1.5.1 全称量词与存在量词-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

(３)由(a－２)(a－３)＝０可以推出a＝２或a＝３,不一定 有a＝３即p⇒/q; 由a＝３可以得出(a－２)(a－３)＝０即q⇒p． 因此p是q的必要不充分条件． (４)由于a＜b,当b＜０时,ab ＞１ ;当b＞０时,ab ＜１ ,故 若a＜b,不一定有ab ＜１ ;当a＞０,b＞０,ab ＜１ 时,可以 推出a＜b; 当a＜０,b＜０,ab ＜１ 时,可以推出a＞b． 因此p是q的既不充分也不必要条件． [例２]　[解]　设p:０＜m＜ １３ ,q:方程 mx２－２x＋３＝０ 有两个同号不相等实根． (１)充分性(p⇒q): 因为０＜m＜１３ ,所以Δ＝４－１２m＞０, 所以一元二次方程mx２－２x＋３＝０有两个不等的实根． 设方程的两根为x１,x２, 当０＜m＜１３ 时, x１＋x２＝ ２ m＞０ 且x１x２＝ ３ m＞０ , 故方程mx２－２x＋３＝０有两个同号且不相等的实根． (２)必要性(q⇒p): 若方程mx２－２x＋３＝０有两个同号且不相等的实根． 则有 Δ＝４－１２m＞０, x１x２＞０,{ 所以０＜m＜ １ ３． 即方程mx２－２x＋３＝０有两个同号且不相等的实根⇒０ ＜m＜１３． 综上可知,方程mx２－２x＋３＝０有两个同号且不相等的 实根的充要条件是０＜m＜１３． [例３]　[解]　p:x∈{x|－２≤x≤１０},q:x∈{x|１－m≤x≤１＋ m}． 因为p是q的必要不充分条件, 所以q是p 的充分不必要条件, 即{x|１－m≤x≤１＋m}⫋{x|－２≤x≤１０}, 故有 １－m≥－２, １＋m＜１０,{ 或 １－m＞－２, １＋m≤１０,{ 解得m≤３．又１－m＜１＋m,所以m＞０, 所以实数m 的取值范围为０＜m≤３． 变式训练 １．解析:(１)因为由x≠０推不出x＋|x|＞０, 如x＝－１时,x＋|x|＝０,所以p⇒/q, 所以p不是q的充要条件． (２)由|a－b|＝|a|＋|b|,两边平方得a２－２ab＋b２＝a２ ＋２|ab|＋b２,即|ab|＝－ab, 得ab≤０,即“|a－b|＝|a|＋|b|”等价于“ab≤０”． 所以p⇒/q,所以p不是q的充要条件． (３)当x１＝－１,x２＝－４时,x１＋x２＝－５, 而－１,－４不是方程x２＋５x－６＝０的两根．所以q⇒/p, 所以p不是q的充要条件． (４)由A⊆B,得A∩B＝A;反过来,由A∩B＝A,且(A∩ B)⊆B,得A⊆B,因此“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要 条件,即p是q的充要条件． ２．证明:充分性: 若a＋b＝１, 则a２＋b２－a－b＋２ab＝(a＋b)２－(a＋b)＝１－１＝０, 即充分性成立, 必要性: 若a２＋b２－a＋b＋２ab＝０, 则(a＋b)２－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－１)＝０． ∵a＋b≠０,∴a＋b－１＝０, 即a＋b＝１,必要性成立, 综上,a２＋b２－a－b＋２ab＝０成立的充要条件是a＋b ＝１． ３．解:(１)M∩P＝{x|５＜x≤８}的充要条件是－３≤a≤５, 所以实数a的取值范围是{a|－３≤a≤５}． (２)显然,满足－３≤a≤５的数中任取一个a的值都是M ∩P＝{x|５＜x≤８}的一个充分不必要条件,则取a＝５． (答案不唯一) (３)由(１)知 M∩P＝{x|５＜x≤８}的充要条件是{a|－３ ≤a≤５},要求实数a的取值范围,使它成为 M∩P＝{x| ５＜x≤８}的一个必要不充分条件,即求一个集合,满足 {a|－３≤a≤５}是该集合的真子集,那么{a|a≤５}是所 求的一个必要不充分条件．(答案不唯一) 随堂步步夯实 １．B　２．B　 ３．必要不充分 ４．{a|a＜１} ５．解:因为－a＜x－１＜a是p:－１＜x＜３的一个必要条 件,且－a＜x－１＜a⇔１－a＜x＜１＋a, 所以{x|－１＜x＜３)⊆{x|１－a＜x＜１＋a}, 所以 １－a≤－１, １＋a≥３, １＋a＞１－a． { ,解得a≥２, 则使a＞b恒成立的实数b的取值范围是b＜２． １．５　全称量词与存在量词 １．５．１　全称量词与存在量词 课前预习学案 情境引入 　(１)提示:任意一个,全部,每个． (２)提示:表示某个范围的整体或全部． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１７３􀅰 参考答案 知识梳理 知识点二、∀　∃　 知识点三、１．全称量词　存在量词　∀x∈M,p(x)　∃x ∈M,p(x) [思考] １．提示:常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“凡 是”等． 