5.2.2 同角的三角函数的基本关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（人教A版2019）

X 第五章三角函数 课时作业 数课时 5.2.2 同角的三角函数的基本关系 间 学作业 纠错空间 基础过关 6.已知2sin0+,√3tan0=0,则角0的值可 1.若sin3=t,则cos3= 能是 ( ) A.1-2 B.-/1- A.-210° B.-180 C.210 D.-240 c D.--P ... 1-t 7.化简：w1-sin440°= 2.化简sina十cosa十sin'acos2a的结果 8.已知α为第二象限角，则 2sin a+ 是 ( 1-cosa A. .2 C.1 cosa·√1+tana的值是 9.已知0∈(0,2π)，且sin0,cos0是方程 3.已知a是第四象限的角，化简 1+sin a x2一kx十k十1=0的两个实数根，则实 sin a 数k= ,0= 4444444444444 1-sin a 1+sin a 的结果是 10.化简：(1)os36°-1-c0s36 2 √1-2sin36cos36 A. 2 B.- sin a sin a (2)sin 0-cos 0 方法总结 C.-2 D、2 tan 0-1 cos a cos a (3) tan 0+1 cos Osin 0. 1 tan 6 4.若0∈(0，π)，tan0+ tan0=4,则 sin 0++cos 0= () A.28 3 B±2 c±9 n号 5.(多选)下列计算或化简结果正确的是 ( A.2tan acos a-2 sin a 且若sm0·eos0=2则tan0+号 sin =2 C.若anx 2,则2sinz -=1 cos a-sin a D.若a为第一象限角，则一cosa十 √/1-sina sin a=2 V1-cosa ·329· 世数学 必修第一册 空 1l.已知fa)=J1+cosa 1一cosa 1十cosg,其 1-cos a 1B,已知在△ABC中，snA十cosA=号 间 中a是第三象限角. (1)求sin Acos A的值； 纠错空间 (1)化简f(a): (2)判断△ABC是锐角三角形还是钝 (2)若f(a)=4,求sina,cosa. 角三角形： (3)求tanA的值. 方法总结 4444444 能力提升 -》》 12.若函数f(x)同时满足：①对于定义域 内任意实数x,都有f1十x)十f(1一x) ++44444+444+444 =0:②对于定义域内任意实数x,x, 当≠x2时，恒有(x一x)·[fx)一 f(x2)]>0,则称函数f(x)为“DM函 数”.若“DM函数”满足f(2一sina)+ f(cosa)>0,则锐角a的取值范围为 ( A0. 中卡#年年中卡年中卡卡中年中卡#4中中 c(引 D(引 ·330·７．解析:　原式＝sin(２×３６０°＋９０°)＋tan(２×３６０°＋４５°) ＋tan(３×３６０°＋４５°)＋cos(０°＋３６０°)＝sin９０°＋tan４５° ＋tan４５°＋cos０°＝４． 答案:４ ８．解析:由 三 角 函 数 的 定 义 知 ２a＋１ (２a＋１)２＋(a－２)２ ＝ －３５ , 化简并整理,得１１a２＋２０a－４＝０, 解得a＝－２或a＝２１１． 又因为２a＋１＜０,所以a＝－２． 答案:－２ ９．解析:(１)设x＝３,y＝４则r＝ ３２＋４２＝５, 所以sinα＝yr ＝ ４ ５ ,cosα＝xr ＝ ３ ５ ,tanα＝yx ＝ ４ ３ ,所 以tan(－６π＋α)＝tanα＝４３． (２)原式＝sinαcosα 􀅰sinα􀅰cosα＝sin２α＝ ４５( ) ２ ＝１６２５． 答案:(１)４３　 (２)１６２５ １０．解析:(１)原式＝sin(－４×３６０°＋１２０°)cos(３×３６０°＋ ３０°)＋cos(－３×３６０°＋６０°)sin(２×３６０°＋３０°) ＋tan(３６０°＋１３５°) ＝sin１２０°cos３０°＋cos６０°sin３０°＋tan１３５° ＝ ３２× ３ ２＋ １ ２× １ ２－１＝０． (２)原式＝cos π３＋ (－４)×２π[ ] ＋tan π４＋２×２π( ) ＝ cosπ３＋tan π ４＝ １ ２＋１＝ ３ ２． １１．