1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（人教A版2019）

　　　　　　　　　　１．５．２　全称量词命题和存在量词命题的否定 １．命题“∃x０∈∁RQ,x３０∈Q”的否定是 (　　) A．∃x０∉∁RQ,x３０∈Q B．∃x０∈∁RQ,x３∉Q C．∀x∉∁RQ,x３∈Q D．∀x∈∁RQ,x３∉Q ２．已知命题p:∀x∈R,x２－x＋１４＞０ ,则 􀱑p为 (　　) A．∀x∈R,x２－x＋１４≤０ B．∃x０∈R,x２０－x０＋ １ ４≤０ C．∃x０∈R,x２０－x０＋ １ ４＞０ D．∀x０∈R,x２－x＋ １ ４≥０ ３．设x∈Z,集合A 是奇数集,集合B 是 偶数集．若命题p:∀x∈A,２x∈B,则 (　　) A．􀱑p:∀x∈A,２x∉B B．􀱑p:∀x∉A,２x∉B C．􀱑p:∃x０∉A,２x０∈B D．􀱑p:∃x０∈A,２x０∉B ４．对下列命题的否定说法错误的是 (　　) A．p:能被２整除的数是偶数;􀱑p:存在 一个能被２整除的数不是偶数 B．p:有些矩形是正方形;􀱑p:所有的矩 形都不是正方形 C．p:有的三角形为正三角形;􀱑p:所有 的三角形不都是正三角形 D．p:∃n∈N,２n≤１００;􀱑p:∀n∈N,２n ＞１００ ５．(多选)下列命题的否定中,是全称量词 命题且为真命题的有 (　　) A．∃x∈R,x２０－x０＋ １ ４＜０ B．所有的正方形都是矩形 C．∃x０∈R,x２０＋２x０＋２≤０ D．至少有一个实数x０,使x３０＋１＝０ ６．(多选)下列四个命题中,是真命题的有 (　　) A．没有一个无理数不是实数 B．空集是任何一个非空集合的真子集 C．１＋１＜２ D．至少存在一个整数x,使得x２－x＋１ 是整数 ７．若对任意x＞３,x＞a恒成立,则a的取 值范围是　　　　． ８．已知集合A＝{x|－１≤x≤４},集合B ＝{x|２m＜x＜m＋１},且∃x∈B,x∈A 为 假 命 题,则 实 数 m 的 取 值 范 围 为　　　　． ９．已知p(x):x２＋２x－m＞０,如果p(１) 是假命题,p(２)是真命题,则实数m 的 取值范围是　　　　　　　,若p(１)是 真命题,p(２)是假命题,则实数m 的取 值范围是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６２􀅰 第一章　集合与常用逻辑用语 １０．判断下列命题的真假,并写出这些命 题的否定． (１)三角形的内角和为１８０°; (２)存在一个二次函数的图象开口不 向下; (３)任 何 一 个 平 行 四 边 形 的 对 边 都 平行; (４)某个负数的平方不是正数． １１．命题p是“对某些实数x,有x－a＞０或 x－b≤０”,其中a、b是常数． (１)写出命题p的否定; (２)当a、b满足什么条件时,命题p的 否定为真? １２．已知命题p:“∀x∈[１,２],x２－a≥ ０”,命题q:“∃x∈R,x２＋２ax＋２－a ＝０”,若命题p,q都是真命题,求实数 a的取值范围． １３．已知函数f(x)＝x２－２x＋５． (１)是否存在实数 m 使不等式m＋ f(x)＞０对任意x∈R恒成立,并说明 理由． (２)若存在一个实数x０,使不等式m－ f(x０)＞０ 成 立,求 实 数 m 的 取 值 范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２６２􀅰 必修第一册 总之,当xy≥０时,|x＋y|＝|x|＋|y|成立． 必要性:若|x＋y|＝|x|＋|y|且x,y∈R, 得|x＋y|２＝(|x|＋|y|)２, 即x２＋２xy＋y２＝x２＋y２＋２|x|􀅰|y|, ∴|xy|＝xy,∴xy≥０． 