常见的 存 在 量 词 还 有 “有 些”“有 一 个”“对 某 些”“有 的”等． ２．提示:元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以 表示几何图形、相应的集合 M 是这些元素的某一特定的 范围,p(x)表示集合 M 的所有元素满足的性质,也可以 用q(x),r(x)等符号表示． 预习自测 １．A　２．D　３．１ 课堂互动学案 [例１]　解析:(２)(３)的存在量词“有的”“有一个”为存在 量词命题,(１)(４)是省略了全称量词的全称量词命题． [例２]　[解]　(１)因为－１∈Z,且(－１)３＝－１＜１,所以 “∃x∈Z,x３＜１”是真命题． (２)真命题,如梯形． (３)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系 知,它是真命题． (４)因为０∈N,０２＝０,所以命题“∀x∈N,x２＞０”是 假 命题． [例３]　(１)解析:当１≤x≤２时,１＋m≤x＋m≤２＋m,因 为一次函数y＝x＋m 的图象在x 轴上方,所以１＋m＞ ０,即m＞－１,所以实数m 的取值范围是{m|m＞－１}． 答案:{m|m＞－１} (２)解析:由题意得,关于x的方程ax２＋２x－１＝０有实 数根,当a＝０时,方程为２x－１＝０,显然有实数根,满足 题意;当a≠０时,Δ＝４＋４a≥０,解得a≥－１,且a≠０．综 上知,实数a的取值范围是{a|a≥－１}． 变式训练 １．解:(１)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”,是全 称量词命题． (２)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”,是 全称量词命题． (３)可以改写为“∃x∈R,y∈R,使２x－y＋１＜０成立”, 是存在量词命题． ２．解析:(１)∀x∈N,x２＞０,因为０也是自然数,０的平方是 ０．所以,全 称 量 词 命 题 “自 然 数 的 平 方 大 于 零”是 假 命题． (２)∃x０,y０∈Z,２x０＋４y０＝３．由２x０＋４y０＝３,得x０＋ ２y０＝ ３ ２ ,若x０,y０∈Z,则x０＋２y０ 也是整数,不可能等 于３ ２ ,所以,存在量词命题“存在一对整数x０,y０,使２x０ ＋４y０＝３”是假命题． (３)∃x０∈{无理数},x３０∈Q, ３ ３是无理数,( ３ ３)３＝３是有 理数． 所以,存在量词命题“存在一个无理数,它的立方是有理 数”是真命题． ３．解析:(１)由于对任意的x∈{x|１≤x≤３}都有 m≥x,故 只需m 大于或等于x 的最大值,即m≥３． (２)由于存在实数x∈{x|１≤x≤３},使 m≥x,故只需 m 大于或等于x 的最小值,即m≥１． 随堂步步夯实 １．B　２．C　３．①③④ ４．{a|－１＜a＜３} ５．解析:假设存在整数m,使得命题“∀x≥－１４ ,－５＜３－ ４m＜x＋１”是真命题． 因为当x≥－１４ 时,x＋１≥３４ , 所以－５＜３－４m＜３４ ,解得９ １６＜m＜２． 又m 为整数,所以m＝１, 故存在整数m＝１,使得命题“∀x≥－１４ ,－５＜３－４m＜ x＋１”是真命题． １．５．２　全称量词命题与存在量词命题的否定 课前预习学案 情境引入 　提示　探险家应该说“我将被五马分尸”． 如果土人首领将探险家五马分尸,那就说明探险家说的 就是真话,而说真话应该被烧死; 如果土人首领将探险家烧死,那就说明探险家说的就是 假话,而说假话应该被五马分尸． 所以,土人首领怎么处置探险家都不行,只能让他活着． [思考] １．提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否 定是“并 不 是 所 有 的 菱 形 都 是 平 行 四 边 形”,也 可 以 是 “有些菱形不是平行四边形”． ２．提示:对于含有一个量词的命题,容易知道它是全称量 词命题或存在量词命题．一般地,省略了量词的命题是 全称量词命题,可加上“所有的”或“对任意”,它的否定 是存在量词命题． 预习自测 １．∃x０∈R,|x０－２|＋|x０－４|≤３ ２．D　３．D 课堂互动学案 [例１]　解析:(１)该命题的否定:∃x∈R, １－ x－１２( ) ２ ＞１, 因为∀x∈R,x－１２( ) ２ ≥０, 所以－ x－１２( ) ２ ≤０, １－ x－１２( ) ２ ≤１恒成立,所以这是一个假命题． (２)该命 题 的 否 定:至 少 存 在 一 个 正 方 形 不 是 矩 形,假 命题． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２７３􀅰 数学􀅰必修第一册 　　　　　１．５　全称量词与存在量词 　　　　　１．５．