专题02：立方根（5大知识点+10大题型+真题检验） 2025-2026学年沪教版（五四制） 八年级数学上册暑假班预修提升课程

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题02 立方根 知识点01、立方根 1.立方根的概念：如果一个数x的立方等于，即，那么这个数x叫做的立方根,也称为三次方根.叫做被开方数. 2.立方根的表示：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 指数3不能省略。 知识点2、立方根的性质 （1）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 知识点3：开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 知识点4：立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识:5：平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 题型1 立方根概念辨析 【例1】对于说法错误的是（    ） A．表示－8的立方根 B．结果等于－2 C．与的结果相等 D．没有意义 【答案】D 【解析】略 【例2】27的立方根__________;是的立方根是___________ 【分析】根据立方根的定义即可得出答案． 【解答】解：， 的立方根是3， 【解答】解：， 【例3】下列叙述中正确的是 . （1）没有立方根 （2）1的立方根是±1 （3） 的立方根是 （4）的立方根是 【答案：（4）】 【跟踪训练】 1．表示（    ） A．5的负立方根 B．的立方根 C．5的立方根的相反数 D．的相反数 【答案】C 【分析】根据题意可知，表示5的立方根的相反数即可求解． 【详解】解：表示5的立方根的相反数 故选C 2．的立方根为 　　． 【分析】根据立方根的定义即可求出的立方根． 【解答】解：的立方根为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么叫做的立方根． 3．计算　　． 【答案】3． 【分析】如果，那么叫做的立方根．记作：，由此即可得到答案． 【解答】解：． 故答案为：3． 【点评】本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义． 4．下列说法正确的是（    ）． A．是125的立方根 B．64的立方根是 C．是15.625的立方根 D．的立方根是 【答案】D 【分析】利用立方根的定义和性质依次判断即可； 【详解】解：A．是125的立方根，原选项计算错误； B. 64的立方根是，原选项计算错误； C. 是15.625的立方根，原选项计算错误； D. 的立方根是，原选项计算正确； 故选：D． 【点睛】本题考查立方根．一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 题型2 求一个数的立方根 【例4】的立方根是 ，的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了求一个数的立方根，平方根；根据平方根、立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：的立方根是；的平方根是 故答案为：，． 【例5】求下列各式的值． (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)0 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据立方根的概念求解即可； （6）先计算立方根，再计算减法即可. 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解： ． 【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根，熟知求立方根的方法是解题的关键． 【例6】已知的平方根是，，求的立方根， 【答案】-2 【分析】根据平方根和算术平方根的定义分别求出的值，即可求解． 【详解】解：的平方根是 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴的立方根为，即 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的相关知识点．根据定义进行准确计算是解题的关键． 【变式训练】 1.的平方根是 ，4的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查求一个数的平方根和立方根，根据平方根的定义和立方根的定义，进行求解即可，注意先化简，再进行开方运算． 【详解】解：的平方根是；4的平方根是；的立方根是； 故答案为：，， 2. 的立方根是 ；的平方根是 ． ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查平方根、立方根的计算． 根据平方根、立方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵ ∴的平方根是． 故答案为． 【详解】解：． 故答案为：． 3.如果的立方等于27，那么的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根与算术平方根的概念．利用立方根的概念，解出x的值，再利用算术平方根的概念即可解得． 【详解】解：∵ ∴ ∴的算术平方根是 故答案为：． 4．求下列各数的立方根： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据立方根的定义即可求解； （2）根据立方根的定义即可求解； （3）根据立方根的定义即可求解； （4）根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）∵， ∴的立方根是-8； （2）∵， ∴的立方根是0.2； （3）∵， ∴的立方根是； （4）∵， ∴的立方根是． 【点睛】此题主要考查立方根的求解，解题的关键是熟知立方根的定义． 题型3 已知一个数的立方根，求这个数 【例7】已知，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根的定义得出，进而求平方根即可． 【详解】解：， ， ， 的平方根为． 故答案为：． 【例8】已知的立方根是，的算术平方根是5． (1)求，的值． (2)求的平方根 (3)求的立方根． 