ d＞b－c成立． ３．提示:不一定,但当a＞b＞０,c＞d＞０时,一定成立． 预习自测 １．C　２．AC　３．＜ 课堂互动学案 [例１]　A　[对于 A项,因为１a＞ １ b ,所以１ a－ １ b ＞０ ,即 b－a ab ＞０． 又a＞b,所以b－a＜０．所以ab＜０,所以a＞０, b＜０;对于B项,当a＞０,b＜０时,有ab ＜０＜１ ,故 B项 错;对于 C项,当a＝１０,b＝３时,虽有１０＋１＞３＋２,但１ ＜２,故 C项错;对于 D项,当a＝－１,b＝－２时, 有(－１)×(－１)＞(－２)×７,但－１＜７,故 D项错．] [例２]　证明:因为bc－ad≥０,所以bc≥ad, 所以bc＋bd≥ad＋bd,即b(c＋d)≥d(a＋b)． 又bd＞０,两边同除以bd得,a＋bb ≤ c＋d d ． [例３]　[解]　∵３＜b＜４,∴－４＜－b＜－３． ∴１－４＜a－b＜６－３,即－３＜a－b＜３． 又１ ４＜ １ b＜ １ ３ ,∴１４＜ a b ＜ ６ ３ , 即１ ４＜ a b ＜２． 综上,a－b的取值范围为{a－b|－３＜a－ b＜３},ab 的取值范围为 a b| １ ４＜ a b ＜２{ }． 变式训练 １．解析:(１)① c a ＜ c b c＞０ }⇒ １a ＜ １b,当a＜０,b＞０时,此式 成立,推不出a＞b,所以①错． ②当a＝３,b＝１,c＝－２,d＝－３时,命题显然不成立．所 以②错． ③ a＞b＞０ c＞d＞０}⇒ a d ＞ b c ＞０⇒ a d ＞ b c 成立． 所以③对． ④显然c２＞０,所以两边同乘以c２,得a＞b． 所以④对． (２)对于 A,取a＝－３,b＝－２,则 １a ＞ １ b ,故错误;对于 B,由c２＞０,a c２ ＞b c２ ,得a＞b,故正确;对于C,a＋mb＋m－ a b ＝ab＋bm－ab－amb(b＋m) ＝ m(b－a) b(b＋m) ,由b＞a＞０,m＞０,得 m(b－a) b(b＋m)＞０ ,所以a＋m b＋m＞ a b ,故正确;对于 D,由c＜d, 得－c＞－d,又a＞b,所以a－c＞b－d,故正确． 答案:(１)①×　②×　③√　④√　(２)BCD ２．证明:∵c＜d＜０,∴－c＞－d＞０． 又a＞b＞０,∴a－c＞b－d＞０, 则(a－c)２＞(b－d)２＞０, 即 １(a－c)２ ＜ １(b－d)２ ． 又e＜０,∴ e(a－c)２ ＞ e(b－d)２ ３．解:∵１＜a＜４,２＜b＜８,∴２＜２a＜８,６＜３b＜２４． ∴８＜２b＋３b＜３２． ∵２＜b＜８,∴－８＜－b＜－２． 又∴１＜a＜４,∴１＋(－８)＜a＋(－b)＜４＋(－２), 即－７＜a－b＜２． 故２a＋３b的取值范围是８＜２a＋３b＜３２,a－b的取值范 围是－７＜a－b＜２． 随堂步步夯实 １．A　２．A　３．② ４．{a－b|－１≤a－b≤６} ５．证明:因为c＜d＜０,所以－c＞－d＞０, 又因为a＞b＞０,所以a－c＞b－d＞０． 不等式的两边同乘 １(a－c)(b－d) , 得 １ b－d＞ １ a－c＞０ , 又因为f＜０,所以 fb－d＜ f a－c ,即 f a－c＞ f b－d． ２．２　基本不等式 第１课时　基本不等式 课前预习学案 情境引入 　提示:(１)a２＋b２≥２ab　(２) ab≤a＋b２ 知识梳理 知识点一、１．a２＋b２≥２ab　２．a＝b　算术平均数　几何平 均数　不小于 知识点二、(１)x＝y　２ p　(２)x＝y　 [思考] １．提示:a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式． ２．提示:不 能,如 (－３)＋(－４) ２ ≥ (－３)×(－４)是 不 成 立的． ３．提示:当x＞０时,x＋１x 的最小值是２． 当x＜０时,x＋１x 没有最小值. 预习自测 １．BD　２．B　３．x＞２y 课堂互动学案 [例１]　[解析]　法一　∵０＜a＜b,∴a＜a＋b２ ＜b ,排除 A,C两项． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６７３􀅰 数学􀅰必修第一册 又 ab－a＝ a(b－ a)＞０,即 ab＞a,排除 D 项,故 选B． 