2.1 第1课时 不等关系与不等式-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

２．１　等式性质与不等式性质 第１课时　不等关系与不等式 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．用不等式(组)表示不等关系及两个实 数大小的关系 ２．实际问题中不等关系的确定 ３．作差法比较两个数的大小 １．通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较 两个实数的大小提升数学抽象及数学运算素养 ２．通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题, 提升逻辑推理及数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　在日常生活中,糖水中加些 糖后就会变的更甜,你能根据这 一事 实 表 示 出 糖 水 浓 度 不 等 式吗? [知识梳理] [知识点一]　不等式与不等关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．不等式的概念． 我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两 个数或代数式,以表示它们之间的　　　　． 含有这些不等号的式子叫做不等式． ２．不等式中文字语言与符号语言之间的转换． 文字 语言 大于,高 于,超过 小于,低 于,少于 大 于 或 等于,至 少, 不 低于 小 于 或 等 于,至多,不 多 于, 不 超过 符号 语言 　　 　　 　　 　　 ３．本质:现实世界和日常生活中的不等关系在 数量关系上的反映,这种不等关系可以用不 等式来表示．应用:描述现实世界和日常生 活中的不等关系． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．３≤３成立吗? [知识点二]　比较两个实数a,b大小的依据 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 文字语言 符号表示 如果a＞b,那么a－b是正 数,反之亦然 a＞b⇔　　　　 如果a＜b,那么a－b是负 数,反之亦然 a＜b⇔　　　　 如果a＝b,那么a－b等于 ０,反之亦然 a＝b⇔　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．在比较两实数a,b大小的依据中, a,b两数是任意实数吗? ３．p⇔q的含义是什么? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３􀅰 数学􀅰必修第一册 [预习自测] １．完成一项装修工程,请木工共需付工资每人 ５００元,请瓦工共需付工资每人４００元,现 有工人工资预算２００００元,设木工x人,瓦 工y人,则工人满足的关系式是 (　　) A．５x＋４y＜２００　　　　B．５x＋４y≥２００ C．５x＋４y＝２００ D．５x＋４y≤２００ ２．将一根长５m的绳子截成两段,已知其中一 段的长度为xm,若两段绳子长度之差不小 于１m,则x所满足的不等关系为 (　　) A． ２x－５≥１ ０＜x＜５{ B．２x－５≥１或５－２x≥１ C． ５－２x≥１ ０＜x＜５{ D． |２x－５|≥１ ０＜x＜５{ ３．雷电的温度大约是２８０００℃,比太阳表面温 度的４．５倍还要高．设太阳表面温度为t℃, 那么t应满足的关系式是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　用不等式(组)表示不等关系 [例１]某钢铁厂要把长度为４０００mm的钢 管截成５００mm和６００mm两种．按照生产 的要 求 ６００ mm 钢 管 的 数 量 不 能 超 过 ５００mm钢管数量的３倍,写出满足所有上 述不等关系的不等式(组)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　读懂题意,把实际问题转化 为数学不等式关系． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　将不等关系表示成不等式(组)的思路 (１)读懂题意,找准不等式所联系的量． (２)用适当的不等号连接． (３)多个不等关系用不等式组表示． 􀳀[变式训练] １．某蔬菜收购点租用车辆,将１００t新鲜辣椒 运往某市销售,可租用的大卡车和农用车分 别为１０辆和２０辆．若每辆大卡车载重８t, 运费９６０元,每辆农用车载重２．５t,运费 ３６０元,运输成本之和不能超过１００００元, 据此安排两种车型,应满足哪些不等关系? 请列出来． 　　　