4.4 第4课时黄金分割-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)

第4课时 黄金分割（答案P19) 通基础> 上截取DE=DB,在AB上截取AC=AE.则 知识点1黄金分割的概念 AS的值为( 1.已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM), A号 B5-1 2 则下列各式不正确的是() A.AM:BM=AB:AM C36 2 0.2 B.A25243 5.横型观念我们把宽与长的比是5，'的矩形 2 C.BMAB 叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称 的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最 D.AM≈0.618AB 佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已 知识点2黄金分割的应用 知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为 2.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐 5一1，则该矩形的周长为 的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割 6.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性， 比（黄金分割比≈0.618），著名的“断臂维纳 蕴藏着丰富的美学价值.如图①所示，我们已 斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的 经学过，点C将线段AB分成两部分，如果 长度与咽喉至肚脐的长度之比也是黄金分割 AC:AB=BC:AC,那么称点C为线段AB 比.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿 的黄金分割点.如图②所示，在△ABC中， 长为103cm,头顶至脖子下端的长度为 AB=AC=1,∠A=36°，BD平分∠ABC交 25cm,则其身高可能是() AC于点D. A.165 cm B.170 cm (1)求证：点D是线段AC的黄金分割点. C.175 cm D.180 cm (2)求出线段AD的长. 3.应用意识大自然是美的设计师，即使是一片 小小的树叶，也蕴含着“黄金分 割”的美.如图所示，点P为AB 的黄金分割点(AP>PB).如果 BP的长度为4cm,那么AP的 长度为 cm. 通能力●9292290>9>2>22992 4.(教材P97随堂练习变式)按 照如下步骤进行作图：如图 所示，已知线段AB,过点B 作BD⊥AB,使BD= 2AB,连接DA,在DA 一九件级上用数学的 86 专题五 相似三角形的基本模型（答案P19) 类型1“A”字型 国类型2旋转型 1.如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC交 3.探究拓展)如图①所示，在等腰直角三角形 AC于点E,过点E作ED∥BC交AB于点D. ADC中，∠ADC=90°，AD=4.点E是AD的 (1)求证：AE·BC=BD·AC 中点，以DE为边作正方形DEFG,连接AG, (2)如果S△ADE=3,S△BDE=2,DE=6,求BC CE.将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋 的长 转角为a(0°<a<90). (1)如图②所示，在旋转过程中， ①判断△AGD与△CED是否全等，并说明 理由 ②当CE=CD时，AG与EF交于点H,求 GH的长. (2)如图③所示，延长CE交直线AG于点P. 求证：AG⊥CP. 2.模型观念如图所示，在△ABC中，AB=8厘米， AC=16厘米，点P从点A出发，以每秒 2厘米的速度向点B运动，点Q从点C同时出 发，以每秒3厘米的速度向点A运动，其中一 个动点到端点时，另一个动点也相应停止运 动，设运动的时间为ts (1)用含t的代数式表示：AP= AQ= (2)当以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相 似时，求运动时间是多少 t87 优学案课时通÷0品△AB0c△CAD, .△ADB∽△AEC,∠BAD=∠CAE, .∠BAD=∠C. ∠DAE=∠Ac是把小品怎。 又：∠B+∠BAD=90°， ,.△ADEO△ABC .∠B+∠C=90,∠BAC=90 (2):∠BAC=90°，AB=6,BC=3V5, ②.DE⊥AB,DF⊥AC,∠BAC=90°， ∴由勾股定理，得AC=√(35)-62=3. ,∠EAF=∠AED=∠AFD=90°， :△ADED△ABC,BC-AC, 、DEAE .四边形AEDF是矩形， ∴.EF=AD. .∠BDA=∠BAC=90°， AE=2,:DE-2 “353DE=25. ∠ABD=∠CBA, 12.解：(1)△ABC和△DEF相似.理由如下：根据题图，知 AB BD △ABD∽△CBA,BC-AB' AB=25,AC=5,BC=5,ED=42,DF=22,EF= 4 BD 六BD+64: 2而，8-部祭-△ABc0△DE 解得BD=2(负值舍去)，∴在Rt△ABD中，AD= (2)△ACB△DP,P:.理由如下：由(1)知，△ABC∽ △DEF,∴.∠D=∠A. √AB-BD=23,.EF=25. 如图所示，连接PzPa.由图知DP,=√2，DP,=2√E,P,P= (2)AD=4.DC=4.DF LAC,BD=2, √10. .AC=4N2,AB=25, ∴AF=2AC=2E. 2 ,∴△ACB∽△DP,P :DE⊥AB,DF⊥AC,AD⊥BC, ∴，∠AED=∠ADB=90 又：∠EAD=∠DAB, △MED△ADB,小0得 .AD2=AE·AB, 第4课时黄金分割 同理可证AD3=AF·AC, 1.C2.B3.(25+2)4.B5.4或25+2 iAE·AB=AF·AC,即长A5 AC AB 6.解：(1)证明：，AB=AC=1,.∠ABC=∠C= 2(180° 又'∠EAF=∠CAB,∴.△AEF∽△ACB, 1 ∠A)=2×(180°-36")=72 EFAF.EF 22 CB-AB625 :BD平分∠ABC交AC于点D, 解得EF=6Vo 六∠ABD=∠CBD=2∠ABC=36, 5 ,.∠BDC=180°-36°-72°=72，.DA=DB,BD=BC 第3课时三边成比例的判定方法 AD=BD=BC,易得△BDC∽△ABC,,BC:AC= 1.A2.C3.C4.405.③△DEB 6.证明：点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，.DF,EF, CD:BC,即BC2=CD·AC,AD=CD·AC,A2 DE是△ABC的中位线， C i.DF-BC.EF-AB.DE-TAC, AD一点D是线段AC的黄金分割点. (2)设AD=x,则CD=AC-AD=1一x, 既需恶 x 2x,-5-1 号-1，即2-1-解得，-5， 2 .△ABCo△EFD. (合去)， 7.证明：方法1：DE∥AB,EF∥BC,DF∥AC, 器-器-肥-器影， 经检酸山=5二一是分式方程的解，即AD的长为5二号 2 专题五相似三角形的基本模型 肥-既 1.解：(1)证明：BE平分∠ABC ·∠ABE=∠CBE.DE∥BC, ∴.△DEF∽△ABC .∠DEB=∠CBE,.∠ABE=∠DEB, 方法2AB∥DE,.∠BAO=∠EDO.:AC∥DF, .BD=DE. .∠CAO=∠FDO,.∠BAO十∠CAO=∠EDO十∠FDO, :DE∥BC,∴.△ADE∽△ABC, 即∠BAC=∠EDF,同理可得∠ABC=∠DEF, ,△DEF∽△ABC. 是-AE·BC-BD,AC 8和3或和号支号和号 (2)设△ABE的边AB上的高为h. 1 9.B10.1 S△ADE AD·hAD3 1解：0证明：记-把-0 S△BHDE 2BD·A 19