法二　取a＝２,b＝８,则 ab＝４,a＋b２ ＝５ ,所以a＜ ab ＜a＋b２ ＜b． 答案:B [例２]　解析:(１)a＜０,则a＋４a ≥４ 不成立,故 A 错;a＝ １,b＝１,a２＋b２ ＜４ab,故 B 错;a＝４,b＝１６,则 ab＜ a＋b ２ ,故 C错．由基本不等式可知 D项正确． (２)当ba ,a b 均为正数时,b a ＋ a b ≥２ ,故只须a、b同号 即可,∴①③④均可以． 答案:(１)D　(２)C [例３]　证明　(１)∵a２＋b２≥２ab, b２＋c２≥２bc, c２＋a２≥２ac． ∴２(a２＋b２＋c２)≥２(ab＋bc＋ca)(当且仅当a＝b＝c取 等号) ∴a２＋b２＋c２≥ab＋bc＋ca． (２)因为a,b,c全不相等, 所以b a 与a b ,c a 与a c ,c b 与b c 全不相等, 所以b a ＋ a b ＞２ ,c a ＋ a c ＞２ ,c b ＋ b c ＞２ , 三式相加得,b a ＋ c a ＋ c b ＋ a b ＋ a c ＋ b c ＞６ , 所以(b a ＋ c a －１ )＋(cb ＋ a b －１ )＋(ac ＋ b c －１ )＞３, 即b＋c－a a ＋ a＋c－b b ＋ a＋b－c c ＞３． 变式训练 １．A　[因为a＞２,所以p＝a＋ １a－２＝ (a－２)＋ １a－２＋２≥ ２ (a－２)􀅰 １a－２＋２＝４ ,当且仅当a－２＝ １a－２ ,即a＝ ３时,等号成立,所以p≥４．又q＝－b２－２b＋３＝－(b＋ １)２＋４,所以q≤４,所以p≥q．] ２．D　[对于 A,若a＝－１,b＝１,则ba ＋ a b ＝－２ ,故 A 错 误;对 于 B,因 为(a－b)２≥０,所 以a２＋b２≥２ab,所 以 a２＋b２＋２ab ４ ≥ab ,即 a＋b ２( ) ２ ≥ab,当且仅当a＝b时取 等号,故B错误;对于 C,若a＝－１,b＝－１,则a＋b＝－ ２＜２ |ab|＝２,故 C错误;对于 D,因为(a＋b)２≥０,所 以a２＋b２＋２ab≥０,即a２＋b２≥－２ab,当且仅当a＝－b 时取等号,故 D正确．] ３．证明:因为x,y,z是互不相等的正数,且x＋y＋z＝１, 所以１ x－１＝ １－x x ＝ y＋z x ＞ ２ yz x ,① １ y－１＝ １－y y ＝ x＋z y ＞ ２ xz y ,② １ z－１＝ １－z z ＝ x＋y z ＞ ２ xy z ,③ 又x,y,z为正数,由①×②×③,得 (１ x－１ )(１ y－１ )(１ z－１ )＞８． 随堂步步夯实 １．A　２．A　 ３．x＜y ４．①③④ ５．证明:因为a＞０,b＞０,所以ab＝a＋b≥２ ab,当且仅当 a ＝ b ＝ ２ 时 取 等 号,即 有 ab ≥ ４,于 是 得 １＋１a( ) １＋ １ b( )＝１＋ １ a＋ １ b＋ １ ab＝１＋ a＋b ab ＋ １ ab＝ ２＋１ab≤２＋ １ ４＝ ９ ４ ,所以 １＋１a( ) １＋ １ b( ) ≤ ９ ４ 成立． 第２课时　基本不等式的应用 课前预习学案 情境引入 　提示　这两个都是求最值问题．第一个问题是矩形周长 一定,即长x 与宽y 的和一定,求xy 的最大值,xy≤ (x＋y ２ )２＝２５２＝６２５,当且仅当x＝y＝２５时取等号,即 鸡舍为正方形,长与宽各为２５米时鸡舍面积最大．第二 个问题是矩形面积一定,求矩形长x 与宽y 之和最小 值,x＋y≥２ xy＝２ １００００＝２００,当且仅当x＝y＝ １００时取等号,即当农场为正方形,边长为１００米时,所 用篱笆最省． 知识梳理 知识点、１．２ p 预习自测 １．B　２．A　３．２ １０ 课堂互动学案 [例１]　[解析]　(１)∵x＞０, ∴x＋４x≥２ x 􀅰４ x ＝４ , 当且仅当x＝４x ,即x２＝４,x＝２时取等号． ∴函数y＝x＋４x (x＞０)在x＝２时取得最小值４． (２)∵０＜x＜３２ ,∴３－２x＞０, ∴y＝４x(３－２x)＝２[２x(３－２x)] ≤２[２x＋ (３－２x) ２ ]２＝９２． 当且仅当２x＝３－２x,即x＝３４ 时,等号成立． ∵３４∈ (０,３２ ), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７７３􀅰 参考答案