2.1 第2课时 不等式的性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

课堂互动学案 [例１]　[解]　设截得５００mm 的钢管x根．截得６００mm 的钢管y根． 根据题意得: ５００x＋６００y≤４０００, ３x≥y, x≥０且x∈N． y≥０且y∈N． ì î í ï ï ï ï [例２]　[解析]　(x２＋y２)(x－y)－(x２－y２)(x＋y) ＝(x－y)(x２＋y２)－(x－y)(x＋y)２ ＝(x－y)[(x２＋y２)－(x＋y)２] ＝(x－y)(－２xy)． 由于x＜y＜０,所以x－y＜０,－２xy＜０, 所以(x－y)(－２xy)＞０, 即(x２＋y２)(x－y)＞(x２－y２)(x＋y)． [例３]　解析:a abb abba ＝aa－bbb－a＝(ab )a－b, 当a＞b＞０时,ab ＞１ ,a－b＞０, 则(a b )a－b＞１,所以aabb＞abba; 当b＞a＞０时,０＜ab ＜１ ,a－b＜０, 则(a b )a－b＞１,所以aabb＞abba; 当a＝b＞０时,(ab )a－b＝１,所以aabb＝abba, 综上可知,aabb≥abba(当且仅当a＝b时取等号)． 变式训练 １．解:设租用大卡车x辆,农用车y辆, 根据题意,应满足如下的不等关系: ①两种车辆的总载重量应该不少于１００t; ②运输成本之和不超过１００００元; ③大卡车不能超过１０辆; ④农用车不能超过２０辆; ⑤x∈N,y∈N． 要同时满足 以 上 不 等 关 系,可 以 用 下 面 的 不 等 式 组 来 表示: ８x＋２．５y≥１００, ９６０x＋３６０y≤１００００, ０≤x≤１０,x∈N, ０≤x≤２０,y∈N, ì î í ï ï ï ï 即 １６x＋５y≥２００, ２４x＋９y≤２５０, ０≤x≤１０,x∈N, ０≤x≤２０,y∈N． ì î í ï ï ï ï ２．解:∵a３＋b３－(a２b＋ab２)＝(a３－a２b)＋(b３－ab２) ＝a２(a－b)＋b２(b－a) ＝(a－b)(a２－b２)＝(a－b)２(a＋b)． 当a－b＝０,即a＝b时,a３＋b３＝a２b＋ab２; 当a－b≠０,即a≠b时, (a－b)２＞０,a＋b＞０,a３＋b３＞a２b＋ab２． 综上所述,a３＋b３≥a２b＋ab２． ３．解析:方法一(作差法)　(a b ＋b a )－(a＋ b)＝(a b － b)＋ (b a － a)＝a－b b ＋b－a a ＝ (a－b)(a－b) ab ＝ (a－b)２(a＋b) ab ． ∵a＞０,b＞０,∴ a＋b＞０, ab＞０,(a－b)２≥０, ∴ (a－b)２(a＋b) ab ≥０,∴a b ＋b a ≥ a＋b． 方法二(作商法) b a ＋a b a＋b ＝ (b)３＋(a)３ ab(a＋b) ＝ (a＋b)(a＋b－ ab) ab(a＋b) ＝a＋b－ ab ab ＝ (a－b)２＋ ab ab ＝１＋ (a－b)２ ab ≥１． ∵a＞０,b＞０,∴b a ＋a b ＞０,a＋b＞０, ∴b a ＋a b ≥ a＋b． 随堂步步夯实 １．B　２．ACD ３． １２x－y＝８４, １０x＜y, １１x－y＞４０, x∈N∗ ì î í ï ï ï ï ４．a＞c＞b ５．解 析:(１) x＋１－ x＝ １ x＋１＋ x ,x－ x－１ ＝ １ x＋ x－１ , ∵ x＋１＋ x＞ x＋ x－１＞０, ∴ x＋１－ x＜ x－ x－１． (２)(x３－２y３)－(xy２－２x２y)＝x３－xy２＋２x２y－２y３ ＝x(x２－y２)＋２y(x２－y２)＝(x２－y２)(x＋２y) ＝(x－y)(x＋y)(x＋２y)． ∵x＞y＞０,∴x－y＞０,x＋y＞０,x＋２y＞０, ∴(x３－２y３)－(xy２－２x２y)＞０, 即x３－２y３＞xy２－２x２y． 第２课时　不等式的性质 课前预习学案 情境引入 　１．提示　x１＝５０＋x３－５５＝x３－５,x２＝x１－２０＋３０＝ x１＋１０,x３＝x２－３５＋３０＝x２－５． ２．提示　由１知x１＝x３－５,x２＝x３＋５,则x１＜x３＜x２． 知识梳理 知识点一、１．a＝c　b±c　bc 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５７３􀅰 参考答案 [思考] １．提示:解方程过程中的去分母、移项、系数化为１的步骤 都是利用了等式的性质． ２．提示:a＋c＞b＋d成立,a－c＞b－d不一定成立,但a－ d＞b－c成立． ３．