2.2 第1课时 基本不等式-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（人教A版2019）

　　　　２．２　基本不等式 　　　　　　第１课时　基本不等式 １．若０＜a＜b且a＋b＝１,则下列四个数 中最大的是 (　　) A．１２　　　　　　　　B．a ２＋b２ C．２ab D．a ２．已知a＜b＜０,则在下列不等式中成立 的是 (　　) A．a＜b＜a＋b２ ＜ ab B．a＜a＋b２ ＜b＜ ab C．a＜b＜ ab＜a＋b２ D．a＜a＋b２ ＜ab＜b ３．«几何原本»卷２的几 何代数法(以几何方 法研究代数问题)成 了后来西方数学家处理问题的重要依 据．通过这一原理,很多的代数的公理 或定理都能够通过图形实现证明,也称 之为无字证明．现有如图所示图形,点 F在半圆O 上,点C 在直径AB 上,且 OF⊥AB,设AC＝a,BC＝b,则该图形 可以完成的无字证明为 (　　) A．a＋b２ ＞ ab (a＞b＞０) B．a２＋b２＞２ab(a＞b＞０) C．２aba＋b＜ ab (a＞b＞０) D．a＋b２ ＜ a２＋b２ ２ (a＞b＞０) ４．已知a＞０,b＞０,且a＋b＝４,则下列等 式可能成立的是 (　　) A．ba＋ a b＝２ B．a＋ b a＝２ C．１ a２ ＋１ b２ ＝１４ D．a ２＋b２＝４ ２ ５．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度 分别为a和b(a＜b),其全程的平均速 度为v,则 (　　) A．a＜v＜ ab B．v＝ ab C．ab＜v＜a＋b２ D．v＝ ２ab a＋b ６．(多选)下列结论中正确的有 (　　) A．若a≠b≠０,则ba＋ a b≥２ B．若a≠b≠０,且a,b同号,则ba ＋ a b ≥２ C．若a＞b＞０,则a２＞b２ D．若a＞b,则a２＞b２ ７．已知０＜a＜１,０＜b＜１,则a＋b,２ ab, a２＋b２,２ab中最大的是　　　　． ８．若正数a,b满足ab＝a＋b＋３,则ab的 取值范围是　　　　． ９．(一题两空)已知a＞０,b＞０,且２a＋b＝ab． (１)则ab的最小值为　　　　; (２)则a＋２b的最小值为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６２􀅰 第二章　一元二次函数、方程和不等式 １０．已知a,b都是正数,求证:a＋b＋１≥ ab＋ a＋b． １１．(１)已知０＜x＜１２ ,求y＝１２x (１－２x) 的最大值． (２)已知x＜３,求f(x)＝ ４x－３＋x 的 最大值． １２．已知x,y,z＞０,x＋y＋z＝３． (１)求１x＋ １ y＋ １ z 的最小值; (２)求证:３≤x２＋y２＋z２＜９． １３．已知a,b,c＞０,且a＋b＋c＝３,证明: (１)１a＋ １ b＋ １ c≥３ ; (２)a２＋b２＋b２＋c２＋ a２＋c２≥３ ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６２􀅰 必修第一册 第２课时　不等式的性质 １．C　２．D　３．C　４．B ５．AC　[结合不等式的性质逐项分析．A 选项．由c＞d,得 －c＜－d,根据不等式同向相加的原则可得a－d＞b－ c,故 A正确;B选项,若a＞０＞b,０＞c＞d,则ac＜bd,故 B错误;C选项,ab＞０,bc－ad＞０,则bc－adab ＞０ ,化简得 c a － d b ＞０ ,故 C正确;D选项,取a＝－１,b＝－２,c＝２, d＝１,满足a＞b,c＞d＞０,则ad ＝ b c ＝－１ ,故 D错误．] ６．ABC　[对于 A,∵a＞b＞１,c＜０,∴ca － c b ＝ c(b－a) ab ＞０ ∴ca ＞ c b ,故 A正确;对于B,∵－c＞０,∴a􀅰(－c)＞b 􀅰(－c),∴－ac＞－bc∴ac＜bc,故 B正确;对于 C,∵a ＞b＞１,∴a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a －b)＞０∴a(b－c)＞b(a－c),故 C正确;对于 D,∵１c ＜ ０,a＞b＞０,∴ac ＜ b c ,故 D错误．] ７．