【答案】(1)， (2)±4 (3)2 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，熟知三者的定义是解题的关键； （1）根据立方根的定义可求出a，根据算术平方根的定义求出b即可； （2）根据平方根的定义结合（1）求出的a、b的值即可求解； （3）根据立方根的定义结合（1）求出的a、b的值即可求解； 【详解】（1）解：因为的立方根是， 所以， 解得， 因为的算术平方根是5， 所以，即， 解得． （2）解：的平方根是； （3）解：的立方根是． 【跟踪训练】 1. 已知的立方根是，的算术平方根是4，则的值是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根以及算术平方根的计算，熟练掌握立方根以及算术平方根的定义是解题的关键．本题根据立方根和算术平方根的定义可得关于和的方程进行求解即可． 【详解】解：的立方根是， ， 的算术平方根是4， ， 解得，， 的值是. 故答案为：. 2．已知的平方根是，的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根和立方根． 【答案】(1)， (2)算术平方根是4，立方根是 【分析】本题考查了平方根、算术平方根与立方根，正确理解相应的定义是解题的关键． （1）根据平方根与立方根的意义，求出a与b的值； （2）求出，再根据算术平方根与立方根的定义求出结果． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得； 又的立方根为， ， 解得； ，． （2）由（1）可知：， 的算术平方根为， 的立方根为． 3．已知的平方根是的立方根是3． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是4，求的立方根． 【答案】(1)，，的平方根为 (2)，的立方根为 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的应用，熟练掌握平方根，算术平方根，立方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根与平方根的定义求得m，n的值，然后得出代数式的值，根据平方根的定义即可求解； （2）根据算术平方根的定义求得a的值，然后得出代数式的值，根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：的平方根是， ， ； 的立方根是3， ， ， ， ， ， ， 的平方根为； （2）解：由（1）知，， 的算术平方根是4， ， ， ， ， 的立方根为． 题型4 立方根的性质 【例9】下列说法正确的是（    ） A．一个正数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．任何一个数的立方根都是非负数 D．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根 【答案】D 【分析】根据一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零，结合选项即可作出判断． 【详解】A．一个数的立方根只有1个，故A错误； B．负数有立方根，故B错误； CD．正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零，故C错误，D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了立方根的概念，解决本题的关键是熟练掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零． 【例10】已知，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根的计算，掌握立方根的性质是关键． 根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，列式求解即可． 【详解】解：，即一个数的立方根等于它本身， ∴当时， 解得，； 当时， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或 ． 【例11】若，则的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、立方根概念理解 【分析】本题考查的是立方根及平方根的定义，掌握立方根及平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， 的平方根是， 故答案为：． 【跟踪训练】 1．下列说法中，正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个非零数的立方根与这个数同号 C．负数没有平方根也没有立方根 D．算术平方根一定是正数 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、一个数的立方根只有1个，故原说法不正确，不符合题意； B、一个非零数的立方根与这个数同号，正确，符合题意； C、负数没有平方根但是有立方根，故原说法不正确，不符合题意； D、0的算术平方根是0，不是正数，故原说法不正确，不符合题意； 故选：B． 2.当x取________时，有意义． 【答案】任意实数 【分析】根据立方根的定义，可得出的取值范围． 【详解】解：∵任何实数都有立方根， ∴可取任意实数， ∴可取任意实数， ∴当取任意实数时，有意义． 故答案为：任意实数 【点睛】本题考查了立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． 3．立方根等于它本身的数有 　　． 【分析】根据立方根的意义得出即可． 【解答】解：立方根等于它本身的本身的数为1，，0， 故答案为：1，，0． 【点评】本题考查了立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 4．若一个数的算术平方根与它的立方根相等，那么这个数是_______ ． 【分析】根据算术平方根和立方根的定义得出只有1和0的算术平方根和立方根相同，得出答案即可． 【解答】解：0的算术平方根和立方根都是0，1的算术平方根和立方根都是1， 故答案为：0或1． 【点评】本题考查了对算术平方根和立方根的定义的应用，能正确运用定义求出一个数的算术平方根和立方根是解此题的关键，难度不是很大． 5．若，则　　． 【答案】． 【分析】根据立方根的定义即可求得答案． 【解答】解：由题意可得， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 6.若，则x和y的关系是（　　） A．x=y=0 B．x和y互为相反数 C．不能确定 D．x和y相等 【答案】D 【分析】先移项，再两边立方，即可得出，得出选项即可． 【详解】∵, ∴, ∴， 即x和y相等， 故选D． 