精品解析：陕西省西安市雁塔区西安市第八十五中学2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题

2024～2025学年度第二学期期末检测 高二年级数学（人教A版） 注意事项： 1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟； 2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号； 3.第I卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰； 4.考试结束，监考员将答题卡收回. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知某地3月～5月份的日平均气温X（单位：℃）服从正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的 若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为（ ） （附，其中．） A. B. C. D. 6. 已知直线，过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A. 变量x、y之间呈正相关 B. 预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C. D. 拟合误差 8. 已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 下列命题是假命题的是（    ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数最小值为2 C. 函数与是同一个函数 D. 若不等式的解集为，则不等式的解集为或 11. 2025年1月20日，DeepSeek发布并开源DeepSeek-R1模型，这是继ChatGPT之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模（单位：十亿美元）的数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 市场规模 6.4 9.5 13.8 20.1 29 40.7 58 80.4 110 150 设与的关系可以用线性回归模型进行拟合，4.8，则（ ） A. 人工智能的市场规模与年份正相关 B. 人工智能的市场规模的分位数为110 C. 关于的回归方程为 D. 人工智能的市场规模的年增长率约为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_____. 13. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是__________. 14. 某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若的定义域为R，求实数的取值范围． （2）若的值域为R，求实数的取值范围． 16. 近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： （1）求的值； （2）该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 17. 已知函数的表达式为，且（）. （1）求实数的值，并判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）解关于的不等式. 18. 为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示. （1）用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数； （2）将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望； （3）从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率. 参考数据：若，则，. 19. 某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入．该公司第i年的年广告费（单位：百万元）满足递推关系，且，年销售量（单位：百万辆）与年广告费相关．令，经过数据处理得到如下统计量的值： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有模型作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中均为常数． （1）求； （2）求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ （3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）．该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍．电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率．（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量） 附：①回归直线 ②参考数据：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期期末检测 高二年级数学（人教A版） 注意事项： 1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟； 2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号； 3.第I卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰； 4.考试结束，监考员将答题卡收回. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合，再根据交集的概念求两个集合的交集. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2. 已知随机变量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由二项分布的方差即可求出，进而求解. 【详解】由，得，解得或， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 3. 已知某地3月～5月份的日平均气温X（单位：℃）服从正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】由X服从正态分布，则， 由，则， 所以. 故选：B. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性即可逐一判断. 【详解】对于A，因为是减函数，且，所以，故A错误； 对于B，取，则，故B错误； 对于C，因为是增函数，且，所以，故C正确； 对于D，因为是增函数，且，所以，故D错误. 故选：C. 5. 某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的 若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为（ ） （附，其中．） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先列出列联表计算值，再根据计算出的最小值. 【详解】根据题意，列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男 女 合计 ； ∵有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，即， ，，又， 则的最小值为. 故选：B. 6. 已知直线，过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得的对称中心，从而得到，再对式子变形，利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】函数，，其图象的对称中心为点， 代入直线方程得． 则， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为9． 故选：D 7. 某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A. 变量x、y之间呈正相关 B. 预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C. D. 拟合误差 【答案】C 【解析】 【分析】根据线性回归方程即可判断；将代入线性回归方程即可判断；由在线性回归方程上，即可求解；根据拟合误差计算公式求解即可. 【详解】因为线性回归方程为，， 所以变量x、y之间呈正相关，故正确； 当时，（百本），所以书籍销量约为400本，故正确； 由表中数据可得，， 所以，解得，故错误； 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以，故正确. 故选：. 8. 已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求出的值，再确定有理项的个数，最后根据超几何分布的期望公式计算. 【详解】在中，其展开式的通项为： ， 已知第项为常数项，即当时，的次数为，则，解得. 由可得，当为整数时，该项为有理项. 因为且，所以当，，时，分别为，，，是整数，即有理项有项. 从11项中任取项，其中有理项的个数服从参数为（总体个数），（有理项个数），（抽取个数）的超几何分布. 根据超几何分布的期望公式，可得. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的性质以及特殊值验证法，对四个说法逐一分析，由此确定正确的说法. 