解析:∵a＞b,c＞d,∴a－b＞０,d－c＜０,∴a－b＞d－c, 故①成立;取a＝０,b＝－２,c＝０,d＝－３代入②,可知② 不成立;由不等式的可加性知③成立;由c＞d知,－c＜ －d,由不等式的可加性知④成立． 答案:①③④ ８．解析:∵x ４ y７ ＝ x２ y( ) ３ (xy２)２ ,８≤ x ２ y( ) ３ ≤２７, １≤(xy２)２≤４,∴１４≤ １ (xy２)２ ≤１, ∴８４≤ x４ y７ ≤２７１ , 即２≤x ４ y７ ≤２７． 答案:x ４ y７ |２≤x ４ y７ ≤２７{ } ９．解析:设应开发 A 类电子器件x件,则开发 B类电子器 件(５０－x)件．根 据 题 意,得 x２ ＋ ５０－x ３ ≤２０ ,解 得 x ≤２０． 由题意,得总产值y＝７．５x＋６×(５０－x)＝３００＋１．５x≤３３０, 当且仅当x＝２０时,y取最大值３３０．所以欲使总产值最 高,A类电子器件应开发２０件,最高产值为３３０万元． 答案:２０　３３０ １０．证明:∵c＜d＜０,∴－c＞－d＞０． ∴０＜－１c＜－ １ d． 又a＞b＞０, ∴－ad ＞－ b c ＞０． ∴ ３ －a d ＞ ３ －b c ,即－ ３ a d ＞－ ３ b c ． 两边同乘以－１,得 ３ a d ＜ ３ b c ． １１．解析:设２a＋３b＝x(a＋b)＋y(a－b), 则 x＋y＝２ x－y＝３{ ,解得 x＝５２ y＝－１２ ì î í ïï ï ． 因为－５２＜ ５ ２ (a＋b)＜１５２ ,－２＜－１２ (a－b)＜－１, 所以－９２＜ ５ ２ (a＋b)－１２ (a－b)＜１３２ ,即－９２＜２a＋ ３b＜１３２． 所以２a＋３b的取值范围为(－９２ ,１３ ２ )． １２．设今天的气温为x ℃,则明天的气温为２x ℃,将两天 的气温进行比较,有２x－x＝x,则 x＞０,升温, x＝０,不变, x＜０,降温, { 所以不 同地方的网友会有不同的反应． １３．解:∵f(x)＝ax２－c,∴ f(１)＝a－c, f(２)＝４a－c,{ ∴ a＝１３ [f(２)－f(１)], c＝１３f (２)－４３f (１)． ì î í ïï ï ∴f(３)＝９a－c＝８３f (２)－５３f (１), 又∵－４≤f(１)≤－１,－１≤f(２)≤５, ∴５３≤－ ５ ３f (１)≤２０３ , ① －８３≤ ８ ３f (２)≤４０３． ② 把①②的两边分别相加,得－１≤ ８３f (２)－ ５３f (１)≤ ２０,即－１≤f(３)≤２０．∴f(３)的取值范围是[－１,２０]． ２．２　基本不等式 第１课时　基本不等式 １．B　２．B　３．D　４．A ５．AD　[设 甲、乙 两 地 之 间 的 距 离 为s．∵a＜b,∴v＝ ２s s a ＋ s b ＝２aba＋b＜ ２ab ２ ab ＝ ab．又v－a＝ ２aba＋b－a＝ ab－a２ a＋b ＞ a２－a２ a＋b ＝０ ,∴v＞a．] ６．BC　[A．若a,b异号,ba ＜０ ,a b ＜０ ,b a ＋ a b ＝－ [(－ b a )＋(－ab )]≤－２,错误．同理可得 B正确．C．因为a ＞b＞０,则a２＞b２,C正确,D．当a＜０,b＜０时,a２＞b２ 不 成立．] ７．解析:∵a＞０,b＞０, ∴a＋b≥２ ab,a２＋b２≥２ab, ∴四个数中最大数应为a＋b或a２＋b２． 又∵０＜a＜１,０＜b＜１, ∴a２＋b２－(a＋b) ＝a２－a＋b２－b＝a(a－１)＋b(b－１)＜０, ∴a２＋b２＜a＋b,∴a＋b最大． 答案:a＋b 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０５４􀅰 数学􀅰必修第一册 ８．解析:∵a＞０,b＞０,∴ab＝a＋b＋３≥２ ab＋３, 即ab－２ ab－３≥０, 解得 ab≥３,即ab≥９． 答案:[９,＋∞) ９．解析:因为２a＋b＝ab, 所以１ a＋ ２ b＝１． (１)因为a＞０,b＞０． 