1.4 整式的除法 暑假巩固复习 2024--2025学年北师大版七年级数学下册

北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第一章《整式的乘除》 4.整式的除法 知识点复习 整式的除法 1. 单项式÷单项式： 步骤： (1) 系数相除； (2) 同底数幂相除 ； (3) 被除式独有字母保留 ，保留原字母和指数。 2. 多项式÷单项式： 方法：多项式的每一项除以单项式，再把商相加 说明： 1. 幂运算中：指数范围→全体整数 2. 乘法公式：整式乘法的特殊形式 3. 整式除法：除式字母不为0. 知识点练习 一、选择题练习 1．计算3m2n3÷（mn）2的结果为（　　） A．3 B．3m C．3n D．3mn 2．化简（20x3y﹣15x2y2+5xy）÷（﹣5xy）的结果（　　） A．4x2﹣3xy+1 B．4x2﹣3xy C．﹣4x2+3xy﹣1 D．﹣4x2+3xy 3．如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为（　　） A．﹣10x2y+5xy2 B．﹣10x2y﹣5xy2 C．10x2y﹣5xy2 D．10x2y+5xy2 4．若2a5b2÷a＝2ambn，则m，n的取值分别为（　　） A．m＝4，n＝0 B．m＝4，n＝2 C．m＝5，n＝2 D．m＝5，n＝0 5．计算（﹣2xy）3÷（2x2y）结果正确的是（　　） A．4xy2 B．﹣4xy2 C．2x3y2 D．﹣2x3y2 6．长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为（　　） A．2a2﹣4ab B．a﹣2b C．a﹣2b+1 D．2a﹣2b+1 7．有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（　　） A． B．a﹣b C． D．a+b 8．计算（﹣3a3bm）2÷9anb＝a4b，则m+n等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．下列计算正确的是（　　） A．（6xy+5x）÷x＝6y+5 B．（15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2y2 C．（5x3﹣2x2+x）÷x＝5x2﹣2x D．（12x3y﹣8x3）÷（4x）2＝3xy﹣2 10．关于x的多项式，A＝8x3﹣12x2+6x﹣1＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，B＝x2+ex+f（其中a，b，c，d，e，f均为常数），下列说法中正确的有（　　） ①当B能被（x﹣3）整除时，3e+f＝﹣9； ②当多项式A与B的乘积中不含x4项时，； ③a+b+c＝26． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题练习 11．火星的体积约为1.35×1020立方米，地球的体积约为1.08×1021立方米，地球体积约是火星体积的 　80　 倍． 12．计算：﹣15xy2÷5xy＝　﹣3y　 ． 13．计算6a3b2÷2（ab）2的结果是　3a　 ． 14．计算：（10x2y﹣5xy2）÷（5xy）＝　2x﹣y　 ． 15．若8a3b2÷M＝2ab2，则M＝　4a2　 ． 16．计算：　﹣xy2　 ． 17．定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝nm﹣m÷n（m，n均为整数，且m≠0）．例：，则（﹣2）*2＝ 　　 ． 18．兴化莲溪湖公园拟采用长方形瓷砖铺装农产品展馆地面，瓷砖长为（x+my）cm，宽为（x﹣2y）cm，每块瓷砖的面积为（x2+nxy+12y2）cm2，则m+n的值为 　﹣14　 ． 19．如图，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图中纸盒底部长方形的周长为 　8a+2b　 ． 20．阅读材料：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式计算，如图，所以（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1）＝3x3﹣5x2+2x﹣1，请根据阅读材料回答下列问题：若x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，则a﹣b＝　2　 ． ． 三、解答题练习 21．计算：32（x3y2z）3÷（﹣8x5y4z2）． 22．计算：[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷（3xy）． 23．化简：（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x． 24．在一次水灾中，大约有2.5×105个人无家可归，假如一顶帐篷占地100米2，可以放置40个床位，为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多少地方？估计你的学校的操场可安置多少人？要安置这些人，大约需要多少个这样的操场？ 25．小雅同学计算一道整式除法：（ax3y2+bx2y3）÷（2xy），由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为12x4y3﹣8x3y4． （1）直接写出a、b的值：a＝　6　 ，b＝　﹣4　 ； （2）这道除法计算的正确结果是 　3x2y﹣2xy2　 ； （3）若xy＝﹣5，3x﹣2y＝7，计算（2）中代数式的值． 