【点睛】考查了立方根的应用，解此题的关键是能得出． 题型5 利用立方根的概念解方程 【例12】求下列各式中的值： (1)； (2)． (3) 【答案】(1)；(2)．(3) 【分析】本题主要考查利用立方根解方程，熟练掌握立方根的定义是解题关键． （1）方程两边除以，利用立方根的定义解答即可． （2）利用立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， 解得，． （3）， ∴， ∴， ∴． 【跟踪训练】 1．求x的值： (1)；(2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】（1）原式变形，直接开平方即可； （2）原式变形，直接开立方即可． 本题考查了利用平方根，立方根的定义解方程． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ． 2．解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键． （1）先把方程两边同时除以16，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以3后开立方得到一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型6：根据立方根的概念化简求值 【例13】列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据立方根的性质分析即可. 【解析】A. ，故错误； B. ，故错误； C. ，故错误；     D. ，故正确.故选D. 【点睛】本题主要考查了立方根的性质. 【例14】计算：． 【分析】根据，则，则，进行解答． 【解答】解：． 【点评】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0． 【跟踪训练】 1． 计算：（1） ；  （2） ；  （3） ；（4） ；     （5） ；  （6） ；（7） ． 【答案】 3 30 2.3 【分析】（1）直接利用立方根的定义即可求解； （2）直接利用立方根的定义即可求解； （3）直接利用立方根的定义即可求解； （4）直接利用立方根的定义即可求解； （5）直接利用立方根的定义即可求解； （6）利用算术平方根和立方根的定义即可求解； （7）利用算术平方根和立方根的定义即可求解． 【解析】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴，即； （4） ∵， ∴，即； （5）， ∵， ∴； （6）； （7）． 故答案为：3，，，，30，，2.3． 【点睛】本题考查立方根和算术平方根．熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解题关键． 2．以下计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】可以先求出．的值，再求它的算术平方根；一个数的立方根只有一个；先算出的值，再添加号；负数的偶数次方等于正数． 【解答】解：．，，不符合题意； ．一个数的立方根只有一个，，不符合题意； ，，符合题意； ，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了立方根，算术平方根的概念，主要考查学生的计算能力． 3.下列各式中，正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义、平方根的定义以及立方根的定义进行分析判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根、平方根等知识，解题关键在于掌握相关运算法则． 3．计算：______． 【答案】3 【分析】先计算算术平方根及立方根，然后计算加减法即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 【点睛】题目主要考查求算术平方根及立方根，熟练掌握求算术平方根及立方根的方法是解题关键． 3. 求下列各式的值． ①    ②    ③ 【答案】(1)①；②10；③3 (2)①；② (3)①4；②；③ (4)①3；②；③ 【分析】（1）根据开方运算的方法，求出每个数的算术平方根各是多少即可． （2）根据平方运算，可得平方根； （3）根据立方根的定义求出即可； （4）根据算术平方根和立方根的意义进行计算即可． 【详解】（1）①； ②； ③, ， 所以，的算术平方根是3； （2）①∵， ∴的平方根是； ②∵， ∴0.0016的平方根是； （3）①∵， ∴； ②， ∵， ∴； ③； （4）①； ②； ③． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．同时还考查了平方根和立方根． 题型7：平方根与立方根的综合 【例15】已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是． (1)求这个正数； (2)求这个正数的立方根； (3)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了平方根的性质，算术平方根的计算，立方根的性质，准确计算是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数求出，即可求解； （2）根据立方根的定义求解即可； （3）根据立方根的性质求出，结合（1）中的计算即可． 【详解】（1）解：一个正数的两个不同的平方根分别是和， ， 解得：， 一个数的两个不同的平方根分别是， 这个正数是； （2）这个正数是， 这个正数的立方根是； （3）的立方根是， ， 解得：， 由（1）知， ， 的算术平方根是． 【跟踪训练】 1．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 2.已知的两个平方根分别是，算术平方根为2． (1)求、的值； (2)求的平方根； (3)若的算术平方根是3，求的立方根． 【答案】(1)， (2)； (3)． 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根和立方根，解题关键是根据平方根和立方根的意义求出字母的值，会熟练求一个数的平方根和立方根． （1）根据平方根和立方根的意义求出字母m，n的值； （2）求的平方根即可； （3）求出p的值，再求的立方根即可． 【详解】（1）解：∵的两个平方根分别是，的算术平方根为2， ∴，， 解得：，， （2）∵， ∴的平方根是； （3）解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得：， ∴， ∴的立方根是． 3．