解析:(１)因为３４０°是第四象限角,２６５°是第三象限角, 所以sin３４０°＜０,cos２６５°＜０,所以sin３４０°􀅰cos２６５°＞０． (２)因为π＜４＜３π２ ,所以４是第三象限角, 因为－２３π４ ＝－６π＋ π ４ ,所以－２３π４ 是第一象限角． 所以sin４＜０,tan －２３π４( ) ＞０, 所以sin４􀅰tan －２３π４( ) ＜０． １２．解析:由sinα＋cosαsinα－cosα＝２ ,化 简,得 sinα＝３cosα,所 以tanα＝３． (１)原式＝３tanα－１２tanα＋３＝ ３×３－１ ２×３＋３＝ ８ ９． (２)原式＝sin ２α－２sinαcosα sin２α＋cos２α ＋１ ＝tan ２α－２tanα tan２α＋１ ＋１＝３ ２－２×３ ３２＋１ ＋１＝１３１０． １３．解:若α∈ ０,π２( ) ,则sinα＋cosα＞１． 证明:设角α的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半 轴重合,则角α的终边与单位圆的交点P 在第一象限, 设点P 的坐标为(x,y)． 法一:易知０＜x＜１,０＜y＜１,x２＋y２＝１． 因为x２＋y２＝１,(x＋y)２＝x２＋y２＋２xy＞１,所以x＋ y＞１． 由三角函数的定义可知sinα＝y,cosα＝x,所以sinα＋ cosα＞１． 法二:如图,过点P 作PM⊥x 轴,垂足为 M,则sinα＝MP,cosα＝OM,OP＝１,由 三角形两边之和大于第三边,可知 MP＋ OM＞OP,即sinα＋cosα＞１． ５．２．２　同角的三角函数的基本关系 １．B　２．C　３．D　４．D ５．ABD　[A正确,２tanαcosαsinα ＝ ２sinα cosα 􀅰cosα sinα＝２ ;B正确, tanθ＋cosθsinθ＝ sinθ cosθ＋ cosθ sinθ＝ １ sinθcosθ＝２ ;C 不 正 确, ２sinx cosx－sinx＝ ２tanx １－tanx＝ ２×１２ １－１２ ＝２;D 正确,∵α为 第 一象限 角,∴原 式＝cosαcosα＋ sinα sinα＝２． 综 上,A、B、D 正 确．故选 A、B、D．] ６．ABC　 [∵２sinθ＋ ３tanθ＝２sinθ＋ ３×sinθcosθ＝ sinθ ２＋ ３cosθ æ è ç ö ø ÷＝０,∴sinθ＝０或cosθ＝－ ３２ ,∴θ＝ －２１０°,－１８０°,２１０°都满足题意,而θ＝－２４０°不满足．] ７．解析:原 式 ＝ １－sin２(３６０°＋８０°)＝ １－sin２８０°＝ cos２８０°＝cos８０°． 答案:cos８０° ８．解析:∵α为第二象限角,∴sinα＞０,cosα＜０, ∴ ２sinα １－cos２α ＋cosα １＋tan２α＝２sinαsinα＋cosα １ cos２α ＝２＋cosα １cosα ＝２－１＝１． 答案:１ ９．解析:依题意有sinθ＋cosθ＝k,① sinθcosθ＝k＋１．② 又∵(sinθ＋cosθ)２＝１＋２sinθcosθ,∴k２－２k－３＝０． 解得k＝３或k＝－１． ∵|sinθcosθ|＝|k＋１|≤１,∴k＝－１． 代入①②,得 sinθ＋cosθ＝－１． sinθcosθ＝０．{ 解得 sinθ＝０, cosθ＝－１{ 或 sinθ＝－１, cosθ＝０．{ 又∵θ∈(０,２π),∴θ＝π或３π２． 答案:－１　π或３π２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６７４􀅰 数学􀅰必修第一册 １０．解析:(１)原式＝ cos３６°－ sin ２３６° sin２３６°＋cos２３６°－２sin３６°cos３６° ＝ cos３６°－sin３６° (cos３６°－sin３６°)２ ＝ cos３６°－sin３６°|cos３６°－sin３６°| ＝cos３６°－sin３６°cos３６°－sin３６°＝１． (２)原式＝sinθ－cosθsinθ cosθ－１ ＝cosθ (sinθ－cosθ) sinθ－cosθ ＝cosθ． (３)原式＝ sinθcosθ＋ cosθ sinθ( )cos ２θsinθ ＝sin ２θ＋cos２θ sinθ􀅰cosθ 􀅰cos２θsinθ＝cosθsinθ 􀅰sinθ＝cosθ． １１．