作差法比较大小 [例２]设x＜y＜０,试比较(x２＋y２)(x－y)与 (x２－y２)􀅰(x＋y)的大小． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　作差,判断差与０的大小关 系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 比较大小最常用的是作差法,其步骤为: 第一步:作差并变形,其目的是应容易判断 差的符号． 变形有两种情形: ①将差式进行因式分解转化为几个因式 相乘． ②将差式通过配方转化为几个非负数之 和,然后判断． 第二步:判断差值与零的大小关系． 第三步:得出结论． 􀳀[变式训练] ２．已知a,b均为正实数,试利用作差法比较a３ ＋b３ 与a２b＋ab２ 的大小． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３􀅰 第二章　一元二次函数、方程和不等式 　　　比较大小的其它方法 [例３]比较aabb 与abba(a＞０且a≠１,b＞０且b ≠１)的大小． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　作商,判断商与１的大小． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 作商法比较大小 如果两实数同号,亦可采用作商法来比较大 小,即作商后看商是大于１,等于１,还是小于 １．方法图示如下: 依据 a＞０,b＞０ a b＞１⇔a＞b a b＝１⇔a＝b a b＜１⇔a＜b a＜０,b＜０ a b＞１⇔a＜b a b＝１⇔a＝b a b＜１⇔a＞b 应用 范围 同号两数比较大小或分式、积、幂之 间比较大小 步骤 (１)作商;(２)变形;(３)判断商值与１ 的大小;(４)下结论 􀳀[变式训练] ３．已知a＞０,b＞０,试比较a b ＋b a 与 a＋b的 大小． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为 １２０km/h．行驶过程中,同一车道上的车间 距d不得小于１０m,用不等式表示 (　　) A．v≤１２０(km/h)或d≥１０(m) B． v≤１２０(km/h) d≥１０(m){ C．v≤１２０(km/h) D．d≥１０(m) ２．(多选)下列关于不等关系的说法正确的是 (　　) A．某隧道入口竖立着“限高４．５米”的警示 牌,是指示司机要安全通过隧道,应使车 载货物高度h(米)满足０＜h≤４．５ B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为a －b＞０ C．不等式x≥２的含义是指x不小于２ D．若a＜b或a＝b之中有一个成立,则a≤ b成立 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３􀅰 数学􀅰必修第一册 ３．某年夏天,我国遭受特大洪灾,灾区学生小 李家中经济发生困难,为帮助小李解决开学 费用问题,小李所在班级学生(除小李外)决 定承担这笔费用．若每人承担１２元人民币, 则多余８４元;若每人承担１０元,则不够;若 每人承担１１元,又多出４０元以上．设该班 (除小李外)共有x 人,这笔开学费用共y 元,则x,y应满足的不等式组为　　　　． ４．设a＝ ２,b＝ ７－ ３,c＝ ６－ ２,则a,b,c 的大小关系是　　　　． ５．试比较下列各组式子的大小: (１)x＋１－ x与 x－ x－１,其中x＞１; (２)x３－２y３ 与xy２－２x２y,其中x＞y＞０． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　不等式的性质 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握不等式的性质及各自成立的条件 ２．能利用不等式的性质比较大小或证明不 等式 通过用不等式(组)表示实际问题的不等关系、 不等式的性质提升数学抽象素养．通过作差法、 运用不等式的性质解决问题、提升数学运算素 养和逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　如 图 为 某 三 岔 路 口 交通环道的简化模型,在 某高峰时段,单位时间进 出路口A,B,C 的机动车 辆如图所示,图中x１,x２, x３ 分别 表 示 该 时 段 单 位 时 间 通 过 路 段AB︵, BC︵,CA︵的机动车辆数(假设:单位时间内,在 上述路段中,同一路段上驶入与驶出车辆数 相等)． [问题１]　你能用x３,x１,x２ 分别表示出x１, x２,x３ 吗? [问题２]　你能判断出x１,x２,x３ 的大小吗? [知识梳理] [知识点一]　等式的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．