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)是小于的最大整数，求的平方根． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根和无理数的估算，解题关键是明确平方根和立方根的求法，准确进行计算； （1）根据题意得出和解方程即可； （2）确定c的值，再代入求出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是4， 所以，，， 解得，，． （2）解：∵，即，是小于的最大整数， ∴， ， 的平方根是． 题型8:与立方根有关的规律探究问题 【例16】已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 【例17】观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 【答案】(1)， (2) (3)当或时，；当时，；当时， 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、、和四种情况进行分析即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴由上述规律得：，． ①当时，，则此时； ②当时，； ③当时，，则此时； ④当时，； 综上，当或时，；当时，；当时，． 【跟踪训练】 1．观察规律，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，根据已知等式确定出所求式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 2．已知，，，，，则 ， ． 【答案】 1.285 2.342 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出a的值，根据被开方数小数点向左移动三位，其立方根的小数点就向左移动一位即可求出b的值． 【详解】解：， 故答案为：1.285；2.342 3．观察下表规律： 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 利用规律：如果，，则 ． 【答案】0.2872 【分析】此题考查了立方根，如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：0.2872． 4.（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 【答案】（1）填表见解析，三，一；（2）①；②；（3）需要大约平方米的铁皮 【知识点】求一个数的立方根、立方根的实际应用、与立方根有关的规律探索 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义，先将表格填完整，根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可； （3）设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， ∴； ②∵ ∴； （3）解：设正方体的棱长为米，则， ， （平方米）， 答：需要大约平方米的铁皮． 题型9：立方根的实际应用 【例18】图1是由27个同样大小的立方体组成的魔方，体积为27 (1)求出这个魔方的棱长． (2)图2是这个魔方的一个面，图中的阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 【答案】(1)3 (2)5； 【分析】（1）立方体的体积等于棱长的3次方，开立方即可得出棱长； （2）根据魔方的棱长为3，所以小立方体的棱长为1，阴影部分由大正方形的面积减去四个三角形的面积即可；开平方即可求出边长． 【详解】（1）解： ∴这个魔方的棱长是3． （2）∵魔方的棱长为3， ∴小立方体的棱长为1， ∴ ∴阴影部分的边长是 【点睛】本题考查的是立方根及算术平方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔 【跟踪训练】 1．一个底面半径为的圆柱体玻璃杯装满水，杯的高度为，现将这杯水全部倒入一正方体容器中，正好占正方体容器容积的（玻璃杯及容器的厚度可以不计），求正方体容器的棱长． 【答案】这个正方体容器的棱长为 【分析】此题主要考查了立方根，正确把握圆柱体以及正方体的体积公式应用是解题关键．直接利用圆柱体体积求法以及正方体体积求法进而得出等式求出答案． 【详解】解：设正方体容器的棱长为，根据题意可得： ， 解得：， 答：这个正方体容器的棱长为． 2．已知一个正方体的体积为． (1)求该正方体的棱长； (2)若将该正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？ 【答案】(1)； (2)棱长变为原来的2倍． 【分析】本题考查了立方根的实际应用及正方体的体积公式，熟练掌握正方体的体积公式是解题的关键． （1）设正方体的棱长为，根据正方体的体积公式，列出方程，解方程即可； （2）根据题意，计算出正方体变化后的体积，根据体积公式，计算出变化后的棱长，即可得解． 【详解】（1）设正方体的棱长为，由题意得：， 解得：， 答：该正方体的棱长为6cm； （2）当正方体的体积变为原来的8倍，即体积为 设此时正方体的棱长为， 由题意得：， 解得：， 答：它的棱长变为原来的2倍． 3．如下图，将一个棱长为4的正方体盒子装满水，然后将水全部倒入一个侧面为正方形、长为侧面边长2倍的长方体盒子中．如果长方体盒子正好被装满，求长方体盒子的长（结果精确到）． 【答案】长方体盒子的长为 【分析】本题考查了立方根的应用．首先根据正方体的体积（容积）等于棱长的立方，求出正方体盒子中水的体积，再根据长方体的体积=水的体积计算即可． 【详解】解：设长方体盒子的长为，则长方体盒子的侧面正方形边长为． 依题意，得， 解得． 答：长方体盒子的长为． 4．这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根的应用，设加工后正方体铁块的棱长为，根据题意列方程并解方程即可解决． 【详解】解：设加工后正方体铁块的棱长为， ∵长方体铁坯的长为，宽为，高为， ∴， ∴， 解得， ∴加工后正方体铁块的棱长为． 5．小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立方根的应用、正方体的体积，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （2）根据题意先求得另一个小立方体铁块的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：根据题意，另一个小立方体铁块的体积为， ∴另一个小立方体铁块的棱长为． 