提示:不一定,但当a＞b＞０,c＞d＞０时,一定成立． 预习自测 １．C　２．AC　３．＜ 课堂互动学案 [例１]　A　[对于 A项,因为１a＞ １ b ,所以１ a－ １ b ＞０ ,即 b－a ab ＞０． 又a＞b,所以b－a＜０．所以ab＜０,所以a＞０, b＜０;对于B项,当a＞０,b＜０时,有ab ＜０＜１ ,故 B项 错;对于 C项,当a＝１０,b＝３时,虽有１０＋１＞３＋２,但１ ＜２,故 C项错;对于 D项,当a＝－１,b＝－２时, 有(－１)×(－１)＞(－２)×７,但－１＜７,故 D项错．] [例２]　证明:因为bc－ad≥０,所以bc≥ad, 所以bc＋bd≥ad＋bd,即b(c＋d)≥d(a＋b)． 又bd＞０,两边同除以bd得,a＋bb ≤ c＋d d ． [例３]　[解]　∵３＜b＜４,∴－４＜－b＜－３． ∴１－４＜a－b＜６－３,即－３＜a－b＜３． 又１ ４＜ １ b＜ １ ３ ,∴１４＜ a b ＜ ６ ３ , 即１ ４＜ a b ＜２． 综上,a－b的取值范围为{a－b|－３＜a－ b＜３},ab 的取值范围为 a b| １ ４＜ a b ＜２{ }． 变式训练 １．解析:(１)① c a ＜ c b c＞０ }⇒ １a ＜ １b,当a＜０,b＞０时,此式 成立,推不出a＞b,所以①错． ②当a＝３,b＝１,c＝－２,d＝－３时,命题显然不成立．所 以②错． ③ a＞b＞０ c＞d＞０}⇒ a d ＞ b c ＞０⇒ a d ＞ b c 成立． 所以③对． ④显然c２＞０,所以两边同乘以c２,得a＞b． 所以④对． (２)对于 A,取a＝－３,b＝－２,则 １a ＞ １ b ,故错误;对于 B,由c２＞０,a c２ ＞b c２ ,得a＞b,故正确;对于C,a＋mb＋m－ a b ＝ab＋bm－ab－amb(b＋m) ＝ m(b－a) b(b＋m) ,由b＞a＞０,m＞０,得 m(b－a) b(b＋m)＞０ ,所以a＋m b＋m＞ a b ,故正确;对于 D,由c＜d, 得－c＞－d,又a＞b,所以a－c＞b－d,故正确． 答案:(１)①×　②×　③√　④√　(２)BCD ２．证明:∵c＜d＜０,∴－c＞－d＞０． 又a＞b＞０,∴a－c＞b－d＞０, 则(a－c)２＞(b－d)２＞０, 即 １(a－c)２ ＜ １(b－d)２ ． 又e＜０,∴ e(a－c)２ ＞ e(b－d)２ ３．解:∵１＜a＜４,２＜b＜８,∴２＜２a＜８,６＜３b＜２４． ∴８＜２b＋３b＜３２． ∵２＜b＜８,∴－８＜－b＜－２． 又∴１＜a＜４,∴１＋(－８)＜a＋(－b)＜４＋(－２), 即－７＜a－b＜２． 故２a＋３b的取值范围是８＜２a＋３b＜３２,a－b的取值范 围是－７＜a－b＜２． 随堂步步夯实 １．A　２．A　３．② ４．{a－b|－１≤a－b≤６} ５．证明:因为c＜d＜０,所以－c＞－d＞０, 又因为a＞b＞０,所以a－c＞b－d＞０． 不等式的两边同乘 １(a－c)(b－d) , 得 １ b－d＞ １ a－c＞０ , 又因为f＜０,所以 fb－d＜ f a－c ,即 f a－c＞ f b－d． ２．２　基本不等式 第１课时　基本不等式 课前预习学案 情境引入 　提示:(１)a２＋b２≥２ab　(２) ab≤a＋b２ 知识梳理 知识点一、１．a２＋b２≥２ab　２．a＝b　算术平均数　几何平 均数　不小于 知识点二、(１)x＝y　２ p　(２)x＝y　 [思考] １．提示:a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式． ２．提示:不 能,如 (－３)＋(－４) ２ ≥ (－３)×(－４)是 不 成 立的． ３．提示:当x＞０时,x＋１x 的最小值是２． 当x＜０时,x＋１x 没有最小值. 预习自测 １．BD　２．B　３．x＞２y 课堂互动学案 [例１]　[解析]　法一　∵０＜a＜b,∴a＜a＋b２ ＜b ,排除 A,C两项． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６７３􀅰 数学􀅰必修第一册 ３．某年夏天,我国遭受特大洪灾,灾区学生小 李家中经济发生困难,为帮助小李解决开学 费用问题,小李所在班级学生(除小李外)决 定承担这笔费用．若每人承担１２元人民币, 则多余８４元;若每人承担１０元,则不够;若 每人承担１１元,又多出４０元以上．设该班 (除小李外)共有x 人,这笔开学费用共y 元,则x,y应满足的不等式组为　　　　． ４．设a＝ ２,b＝ ７－ ３,c＝ ６－ ２,则a,b,c 的大小关系是　　　　． ５．