1.1 集合的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

１．１　集合的概念 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的 属于关系 ２．针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基 础上．用符号语言刻画集合 在集合概念的形成中,经历由具体到抽象、 由自然语言和图形语言到符号语言的表达 过程,发展学生的数学抽象素养和数学运 算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　情景１:集合论诞生于１９世纪末,其创始 人是康托尔(１８２９－１９２０,德国数学家)．集合 论被誉为２０世纪最伟大的数学创造,它的出 现大大扩充了数学的研究领域,可以说,集合 论是整个数学大厦的基础,它不仅影响了现代 数学,而且也深深影响了现代哲学和逻辑学． 　　情景２:高一开学第二天,学校通知:上午 ８点,在学校体育馆举行军训动员大会． [问题]　这个通知的对象是全体高一学生还 是个别对象? [知识梳理] [知识点一]　元素与集合的相关概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．元素:一般地,把　　　　　统称为元素,通 常用小写拉丁字母a,b,c,􀆺􀆺表示． ２．集合:把一些　　　　组成的总体叫做集 合,简称为　　　　,通常用大写拉丁字母 A,B,C,􀆺表示． ３．集合相等:构成两个集合的元素是　　　的． ４．集合中元素的特性:　　　　、互异性和无 序性． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．集合中的元素只能是数、点、代数 式吗? ２．某班所有的高个子男生能否构成一个集合? [知识点二]　元素与集合的关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．元素与集合的表示 通常用　　　　　　　　表示集合; 通常用　　　　　　　　　表示集合中的 元素． ２．元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素 与集 合的 关系 属于 如果　　　　　　 　　,就说a属于A 　　 “a属于A” 不属于 如果　　　　 　　　　,就说a 不属于A a∉A “a不属于A” 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．元素与集合之间有第三种关系吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１􀅰 第一章　集合与常用逻辑用语 [知识点三]　常见的数集及符号表示 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 数 集 非负整数集 (自然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符 号 　　　 　　 　　　 　　 　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．N与N∗(N＋)有何区别? [知识点四]　集合的的表示 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．列举法:把集合的所有元素　　　　　　出 来,并用花括号“　　　　”括起来表示集合 的方法叫做列举法． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５．一一列举元素时,需要考虑元素的 顺序吗? ２．描述法 一般地,设A 是一个集合,我们把集合A 中 所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的 集合表示为　　　　　　,这种表示集合的 方法称为描述法,有时也用冒号或分号代替 竖线,写成　　　　　　或　　　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６．集合A＝{x|x－１＝０}与集合B＝ {１}表示同一个集合吗? [预习自测] １．下列各组对象中不能构成集合的是 (　　) A．某校高一(２)班的全体男生 B．某校全体学生的家长 C．李明的所有家人 D．王明的所有好朋友 ２．设集合A只含有一个元素a,则下列各式正确的 是 (　　) A．０∈A　　　　　　　B．a∉A C．a∈A D．a＝A ３．下列四个关系式:① ５∈R;②１４∉Q ;③０∈ N;④０∈{０}．其中正确的个数是 (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　集合的概念 [例１]考查下列每组对象能否组成一个集 合,并说明理由． (１)２０２１年全国高考数学试卷中的所有 难题; (２)观看天宫一号与天宫二号自动交会对接 的电视观众; (３)接近１的全体实数; (４)篮球比林书豪打得好的球员． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根 据 集 合 元 素 的 确 定 性 判断． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２􀅰 数学􀅰必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断一些对象能否构成集合的方法 (１)判断每个对象是否具有确定性是判断 其能否构成集合的关键． (２)判断一个对象是不是确定的,关键就是 要找到一个明确的衡量标准． 