答：另一个小立方体铁块的棱长为． 题型10：综合提升 【例19】观察下列各式： 用字母n表示出一般规律是__________．（n为不小于2的整数） 【答案】（n为不小于2的整数） 【分析】分析被开方数的变换规律即可求得 【详解】解：1、观察4个等式左边根号内分数的特点： ①整数部分与分数部分的分子相等，即2=2，3=3，4=4，5=5， ②整数部分与分数部分的分母有下列关系：， 2、观察四个等式右边的立方根前的倍数正好是等式左边被开方数的整数部分，立方根里的分数正好是左边被开方数的分数部分，所以其中的规律可以表示为（n为不小于2的整数） 故答案为：（n为不小于2的整数）． 【点睛】本题考查了立方根的规律探究，分析被开方数的变换规律是解题关键． 【例20】根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【答案】2，，0，，；；当为偶数时，；当为奇数时， 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【分析】此题考查立方根的定义及性质，求一个数的立方根，探究实数的计算规律，正确求出一个数的立方根是解题的关键． 先根据立方根定义填空，以此总结出的结果；对于式子（是整数）需要分为偶数和奇数进行讨论，得到偶次方根和奇次方根的结果． 【详解】解：；；；；， 则对于实数； 对于式子（是整数）， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 【例21】学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】 （1）探索定义：填写表格： 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ； （2）探究性质： ①1的四次方根是 ； ②16的四次方根是 ； ③0的四次方根是 ； ④ （填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ① ； ② ； ③ ； 【拓展应用】______． 【答案】类比探索：（1），，；一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根；（2），，0，没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；拓展应用： 【分析】本题考查类比探究类问题，类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 类比探索：（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； 拓展应用：根据四次方根的定义求解即可． 【详解】解：类比探索： （1）填写表格： 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根． 故答案为：，，；一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根． （2）根据列表可得： ①1的四次方根是； ②16的四次方根是； ③ 0的四次方根是0； ④没有四次方根． 根据平方根的性质归纳如下： ①一个正数有两个四次方根，它们互为相反数； ②0的四次方根是0； ③负数没有四次方根； 故答案为：，，0，没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数，0的四次方根是0，负数没有四次方根． 拓展应用： ； 故答案为：． 【例22】小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2)裁出的长方形的面积不能为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 一、选择题 1．（2024闵行区七年级下期中）若一个数的立方根是，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个数的立方等于，即，则这个数即为的立方根，据此即可求得答案． 【详解】解：一个数的立方根是， 这个数为， 故选：． 【点睛】本题考查立方根的定义，此为基础目重要知识点，熟练掌握立方根的定义是解答本题的关键． 2．（2024黄浦区七年级下期中）使有意义的字母x的取值范围（    ）． A． B． C． D．全体实数 【答案】D 【分析】根据立方根有意义的条件直接判断即可． 【解析】解：使有意义的字母x的取值范围是全体实数， 故选：D． 【点睛】本题考查了立方根有意义的条件，解题关键是明确所有实数都能开立方． 3．（2024松江区七年级下期中）如果，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据立方根的定义化简，再判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了立方根的意义，解题的关键是掌握． 4．（2024普陀区七年级下期中）下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定为零 B．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根 C．任何数的立方根都只有一个 D．负数没有立方根 【答案】C 【分析】根据立方根的定义和性质解答即可． 【解析】解：A、如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是-1、0、1，此说法错误，不符合题意； B、负数有立方根，没有平方根，此说法错误，不符合题意； C、任何数的立方根都只有一个，此说法正确，符合题意； D、负数的立方根是一个负数，此说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义和性质是解题的关键． 5．（2024徐汇区七年级下期中）下列关于立方根的说法，正确的是（    ） A．的立方根是 B．立方根等于它本身的数有，0，1 C．的立方根为 D．一个数的立方根不是正数就是负数 【答案】B 【分析】各项利用立方根定义判断即可． 【解析】A．的立方根是，故选项错误； B．立方根等于它本身的数有，0，1，故选项正确； C．，的立方根为，故选项错误； D．0的立方根是0，故选项错误； 故选：B． 【点睛】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 6．