精品解析：河南省洛阳市等3地2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题

高二数学试卷 考试时间：120分钟试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题）（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 记等差数列的前项和为.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质得到，再代入等差数列前项和公式计算． 【详解】由题知． 故选：A． 2. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. B. 9 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由离心率的定义即可求解. 【详解】由题意可知：， 所以， 解得：， 故选：B 3. 的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】 【详解】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得 令,则 所以 故选C. 点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题． 4. 已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为 A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】首先求得半径，然后利用面积公式求解其面积即可. 【详解】设扇形的半径为，由题意可得：，则， 扇形的面积. 本题选择B选项. 【点睛】本题主要考查弧度制的定义，扇形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ） A. 7 B. 5 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】求出，根据可得ω，从而可求其最小值. 【详解】， ，， 由题可知，，，解得，， 又，当时，取得最小值11． 故选：D． 6. 中国扇子历史悠久，源远流长，在长达数千年的发展过程中，被赋予了极其深厚的文化内涵和鲜明的民族特色．自古中国就有“制扇王国”的美誉，数量之大品种之多，皆居世界首位．如图，现从一圆面中剪下一个扇形制作一把扇形扇子，为了使扇子形状更为美观，要求剪下的扇形和圆面剩余部分的面积比值为黄金分割比，则扇子的圆心角应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合扇形面积公式运算求解即可. 【详解】设圆的半径为，剪下的扇形的圆心角为，则圆面剩余部分的圆心角为， 由题意可得：，解得. 故选：A. 7. 函数图象上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求与直线平行的切线到该直线的距离求解答案. 【详解】由题意，，令，得（负值已舍去）． 因为，所以曲线在点处的切线与直线平行． 因为点到直线距离为，所以所求最小值为． 故选：C. 8. 若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同构得有两个不同的解，换元后考虑有两个不同的零点，利用导数可求参数的范围. 【详解】因为有两个零点， 故有两个不同的解， 所以有两个不同的解， 故有两个不同的解， 设，则，故为上的单调增函数， 而时，，时，，故的值域为， 故在上有两个不同的零点， 设，则， 当时，；当时，； 故在上为增函数，在上为减函数， 故即， 此时当时，，时，， 故时，确有两个不同的零点，综上. 故选：D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 其中成等比数列，则下列结论正确的是（ ） A. 成等差数列 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定数表，利用分布列的性质及等比数列、等差数列意义求解判断ABC；求出期望判断D. 【详解】对于A，由，得，则成等差数列，A正确； 对于B，由成等比数列，得，而，解得，B错误； 对于C，，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 10. 在中，内角的对边分别为，已知，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正弦定理及计算可得，结合题意由辅助角公式化简计算得可判断AB，结合AB选项结果计算得可判断C，由正弦定理及三角形面积公式计算得可判断D. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为， 所以， 即，因为， 所以，所以，即， 又，所以， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以， 则，解得，故选项AB正确； 因为， 所以，故选项C正确； 若，则由正弦定理，可得， 所以，故选项D错误． 故选：ABC 11. 如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】应用函数的凹凸函数的性质判断各个选项. 【详解】对中任意的和，任意恒成立”，所以函数是下凹函数， 令，则恒成立， 所以在时为下凹函数才能满足题意，所以排除B，D， 当等号成立时，选项C满足题意，因此满足题意的是A，C. 故选：AC 第Ⅱ卷（非选择题）（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线：被圆：截得的弦AB的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出弦的弦心距即可求解. 【详解】由圆：，可得圆心，半径， 于是圆心到直线的距离， 从而得，所以弦的长为. 故答案为：. 13. 设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和求和公式计算即可. 【详解】因为 为等差数列，所以 ． 故答案为：. 14. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为F，P为双曲线右支上的点，若双曲线的离心率为2，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率写出双曲线方程，与直线联立求出点坐标，进而可求出直线的斜率，则可求. 【详解】由已知，由于离心率确定，的具体大小并不会影响题目中的角度， 故不妨取，则， 双曲线方程，不妨取在第一象限，如图： 设，且 则直线，与联立消去得 ， 则，所以，代入可得， 所以， 即， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知为等差数列的前n项和，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与前n项和公式，列出关于首项与公差的方程组，解方程组即可得解； （2）利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的前n项和公式即可得解. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由，可得， 解得，所以， 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得， 即 所以 . 16. 某保险公司给年龄在岁的民众提供某种疾病的医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年应交纳的保费（单位：元）与参保年龄有关，年龄在内所缴保费记为，数列是公差为30的等差数列，前项和为. （1）根据样本估计总体，求保险公司这一年的保费收入； （2）经调查，年龄在之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概率）.该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元.某老人年龄65岁，若购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为元；若没有购买该保险，针对此疾病所支付的费用为元.试比较和的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？ 【答案】（1）元 （2），该老人购买此项保险比较划算 【解析】 【分析】（1）由频率和为1求出，根据等差数列的前项和公式求出各年龄范围的保费，即可求出结果； （2）分别计算参保与不参保时的期望，比较大小即可. 【小问1详解】 由得. 等差数列的公差为， ，解得， ， 保险公司收取保费为： （元）. 【小问2详解】 ①若老人购买了此项保险，则的取值为. ， . ②若老人没有购买此项保险，则的取值为. ， . ，该老人购买此项保险比较划算. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若，求证：当时，. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减，在上单调递增 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求解； （2）对函数求导得.令，解得.对分和两类讨论的正负即可求解； （3）构造函数，，利用导数研究函数的单调性与最值即可证明. 【小问1详解】 当时，，∴，， ∴， ∴曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ∵，∴. 令，即. ∵，∴，解得. 若，当时，，；当时，，， ∴在单调递减，在单调递增. 若，当时，，；当时，，， ∴单调递减，在单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 证明：当时，要证，即证. 令，，∴. 法一：令，，∴. ∵，，∴，， ∴在上单调递增，∴， ∴，∴在上单调递增，∴，即. ∴当时，. 法二：. 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，. 又，∴，∴在上单调递增， ∴，即. ∴当时，. 18. 为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于170cm的关联性，调查了该校所有高二年级的学生，整理得到如下列联表一；然后从该校所有高二年级学生中随机抽取100名学生，对性别和身高是否大于170cm进行统计，得到如下列联表二，其中女生占，身高低于170cm的学生占． 表一： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 360 90 450 男 100 450 550 合计 460 540 1000 表二： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 25 男 合计 100 （1）从表一中随机抽取一人，分别用表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于170cm，计算，并判断该校高二年级学生的性别和身高是否有关联？ （2）请完成列联表二，并依据的独立性检验，能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联？对比第一问的结论，请分析两种判断方式的可靠性.为了得到准确的结论，请提出可行性建议； （3）现在从表二中，抽取样本容量为10的样本，其中女生样本数据为：159、160、165、171（单位：cm），男生样本数据为：164、166、168、172、174、176（单位：cm），求出这个样本的第70百分位数，并从不大于第70百分位数的样本数据中抽取3人，记为抽到的女生人数，求的分布列及数学期望. 附：其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），，该中学高二年级学生的性别和身高有关联 （2）答案见解析 （3）第70百分位数为171.5，分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式可求出、的值，即可作出判断； （2）提出零假设该中学高三年级学生的身高与性别无关，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论，结合实际情况可得出合理的建议； （3）根据百分位数的定义求出第70百分位数，进而分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 由表格中的数据可得，， 所以该中学高二年级学生的性别和身高有关联. 【小问2详解】 由题意，女生人数为，身高低于170cm的学生人数为， 则列联表如下： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 25 15 40 男 25 35 60 合计 50 50 100 零假设该中学高二年级学生的身高与性别无关， ， 依据的独立性检验，没有充分的证据说明不成立， 即该中学高二年级学生的身高与性别无关， 第一问的结论是有关，是利用全体数据得出的结论，数据更全面，更精确， 而第二问是抽取的部分样本，样本的抽取具有随机性， 因此，可能会得出错误结论，为了提高准确的结论，应该增加样本量或者男女生分层抽样. 【小问3详解】 将样本数据从小到大排序为：， 因为，所以这个样本的第70百分位数为， 则不大于第70百分位数的样本数据中，共人，其中男生有3人，女生有4人， 所以随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 故分布列如下表所示： 因此. 19. 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为，且满足：...已知在处的阶帕德近似为.