提醒:注意集合中元素的互异性、无序性． 􀳀[变式训练] １．(多选)下列说法正确的是 (　　) A．中国的所有直辖市可以组成一个集合 B．高一(１)班较胖的同学可以组成一个集合 C．正偶数的全体可以组成一个集合 D．大于２０１４且小于２０２１的所有整数不能组 成集合 　元素与集合的关系 [例２]下列关系中正确的个数为 (　　) ① ２∈Q;②０∉N;③π∉R;④|－４|∈Z A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先明确符合 Q、N、R及Z的 含义,再判断 ２,０,π,|－４|与相应数集的 关系． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．判断元素与集合关系的２种方法 (１)直接法:如果集合中的元素是直接给 出,只要判断该元素在已知集合中是否 出现即可． (２)推理法:对于一些没有直接表示的集 合,只要判断该元素是否满足集合中元 素所具有的特征即可,此时应首先明确 已知集合中的元素具有什么特征． ２．已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A 时,则a一定等于集合A 中的 某个元素．反之,当a∉A 时,结论恰恰 相反． 利用上述结论建立方程(组)或不等式 (组)求解参数即可,注意根据集合中元 素的互异性对求得的参数进行检验． 􀳀[变式训练] ２．集合A 中的元素x 满足 ６３－x∈N ,x∈N,则 集合A 中的元素为　　　　． 集合中元素的特性 [例３]已知集合A 含有三个元素１,０,x．若x２ ∈A,求实数x的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　可令x２＝１,０或x 解得x 的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 根据集合中元素的特性求解字母取值(范围) 的３个步骤 􀳀[变式训练] ３．集合P中含有两个元素１和４,集合Q中含有两 个元素１和a２,若P与Q相等．则a＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３􀅰 第一章　集合与常用逻辑用语 列举法和描述法的灵活运用 [例４]用适当的方法表示下列集合: (１)比５大３的数组成的集合; (２)方程x２＋y２－４x＋６y＋１３＝０的解集; (３)不等式x－３＞２的解的集合; (４)二次函数y＝x２－１０图象上的所有点组成 的集合． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(３)(４)应选描述法,(１)(２)应选列 举法． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用列举法和描述法表示集合的三点要求 一 明确集合中的元素 二 明确元素满足的条件 三 根据集合中元素的特点来 选择表示集合的方法 (１)根据表示集合的元素的特点选择适当 方法表示集合,一般要符合最简原则． (２)一般情况下,元素个数无限的集合不宜 用列举法表示．描述法既可以表示元素 个数无限的集合,也可以表示元素个数 有限的集合． 􀳀[变式训练] ４．用描述法表示下列集合: (１)正偶数集: (２)被３除余２的正整数集合; (３)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的 集合． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４􀅰 数学􀅰必修第一册 １．(多选题)下列各组对象能构成集合的是(　　) A．拥有手机的人　B．２０２４年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数 ２．下列说法正确的有 (　　) ①１∈N;② ３∈N∗;③１２∈Q ;④２＋ ２∈Q; ⑤４２∉Z． A．１个　　B．２个　　C．３个　　D．４个 ３．集合A＝{y|y＝x２＋１},集合B＝{(x,y)| y＝x２＋１}(A,B 中x∈R,y∈R)．选项中元 素与集合的关系都正确的是 (　　) A．２∈A,且２∈B B．(１,２)∈A,且(１,２)∈B C．２∈A,且(３,１０)∈B D．(３,１０)∈A,且２∈B ４．由实数x,－x,|x|,x２, ３ x３所组成的集合 里面元素最多有　　　　个． ５．已知集合A 由元素a－３,２a－１,a２－４构 成,且－３∈A,求实数a的值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．２　集合间的基本关系 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 理解集合之间包含与相等的含义,能 识别给定集合的子集 会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合 间的基本关系,并能进行转换,重点提升数学抽象素养和 直观想象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　这天,正巧公孙龙骑着白马来到函谷关． 关吏说:“你人可入关,但马不能．” 公孙龙辩道:“白马非马,怎么不可以 过 关?”关吏说:“白马是马．” 公孙龙说:“我公孙龙是龙吗?”关吏一愣, 但仍坚持说:“按照规定只要是赵国的马就不 能入关,管你是白马还是黑马．” 