１　全称量词与存在量词 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解命题的概念,能判断真假 ２．通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量 词的意义 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相 应数学内容,重点提升数学抽象、逻辑推理 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　在某个城市中有一位理发师,他的广告词 是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满 全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮 脸,我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚 欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那 些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理 发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地 抓起了剃刀,他们说他能不能给他自己刮脸 呢? 如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自 己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给 自己刮脸呢? 他又属于“给自己刮脸的人”,他 就不该给自己刮脸. 这就是著名的“罗素理发师悖论”问题． [问题]　(１)文中理发师说:“我将给所有的不 给自己刮脸的人刮脸”．对“所有的”这一词语, 你还能用其他词语代替吗? (２)上述词语都有什么含义? [知识梳理] [知识点一]　命题的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 命题 定 义↑ 可供真假 判断的陈述 语句 分类 　→ 真命题 　 →判断为真的语句 假命题 　 →判断为假的语句 [知识点二]　全称量词与存在量词 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少 有一个 符号 　　 　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．常见的全称量词、存在量词还 有 哪些? [知识点三]　全称量词命题与存在量词命题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义和表示方法 全称量词命题 存在量词命题 定义 含有　　　　的命 题,叫做全称量词 命题 含有　　　　 的命题,叫做存 在量词命题 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２􀅰 第一章　集合与常用逻辑用语 续表 表示 全称量词命题“对 M 中任意一个x,p (x)成立”可用符号 简记为:　　 存在 量 词 命 题 “存 在 M 中 的 元素x．p(x)成 立”可用符号简 记为:　　　 ２．本质:全称量词的含义是“任意性”,存在量 词的含义是“存在性”． ３．应用:全称量词、存在量词是数学和日常生 活中使用频率很高的一种逻辑用语,数学中 存在大量的全称量词命题和存在量词命题． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．全称量词命题中的“x,M 与p(x)” 表达的含义分别是什么? [预习自测] １．将“x２＋y２≥２xy对任意实数x 恒成立”改 写成符号形式为 (　　) A．∀x,y∈R,x２＋y２≥２xy B．∃x,y∈R,x２＋y２≥２xy C．∀x＞０,y＞０,x２＋y２≥２xy D．∃x＜０,y＜０,x２＋y２≥２xy ２．下列命题中,不是全称量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘以０都等于０ B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 ３．给出下列命题: (１)∀x∈R,x２＞０; (２)∃x∈R,x２＋x＋１≤０; (３)∃a∈∁RQ,b∈∁RQ,使得a＋b∈Q． 其中真命题的个数为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　全称量词命题与存在量词命题的识别 [例１]判断下列语句是全称量词命题,还是 存在量词命题: (１)凸多边形的外角和等于３６０°; (２)有的平行四边形是菱形; (３)有一个数是素数也是合数; (４)菱形的对角线相互垂直． