第03讲 1.2 空间向量基本定理（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）-【精讲精练】2025-2026学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲 1.2 空间向量基本定理 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 【即学即练1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量的基本定理结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】因为向量，，是不共面的三个向量， 对于A：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故B错误； 对于C：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故C错误； 对于D ：假定向量，，共面， 则存在不全为的实数，，使得，整理得， 而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面， 即向量，，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：D 知识点02：空间向量的正交分解 1、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3、特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 第三部分 题型精讲 题型01空间向量基底的概念及辨析 【典例1】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量基本定理依次判断各选项中的向量是否与向量，共面即可，不共面的则可作为平面的一个基底. 【详解】对于A，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即A错误； 对于B，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即B错误； 对于C，不妨设， 则有，方程组无解，即与向量，不共面，故可构成基底，故C正确； 对于D，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即D错误. 故选：C. 【典例2】（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（    ） A．两两垂直 B． C． D． 【答案】A 【分析】由基底定义和共面定理即可逐一判断选项A、B、C、D得解. 【详解】由基底定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底. 对于A，因为非零向量两两垂直， 所以非零向量不共面，可构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，，则共线， 由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以与共面，故B错误； 对于C，由共面定理可知非零向量共面，故C错误； 对于D，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D错误. 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·重庆北碚·期末）若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基底的概念进行判断. 【详解】对A：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对B：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对C：因为，所以共面，所以不能构成空间向量的基底； 对D：因为不存在，使得，所以不共面，所以可以作为空间的另一组基底. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·广东东莞·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，假设、、共面， 则存在、使得 ，所以，，无解， 所以，、、不共面，可以作为空间的一组基底； 对于B选项，因为，则、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底； 对于C，因为，所以，、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底； 对于D，，则、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底. 故选：A. 【变式3】（多选）（24-25高二上·甘肃兰州·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用空间基底的定义以及空间向量共面定理依次判断可得结论. 【详解】由于是空间的一个基底，所以不共面， 对于A，向量分别与共线，所以不共面，能构成空间一个基底； 对于B，若共面， 则存在唯一实数对，使得， 则，无解， 所以不存在实数满足， 因此不共面，能构成空间一个基底； 对于C，由于，故这三个向量是共面的，不能构成基底； 对于D，若共面， 则存在唯一实数对，使得， 则，无解， 所以不存在实数满足， 因此不共面，能构成空间一个基底. 故选：ABD. 题型02用空间基底表示向量 【典例1】（24-25高二下·湖北·期末）如图，在四面体OABC中，，，，且，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】连接ON，因为，所以()， 因为，所以， 所以. 故选：C. 【典例2】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则 （用表示）． 【答案】 【分析】利用向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则即可求得结果. 【详解】 , 故答案为： 【变式1】（23-24高二上·河北·阶段练习）如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】， . 故选：C 【变式2】（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）在空间四边形中，点在线段上，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的基本运算分解向量即可. 【详解】因点在线段上，且，则， 因为的中点，则， 则. 故选：B. 【变式3】（24-25高二下·河南商丘·开学考试）在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为，的中点，为的中点，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由几何体结构特征结合向量的加减法法则逐步转化计算即可. 【详解】由题意得, . 故选：D 题型03应用空间向量基本定理证明线线位置关系 【典例1】（22-23高二·全国·随堂练习）已知在空间四边形中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】选取基底，将已知直线垂直关系转换为数量积为0，得到相应的等量关系，进而证明即可. 【详解】如图所示：    不妨选空间的一组基底向量为， 由题意，， 所以有，即， 同理有，即， 因此， 从而，即. 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）以为基底表示出，根据向量相等来证得. （2）设，利用基底表示出，通过计算得到，从而判断出不存在符合题意的点. 【详解】（1）当为的中点时， ， ， 所以． （2）设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 【变式1】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 【变式2】（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论； （2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案. 【详解】（1）证明：设，则构成空间的一个基底， ， ， 所以 ， 所以. （2）由（1）知， 所以 . 所以. 【变式3】（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)若、、三点共线，求实数的取值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）首先表示出，即可得到，由、、三点共线，则，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】（1）依题意， . （2）因为， 点在对角线上，且， 所以， 则， 因为、、三点共线，所以， 即， 又、、不共面，所以、、可以作为空间中的一组基底， 所以，解得. 