等式的性质 性质１ 如果a＝b,那么b＝a 性质２ 如果a＝b,b＝c,那么　　　 性质３ 如果a＝b,那么a±c＝　　　 性质４ 如果a＝b,那么ac＝bc 性质５ 如果a＝b,c≠０,那么ac＝　　　 ２．本质:性质１,２反映了相等关系自身的特 性,性质３,４,５是从运算角度提出的,反映 了等式在运算中保持的不变性． ３．应用:处理等式运算过程中的依据． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．想一想,以前我们用等式基本性质 解决过哪些问题? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３􀅰 第二章　一元二次函数、方程和不等式 [例４]　[解]　(１)该命题是全称量词命题,是真命题．该 命题的否定:存在一个非空集合,空集不是该集合的真 子集． (２)该命题是全称量词命题,是假命题． 因为４x２－(２x－１＋３x２)＝x２－２x＋１＝(x－１)２≥０, 所以当x＝１时,４x２＝２x－１＋３x２． 该命题的否定:∃x∈R,４x２≤２x－１＋３x２． (３)该命题是存在量词命题,是真命题． 因为当x＝１时,|x－２|＝１＜２． 该命题的否定:∀x∈{－２,－１,０,１,２},|x－２|≥２． (４)该命题是全称量词命题,是假命题．当a≠０时,方程 ax＋b＝０才恰有一解．该命题的否定:∃a,b∈R,方程 ax＋b＝０无解或至少有两解． [例５]　[解析]　①ab＝０⇔a＝０或b＝０,即a,b至少有一 个为０; ②a＋b＝０⇔a,b互为相反数,则a,b可能均为０,也可能 为一正数一负数; ③a(a２＋b２)＝０⇔a＝０,b为任意实数; ④ab＞０⇔ a＞０, b＞０{ 或 a＜０, b＜０,{ 即a,b 同 为 正 数 或 同 为 负数． 综上可知:(１)使a,b都为０的必要条件是①②③; (２)使a,b都不为０的充分条件是④; (３)使a,b至少有一个为０的充要条件是①． [答案]　(１)①②③　(２)④　(３)① [例６]　[解析]　设参加数学、物理、化学小组的人数构成 的集合分别为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有x 人,由题意可得如图所示的 Venn图． 由全班共３６名同学可得(２６－６－x)＋６＋(１５－４－６) ＋４＋(１３－４－x)＋x＝３６, 解得x＝８,即同时参加数学和化学小组的有８人． [答案]　８ 变式训练 １．解析:(１)C　(２)３或１　[(１)易知 A＝{１,２},又 A∪B ＝(０,１,２},所以集合B 可以是:{０},{０,１},{０,２},{０, １,２}． (２)当m＋２＝５时,m＝３,M＝{１,５,１３),符合题意; 当m２＋４＝５时,m＝１或 m＝－１,若 m＝１,则 M＝{１, ３,５},符合题意;若m＝－１,则 m＋２＝１,不满足元素的 互异性,故m＝３或１．] ２．D　[当m＝０时,方程mx－６＝０无解,B＝⌀,满足B⊆ A;当m≠０时,B＝{６m },因为B⊆A,所以６m＝２ 或６ m＝ ３,解得m＝３或m＝２．] ３．(１)D　[由题意得,B＝{１,４,７,１０},所 以 A∩B＝{１, ４}．] (２)A　[由题意知∁UA＝{２,５},所以(∁UA)∪B＝{２, ４,５},故选 A．] ４．(１)B　[量词“存在”否定后为“任意”,结论“它的平方是 有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．故选B．] (２)BC　[A中,x２＋x＋３＝(x＋１２ )２＋１１４ ＞０ ,故 A 是 假命题;B中,x∈Q,１３x ２＋１２x＋１ 一定是有理数,故 B 是真命题;C中,x＝４,y＝１时,３x－２y＝１０成立,故 C 是真命题;对于 D,当x＝０时,左边＝右边＝０,故 D 为 假命题．] ５．[解]　 (１)欲使x∈A 是x∈B 成立的充分条件, 则只要{x|x＜－m２ }⊆{x|x＜－１,或x＞３},则只要－ m ２≤－１ 即m≥２, 故存在实数m≥２时使x∈A 是x∈B 成立的充分条件． (２)欲使x∈A 是x∈B 成立的必要条件, 则只要{x|x＜－m２ }⊇{x|x＜－１,或x＞３},则这是不 可能的,故不存在实数m,使x∈A 是x∈B 成立的必要 条件． ６．B　[由题可得参加比赛的学生共有３１人,因为card(A ∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B),所以田赛和径 赛都参加的学生人数为１６＋２３－３１＝８．故选B．] 第二章　一元二次函数、方程和不等式 ２．１　等式性质与不等式性质 第１课时　不等关系与不等式 课前预习学案 情境引入 　提示　糖水变甜这一现象对应的不等式为ab ＜ a＋c b＋c ,其 中a＜b,c＞０． 