26．已知A＝（a+2b）（a﹣b）﹣a5÷a3﹣（2b）2． （1）先化简A，再求当a＝1，b＝﹣3时，A的值； （2）若a＝6b，求A的值． 27．观察下列等式： （x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1 （x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1 （x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1 … （1）根据以上等式写出（x5﹣1）÷（x﹣1）＝　x4+x3+x2+x+1　 ； （2）直接写出（xn﹣1）÷（x﹣1）的结果（n为正整数） 　xn﹣1+xn﹣2+•••+x+1　 ； （3）计算：1+2+22+23+24+⋯+22023． 28．我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算， 例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项6x4除以除式第一项2x，得到商式的第一项3x3； ③用商式的第一项3x3去乘除式（2x+1），把积（6x4+3x3）写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差（﹣10x3﹣x2）当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式＝除式x商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴6x4﹣7x3﹣x2﹣1可以整除2x+1． 请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）： （1）请在两个方框内分别填入正确的数或式子； （2）多项式3x2+5x﹣7除以x+2商式为　3x﹣1　 ，余式为　﹣5　 ； （3）多项式4x3+8x2﹣3x﹣9的一个因式是x﹣1，则该多项式因式分解的结果为　（x﹣1）（2x+3）2　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第一章《整式的乘除》 4.整式的除法 知识点复习 整式的除法 1. 单项式÷单项式： 步骤： (1) 系数相除； (2) 同底数幂相除 ； (3) 被除式独有字母保留 ，保留原字母和指数。 2. 多项式÷单项式： 方法：多项式的每一项除以单项式，再把商相加 说明： 1. 幂运算中：指数范围→全体整数 2. 乘法公式：整式乘法的特殊形式 3. 整式除法：除式字母不为0. 知识点练习 一、选择题练习 1．计算3m2n3÷（mn）2的结果为（　　） A．3 B．3m C．3n D．3mn 【解答】解：3m2n3÷（mn）2＝3m2n3÷m2n2＝3n， 故选：C． 2．化简（20x3y﹣15x2y2+5xy）÷（﹣5xy）的结果（　　） A．4x2﹣3xy+1 B．4x2﹣3xy C．﹣4x2+3xy﹣1 D．﹣4x2+3xy 【解答】解：（20x3y﹣15x2y2+5xy）÷（﹣5xy） ＝20x3y÷（﹣5xy）﹣15x2y2÷（﹣5xy）+5xy÷（﹣5xy） ＝﹣4x2+3xy﹣1． 故选：C． 3．如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为（　　） A．﹣10x2y+5xy2 B．﹣10x2y﹣5xy2 C．10x2y﹣5xy2 D．10x2y+5xy2 【解答】解：根据被除式＝除式×商可得： （2x+y）•（﹣5xy）＝﹣10x2y﹣5xy2． 故选：B． 4．若2a5b2÷a＝2ambn，则m，n的取值分别为（　　） A．m＝4，n＝0 B．m＝4，n＝2 C．m＝5，n＝2 D．m＝5，n＝0 【解答】解：2a5b2÷a＝2a4b2， ∴m＝4，n＝2， 故选：B． 5．计算（﹣2xy）3÷（2x2y）结果正确的是（　　） A．4xy2 B．﹣4xy2 C．2x3y2 D．﹣2x3y2 【解答】解：原式＝﹣8x3y3÷（2x2y）＝﹣4xy2， 故选：B． 6．长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为（　　） A．2a2﹣4ab B．a﹣2b C．a﹣2b+1 D．2a﹣2b+1 【解答】解：由题意得： （2a2﹣4ab+2a）÷（2a）＝a﹣2b+1， ∴长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为：a﹣2b+1， 故选：C． 7．有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（　　） A． B．a﹣b C． D．a+b 【解答】解：（a2+ab+ab+b2）÷2（a+b）． 故选：C． 8．计算（﹣3a3bm）2÷9anb＝a4b，则m+n等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵（﹣3a3bm）2÷9anb＝a4b， ∴9a6b2m÷9anb＝a6﹣nb2m﹣1＝a4b， ∴6﹣n＝4，2m﹣1＝1， 解得：m＝1，n＝2， ∴m+n＝3． 故选：A． 9．下列计算正确的是（　　） A．（6xy+5x）÷x＝6y+5 B．（15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2y2 C．