4.7相似三角形的性质 (1) 导学案 2024-2025学年 北师大版九年级数学上册

4.7相似三角形的性质 (1) 导学案 【学习目标】理解相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比， 【学习重难点】相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比． 【导学过程】 一.复习回顾 相似三角形的对应角____，对应边_____． 引例：如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（　　） A．105° B．115° C．125° D．135° 二.探究新知： 【探究】∆ABC和是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、分别为BC、边上的高，那么：_____，______.____先用刻度尺量一量 【猜想】相似三角形对应高的比等于k． 已知：∆ABC∽∆A′B′C′，相似比为k，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′ 求证：AD:A′D′=k, 证明：∵∆ABC∽∆A′B′C′，∴∠B=∠B′∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′∴∠ADB=∠A′D′B′=90°∴∆ABD∽∆A′B′D′， ∴AD:A′D′=AB:A′B′=k. 【猜想】相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于相似比吗？（类比证明） 【结论】相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于__________． 三.典例与练习：A C B S R E D 例1.如图：AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E 当时，求DE的长；当呢？ 练习1.若∆ABC∽∆A1B1C1，且对应高的比为3：2，BE、B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则B1E1=__． 例2.已知：∆ABC∽∆A´B´C´，相似比为k,点D在BC边上，点D´在B´C´边上，若∠BAD=，∠B´A´D´=,则___. 练习：2.如图，四边形EFGD是∆ABC的内接矩形，已知AH长8，BC=10，设DG=x,DE=y， 那么y与x的函数关系式是（ ）A． B． C. D. 4. 课堂小结： 1.相似三角形的性质：①对应角_____，②对应边______， ③对应高的比=________，④对应角平分线的比=_______，⑤对应中线的比=_______。 5. 分层过关： 1．如果两个三角形相似，相似比为，那么对应角的角平分线的比等于________. 2．若∽，且，，则=　　． 3.若△ABC～△DEF，相似比为9：4，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　） A.9：4 B.4：9 C.81：16 D.3：2 4.如图，点D在△ABC的边AC上，若CD = 2，AC = 6，且△CDB∽△CBA，求BC的值. 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，过A作直线分别交CB，CD于点E，F，且CE=CF.（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若∠ACD=45°，AE=4，求AF的长． 思考题：锐角ΔABC中，BC=6，SΔABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与ΔABC公共部分的面积为y(y>0)．(1)ΔABC中边BC上高AD=______.(2)当x=______时，PQ恰好落在边BC上(如图1). (3)当PQ在ΔABC外部时(如图2)，求y关于x的函数关系式.(注明x的取值范围) H 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.7相似三角形的性质 (1) 导学案 【学习目标】理解相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比， 【学习重难点】相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比． 【导学过程】 一.复习回顾： 相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 引例：如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（　D　） A．105° B．115° C．125° D．135° 二.探究新知： 【探究】∆ABC和∆A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、边上的高，那么：_____，______，._____先用刻度尺量一量 【猜想】相似三角形对应高的比等于k． 已知：∆ABC∽∆A′B′C′，相似比为k，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′ 求证：AD:A′D′=k, 证明：∵∆ABC∽∆A′B′C′，∴∠B=∠B′∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′∴∠ADB=∠A′D′B′=90°∴∆ABD∽∆A′B′D′， ∴AD:A′D′=AB:A′B′=k. 【猜想】相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于相似比吗？（类比证明） 【结论】相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比.A C B S R E D 三.典例与练习： 例1.如图：AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E 当时，求DE的长；当呢？ 解：∵AD⊥BC，SR⊥AD∴SR∥BC∴△ASR∽△ABC∴AE：AD=SR：BC=1：2∴DE=AE=h 同理得：当时，DE=h. 练习1.若∆ABC∽∆A1B1C1，且对应高的比为3：2，BE、B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则B1E1=4． 例2.已知：∆ABC∽∆A´B´C´，相似比为k,点D在BC边上，点D´在B´C´边上，若∠BAD=，∠B´A´D´=,则k. 练习：2.如图，四边形EFGD是∆ABC的内接矩形，已知AH=8，BC=10，设DG=x,DE=y， 那么y与x的函数关系式是（C）A． B． C. D. 4. 课堂小结： 1.相似三角形的性质：①对应角相等，②对应边成比例， ③对应高的比=相似比， ④对应角平分线的比=相似比，⑤对应中线的比=相似比。 5. 分层过关： 1．如果两个三角形相似，相似比为3:5，那么对应角的角平分线的比等于3:5. 2．若△ADE∽△ACB，且，，则=　15　． 3.若△ABC∽△DEF，相似比为9：4，则△ABC与△DEF对应中线的比为（A） A.9：4 B.4：9 C.81：16 D.3：2 4.如图，点D在△ABC的边AC上，若CD = 2，AC = 6，且△CDB∽△CBA，求BC的值. 解：∵△CDB∽△CBA，∴，即，得.又∵，∴. 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，过A作直线分别交CB，CD于点E，F，且CE=CF.（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若∠ACD=45°，AE=4，求AF的长． （1）证明：∵CE=CF∴∠CFE=∠CEF∴∠AFC=∠AEB又∵∠ACB=90°,CD⊥AB∴∠ACF+∠DCB=90°,∠DCB+∠B=90°∴∠ACF=∠B∴△ACF∽△ABE. （2）解：∵∠ACD=45,∠ACB=90,CD⊥AB∴∠CAD=45,∠DCB=∠B=45∴AC=BC∴AB=AC由（1）知△ACF∽△ABE，即 思考题： 锐角ΔABC中，BC=6，SΔABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与ΔABC公共部分的面积为y(y>0)．(1)ΔABC中边BC上高AD=_4_.(2)当x=_2.4_时，PQ恰好落在边BC上(如图1). (3)当PQ在ΔABC外部时(如图2)，求y关于x的函数关系式.(注明x的取值范围) 解:（1）∵S△ABC＝12，∴BC•AD＝12，又BC＝6，∴AD＝4；H （2）设AD与MN相交于点H，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，即，解得，x＝∴当x＝2.4时正方形MPQN的边P恰好落在BC边上； （3）设MP,NQ分别与BC相交于点E.F，当PQ在△ABC的外部时， x的取值为2.4＜x≤6.设HD＝a，则AH＝4−a， 由，得，解得，a＝−x＋4， ∵矩形MEFN的面积＝MN×HD，∴y＝x（−x＋4）＝−x2＋4x（2.4＜x≤6）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$