公孙龙微微一笑,道:“‘马’是指名称而 言,‘白’是指颜色而说,名称和颜色不是一个 概念.‘白马’这个概念,分开来就是‘白’和 ‘马’或‘马’和‘白’,这是两个不同的概念.比 如说你要马,给黄马、黑马可以,但是如果要白 马,给黑马、给黄马就不可以,由此证明‘白马’ 和‘马’不是一回事! 所以说白马非马．” 　　这一则寓言故事．对于一般人,说“白马是 马”就如同说“白人是人”一样,清楚明白,准确 无误．怎么可能“白马非马”呢? 如果赵国的白 马组成集合A,赵国的所有马组成集合B． [问题]　(１)集合A 中的元素与集合B 中的 元素的关系是怎样的? (２)集合A 与集合B 又存在什么关系? (３)故事中的“白马非马”是为何意? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５􀅰 第一章　集合与常用逻辑用语 学习讲义􀅰参考答案 第一章　集合与常用逻辑用语 １．１　集合的概念 课前预习学案 情境引入 　提示　通知的对象是全体高一学生． 知识梳理 知识点一、１．研究对象　２．元素　集　３．一样　４．确定性 知识点二、１．大写拉丁字母A,B,C,􀆺　小写拉丁字母a,b, c,􀆺 ２．a是集合A 中的元素　a∈A　a不是集合A 中的元素 知识点三、N　N∗ 或 N＋ 　Z　Q　R 知识点四、１．一一列举　{　　}　２．{x∈A|P(x)}　{x∈ A:P(x)}　{x∈A;P(x)} [思考] １．提示:集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式,也 可以是现实生活中的各种各样的事物或人等． ２．提示:某班所有的高个子男生不能构成集合,因为高个 子男生没有明确的标准． ３．提示:对于一个元素a与一个集合A 而言,只有“a∈A” 与“a∉A”这两种结果． ４．提示:N∗ 是所有正整数组成的集合,而 N 是由０和所有 的正整数 组 成 的 集 合,所 以 N 比 N∗ (N＋ )多 一 个 元 素０． ５．提示:用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．例如: {a,b}与{b,a}表示同一个集合． ６．提示:A＝{x|x－１＝０}＝{１}与 集 合 B 表 示 同 一 个 集合． 预习自测 １．D　２．C　３．C 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)试卷中的哪些题才能称为是“难题”,是 无法确定的,故不能组成一个集合;(２)元素“观众”是确 定的,所以能组成一个集合;(３)接近１的实数没有一个 明确的标准,所以这些实数是无法确定的,不能组成一 个集合;(４)哪些球员比林书豪打得好是不确定的,所以 不能组成一个集合． [例２]　A　[①∵ ２是无理数,∴ ２∉Q,故①错误; ②∵０是非负整数,∴０∈N故②错误; ③∵π是实数,∴π∈R,故③错误; ④∵|－４|＝４是整数,∴|－４|∈Z,故④正确．] [例３]　[解]　若x２＝０,则x＝０,此时集合A 中有两个相 同元素０,不符合集合中元素的互异性,舍去． 若x２＝１,则x＝±１． 当x＝１时,集合A 中有两个相同元素１,舍去; 当x＝－１时,集合A 中三个元素为１,０,－１,符合． 若x２＝x,则x＝０或x＝１, 不符合互异性,都舍去． 综上可知:x＝－１． [例４]　[解]　(１)比５大３的数 显 然 是８,故 可 表 示 为 {８}． (２)方程x２＋y２－４x＋６y＋１３＝０可化为:(x－２)２＋(y ＋３)２＝０,∴ x＝２, y＝－３,{ ∴方程的解集为{(２,－３)}． (３)由x－３＞２,得x＞５． 故不等式的解集为{x|x＞５}． (４)“二次函数y＝x２－１０的图象上的所有点”用描述法 可表示为{(x,y)|y＝x２－１０}． 变式训练 １．AC　[B中,由于“较胖”的标准不明确,不满足集合元素 的确定性,所以B错误;D 中的所有整数能组成集合,所 以 D错误．] ２．解析:由 ６３－x∈N ,x∈N知x≥０,６３－x＞０ ,且x≠３,故０ ≤x＜３．又x∈N,故x＝０,１,２．当x＝０时,６３－０＝２∈ N;当x＝１时,６３－１＝３∈N ;当x＝２时,６３－２＝６∈N． 故 集合A 中的元素为０,１,２． 答案:０,１,２ ３．解析:由题意知a２＝４,即a＝±２． 答案:±２ ４．解析:(１)偶数可用式子x＝２n,n∈Z表示,但此题要求 为正偶数,故限定n∈N∗ ,所以正偶数集合可表示为{x| x＝２n,n∈N∗ }． (２)设被３除余２的数为x,则x＝３n＋２,n∈Z,但元素 为正整数,故n∈N,所以被３除余２的正整数集合可表 示为{x|x＝３n＋２,n∈N}． (３)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一 个为０,即xy＝０,故平面直角坐标系中坐标轴上的点的 集合可表示为{(x,y)|xy＝０}． 随堂步步夯实 １．ACD　２．B　　３．C　　４．２ ５．a＝０,或a＝１． １．２　集合间的基本关系 课前预习学案 情境引入 　提示　(１)集合A 中的元素都是集合B 的元素． (２)A 是B 的子集． (３)故事中的“白马非马”意为白马组成的集合与所有马 组成的集合不相等． 知识梳理 知识点一、１．封闭曲线　２．任意一个　A⊆B　B⊇A　包 含于　包含　都是　都是　A＝B　A＝B　x∈B　x∉A 　A⊆A　A⊆C　A＝C　⫋　⫋ 知识点二、不含任何元素　子集　⫋ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６３􀅰 数学􀅰必修第一册