【详解】对A：因为，所以，，所以，所以，即，故A正确； 对B：取，，则，故B错误； 对C：因为，，所以， 所以，故C正确； 对D：因为，，所以，所以.故D正确. 故选：ACD 10. 下列命题是假命题的是（    ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数最小值为2 C. 函数与是同一个函数 D. 若不等式的解集为，则不等式的解集为或 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据存在性命题的否定判断A，由不等式性质判断B，根据函数定义域判断C，由一元二次不等式、一元二次方程的关系求不等式的解集判断D. 【详解】对于A，，”的否定是，，故A为假命题； 对于B，因为，所以函数，所以最小值不为2 ，B选项为假命题； 对于C，函数定义域为R，函数定义域为， 定义域不同两函数不是同一个函数，C选项为假命题； 对于D，由题意，方程的解为，且， 由韦达定理可得，则，解得， 则不等式，即，由， 则不等式变为，解得或，故D正确； 故选：ABC 11. 2025年1月20日，DeepSeek发布并开源DeepSeek-R1模型，这是继ChatGPT之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模（单位：十亿美元）的数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 市场规模 6.4 9.5 13.8 20.1 29 40.7 58 80.4 110 150 设与的关系可以用线性回归模型进行拟合，4.8，则（ ） A. 人工智能的市场规模与年份正相关 B. 人工智能的市场规模的分位数为110 C. 关于的回归方程为 D. 人工智能的市场规模的年增长率约为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正相关、百分位数、的概念可判断A、B；将代入求解即可判断C；设，通过计算估算的关系即可判断D. 【详解】对于A，人工智能的市场规模随年份增大而增大，故是正相关关系，故A正确； 对于B，分位数是从小到大第9个和第10个数据的平均数，即，故B错误； 对于C，因为，即，故C错误； 对于D，设，则，故的年增长率约为，故D正确. 故选：AD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式可得，即可得求解， 【详解】由于，故，即， 当且仅当等号成立，即. 故答案为： 13. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，利用函数的单调性解不等式，再利用是偶函数解不等式即可. 【详解】由对数函数和一次函数的单调性可得是上的增函数， 且， 所以当时，的解集为， 所以当时，不等式的解集为：. 又因为是奇函数，易知是偶函数， 所以当时，不等式的解集为：. 故不等式的解集为：. 故答案为： 14. 某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意根据球颜色出现的概率得出相应的递推公式，再结合等比数列定义求出其通项公式代入计算可得结果. 【详解】由题意第次按下按钮后出现红球的概率为，则出现绿球的概率为； 因此可得，化简可得， 即，又， 因此可得是以为首项，为公比的等比数列， 可得，可得； 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若的定义域为R，求实数的取值范围． （2）若的值域为R，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到恒成立，再通过讨论求解即可； （2）通过，两类情况讨论即可； 【小问1详解】 由题意得恒成立． 当时，，定义域为，不符合题意． 当时，由题意得解得． 综上可得，的取值范围是． 【小问2详解】 当时，，值域为R，符合题意． 当时，由题意得解得． 综上可得，的取值范围是． 16. 近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： （1）求的值； （2）该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求得的值； （2）由4组无人驾驶汽车的数量比为，得到行驶里程在和抽取的车辆数，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望和方差的公式，即可求解； 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质，可得，解得. 【小问2详解】 由4组无人驾驶汽车的数量比为：， 若采用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在，这一组的无人驾驶汽车有辆， 在行驶里程，这一组的无人驾驶汽车有辆， 由题意知，随机变量的可能取值为， 可得， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 17. 已知函数的表达式为，且（）. （1）求实数的值，并判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1），偶函数 （2）上单调递减，在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，求解的解析式，按照求解实数a的值即可；再根据奇偶性的定义判断与的关系即可得奇偶性； （2）分离函数，用定义即可判断的单调性； （3）再结合单调性与奇偶性解不等式即可. 【小问1详解】 ， 故，即． ，为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， 所以为偶函数. 【小问2详解】 在上单调递减．在上单调递增．下面证明： 设，，且.计算： 因为，，且，所以，，，. 那么，即，所以. 根据函数单调性的定义可知，函数在上单调递减. 又因为是偶函数，所以在上单调递增． 【小问3详解】 因为，所以， 由得， 由函数的性质得：， 则， 解得：． 故该不等式的解集为． 18. 为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示. （1）用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数； （2）将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望； （3）从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率. 参考数据：若，则，. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算公式求解即可； （2）根据正态分布的对称性求解，然后根据二项分布的期望公式求解期望即可； （3）根据分层抽样、条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意有， 所以估计此次知识竞赛成绩的平均数为； 【小问2详解】 由题意有，因为，即，所以， 由题意得抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数服从二项分布，即，所以， 所以抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为； 【小问3详解】 由频率分布直方图有：分数在和的频率分别为和， 按照分层抽样，抽取10份，其中在应抽取份，分数应抽取份， 令事件抽取3份试卷来自不同区间，事件取出的试卷有2份来自区间， 所以， 所以. 所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为. 19. 某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入．该公司第i年的年广告费（单位：百万元）满足递推关系，且，年销售量（单位：百万辆）与年广告费相关．令，经过数据处理得到如下统计量的值： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有模型作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中均为常数． （1）求； （2）求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ （3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）．该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍．电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率．（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量） 附：①回归直线 ②参考数据：，． 【答案】（1） （2），当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆） （3） 【解析】 【分析】（1）由递推公式得到，进而判断为等差数列，即可求解； （2）利用最小二乘法求解； （3）由净利润为，求解. 【小问1详解】 由得： ， 即， 所以， 即， 所以为等差数列，又， 所以公差为1， 所以， 【小问2详解】 令，则， 由公式， 又由，， 得， 所以，即回归方程为. 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 【小问3详解】 净利润为，， 令， 所以. 可得在上为增函数，在上为减函数. 所以， 由题意得：，即， ， 即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $