1.5.1 全称量词与存在量词-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（人教A版2019）

　　　１．５　全称量词与存在量词 　　　　　１．５．１　全称量词与存在量词 １．给出四个命题:①末位数是偶数的整数 能被２整除;②有的菱形是正方形;③存 在实数x,x＞０;④对于任意实数x,２x＋１ 是奇数．下列说法正确的是 (　　) A．四个命题都是真命题 B．①②是全称量词命题 C．②③是存在量词命题 D．四个命题中有两个假命题 ２．下列是存在量词命题且是真命题的是 (　　) A．∀x∈R,x２＞０ B．∃x∈Z,x２＞２ C．∀x∈N,x２∈N D．∃x,y∈R,x２＋y２＜０ ３．下列命题是假命题的是 (　　) A．存在x∈Q,使２x－x３＝０ B．存在x∈R,使x２＋x＋１＝０ C．有的素数是偶数 D．有的有理数没有倒数 ４．“对x∈R,关于x的不等式f(x)＞０有 解”等价于 (　　) A．∃x０∈R,使得f(x０)＞０成立 B．∃x０∈R,使得f(x０)≤０成立 C．∀x∈R,f(x)＞０成立 D．∀x∈R,f(x)≤０成立 ５．(多选)下列命题是“∃x∈R,x２＞３”的 表述方法的有 (　　) A．有一个x∈R,使得x２＞３成立 B．对有些x∈R,使得x２＞３成立 C．任选一个x∈R,都有x２＞３成立 D．至少有一个x∈R,使得x２＞３成立 ６．(多选)下列存在量词命题中,是真命题 的是 (　　) A．∃x∈Z,x２－２x－３＝０ B．至少有一个x∈Z,使x 能同时被２ 和３整除 C．∃x∈R,|x|＜０ D．有些自然数是偶数 ７．下列命题中,是全称量词命题的是　　 　　;是存在量词命题的是　　　　． ①正方形的四条边相等; ②有 两 个 角 相 等 的 三 角 形 是 等 腰 三 角形; ③正数的平方根不等于０; ④至少有一个正整数是偶数． ８．已知命题p:“∀x≥３,使得２x－１≥m”是真 命题,则实数m的取值范围是　　　　． ９．若“∃x０∈R,ax２０＋２x０＋a＜０”为真命 题,则实数a的取值范围是　　　　． １０．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题: (１)凸n边形的外角和等于２π． (２)有一个有理数x０ 满足x２０＝３． (３)对任意角α,都有sin２α＋cos２α＝１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５２􀅰 第一章　集合与常用逻辑用语 １１．判断下列命题是否为全称量词命题或 存在量词命题,若是,用符号表示,并 判断其真假． (１)存在x,y为正实数,使x２＋y２＝０; (２)对所有的实数a,b,方程ax＋b＝０ 都有唯一解; (３)存在实数x,使得 １ x２－x＋１ ＝２． １２．对任意实数x,不等式２x＞m(x２＋１) 恒成立,求实数m 的取值范围． １３．若∀m∈R,函数f(x)＝mx２＋x－m －a的图象和x 轴恒有公共点,求实数 a的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６２􀅰 必修第一册 总之,当xy≥０时,|x＋y|＝|x|＋|y|成立． 必要性:若|x＋y|＝|x|＋|y|且x,y∈R, 得|x＋y|２＝(|x|＋|y|)２, 即x２＋２xy＋y２＝x２＋y２＋２|x|􀅰|y|, ∴|xy|＝xy,∴xy≥０． 综上可知,xy≥０是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要 条件． １２．A　[要求P∈A∩(∁UB)的充要条件,应从充分性、必 要性两方面入手． (１)∁UB＝{(x,y)|x＋y－n＞０}, A∩(∁UB)＝{(x,y)|x＋y－n＞０,且２x－y＋m＞０}, 由P∈A∩(∁UB)知, ５－n＞０, １＋m＞０,{ 即m＞－１,n＜５． 所以m＞－１,n＜５是P(２,３)∈A∩(∁UB)的必要条件． (２)当m＞－１,n＜５时, x＋y≥５ ２x－y≥１{ 解得 x≥２, y≥３．{ 即P(２,３)∈A∩(∁UB),所以m＞－１,n＜５是P(２,３) ∈A∩(∁UB)的充分条件,选 A．] １３．