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　依据全称量词命题与存在量 词的概念判断． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断一个语句是全称量词命题还是存在量 词命题的思路 [提醒]　全称量词命题可能省略全称量词, 存在量词命题的存在量词一般不能省略． 􀳀[变式训练] １．判断下列命题是全称量词命题还是存在量 词命题． (１)矩形有一个外接圆． (２)非负实数有两个平方根; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２􀅰 数学􀅰必修第一册 (３)有一对实数(x,y),使２x－y＋１＜０ 成立． 　　　全称量词命题、存在量词命题的真假判断 [例２]判断下列命题的真假: (１)∃x∈Z,x３＜１; (２)存在一个四边形不是平行四边形; (３)在平面直角坐标系中,任意有序实数对 (x,y)都对应一点P; (４)∀x∈N,x２＞０． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　依命题真假的判断方法作出 结论． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 全称量词命题与存在量词命题的 真假判断的技巧 (１)要判定一个全称量词命题是真命题,必 须对限定集合 M 中的每个元素x 验证p (x)成立;但要判定全称量词命题是假命 题,只要能举出集合M 中的一个x,使得p (x)不成立即可． (２)要判定一个存在量词命题是真命题,只 要在限定集合 M 中,能找到一个x 使p (x)成立即可;否则,这个存在量词命题就 是假命题． 􀳀[变式训练] ２．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命 题并判断其真假: (１)自然数的平方大于零; (２)存在一对整数x０,y０,使２x０＋４y０＝３; (３)存在一个无理数,它的立方有理数． 　　　全称量词命题、存在量词命题的应用 [例３](１)已知集合A＝{x|１≤x≤２},若命 题“∀x∈A,一次函数y＝x＋m 的图象在x 轴上方”是真命题,则实数m 的取值范围是 　　　　． (２)若命题“∃x∈R,使得方程ax２＋２x－１ ＝０成立”是真命题,求实数a的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２􀅰 第一章　集合与常用逻辑用语 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)∀x∈A＝{x|１≤x≤２} 在一次函数y＝x＋m 的图象,在x轴的上 方,则１＋m＞０． (２)由题意,分a＝０和a≠０两种情况讨论． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (１)含参数的全称量词命题为真时,常与不 等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式 (如x２≥０),确定参数的取值范围． (２)含参数的存在量词命题为真时,常转化 为方程或不等式有解问题来处理,可借助 根的判别式等知识解决． 􀳀[变式训练] ３．(１)已知对任意的x∈{x|１≤x≤３},都有m ≥x,求实数m 的取值范围; (２)已知存在实数x∈{x|１≤x≤３},使m≥ x,求实数m 的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．下列命题中,是真命题的是 (　　) A．∃x∈R,x２＋x＋３＝０ B．∀x∈R,x２＋x＋２＞０ C．∀x∈R,x２＞|x| D．已知集合 A＝{a|a＝２n},B＝{b|b＝ ３m},则对于任意的n,m∈N∗,都有A∩ B＝⌀ ２．下列命题中是全称量词命题并且是真命题 的是 (　　) A．∃x＞１,x２－２x－３＝０ B．若２x为偶数,则x∈N C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 ３．下列存在量词命题是真命题的序号是　　　　． ①有些不相似的三角形面积相等; ②存在实数x,使x２＋２＜０; ③存在实数a,使函数y＝ax＋b的值随x 的 增大而增大; ④有一个实数的倒数是它本身． ４．已知命题“∃x∈R,２x２＋(a－１)x＋１２≤０ ”是 假命题,则实数a的取值范围是　　　　． ５．是否存在整数m,使得命题“∀x≥－１４ ,－５ ＜３－４m＜x＋１”是真命题? 若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２􀅰 数学􀅰必修第一册