所以１＝１a＋ ２ b≥２ ２ ab , 当且仅当１ a＝ ２ b＝ １ ２ ,即a＝２,b＝４时取等号, 所以ab≥８,即ab的最小值为８． (２)a＋２b＝(a＋２b) １a＋ ２ b( ) ＝５＋ ２b a ＋ ２a b ≥５＋２ ２b a 􀅰２a b ＝９ , 当且仅当２b a ＝ ２a b ,即a＝b＝３时取等号, 所以a＋２b的最小值为９． 答案:(１)８　(２)９ １０．证明:由a,b都是正数,则a＋１≥２ a,b＋１≥２b,a＋b ≥２ ab,所以２(a＋b＋１)≥２( ab＋ a＋b),即a＋b ＋１≥ ab＋ a＋b,当且仅当a＝b＝１时取等号． １１．解:(１)∵０＜x＜１２ , ∴１－２x＞０, y＝１４ 􀅰２x􀅰(１－２x)≤１４ 􀅰 ２x＋１－２x ２( ) ２ ＝１４× １ ４ ＝１１６． ∴当且仅当２x＝１－２x,即x＝１４ ,y最大值 ＝ １ １６ (２)∵x＜３,∴x－３＜０, ∴f(x)＝ ４x－３＋x＝ ４ x－３＋ (x－３)＋３ ＝－ ４３－x＋ (３－x)[ ]＋３ ≤－２ ４３－x 􀅰(３－x)＋３＝－１, 当且仅当 ４ ３－x＝３－x ,即x＝１时取等号, ∴f(x)的最大值为－１． １２．解析:(１)１x＋ １ y＋ １ z ＝１３ (x＋y＋z)(１x＋ １ y＋ １ z ) ＝１３ (１＋xy ＋ x z ＋ y x ＋１＋ y z ＋ z x ＋ z y ＋１ ) ＝１３ [３＋(xy ＋ y x )＋(xz ＋ z x )＋(yz ＋ z y )] ≥１３ (３＋２ xy 􀅰y x ＋２ x z 􀅰z x ＋２ y z 􀅰z y ) ＝３, 当且仅当x＝y＝z＝１时取等号, ∴１x＋ １ y＋ １ z 的最小值为３． (２)∵９＝(x＋y＋z)２＝x２＋y２＋z２＋２xy＋２xz＋２yz ≤３(x２＋y２＋z２), ∴x２＋y２＋z２≥３,当且仅当x＝y＝z＝１时取等号． 又x,y,z＞０, ∴xy＋xz＋yz＞０, ∴x２＋y２＋z２＝９－２(xy＋xz＋yz)＜９, ∴３≤x２＋y２＋z２＜９． １３．证明:(１)由题意得１３ (a＋b＋c)＝１,所以 １a ＋ １ b ＋ １ c ＝１３ (a＋b＋c) １a＋ １ b＋ １ c( ) ＝１３ b a ＋ a b ＋ c a ＋ a c ＋ c b ＋ b c ＋３( ) ≥ １ ３ ２ b a 􀅰a b ＋２ c a 􀅰a c ＋２ c b 􀅰b c ＋３ æ è ç ö ø ÷ ＝ ３, 当且仅当a＝b＝c＝１时等号成立 (２)因 为a２ ＋b２ ≥２ab,所 以 ２a２ ＋２b２ ≥(a＋b)２,即 a２＋b２≥ ２２ (a＋b),当且仅当a＝b时等号成立． 同理可得 a２＋c２≥ ２２ (a＋c),当且仅当a＝c时等号 成立; b２＋c２≥ ２２ (b＋c),当且仅当b＝c时 等 号 成 立,所以 a２＋b２＋ b２＋c２＋ a２＋c２ ≥ ２２ (２a＋２b ＋２c)＝３ ２,当且仅当a＝b＝c＝１时等号成立． 第２课时　基本不等式的应用 １．C　２．D　３．B　４．B ５．ABD　[∵x＞０,y＞０,２x＋y＝xy,∴１x ＋ ２ y ＝１ ,∴２x ＋２y＞ １ x＋ ２ y＝１ ,A 正确;x＋２y＋xy＝３x＋３y＝(３x ＋３y) １x＋ ２ y( )＝９＋ ３y x ＋ ６x y ≥９＋６ ２ ,当且仅当 ２x ＝y,即x＝１＋ ２,y＝２＋ ２时等号成立,B正确;２x＋y ＝xy≥２ ２xy,解得xy≥８,C错误;２x＋y＝xy可化为 (x－１)(y－２)＝２,又由x＞０,y＞０知,x－１＞０,y－２＞ ０,则 １x－１＋ ２ y－２≥２ １ x－１ 􀅰 ２ y－２＝２ 当 且 仅 当 １ x－１ ＝ ２y－２ ,即x＝２,y＝４时等号成立,D正确．] ６．ACD　[因为a＞０,b＞０,所以a＋b＋ １ ab ≥２ ab＋ １ ab ≥２ ２,当且仅当a＝b且２ ab＝ １ ab ,即a＝b＝ ２ ２ 时取等号,故 A 一定成立．因为a＋b≥２ ab＞０,所 以２ab a＋b≤ ２ab ２ ab ＝ ab,当且仅当a＝b时取等号,所以 ２ab a＋b≤ ab 不一定成立．故B不成立．因为２aba＋b≤ ２ab ２ ab 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１５４􀅰 参考答案