证明:必要性:设方程x２＋２ax＋b２＝０与x２＋２xc－b２ ＝０ 有公共根x０,则x２０＋２ax０＋b２＝０,x２０＋２cx０－b２＝０且 a≠c 两式相减,得x０＝ b２ c－a ,将此式代入x２０＋２ax０＋b２＝０ 可得b２＋c２＝a２,故∠A＝９０° 充分性:∠A＝９０°,∴b２＋c２＝a２,b２＝a２－c２ ① 将①代入方程x２＋２ax＋b２＝０可得x２＋２ax＋a２－c２＝０ 而(x＋a－c)(x＋a＋c)＝０ 将①代入方程x２＋２cx－b２＝０,可得 x２＋２cx＋c２－a２＝０即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝０ 故两方程有公共根x＝－(a＋c) １．５　全称量词与存在量词 １．５．１　全称量词与存在量词 １．C　２．B　３．B　４．A ５．ABD　 [C 选 项 是 全 称 量 词 命 题,A,B,D 选 项 符 合 题意．] ６．ABD　[A中,x＝－１时,满足x２－２x－３＝０,所以 A 是 真命题;B中,６能同时被２和３整除,所以 B是真命题; D中,２既是自然数又是偶数,所以 D是真命题;C中,因 为所 有 实 数 的 绝 对 值 非 负,所 以 C 是 假 命 题．故 选 ABD．] ７．解析:①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”,是 全称量词命题;②是全称量词命题,即“凡是有两个角相 等的三角形都是等腰三角形”;③可表述为“所有正数的 平方根都不 等 于 ０”,是 全 称 量 词 命 题;④ 是 存 在 量 词 命题． 答案:①②③　④ ８．解析:∵x≥３∴２x－１≥５,∴m≤５． 答案:(－∞,５] ９．解析:当a≤０时命题为真;当a＞０时命题为真,必使Δ ＝４－４a２＞０,即－１＜a＜１,∴a＜１． 答案:a＜１ １０．解析:(１)∀x∈{x|x是凸n 边形},x的外角和是２π, (２)∃x０∈Q,x２０＝３, (３)∀α∈R,sin２α＋cos２α＝１． １１．解:(１)存在量词命题,用符号表示为“∃x,y为正实数, 使x２＋y２＝０”,是假命题． (２)全称量词命题,用符号表示为“∀a,b∈R,方程ax＋ b＝０都有唯一解”,是假命题． (３)存在量词命题,用符号表示为“∃x∈R, １ x２－x＋１ ＝ ２”,是假命题． １２．解:不等式２x＞m(x２＋１)恒成立,即:不等式 mx２－２x ＋m＜０恒成立． (１)当m＝０时,不等式可化为－２x＜０,显然不恒成立, 不合题意． (２)当m≠０时,要使不等式 mx２－２x＋m＜０恒成立, 则 m＜０, ４－４m２＜０,{ 解得m＜－１． 综上可知,所求实数m 的取值范围是(－∞,－１)． １３．解:(１)当m＝０时,f(x)＝x－a与x 轴恒相交,所以a ∈R; (２)当m≠０时,二次函数f(x)＝mx２＋x－m－a的图 象和x 轴恒有公共点的充要条件是Δ′＝１＋４m(m＋a) ≥０恒成立,即４m２＋４am＋１≥０恒成立． 又４m２＋４am＋１≥０是一个关于 m 的二次不等式,恒 成立的充要条件是Δ＝(４a)２－１６≤０,解得－１≤a≤１． 由(１)(２)同时成立,故a∈[－１,１]． １．５．２　全称量词命题和存在量词命题的否定 １．D　２．B　３．D　４．C ５．AC　[命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量 词命题,故排除B．再根据命题的否定为真命题,即原命 题为假命题．又 D为真命题,故选 A、C．] ６．ABD　[A．该命题等价于所有无理数都是实数,为真命 题;B．显然为真命题;C．显然不成立,为假命题;D．取x＝１, 能使x２－x＋１＝１是整数,为真命题．] ７．解析:对任意x＞３,x＞a恒成立,即大于３的数恒大于 a,所以a的取值范围是{a|a≤３}． 答案:{a|a≤３} ８．解析:因为∃x∈B,x∈A 为假命题,所以∀x∈B,x∉A 为真命题,所以A∩B＝⌀且B≠⌀． 所以 ２m＜m＋１, m＋１≤－１{ 或 ２m＜m＋１, ２m≥４,{ 解得 m≤－２．即实数 m 的取值范围为{m|m≤－２}． 答案:{m|m≤－２} ９．解析:因为p(１)是假命题,所以１＋２－m≤０,解得 m≥ ３．又因为p(２)是真命题,所以４＋４－m＞０,解得m＜８, 故实数m 的取值范围是[３,８);若p(１)是真命题,p(２) 是假命题,则 １＋２－m≥０ , ４＋４－m＜０{ 解得 m≤３, m＞８,{ ∴无解． 答案:[３,８),⌀ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８４４􀅰 数学􀅰必修第一册