（2024奉贤区七年级下期中）已知，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立方根小数点的移动方法：被开方数每移动3位，小数点移动1位，进行判断即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴选项A正确，符合题意；B，C，D选项错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查立方根．熟练掌握立方根小数点的移动方法：被开方数每移动3位，小数点移动1位，是解题的关键． 二、填空题 7.（2024上宝中学期中）化简的结果是　　． 【分析】根据立方根的定义计算即可． 【解答】解：， ， 故答案为：． 8．（2024黄浦区七年级下期中）方程的根是 　　． 【答案】． 【分析】方程利用直接开立方法求解即可． 【解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了直接开立方法解方程，掌握立方根的定义是解答本题的关键． 9．（2020·上海杨浦区·期末）方程的解是__________． 【答案】 【分析】先移项，再开立方即可． 【详解】解：，，，故答案为：． 10．（2024嘉定区七年级下期中）已知，则的值为 ． 【答案】0、1、2 【分析】立方根是其本身的数有1，0，，再建立方程即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴的立方根是其本身， ∴或或， 解得：或或， 经检验，符合题意； 故答案为：0、1、2 【点睛】本题考查的是立方根的含义，熟记立方根是其本身的数有1，0，是解本题的关键． 11．（2024青浦区七年级下期中）已知，则的平方根为______ 【分析】根据平方根和立方根的定义可以解答． 【解析】解：， ， ， 的平方根为． 【点睛】本题考查立方根和平方根，解题的关键是正确理解立方根和平方根的定义，本题属于基础题型． 12．（2024杨浦区七年级下期中）已知的两个不同的平方根分别是和，且，的值为　　． 【分析】先根据平方根的性质求出的值，从而得出，再由立方根的定义得出，将的值代入即可求出的值． 【解答】解：的两个不同的平方根分别是和， ， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：17． 【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是掌握平方根的定义和性质、立方根的定义． 13．（2024金山区七年级下期中）若，则的值是_______ 【分析】根据题意，利用平方根，立方根的定义求出a，b的值，再代入求解即可． 【解析】解： ， 当时，； ∴当时，． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是平方根以及立方根的定义，根据定义求出a，b的值是解此题的关键． 14．（2024黄浦区七年级下期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 15．（2024闵行区七年级下期中）若是的立方根，则的立方根是 【答案】 【分析】先求出的值，即可进一步求解． 【详解】解：∵是的立方根 ∴ 即 ∴ 的立方根是 故答案为： 【点睛】本题考查了立方根的相关计算．掌握相关定义是解题关键． 16．（2023文来中学期中）若一个实数的平方根与立方根是相等的，则这个实数一定是 ． 【答案】0 【分析】根据平方根和立方根的定义和性质，即可得出这个数． 【详解】解：∵一个实数的平方根与立方根是相等的， ∴这个实数一定是0． 故答案为：0 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义和性质，知道0的平方根与它的立方根相等． 17．（2024宝山区七年级下期中）一个长、宽，高分别为50、8、20的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是_______ 【分析】先求出体积，再求立方根即可． 【解析】解：∵铁块体积是 ∴锻造成的立方体铁块的棱长为：， 【点睛】本题考查立方根的应用，会求立方根是解题的关键． 18．（2024松江区七年级下期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是 ． 【答案】 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第2023个数． 【详解】解：一列实数：，，，，，，，，，，… 这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， 这一列数中的第个数应是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解． 3、 解答题 19．（2023上海课时作业本）求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)0.5 (2)－1 (3)0 【解析】略 20．（2023上海课时作业本）求下列各式的值． (1)；(2)；(3)；(4)； (5)；(6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)0 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据立方根的概念求解即可； （6）先计算立方根，再计算减法即可. 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解： ． 【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根，熟知求立方根的方法是解题的关键． 21．（2023上海课时作业本）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)x＝1 【解析】（1）由，得 ，∴． （2）由，得 ，∴x＝1． 23．（2023上海课时作业本）已知正数的平方根是，的立方根是2． (1)求a和b的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)a=9，b=5 (2)4 【分析】（1）根据平方根、立方根的定义列式计算即可． （2）先计算的值，再根据立方根的定义计算即可． 【解析】（1）因为正数的平方根是，的立方根是2， 所以， 解得． 故a的值为9，b的值为5． （2）因为a=9，b=5， 所以=64，， 所以的立方根是4． 【点睛】本题考查了平方根即若（a是非负数），则称x是数a的平方根、立方根若，则称x是数a的立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 24．