试比较下列各组式子的大小: (１)x＋１－ x与 x－ x－１,其中x＞１; (２)x３－２y３ 与xy２－２x２y,其中x＞y＞０． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　不等式的性质 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握不等式的性质及各自成立的条件 ２．能利用不等式的性质比较大小或证明不 等式 通过用不等式(组)表示实际问题的不等关系、 不等式的性质提升数学抽象素养．通过作差法、 运用不等式的性质解决问题、提升数学运算素 养和逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　如 图 为 某 三 岔 路 口 交通环道的简化模型,在 某高峰时段,单位时间进 出路口A,B,C 的机动车 辆如图所示,图中x１,x２, x３ 分别 表 示 该 时 段 单 位 时 间 通 过 路 段AB︵, BC︵,CA︵的机动车辆数(假设:单位时间内,在 上述路段中,同一路段上驶入与驶出车辆数 相等)． [问题１]　你能用x３,x１,x２ 分别表示出x１, x２,x３ 吗? [问题２]　你能判断出x１,x２,x３ 的大小吗? [知识梳理] [知识点一]　等式的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．等式的性质 性质１ 如果a＝b,那么b＝a 性质２ 如果a＝b,b＝c,那么　　　 性质３ 如果a＝b,那么a±c＝　　　 性质４ 如果a＝b,那么ac＝bc 性质５ 如果a＝b,c≠０,那么ac＝　　　 ２．本质:性质１,２反映了相等关系自身的特 性,性质３,４,５是从运算角度提出的,反映 了等式在运算中保持的不变性． ３．应用:处理等式运算过程中的依据． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．想一想,以前我们用等式基本性质 解决过哪些问题? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３􀅰 第二章　一元二次函数、方程和不等式 [知识点二]　不等式的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．不等式的性质 别名 性质内容 注意 性质１ 对称性 a＞b⇔b＜a 可逆 性质２ 传递性 a＞b,b＞c⇒a＞c 不可逆 性质３ 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c a＋b＞c⇔a＞c－b 可逆 性质４ 可乘性 a＞b,c＞０⇒ac＞bc a＞b,c＜０⇒ac＜bc c的符号 性质５ 同向可 加性 a＞b,c＞d⇒a＋c＞b＋d 同向 性质６ 同向同正 可乘性 a＞b＞０,c＞d＞０⇒ac＞bd 同向 同正 性质７ 可乘方性 a＞b＞０⇒an＞bn(n∈N, n≥１) 同正 ２．本质:不等式的性质是由等式性质类比而得 到的,是解决不等式问题的基本依据． ３．应用:判断证明不等式是否成立,解不等式 问题时的依据. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．若a＞b,c＞d,那么a＋c＞b＋d成 立吗?a－c＞b－d呢? ３．若a＞b,c＞d,那么ac＞bd成立吗? [预习自测] １．已知a＋b＞０,b＜０,那么a,b,－a,－b的大 小关系是 (　　) A．a＞b＞－b＞－a　　B．a＞－b＞－a＞b C．a＞－b＞b＞－a D．a＞b＞－a＞－b ２．(多选)下列不等式中不成立的是 (　　) A．若a＞b＞０,则ac２＞bc２ B．若a＞b＞０,则a２＞b２ C．若a＜b＜０,则a２＜ab＜b２ D．若a＜b＜０,则１a＞ １ b ３．若a＞b＞０,n＞０,则１ an 　　　　１ bn ．(填“＞” “＜”或“＝”) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　利用不等式的性质判断命题的真假 [例１]下列命题中一定正确的是 (　　) A．若a＞b且１a＞ １ b ,则a＞０,b＜０ B．若a＞b,b≠０,则ab＞１ C．若a＞b,且a＋c＞b＋d,则c＞d D．若a＞b且ac＞bd,则c＞d 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　根据不等式的性质逐一判断． