4.4探索三角形相似的条件（黄金分割） (4) 课时练习　2025—2026学年北师大版数学九年级上册

4.4探索三角形相似的条件（黄金分割） (4) 课时练习 1. 选择题： 1.已知，C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB=2，则BC=（ ） A．﹣1 B．（+1） C．3﹣ D．（﹣1） 2.如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（ ） A．∠1=∠C B．∠A=∠C C．∠2=∠B D． 3.如图，平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于（ ） A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶2 4.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为(　　) A. B. C. D. 或 5.下列说法正确的是 (　　)A．每条线段有且仅有一个黄金分割点 B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍 C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB·BC D．以上说法都不对 二.填空题： 6.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为__________． 7.P为线段AB＝10cm的黄金分割点，则AP＝ ____ cm 8.节目主持人现站在舞台AB的一端A点，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果，若舞台AB长20米，主持人要想站在舞台的黄金分割点处，她应走到距A点至少 米处，如果向B点再走 米，也处在舞台的黄金分割点处（结果精确到0.1米） 9.如图，在△ABC中，点D是AB的黄金分割点（AD＞BD），BC＝AD，如果∠ACD＝90°， 那么CD：CA＝ 。 三.解答题： 10.如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值． 11.五角星是我们常见的图形，如图是一个标准的正五角星，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB＝20cm，求EC＋CD的长．2·1·c·n·j·y 12.要设计一座2m高的维纳斯女神雕像（如图），使雕像的上部AC（肚脐以上）与下部BC（肚脐以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C（肚脐）就叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比。试求出雕像下部设计的高度以及这个黄金分割比？ 提高题： 13.如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线。（1）如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论； （2）若△ABC在（1）的条件下，如图3，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4探索三角形相似的条件（黄金分割） (4) 课时练习 1. 选择题： 1.已知，C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB=2，则BC=（A）图1 A．﹣1 B．（+1） C．3﹣ D．（﹣1） 2.如图1，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（ B ） A．∠1=∠C B．∠A=∠C C．∠2=∠B D． 3.如图2，平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于（ D ） A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶2图2 4.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为(　D　) A. B. C. D. 或 5.下列说法正确的是(　B　)A．每条线段有且仅有一个黄金分割点 B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍 C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB·BC D．以上说法都不对 二.填空题： 6.如图3，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为_．图3 7.P为线段AB＝10cm的黄金分割点，则AP＝6.2或3.8cm 8.节目主持人现站在舞台AB的一端A点，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果，若舞台AB长20米，主持人要想站在舞台的黄金分割点处，她应走到距A点至少7.6米处，如果向B点再走4.8米，也处在舞台的黄金分割点处（结果精确到0.1米）图4 9.如图4，在△ABC中，点D是AB的黄金分割点（AD＞BD），BC＝AD，如果∠ACD＝90°，那么CD：CA＝。 三.解答题： 10.如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值． 解：∵矩形ABCD∽矩形ECDF，∴=，即=，∴BC2﹣BC•AB﹣CD2=0，图5 解得，BC=CD，∵BC、CD是正数，∴=． 11.五角星是我们常见的图形，如图是一个标准的正五角星，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB＝20cm，求EC＋CD的长．2·1·c·n·j·y 解：∵点D为线段AB的黄金分割点(AD＞BD)，∴AD＝，AB＝(10－10)cm.∵EC＋CD＝AC＋CD＝AD，∴EC＋CD＝(10－10)cm. 12.要设计一座2m高的维纳斯女神雕像（如图），使雕像的上部AC（肚脐以上）与下部BC（肚脐以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C（肚脐）就叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比。试求出雕像下部设计的高度以及这个黄金分割比？ 解：设维纳斯女神雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2－x）m。依题意，得，解得，（不合题意，舍去）。 经检验是原方程的根。答：维纳斯女神雕像下部的高度为1.236m。 提高题： 13.如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果 ，那么称直线l为该图形的黄金分割线。（1）如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论； （2）若△ABC在（1）的条件下，如图3，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论； 解：（1）点D是AB边上的黄金分割点．理由如下：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°。 ∵CD是角平分线，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD。∵∠CDB＝180°－∠B－∠BCD＝72°， ∴∠CDB＝∠B，∴BC＝CD。∴BC＝AD。在△BCD与△BCA中，∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°， ∴△BCD∽△BCA，∴，∴，∴点D是AB边上的黄金分割点。 （2）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC中，AB边上的高为h，则 S△ABC＝AB•h，S△ACD＝AD•h，S△BCD＝BD•h。∴S△ACD：S△ABC＝AD：AB，S△BCD：S△ACD＝BD：AD。 由（1）知，点D是AB边上的黄金分割点，，∴S△ACD：S△ABC＝S△BCD：S△ACD，∴CD是△ABC的黄金分割线。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$