（2024松江区七年级下期中）已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身． (1)求a，b，c的值； (2)求3a+10b+c的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根为 【分析】（1）根据立方根和平方根、算术平方根的定义求解即可； （2）将所求的a、b、c代入求解即可． 【解析】（1）解：根据题意可知， ， 解得， ， 解得， ， ∴； （2）解：当时， ， ∵36的平方根为． ∴的平方根为． 【点睛】本题考查立方根和平方根、算术平方根，正确求出a、b、c是解答的关键． 25．（2024青浦区七年级下期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 26.（2024建平中学期中）如图1，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27． （1）求出这个魔方的棱长． （2）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． （3）在图2的方格中画一个面积为10的正方形． 【分析】（1）设魔方的棱长为，根据题意，得，解答即可． （2）根据分割法求面积，根据正方形的性质求边长即可． （3）设正方形的边长为，根据题意，得，求得边长，再仿照阴影图形的结构，画图解答即可． 【解答】解：（1）设魔方的棱长为，根据题意，得， 解得． 故魔方的棱长为3． （2）魔方的棱长为3， 阴影面积为：， 设正方形的边长为，则， 解得（舍去）， 故正方形的面积是5，边长为． （3）设正方形的边长为，根据题意，得， 解得（舍去）， 画图如下： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题02 立方根 知识点01、立方根 1.立方根的概念：如果一个数x的立方等于，即，那么这个数x叫做的立方根,也称为三次方根.叫做被开方数. 2.立方根的表示：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 指数3不能省略。 知识点2、立方根的性质 （1）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 知识点3：开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 知识点4：立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识:5：平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 题型1 立方根概念辨析 【例1】对于说法错误的是（    ） A．表示－8的立方根 B．结果等于－2 C．与的结果相等 D．没有意义 【例2】27的立方根__________;是的立方根是___________ 【例3】下列叙述中正确的是 . （1）没有立方根 （2）1的立方根是±1 （3） 的立方根是 （4）的立方根是 【跟踪训练】 1．表示（    ） A．5的负立方根 B．的立方根 C．5的立方根的相反数 D．的相反数 2．的立方根为 　　． 3．计算　　． 4．下列说法正确的是（    ）． A．是125的立方根 B．64的立方根是 C．是15.625的立方根 D．的立方根是 题型2 求一个数的立方根 【例4】的立方根是 ，的平方根是 ． 【例5】求下列各式的值． (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【例6】已知的平方根是，，求的立方根， 【变式训练】 1.的平方根是 ，4的平方根是 ，的立方根是 ． 2. 的立方根是 ；的平方根是 ． ． 3.如果的立方等于27，那么的算术平方根是 ． 4．求下列各数的立方根： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型3 已知一个数的立方根，求这个数 【例7】已知，则的平方根为 ． 【例8】已知的立方根是，的算术平方根是5． (1)求，的值． (2)求的平方根 (3)求的立方根． 【跟踪训练】 1. 已知的立方根是，的算术平方根是4，则的值是 ． 2．已知的平方根是，的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根和立方根． 3．已知的平方根是的立方根是3． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是4，求的立方根． 题型4 立方根的性质 【例9】下列说法正确的是（    ） A．一个正数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．任何一个数的立方根都是非负数 D．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根 【例10】已知，则的值为 ． 【例11】若，则的平方根是 ． 【跟踪训练】 1．下列说法中，正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个非零数的立方根与这个数同号 C．负数没有平方根也没有立方根 D．算术平方根一定是正数 2.当x取________时，有意义． 3．立方根等于它本身的数有 　　． 4．若一个数的算术平方根与它的立方根相等，那么这个数是_______ ． 5．若，则　　． 6.若，则x和y的关系是（　　） A．x=y=0 B．x和y互为相反数 C．不能确定 D．x和y相等 题型5 利用立方根的概念解方程 【例12】求下列各式中的值： (1)； (2)． (3) 【跟踪训练】 1．求x的值： (1)；(2)． 2．解方程： (1) (2) 题型6：根据立方根的概念化简求值 【例13】列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例14】计算：． 【跟踪训练】 1． 计算：（1） ；  （2） ；  （3） ；（4） ；     （5） ；  （6） ；（7） ． 2．以下计算正确的是　　 A． B． C． D． 3.下列各式中，正确的是（      ） A． B． C． D． 3．计算：______． 3. 求下列各式的值． ①    ②    ③ 题型7：平方根与立方根的综合 【例15】已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是． (1)求这个正数； (2)求这个正数的立方根； (3)求的算术平方根． 【跟踪训练】 1．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 2.已知的两个平方根分别是，算术平方根为2． (1)求、的值； (2)求的平方根； (3)若的算术平方根是3，求的立方根． 3．