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 运用不等式的性质判断命题真假的技巧 (１)要注意不等式成立的条件,不要弱化条 件,尤其是不能随意捏造性质． (２)解有关不等式选择题时,也可采用特殊 值法进行排除,注意取值一定要遵循如下 原则:一是满足题设条件;二是取值要简 单,便于验证计算． 􀳀[变式训练] １．(１)判断下列不等式的对错． ①ca＜ c b ,且c＞０⇒a＞b． (　　) ②a＞b,且c＞d⇒ac＞bd． (　　) ③a＞b＞０,且c＞d＞０⇒ ad＞ b c (　　) ④a c２ ＞b c２ ⇒a＞b． (　　) (２)(多选)下列说法中,正确的是 (　　) A．若a２＞b２,ab＞０,则１a＜ １ b B．若a c２ ＞b c２ ,则a＞b C．若b＞a＞０,m＞０,则a＋mb＋m＞ a b D．若a＞b,c＜d,则a－c＞b－d 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３􀅰 数学􀅰必修第一册 　利用不等式的性质证明不等式 [例２] 若bc－ad≥０,bd＞０,求 证:a＋bb ≤c＋dd ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利 用 不 等 式 的 性 质 等 价 变形． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)利用不等式性质对不等式的证明其实 质就是利用性质对不等式进行变形,变形 要等价,同时要注意性质适用的前提条件． (２)用作差法证明不等式和用作差法比较 大小的方法原理一样,变形后判断符号时 要注意充分利用题目中的条件． 􀳀[变式训练] ２．若a＞b＞０,c＜d＜０,e＜０,求证: e(a－c)２ ＞ e(b－d)２ ． 　　　用不等式性质求代数式的取值范围 [例３]已知１＜a＜６,３＜b＜４,求a－b,ab 的取值 范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 [思路点拨]　a－b＝a＋(－b),ab＝a× １ b ,正 确使用不等式的性质． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求代数式的取值范围的注意点 求含字母的数(或式子)的取值范围时,一要 注意题设中的条件,二要正确使用不等式的 性质,尤其是两个同方向的不等式可加不可 减,可乘(同正)不可除． 􀳀[变式训练] ３．已知１＜a＜４,２＜b＜８,试求２a＋３b与a－ b取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３􀅰 第二章　一元二次函数、方程和不等式 １．若－１＜α＜β＜１,则下列各式中恒成立的是 (　　) A．－２＜α－β＜０　　B．－２＜α－β＜－１ C．－１＜α－β＜０ D．－１＜α－β＜１ ２．已知a＞b,不等式:①a２＞b２;②１a＞ １ b ; ③ １a－b＞ １ a 成立的个数是 (　　) A．０　　　B．１　　　C．２　　　D．３ ３．给出下列结论: ①若a＜b,则ac２＜bc２; ②若１a＜ １ b＜０ ,则a＞b; ③若a＞b,c＞d,则a－c＞b－d; ④若a＞b．c＞d,则ac＞bd． 其中正确的结论的序号是　　　　． ４．若１≤a≤５,－１≤b≤２,则a－b的取值范围 为　　　　． ５．如果a＞b＞０,c＜d＜０,f＜０,证明:fa－c ＞ fb－d． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．２　基本不等式 第１课时　基本不等式 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 掌握基本不等式a＋b ２ ≥ ab (a,b都是正数)．能用 基本不等式解决问题 通过学习基本不等式及其简单应用,重点 培养数学运算、逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] (１)对∀a、b∈R．a２＋b２ 与 ２ab的大小如何? (２)在图中,AB 是圆的直径, 点C 是AB 上一点,AC＝a, BC＝b．过点C 作垂直于AB 的弦DE,连接 AD,BD．可得到CD＝ ab,１２AB＝ a＋b ２ ,由 CD 小于或等于圆的半径,可得出什么样的不 等关系? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０４􀅰 数学􀅰必修第一册