（5x3﹣2x2+x）÷x＝5x2﹣2x D．（12x3y﹣8x3）÷（4x）2＝3xy﹣2 【解答】解：A． （6xy+5x）÷x＝6y+5，故选项正确； B． （15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2y，故选项错误； C． （5x3﹣2x2+x）÷x＝5x2﹣2x+1，故选项错误； D． （12x3y﹣8x3）÷（4x）2xyx，故选项错误． 故选：A． 10．关于x的多项式，A＝8x3﹣12x2+6x﹣1＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，B＝x2+ex+f（其中a，b，c，d，e，f均为常数），下列说法中正确的有（　　） ①当B能被（x﹣3）整除时，3e+f＝﹣9； ②当多项式A与B的乘积中不含x4项时，； ③a+b+c＝26． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：①当B能被（x﹣3）整除时，若x＝3，则B＝0， 即9+3e+f＝0， ∴3e+f＝﹣9， 故结论①正确； ②∵A＝8x3﹣12x2+6x﹣1，B＝x2+ex+f， ∴多项式A与B的乘积中x4项为：8x3•ex+（﹣12x2）•x2＝（8e﹣12）x4， 当多项式A与B的乘积中不含x4项时，8e﹣12＝0，即e， 故结论②正确； ③a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d＝a（x3﹣3x2+3x+1）+b（x2﹣2x+1）+cx﹣c+d＝ax3﹣（3a﹣b）x2+（3a﹣2b+c）x+a+b﹣c+d， ∵A＝8x3﹣12x2+6x﹣1＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d， ∴a＝8，3a﹣b＝12，3a﹣2b+c＝6， ∴a＝8，b＝12，c＝6， ∴a+b+c＝26，故结论③正确， 故选：D． 二、填空题练习 11．火星的体积约为1.35×1020立方米，地球的体积约为1.08×1021立方米，地球体积约是火星体积的 　80　 倍． 【解答】解：1.08×1021÷1.35×1020＝8． 故答案为：8． 12．计算：﹣15xy2÷5xy＝　﹣3y　 ． 【解答】解：﹣15xy2÷5xy＝﹣3y， 故答案为：﹣3y． 13．计算6a3b2÷2（ab）2的结果是　3a　 ． 【解答】解：原式＝6a3b2÷2a2b2＝3a， 故答案为：3a． 14．计算：（10x2y﹣5xy2）÷（5xy）＝　2x﹣y　 ． 【解答】解：（10x2y﹣5xy2）÷（5xy） ＝10x2y÷5xy﹣5xy2÷5xy ＝2x﹣y， 故答案为：2x﹣y． 15．若8a3b2÷M＝2ab2，则M＝　4a2　 ． 【解答】解：8a3b2÷2ab2＝4a2， 故答案为：4a2． 16．计算：　﹣xy2　 ． 【解答】解：原式 ＝﹣xy2， 故答案为：﹣xy2． 17．定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝nm﹣m÷n（m，n均为整数，且m≠0）．例：，则（﹣2）*2＝ 　　 ． 【解答】解：∵m*n＝nm﹣m÷n， ∴（﹣2）*2 ＝2﹣2﹣（﹣2）÷2 ， 故答案为：． 18．兴化莲溪湖公园拟采用长方形瓷砖铺装农产品展馆地面，瓷砖长为（x+my）cm，宽为（x﹣2y）cm，每块瓷砖的面积为（x2+nxy+12y2）cm2，则m+n的值为 　﹣14　 ． 【解答】解：由题意得：（x+my）（x﹣2y）＝x2+nxy+12y2， ∴x2﹣2xy+mxy﹣2my2＝x2+nxy+12y2， x2+（m﹣2）xy﹣2my2＝x2+nxy+12y2， m﹣2＝n，﹣2m＝12， 解得：m＝﹣6，n＝﹣8， ∴m+n＝﹣6﹣8＝﹣14， 故答案为：﹣14． 19．如图，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图中纸盒底部长方形的周长为 　8a+2b　 ． 【解答】解：纸盒底部长方形的宽为， ∴纸盒底部长方形的周长为2（4a+b）＝8a+2b， 故答案为：8a+2b． 20．阅读材料：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式计算，如图，所以（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1）＝3x3﹣5x2+2x﹣1，请根据阅读材料回答下列问题：若x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，则a﹣b＝　2　 ． 【解答】解：根据题意，设商式为（x+m）， x3﹣x2+ax+b＝（x+m）（x2+2x+2）＝x3+（2+m）x2+（2+2m）x+2m， ∴2+m＝﹣1， ∴m＝﹣3， ∴a＝2+2m＝2+2×（﹣3）＝2﹣6＝﹣4，b＝2m＝2×（﹣3）＝﹣6， ∴a﹣b＝﹣4﹣（﹣6）＝﹣4+6＝2． 故答案为：2． ． 三、解答题练习 21．计算：32（x3y2z）3÷（﹣8x5y4z2）． 【解答】解：原式＝32×（x9y6z3）÷（﹣8x5y4z2） ＝﹣4x4y2z． 22．计算：[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷（3xy）． 【解答】解：原式＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷（3xy） ＝（2x3y2﹣2x2y）÷3xy ． 