题型04应用空间向量基本定理求距离、夹角 【典例1】（24-25高二下·江苏扬州·期末）在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用、、表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】如下图所示： 因为，，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， 故，则线段的长度为． 故选：C． 【典例2】（24-25高二下·江苏盐城·期末）在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】利用平行六面体的结构特征确定异面直线所成的角，再借助空间向量数量积的运算律求出，进而利用余弦定理求得答案. 【详解】在平行六面体中，， 则是异面直线与所成角或其补角， 而，，， ， ， ， ， 在中，. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为 . 【答案】 【分析】利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系，结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度. 【详解】设， 则， ， ， 所以 . 所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，则与所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式和同角三角函数的平方关系即可求解. 【详解】由题意有，， 所以 ， ， 所以，又 ， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）三棱柱中，，分别是，上的点，且．设． （1）用表示向量为 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 【分析】（1）根据图形，利用向量的加减数乘运算可将用表示即可； （2）利用向量数量积的运算律，根据（1）的结果计算即得. 【详解】（1）根据图形，可得 ． （2）由题设条件，可得， 由 ，故． 故答案为：① ； ② . 题型05空间向量的基本定理 【典例1】（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】因为点分别为的中点，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 又，则，所以. 故选：D. 【典例2】（24-25高二上·云南红河·期末）对三维空间中不共线的三点和任一点，点在平面内的充要条件是存在唯一有序实数组，使且.现已知四点共面，为空间中任意一点，且满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据题干中四点共面的充要条件可得，再利用基本不等式即可求最小值. 【详解】由题意知，即， 因为四点共面，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·安徽阜阳·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心．若，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算结合给定条件求解参数，再求值即可. 【详解】是三棱锥的底面的重心， ，由向量加法法则得， ， ， ， 而， ，，，，则，故B正确. 故选：B 【变式2】（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，.    (1)求证：A，E，，F四点共面； (2)若，求x+y+z 的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明； （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）证明： ， 所以A，E，，F四点共面. （2） ， ，，， . 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（23-24高二下·重庆合川·期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】利用中，，， 所以． 故选：B． 3．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算转化即得. 【详解】由图可得，. 故选：A. 4．（24-25高二下·江苏常州·期中）在平行六面体中，，，，则棱的长度是（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】设，分别求出的模长和两两之间的数量积，将用表示，并利用向量数量积的运算律求其模长即可. 【详解】    如图，不妨取，则，，， ，，. 因为， 则 ，故. 故选：A. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】先根据空间向量表示，再应用空间向量的数量积运算律计算求解. 【详解】如图所示：    因为六面体是平行六面体， 所以， 则， 由，，，，，设， 故有：， 所以， 得，解得负值舍去 故 故选：B. 6．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知是空间向量的一个基底，若向量，且向量，则用基底表示向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合给定条件利用基底表示空间向量即可. 【详解】设，因为， 所以， 而，故，，， 解得，得到，故A正确. 故选：A 7．（多选）（24-25高二下·陕西渭南·开学考试）若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量基本定理逐一分析即可. 【详解】对A，因为是空间向量的一组基，则可以构成空间向量的一组基，故A正确； 对B，设，其中， 则，无解，则能构成空间向量的一组基，故B正确； 对C，显然不存在实数使得成立， 则能构成空间向量的一组基，故C正确； 对D，因为，则不能构成空间向量的一组基，故D错误. 故选：ABC. 8．（多选）（24-25高二上·河南新乡·期末）如图，在平行六面体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量线性运算判断A、B，根据数量积的定义及运算律判断C、D. 【详解】依题意可得， 同理，，故C正确； 连接， 则，故A正确； ，故B错误； ，故D正确. 故选：ACD. 9．（24-25高二上·河北承德·期末）在空间四边形OABC中，，，，且，，则 ．（用，，作基底） 【答案】 【分析】根据给定的基底，利用空间向量线性运算求解即得. 【详解】在空间四边形OABC中，，且， 所以 . 故答案为： 10．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 【答案】0 【分析】根据向量的运算法则依次代换成形式，即可得出未知数的值. 【详解】在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点， 所以， 由题， 所以，即. 故答案为：0 11．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果. （2）利用三角形法则得，又由（1）的结论，两个向量求数列积即可. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以 12．（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点. (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2)线段的长为， 【分析】（1）方法一：利用三角形法则计算可得结果；方法二：根据平行四边形法则计算可得； （2）根据（1）中结论将等式平方可得线段的长为，再分别计算出和的长，即可得出其余弦值. 【详解】（1）方法一： 由题意知 . 方法二： 因为G为的中点， 所以. （2）因为四边形是正方形，，， 所以，，. 所以 ， 即线段的长为 因为， 所以 ， 又 ， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. B能力提升 1．（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】因为点分别为的中点，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 又，则，所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共面向量的基本定理得出，利用空间向量的减法可得出，设，利用空间向量的线性运算得出，进而可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为、、、四点共面，且、不共线， 则存在、，使得， 即， 所以， 因为四边形为平行四边形，所以，即， 所以， 设，则， 因为、、不共面，所以，解得，所以， 又因为，故， 故选：C. 3．