解:(１)∵α是第三象限角, ∴sinα＜０,１－cosα＞０,１＋cosα＞０, ∴f(α)＝ １－cosα１＋cosα＋ １＋cosα １－cosα＝ (１－cosα)２ １－cos２α ＋ (１＋cosα)２ １－cos２α ＝１－cosα|sinα|＋ １＋cosα |sinα|＝－ ２ sinα , 即f(α)＝－ ２sinα． (２)∵f(α)＝－ ２sinα＝４ ,∴sinα＝－ １２ ,则cosα＝－ １－sin２α＝－ ３２． １２．A　[由(x１－x２)􀅰[f(x１)－f(x２)]＞０,可知函数y＝ f(x)是增函数． 由f(１＋x)＋f(１－x)＝０,得f(１＋x)＝－f(１－x)． 由题设得f(２－sinα)＞－f(cosα)． 又∵－f(cosα)＝－f(１－(１－cosα))＝f(１＋(１－cos α)),∴f(２－sinα)＞f(２－cosα)． ∵函数y＝f(x)是增函数, ∴２－sinα＞２－cosα,即sinα＜cosα． 又∵α为锐角,则cosα＞０,∴０＜tanα＜１,则α的取值 范围是 ０,π４( )．] １３．解:(１)∵sinA＋cosA＝１５ ,① 两边平方,得１＋２sinAcosA＝１２５ , ∴sinAcosA＝－１２２５． (２)由sinAcosA＝－１２２５＜０ ,且０＜A＜π,可知cosA＜ ０,∴A 为钝角,∴△ABC是钝角三角形． (３)∵(sinA－cosA)２＝１－２sinAcosA＝１＋２４２５＝ ４９ ２５ , 又sinA＞０,cosA＜０,∴sinA－cosA＞０,∴sinA－ cosA＝７５．② 由①②可得sinA＝４５ ,cosA＝－３５ , ∴tanA＝sinAcosA＝ ４ ５ －３５ ＝－４３． ５．３　诱导公式 第１课时　诱导公式(一) １．A　２．C　３．D　４．D ５．ABD　[由角α和β的终边关于x 轴对称,可知β＝－α＋ ２kπ(k∈Z),故cosα＝cosβ,A,B,D都不正确．] ６．ABD　[∵sin(π＋α)＝－sinα＝－１４ ,∴sinα＝１４ ,若α ＋β＝π,则β＝π－α． A中sinβ＝sin(π－α)＝sinα＝ １ ４． 故 A符合条件;B中, cos(π＋β)＝cos(２π－α)＝cosα＝± １５ ４ ,故 B符合条 件;C中,tanβ＝ １５,即sinβ＝ １５cosβ,又 sin ２ β＋ cos２β＝１,故 sinβ＝± １５ ４ ,即 C 不 符 合 条 件;D 中, cos(２π－β)＝cos[２π－(π－α)]＝cos(π＋α)＝－cosα＝ ± １５４ ,故 D符合条件．故选 A、B、D．] ７．解析: cos２６００°＝|cos１２０°|＝|－cos６０°|＝|－１２|＝ １ ２． 答案:１ ２ ８．解析: ２＋２sin(２π－θ)－cos２(π＋θ)＝ ２＋２sin(－θ)－cos２θ＝ １－２sinθ＋sin２θ＝|１－sinθ| ＝１－sinθ． 答案:１－sinθ ９．解析:∵f －１１６( )＝sin － １１ ６π( )＝sin π ６＝ １ ２ , f １１６( )＝f ５ ６( )－１＝f － １ ６( )－２, ＝sin －π６( )－２＝－ ５ ２ , ∴f －１１６( )＋f １１ ６( )＝ １ ２－ ５ ２＝－２． 答案:１ ２　－２ １０．解析:左边＝－tanαsin (－α)cos(－α) cos(π－α)sin(π－α) ＝ －tanα(－sinα)cosα －cosαsinα ＝－tanα＝ 右边,∴原式得证． １１．解析:(１)sin －１０π３( )＝－sin １０π ３ ＝－sin ２π＋４π３( )＝－sin ４π ３ ＝－sin π＋π３( )＝sin π ３＝＝ ３ ２． (２)cos２９π６ ＝cos ４π＋ ５π ６( )＝cos ５π ６ ＝cos π－π６( )＝－cos π ６＝－ ３ ２． (３)tan(－８５５°)＝－tan８５５° ＝－tan(２×３６０°＋１３５°)＝－tan１３５° ＝－tan(１８０°－４５°)＝－tan(－４５°) ＝tan４５°＝１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７７４􀅰 参考答案