23．化简：（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x． 【解答】解：（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x ＝x2+xy﹣3xy﹣3y2+（xy+3y2） ＝x2+xy﹣3xy﹣3y2+xy+3y2 ＝x2﹣xy． 24．在一次水灾中，大约有2.5×105个人无家可归，假如一顶帐篷占地100米2，可以放置40个床位，为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多少地方？估计你的学校的操场可安置多少人？要安置这些人，大约需要多少个这样的操场？ 【解答】解：根据题意得 2.5×105÷40＝6250顶帐篷， 6250×100＝6.25×105米2， 需要根据操场的大小来计算，如： 我的学校的操场大约是6000米2， 40＝2400人， 2.5×105÷2400≈105个操场． 答：为了安置所有无家可归的人，需要6250顶帐篷，这些帐篷大约要占6.25×105米2， 估计我的学校的操场可安置2400人，要安置这些人，大约需要105个这样的操场． 25．小雅同学计算一道整式除法：（ax3y2+bx2y3）÷（2xy），由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为12x4y3﹣8x3y4． （1）直接写出a、b的值：a＝　6　 ，b＝　﹣4　 ； （2）这道除法计算的正确结果是 　3x2y﹣2xy2　 ； （3）若xy＝﹣5，3x﹣2y＝7，计算（2）中代数式的值． 【解答】解：（1）∵（ax3y2+bx2y3）•（2xy）＝2ax4y3+2bx3y4＝12x4y3﹣8x3y4， ∴2a＝12，2b＝﹣8， ∴a＝6，b＝﹣4； 故答案为：6，﹣4； （2）（6x3y2﹣4x2y3）÷（2xy）＝3x2y﹣2xy2； 故答案为：3x2y﹣2xy2； （3）∵3x2y﹣2xy2＝xy（3x﹣2y），xy＝﹣5，3x﹣2y＝7， ∴原式＝﹣5×7＝﹣35． 26．已知A＝（a+2b）（a﹣b）﹣a5÷a3﹣（2b）2． （1）先化简A，再求当a＝1，b＝﹣3时，A的值； （2）若a＝6b，求A的值． 【解答】解：（1）A＝a2﹣ab+2ab﹣2b2﹣a2﹣4b2 ＝a2﹣a2+2ab﹣ab﹣2b2﹣4b2 ＝ab﹣6b2； 当 a＝1，b＝﹣3 时， A＝1×（﹣3）﹣6×（﹣3）2 ＝﹣3﹣6×9 ＝﹣3﹣54 ＝﹣57． （2）当 a＝6b 时， A＝6b•b﹣6b2 ＝6b2﹣6b2 ＝0． 27．观察下列等式： （x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1 （x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1 （x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1 … （1）根据以上等式写出（x5﹣1）÷（x﹣1）＝　x4+x3+x2+x+1　 ； （2）直接写出（xn﹣1）÷（x﹣1）的结果（n为正整数） 　xn﹣1+xn﹣2+•••+x+1　 ； （3）计算：1+2+22+23+24+⋯+22023． 【解答】解：（1）由题意得，（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1， 故答案为：x4+x3+x2+x+1； （2）由题意得， （xn﹣1）÷（x﹣1）＝xn﹣1+xn﹣2+•••+x+1， 故答案为：xn﹣1+xn﹣2+•••+x+1； （3）由题意得， 1+2+22+23+24+⋯+22023＝（22024﹣1）÷（2﹣1）＝22024﹣1． 28．我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算， 例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项6x4除以除式第一项2x，得到商式的第一项3x3； ③用商式的第一项3x3去乘除式（2x+1），把积（6x4+3x3）写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差（﹣10x3﹣x2）当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式＝除式x商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴6x4﹣7x3﹣x2﹣1可以整除2x+1． 请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）： （1）请在两个方框内分别填入正确的数或式子； （2）多项式3x2+5x﹣7除以x+2商式为　3x﹣1　 ，余式为　﹣5　 ； （3）多项式4x3+8x2﹣3x﹣9的一个因式是x﹣1，则该多项式因式分解的结果为　（x﹣1）（2x+3）2　 ． 【解答】解：（1）竖式表示为： 故答案为：2，﹣10x3﹣5x2； （2）多项式3x2+5x﹣7除以x+2，用竖式表示为： ∴商式为3x﹣1，余式为﹣5． 故答案为：3x﹣1，﹣5； （3）∵多项式4x3+8x2+3x﹣9的一个因式为x﹣1， ∴另一个因式为：（4x3+8x﹣3x﹣9）÷（x﹣1） ＝4x2+12x+9 ＝（2x+3）2， ∴该多项式因式分解的结果为：（x﹣1）（2x+3）2． 故答案为：（x﹣1）（2x+3）2． 学科网（北京）股份有限公司 $$