知识梳理 知识点一、１．不等关系　２．＞　＜　≥　≤　 知识点二、a－b＞０　a－b＜０　a－b＝０　 [思考] １．提示:成立．不等式“a≤b”的含义是:或者“a＜b”或者“a ＝b”,即 当“a＜b”与“a＝b”一 个 成 立 时,该 不 等 式 就 成立． ２．提示:是． ３．提示:p⇔q的含义是:p 可以推出q,q也可以推出p,即 p与q可以互推． 预习自测 １．D　２．D　３．４．５t＜２８０００ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４７３􀅰 数学􀅰必修第一册 课堂互动学案 [例１]　[解]　设截得５００mm 的钢管x根．截得６００mm 的钢管y根． 根据题意得: ５００x＋６００y≤４０００, ３x≥y, x≥０且x∈N． y≥０且y∈N． ì î í ï ï ï ï [例２]　[解析]　(x２＋y２)(x－y)－(x２－y２)(x＋y) ＝(x－y)(x２＋y２)－(x－y)(x＋y)２ ＝(x－y)[(x２＋y２)－(x＋y)２] ＝(x－y)(－２xy)． 由于x＜y＜０,所以x－y＜０,－２xy＜０, 所以(x－y)(－２xy)＞０, 即(x２＋y２)(x－y)＞(x２－y２)(x＋y)． [例３]　解析:a abb abba ＝aa－bbb－a＝(ab )a－b, 当a＞b＞０时,ab ＞１ ,a－b＞０, 则(a b )a－b＞１,所以aabb＞abba; 当b＞a＞０时,０＜ab ＜１ ,a－b＜０, 则(a b )a－b＞１,所以aabb＞abba; 当a＝b＞０时,(ab )a－b＝１,所以aabb＝abba, 综上可知,aabb≥abba(当且仅当a＝b时取等号)． 变式训练 １．解:设租用大卡车x辆,农用车y辆, 根据题意,应满足如下的不等关系: ①两种车辆的总载重量应该不少于１００t; ②运输成本之和不超过１００００元; ③大卡车不能超过１０辆; ④农用车不能超过２０辆; ⑤x∈N,y∈N． 要同时满足 以 上 不 等 关 系,可 以 用 下 面 的 不 等 式 组 来 表示: ８x＋２．５y≥１００, ９６０x＋３６０y≤１００００, ０≤x≤１０,x∈N, ０≤x≤２０,y∈N, ì î í ï ï ï ï 即 １６x＋５y≥２００, ２４x＋９y≤２５０, ０≤x≤１０,x∈N, ０≤x≤２０,y∈N． ì î í ï ï ï ï ２．解:∵a３＋b３－(a２b＋ab２)＝(a３－a２b)＋(b３－ab２) ＝a２(a－b)＋b２(b－a) ＝(a－b)(a２－b２)＝(a－b)２(a＋b)． 当a－b＝０,即a＝b时,a３＋b３＝a２b＋ab２; 当a－b≠０,即a≠b时, (a－b)２＞０,a＋b＞０,a３＋b３＞a２b＋ab２． 综上所述,a３＋b３≥a２b＋ab２． ３．解析:方法一(作差法)　(a b ＋b a )－(a＋ b)＝(a b － b)＋ (b a － a)＝a－b b ＋b－a a ＝ (a－b)(a－b) ab ＝ (a－b)２(a＋b) ab ． ∵a＞０,b＞０,∴ a＋b＞０, ab＞０,(a－b)２≥０, ∴ (a－b)２(a＋b) ab ≥０,∴a b ＋b a ≥ a＋b． 方法二(作商法) b a ＋a b a＋b ＝ (b)３＋(a)３ ab(a＋b) ＝ (a＋b)(a＋b－ ab) ab(a＋b) ＝a＋b－ ab ab ＝ (a－b)２＋ ab ab ＝１＋ (a－b)２ ab ≥１． ∵a＞０,b＞０,∴b a ＋a b ＞０,a＋b＞０, ∴b a ＋a b ≥ a＋b． 随堂步步夯实 １．B　２．ACD ３． １２x－y＝８４, １０x＜y, １１x－y＞４０, x∈N∗ ì î í ï ï ï ï ４．a＞c＞b ５．解 析:(１) x＋１－ x＝ １ x＋１＋ x ,x－ x－１ ＝ １ x＋ x－１ , ∵ x＋１＋ x＞ x＋ x－１＞０, ∴ x＋１－ x＜ x－ x－１． (２)(x３－２y３)－(xy２－２x２y)＝x３－xy２＋２x２y－２y３ ＝x(x２－y２)＋２y(x２－y２)＝(x２－y２)(x＋２y) ＝(x－y)(x＋y)(x＋２y)． ∵x＞y＞０,∴x－y＞０,x＋y＞０,x＋２y＞０, ∴(x３－２y３)－(xy２－２x２y)＞０, 即x３－２y３＞xy２－２x２y． 第２课时　不等式的性质 课前预习学案 情境引入 　１．提示　x１＝５０＋x３－５５＝x３－５,x２＝x１－２０＋３０＝ x１＋１０,x３＝x２－３５＋３０＝x２－５． ２．提示　由１知x１＝x３－５,x２＝x３＋５,则x１＜x３＜x２． 知识梳理 知识点一、１．a＝c　b±c　bc 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５７３􀅰 参考答案