（24-25高二上·云南红河·期末）对三维空间中不共线的三点和任一点，点在平面内的充要条件是存在唯一有序实数组，使且.现已知四点共面，为空间中任意一点，且满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据题干中四点共面的充要条件可得，再利用基本不等式即可求最小值. 【详解】由题意知，即， 因为四点共面，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正四面体中，分别为棱的中点，． (1)用向量表示向量； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算求解即可； （2）用向量表示，根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解. 【详解】（1）因为，则， 所以． （2）由题意可知：， 因为，则， 可得， ， 因为，则， 整理可得， 即，整理可得， 因为，所以． 5．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知三棱锥中，，，，，点为的中点，点满足，点满足. (1)求的长； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间的基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. （2）由（1）中信息，利用数量积的运算律求解. 【详解】（1）在三棱锥中，点为的中点，， ，而，， ， 所以 .    （2）由，得， 所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 1.2 空间向量基本定理 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 【即学即练1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点02：空间向量的正交分解 1、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3、特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 第三部分 题型精讲 题型01空间向量基底的概念及辨析 【典例1】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（    ） A．两两垂直 B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·重庆北碚·期末）若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·广东东莞·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式3】（多选）（24-25高二上·甘肃兰州·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（　　） A． B． C． D． 题型02用空间基底表示向量 【典例1】（24-25高二下·湖北·期末）如图，在四面体OABC中，，，，且，，则=（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则 （用表示）． 【变式1】（23-24高二上·河北·阶段练习）如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）在空间四边形中，点在线段上，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·河南商丘·开学考试）在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为，的中点，为的中点，记，，，则（   ） A． B． C． D． 题型03应用空间向量基本定理证明线线位置关系 【典例1】（22-23高二·全国·随堂练习）已知在空间四边形中，，，求证：． 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【变式1】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【变式2】（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 【变式3】（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)若、、三点共线，求实数的取值． 题型04应用空间向量基本定理求距离、夹角 【典例1】（24-25高二下·江苏扬州·期末）在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·江苏盐城·期末）在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【变式1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为 . 【变式2】（24-25高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，则与所成角的正弦值为 ． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）三棱柱中，，分别是，上的点，且．设． （1）用表示向量为 ； （2）若，则的长为 ． 题型05空间向量的基本定理 【典例1】（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【典例2】（24-25高二上·云南红河·期末）对三维空间中不共线的三点和任一点，点在平面内的充要条件是存在唯一有序实数组，使且.现已知四点共面，为空间中任意一点，且满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．4 【变式1】（24-25高二上·安徽阜阳·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心．若，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ． 【变式3】（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，.    (1)求证：A，E，，F四点共面； (2)若，求x+y+z 的值. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（23-24高二下·重庆合川·期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏常州·期中）在平行六面体中，，，，则棱的长度是（    ） A． B． C． D．5 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 6．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知是空间向量的一个基底，若向量，且向量，则用基底表示向量为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高二下·陕西渭南·开学考试）若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高二上·河南新乡·期末）如图，在平行六面体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·河北承德·期末）在空间四边形OABC中，，，，且，，则 ．（用，，作基底） 10．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 11．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 12．（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点. (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及直线与所成角的余弦值. B能力提升 1．（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 2．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南红河·期末）对三维空间中不共线的三点和任一点，点在平面内的充要条件是存在唯一有序实数组，使且.现已知四点共面，为空间中任意一点，且满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．4 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正四面体中，分别为棱的中点，． (1)用向量表示向量； (2)若，求实数的值． 5．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知三棱锥中，，，，，点为的中点，点满足，点满足. (1)求的长； (2)求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$