综上可知,xy≥０是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要 条件． １２．A　[要求P∈A∩(∁UB)的充要条件,应从充分性、必 要性两方面入手． (１)∁UB＝{(x,y)|x＋y－n＞０}, A∩(∁UB)＝{(x,y)|x＋y－n＞０,且２x－y＋m＞０}, 由P∈A∩(∁UB)知, ５－n＞０, １＋m＞０,{ 即m＞－１,n＜５． 所以m＞－１,n＜５是P(２,３)∈A∩(∁UB)的必要条件． (２)当m＞－１,n＜５时, x＋y≥５ ２x－y≥１{ 解得 x≥２, y≥３．{ 即P(２,３)∈A∩(∁UB),所以m＞－１,n＜５是P(２,３) ∈A∩(∁UB)的充分条件,选 A．] １３．证明:必要性:设方程x２＋２ax＋b２＝０与x２＋２xc－b２ ＝０ 有公共根x０,则x２０＋２ax０＋b２＝０,x２０＋２cx０－b２＝０且 a≠c 两式相减,得x０＝ b２ c－a ,将此式代入x２０＋２ax０＋b２＝０ 可得b２＋c２＝a２,故∠A＝９０° 充分性:∠A＝９０°,∴b２＋c２＝a２,b２＝a２－c２ ① 将①代入方程x２＋２ax＋b２＝０可得x２＋２ax＋a２－c２＝０ 而(x＋a－c)(x＋a＋c)＝０ 将①代入方程x２＋２cx－b２＝０,可得 x２＋２cx＋c２－a２＝０即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝０ 故两方程有公共根x＝－(a＋c) １．５　全称量词与存在量词 １．５．１　全称量词与存在量词 １．C　２．B　３．B　４．A ５．ABD　 [C 选 项 是 全 称 量 词 命 题,A,B,D 选 项 符 合 题意．] ６．ABD　[A中,x＝－１时,满足x２－２x－３＝０,所以 A 是 真命题;B中,６能同时被２和３整除,所以 B是真命题; D中,２既是自然数又是偶数,所以 D是真命题;C中,因 为所 有 实 数 的 绝 对 值 非 负,所 以 C 是 假 命 题．故 选 ABD．] ７．解析:①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”,是 全称量词命题;②是全称量词命题,即“凡是有两个角相 等的三角形都是等腰三角形”;③可表述为“所有正数的 平方根都不 等 于 ０”,是 全 称 量 词 命 题;④ 是 存 在 量 词 命题． 答案:①②③　④ ８．解析:∵x≥３∴２x－１≥５,∴m≤５． 答案:(－∞,５] ９．解析:当a≤０时命题为真;当a＞０时命题为真,必使Δ ＝４－４a２＞０,即－１＜a＜１,∴a＜１． 答案:a＜１ １０．解析:(１)∀x∈{x|x是凸n 边形},x的外角和是２π, (２)∃x０∈Q,x２０＝３, (３)∀α∈R,sin２α＋cos２α＝１． １１．解:(１)存在量词命题,用符号表示为“∃x,y为正实数, 使x２＋y２＝０”,是假命题． (２)全称量词命题,用符号表示为“∀a,b∈R,方程ax＋ b＝０都有唯一解”,是假命题． (３)存在量词命题,用符号表示为“∃x∈R, １ x２－x＋１ ＝ ２”,是假命题． １２．解:不等式２x＞m(x２＋１)恒成立,即:不等式 mx２－２x ＋m＜０恒成立． (１)当m＝０时,不等式可化为－２x＜０,显然不恒成立, 不合题意． (２)当m≠０时,要使不等式 mx２－２x＋m＜０恒成立, 则 m＜０, ４－４m２＜０,{ 解得m＜－１． 综上可知,所求实数m 的取值范围是(－∞,－１)． １３．解:(１)当m＝０时,f(x)＝x－a与x 轴恒相交,所以a ∈R; (２)当m≠０时,二次函数f(x)＝mx２＋x－m－a的图 象和x 轴恒有公共点的充要条件是Δ′＝１＋４m(m＋a) ≥０恒成立,即４m２＋４am＋１≥０恒成立． 