注：， （1）求实数的值； （2）求证：； （3）求不等式的解集，其中， 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，利用待定系数法，即可求解； （2）根据（1）的结果，即证明，利用换元，转化为证明时，再构造函数，再利用导数证明函数的单调性和最值，即可证明不等式； （3）首先由不等式确定或，由（2）的结果说明，求解不等式，再求解不等式，转化为，再构造函数，利用导数求解不等式. 【小问1详解】 ∵ ∴ ∵，则， 由题意得： ∴解得：； 【小问2详解】 由（1）知，即证 令，则且 即证时，记 则 ∴在上单调递增，在和上单调递增 当时，，即，即成立， 当时，，即，即成立， 综上所述，时， ∴成立，即成立. 【小问3详解】 由题意得：欲使得不等式成立，则至少有，即或 首先考虑，该不等式等价于，即， 又由（2）知成立， ∴使得成立的的取值范围是 再考虑，该不等式等价于， 记，则， ∴当时，时， ∴在上单调递增，在上单调递减 ∴，即， ∴， 当时由，可知成立； 当时由，可知不成立； 所以使得成立的的取值范围是 综上可得：不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题第1问的关键是理解题意，利用待定系数法求解；第2问的关键是换元后构造函数，第3问的关键是由不等式构造函数，利用导数解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试卷 考试时间：120分钟试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题）（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 记等差数列前项和为.若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. B. 9 C. D. 12 3. 的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 4. 已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为 A 3 B. 6 C. 9 D. 12 5. 将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ） A. 7 B. 5 C. 9 D. 11 6. 中国扇子历史悠久，源远流长，在长达数千年的发展过程中，被赋予了极其深厚的文化内涵和鲜明的民族特色．自古中国就有“制扇王国”的美誉，数量之大品种之多，皆居世界首位．如图，现从一圆面中剪下一个扇形制作一把扇形扇子，为了使扇子形状更为美观，要求剪下的扇形和圆面剩余部分的面积比值为黄金分割比，则扇子的圆心角应为（ ） A. B. C. D. 7. 函数图象上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 其中成等比数列，则下列结论正确的是（ ） A. 成等差数列 B. C D. 10. 在中，内角的对边分别为，已知，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的面积为 11. 如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题）（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线：被圆：截得的弦AB的长为______. 13. 设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 14. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为F，P为双曲线右支上的点，若双曲线的离心率为2，且，则_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知为等差数列的前n项和，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 某保险公司给年龄在岁的民众提供某种疾病的医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年应交纳的保费（单位：元）与参保年龄有关，年龄在内所缴保费记为，数列是公差为30的等差数列，前项和为. （1）根据样本估计总体，求保险公司这一年的保费收入； （2）经调查，年龄在之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概率）.该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元.某老人年龄65岁，若购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为元；若没有购买该保险，针对此疾病所支付的费用为元.试比较和的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？ 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若，求证：当时，. 18. 为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于170cm的关联性，调查了该校所有高二年级的学生，整理得到如下列联表一；然后从该校所有高二年级学生中随机抽取100名学生，对性别和身高是否大于170cm进行统计，得到如下列联表二，其中女生占，身高低于170cm的学生占． 表一： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 360 90 450 男 100 450 550 合计 460 540 1000 表二： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 25 男 合计 100 （1）从表一中随机抽取一人，分别用表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于170cm，计算，并判断该校高二年级学生的性别和身高是否有关联？ （2）请完成列联表二，并依据的独立性检验，能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联？对比第一问的结论，请分析两种判断方式的可靠性.为了得到准确的结论，请提出可行性建议； （3）现在从表二中，抽取样本容量为10的样本，其中女生样本数据为：159、160、165、171（单位：cm），男生样本数据为：164、166、168、172、174、176（单位：cm），求出这个样本的第70百分位数，并从不大于第70百分位数的样本数据中抽取3人，记为抽到的女生人数，求的分布列及数学期望. 附：其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为，且满足：...已知在处的阶帕德近似为.注：， （1）求实数的值； （2）求证：； （3）求不等式解集，其中， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$