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)是小于的最大整数，求的平方根． 题型8:与立方根有关的规律探究问题 【例16】已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【例17】观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 【跟踪训练】 1．观察规律，，，则 ． 2．已知，，，，，则 ， ． 3．观察下表规律： 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 利用规律：如果，，则 ． 4.（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 题型9：立方根的实际应用 【例18】图1是由27个同样大小的立方体组成的魔方，体积为27 (1)求出这个魔方的棱长． (2)图2是这个魔方的一个面，图中的阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 【跟踪训练】 1．一个底面半径为的圆柱体玻璃杯装满水，杯的高度为，现将这杯水全部倒入一正方体容器中，正好占正方体容器容积的（玻璃杯及容器的厚度可以不计），求正方体容器的棱长． 2．已知一个正方体的体积为． (1)求该正方体的棱长； (2)若将该正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？ 3．如下图，将一个棱长为4的正方体盒子装满水，然后将水全部倒入一个侧面为正方形、长为侧面边长2倍的长方体盒子中．如果长方体盒子正好被装满，求长方体盒子的长（结果精确到）． 4．这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长． 5．小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 题型10：综合提升 【例19】观察下列各式： 用字母n表示出一般规律是__________．（n为不小于2的整数） 【例20】根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【例21】学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】 （1）探索定义：填写表格： 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ； （2）探究性质： ①1的四次方根是 ； ②16的四次方根是 ； ③0的四次方根是 ； ④ （填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ① ； ② ； ③ ； 【拓展应用】______． 【例22】小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 一、选择题 1．（2024闵行区七年级下期中）若一个数的立方根是，则这个数是（     ） A． B． C． D． 2．（2024黄浦区七年级下期中）使有意义的字母x的取值范围（    ）． A． B． C． D．全体实数 3．（2024松江区七年级下期中）如果，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 4．（2024普陀区七年级下期中）下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定为零 B．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根 C．任何数的立方根都只有一个 D．负数没有立方根 5．（2024徐汇区七年级下期中）下列关于立方根的说法，正确的是（    ） A．的立方根是 B．立方根等于它本身的数有，0，1 C．的立方根为 D．一个数的立方根不是正数就是负数 6．（2024奉贤区七年级下期中）已知，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7.（2024上宝中学期中）化简的结果是　　． 8．（2024黄浦区七年级下期中）方程的根是 　　． 9．（2020·上海杨浦区·期末）方程的解是__________． 10．（2024嘉定区七年级下期中）已知，则的值为 ． 11．（2024青浦区七年级下期中）已知，则的平方根为（  ） A． B． C． D． 12．（2024杨浦区七年级下期中）已知的两个不同的平方根分别是和，且，的值为　　． 13．（2024金山区七年级下期中）若，则的值是_____ 14．（2024黄浦区七年级下期中）若，则 ． 15．（2024闵行区七年级下期中）若是的立方根，则的立方根是 16．（2023文来中学期中）若一个实数的平方根与立方根是相等的，则这个实数一定是 ． 17．（2024宝山区七年级下期中）一个长、宽，高分别为50、8、20的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是______ 18．（2024松江区七年级下期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是 ． 3、 解答题 19．（2023上海课时作业本）求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 20．（2023上海课时作业本）求下列各式的值． (1)；(2)；(3)；(4)； (5)；(6)． 21．（2023上海课时作业本）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 23．（2023上海课时作业本）已知正数的平方根是，的立方根是2． (1)求a和b的值． (2)求的立方根． 24．（2024松江区七年级下期中）已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身． (1)求a，b，c的值； (2)求3a+10b+c的平方根． 25．（2024青浦区七年级下期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 26.（2024建平中学期中）如图1，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27． （1）求出这个魔方的棱长． （2）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． （3）在图2的方格中画一个面积为10的正方形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$