又４m２＋４am＋１≥０是一个关于 m 的二次不等式,恒 成立的充要条件是Δ＝(４a)２－１６≤０,解得－１≤a≤１． 由(１)(２)同时成立,故a∈[－１,１]． １．５．２　全称量词命题和存在量词命题的否定 １．D　２．B　３．D　４．C ５．AC　[命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量 词命题,故排除B．再根据命题的否定为真命题,即原命 题为假命题．又 D为真命题,故选 A、C．] ６．ABD　[A．该命题等价于所有无理数都是实数,为真命 题;B．显然为真命题;C．显然不成立,为假命题;D．取x＝１, 能使x２－x＋１＝１是整数,为真命题．] ７．解析:对任意x＞３,x＞a恒成立,即大于３的数恒大于 a,所以a的取值范围是{a|a≤３}． 答案:{a|a≤３} ８．解析:因为∃x∈B,x∈A 为假命题,所以∀x∈B,x∉A 为真命题,所以A∩B＝⌀且B≠⌀． 所以 ２m＜m＋１, m＋１≤－１{ 或 ２m＜m＋１, ２m≥４,{ 解得 m≤－２．即实数 m 的取值范围为{m|m≤－２}． 答案:{m|m≤－２} ９．解析:因为p(１)是假命题,所以１＋２－m≤０,解得 m≥ ３．又因为p(２)是真命题,所以４＋４－m＞０,解得m＜８, 故实数m 的取值范围是[３,８);若p(１)是真命题,p(２) 是假命题,则 １＋２－m≥０ , ４＋４－m＜０{ 解得 m≤３, m＞８,{ ∴无解． 答案:[３,８),⌀ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８４４􀅰 数学􀅰必修第一册 １０．解:(１)是真命题．命题的否定:存在一个三角形,它的 内角和不等于１８０°． (２)是真命题．命题的否定:任何一个二次函数的图象 开口都向下． (３)是真命题．命题的否定:存在一个平行四边形的对 边不都平行． (４)是假命题．命题的否定:任何负数的平方都是正数． １１．解:(１)命题p的否定:对任意实数x,有x－a≤０且x －b＞０． (２)要使命题p的否定为真,需要使不等式组 x－a≤０, x－b＞０{ 的解集 不 为 空 集,通 过 画 数 轴(图 略)可 看 出,a、b应满足的条件是b＜a． １２．解:由p为真命题,a≤x２ 对∀x∈[１,２]恒成立, 得a≤１;① 由q为真命题,即x２＋２ax＋２－a＝０有实根, 得Δ＝４a２－４(２－a)≥０, 即a≥１或a≤－２．② 对①②求交集,可得{a|a≤－２或a＝１}． 综上,所求实数a的取值范围为{a|a≤－２或a＝１} １３．解:(１)不等式m＋f(x)＞０可化为m＞－f(x),即m＞ －x２＋２x－５＝－(x－１)２－４,要使 m＞－(x－１)２－４ 对于任意x∈R恒成立,只需m＞－４即可,故存在实数 m 使不等式m＋f(x)＞０对于任意x∈R恒成立,此时 需m＞－４． (２)不等式m－f(x０)＞０可化为 m＞f(x０)．若存在一 个实数x０,使不等式m＞f(x０)成立,只需m＞f(x)min, 又f(x)＝(x－１)２＋４,则f(x)min＝４,所以m＞４． 所以所求实数m 的取值范围是(４,＋∞)． 第二章　一元二次函数、方程和不等式 ２．１　等式性质与不等式性质 第１课时　不等关系与不等式 １．C　２．D　３．A　４．A ５．BCD　[x－１－(１－y)＝x＋y－２,无法判断它与０的大 小关系,任取特殊值x＝２,y＝－１得x－１－(１－y)＜０,故 选项 A中不等式不一定成立;x－１－(y－１)＝x－y＞０,故 选项B中不等式成立;x－y－(１－y)＝x－１＞０,故选项 C中不等式成立;１－x－(y－x)＝１－y＞０,故选项 D中 不等式成立．故选B、C、D．] ６．B　[变甜了,意味着含糖量大了,即浓度高了．] ７．解析:(x＋５)(x＋７)－(x＋６)２＝x２＋１２x＋３５－(x２＋ １２x＋３６)＝－１＜０,所以(x＋５)(x＋７)＜(x＋６)２． 答案:(x＋５)(x＋７)＜(x＋６)２ ８．解析: a　－b b　　a － a　－a b　　b ＝[a􀅰a－(－b)􀅰b]－[a􀅰 b－(－a)􀅰b]＝a２＋b２－２ab＝(a－b)２．∵a≠b,∴(a－b)２ ＞０． ∴ a　－b b　　a ＞ a　－a b　　b ． 答案:a　－b b　　a ＞ a　－a b　　b ９．解析: x １＋x２ －１２＝ ２x－１－x２ ２(１＋x２) ＝－ (x－１)２ ２(１＋x２) ≤０． ∴ x １＋x２ ≤１２． x １＋x２ －１＝－ (x２－x＋１) １＋x２ ＝ －[(x－１２ )２＋１４ ] １＋x２ ＜０, ∴ x １＋x２ ＜１． 答案: x １＋x２ ≤１２　 x １＋x２ ＜１． １０．解析:设A,B 两种蛋糕分别制作x,y个,根据题意,应 有如下的不等关系: ①制作A,B 两种蛋糕需要的面粉不超过１０００g,用不 等式表示为１５０x＋２００y≤１０００; ②制作A,B 两种蛋糕需要的黄油不超过６００g,用不等 式表示为１００x＋１４０y≤６００; ③制作A,B 两种蛋糕需要的牛奶不超过３５０ml,用不 等式表示为５０x＋７０y≤３５０; ④A,B 两种蛋糕的制作量都应不少于０,且为整数个, 故x∈N,y∈N; 所以满足题意的不等式组为 １５０x＋２００y≤１０００, １００x＋１４０y≤６００, ５０x＋７０y≤３５０, x∈N,y∈N． ì î í ï ï ïï １１．解:设寝室到教室的路程为s,走步速度为v１,跑步速度 为v２,则甲用时t１＝ １ ２s v１ ＋ １ ２s v２ ＝ s(v１＋v２) ２v１v２ , 由s＝t２２v１＋ t２ ２v２ 得, 乙用时t２＝ ２s v１＋v２ , t１－t２＝ s(v１＋v２) ２v１v２ － ２sv１＋v２ ＝s v１＋v２２v１v２ － ２v１＋v２( ) ＝ (v１＋v２)２－４v１v２ ２v１v２(v１＋v２) 􀅰s＝ (v１－v２)２􀅰s ２v１v２(v１＋v２) ＞０, 所以甲用时多,所以乙先到达教室． １２．解:(１)x３－１－(２x２－２x)＝x３－２x２＋２x－１ ＝(x３－x２)－(x２－２x＋１)＝x２(x－１)－(x－１)２ ＝(x－１)(x２ －x＋１)＝(x－１)[(x－ １２ )２ ＋ ３４ ], ∵x＜１,∴x－１＜０,又∵(x－１２ )２＋３４＞０ , ∴(x－１)[(x－１２ )２＋３４ ]＜０, ∴x３－１＜２x２－２x． (２)∵５x２＋y２＋z２－(２xy＋４x＋２z－２) ＝４x２－４x＋１＋x２－２xy＋y２＋z２－２z＋１ ＝(２x－１)２＋(x－y)２＋(z－１)２≥０, ∴５x２＋y２＋z２≥２xy＋４x＋２z－２, 当且仅当x＝y＝１２ 且z＝１时取等号． １３．解:作差,即 M－N＝(a１－１)(a２－１)． ①当a１,a２∈(－∞,１)时,(a１－１)(a２－１)＞０, 即 M＞N; ②当a１,a２∈(１,＋∞)时,(a１－１)(a２－１)＞０,即 M ＞N; ③当a１,a２ 中一个小于或等于１,另一个大于或等于１ 时,(a１－１)(a２－１)≤０,即 M≤N． 综上,当a１,a２∈(－∞,１)或a１,a２∈(１,＋∞)时,M＞ N,当a１,a２ 中一个小于或等于１,另一个大于或等于１ 时,M≤N． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９４４􀅰 参考答案