精品解析：江西省上进联考2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

江西省2024－2025下学期高二年级期末考试 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：选择性必修第二册占70%，一轮复习第一章集合、第二章函数占30%． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列满足，则的第项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接代入求解即可. 【详解】因为，所以． 故选：C． 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式可化简集合B，然后由交集定义可得答案. 【详解】因为集合，，且， 所以． 故选：C． 3. 已知函数，若，则（ ） A. －1 B. －2 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，然后把代入到导函数中求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以． 故选：A． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用中间值比较法，结合对数函数单调性即可得出. 【详解】因函数在上是减函数，故． 故选：D． 5. 已知函数的最小值为，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用基本不等式求得，进而得，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以．易知的定义域为， 当时，，则；当时，，则， 所以的值域为． 故选：A． 6. 若对任意，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为，设，利用导数求出的最值可得答案． 【详解】由对任意，得， 设，则， 当时，，单调递增； 当时，单调递减， 所以，所以． 故选：D． 7. 已知公比不为1的等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 9 B. 36 C. 72 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式求解，即可得解. 【详解】设的公比为， 因为， 解得或（舍去）， 所以． 故选：B 8. 已知数列满足，集合．若将的所有子集分别记作中所有元素之和记为，则（ ） A. 1632 B. 2448 C. 4896 D. 9784 【答案】C 【解析】 【分析】求出．在所有中有32个，利用可得答案． 【详解】由， 可得 ． 因为在所有中有32个， 所以． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. “”的否定是“” D. “”是真命题 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据子集与真子集概念易判断A，B项；运用带量词命题的否定要求易得C项；通过举例说明存在量词命题为真即可判断D项. 【详解】对于A，因集合是的真子集，故，故A正确； 对于B，设，满足，但，故B错误； 对于C，由全称量词命题的否定是存在量词命题，需要改变量词并否定结论，故C正确； 对于D，当时，，故D正确． 故选：ACD． 10. 下列函数中恰有2个零点的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由解析式直接判断可得A错误；求导后分析单调性结合零点存在定理依次判断BCD即可； 【详解】对于A，令，得只有1个零点，故A错误； 对于B，由，故当时，单调递减， 当时，单调递增． 又，，， 所以在区间上各有1个零点，共2个零点，故B正确； 对于C，易知是的1个零点． 当时，令，得． 设，则， 所以当时，，当时，， 所以只有1个零点，故C错误； 对于D，当时，．当时，，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，所以有2个零点，故D正确． 故选：BD． 11. 已知等比数列的公比为，若，且，则（ ） A. 当时， B. 当时，的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等比数列中各项之间的关系，和等比中项的定义，结合基本不等式，分别判断构造函数的单调性，判断各选项的正误，求出正确结果. 【详解】对于A，当时，由，得，即， 因，则，解得，故A错误； 对于B，因，而函数在上单调递增， 由可得，所以，故B正确； 对于C，由，当且仅当时等号成立， 故得的取值范围是，故C错误； 对于D，因为，所以． 设，则， 因为，可得，所以，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. “点在幂函数图象上”的充要条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的定义确定，即得，由点在幂函数图象上即可推得等价条件. 【详解】是幂函数等价于，即．则得. 则点在幂函数图象上,当且仅当点满足方程，即． 故答案为：. 13. 记等差数列的前项和为，若，则最大时的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】设，则为等差数列，根据当时，，当时，即可得解. 【详解】设，则为等差数列， 且，公差为，即， 故就是的前项和． 因为当时，，当时，， 所以时最大． 故答案为：5 14. 若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，设，可判断在区间上单调递增，又由化为，设，利用导数求得函数的单调性，进而求得的取值范围． 【详解】由，可得， 设，则，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，所以在区间上单调递增， 又由可化为，所以， 设，则， 当时，单调递增；当时，单调递减， 又因为时，，所以， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为． （1）若是等差数列，且，求的通项公式； （2）若是等比数列，且成等差数列，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出即可得解； （2）根据已知条件求出，再结合等比数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 设的公差为， 由，得 解得， 所以． 【小问2详解】 设的公比为，则， 因为成等差数列， 所以，即，所以， 所以， 所以． 16. 已知函数． （1）证明：是奇函数； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围． 【答案】（1）证明：由题得， 故，则的定义域为，关于原点对称， 又因为， 所以是奇函数． （2） 【解析】 【分析】（1）首先判断的定义域关于原点对称，然后再证明； （2）由、的单调性判断复合函数的单调性，为函数单调减区间的子集，列不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 当时，单调递减，且在定义域上为增函数， 故在区间上单调递减， 同理可得在区间上单调递减． 因为在区间上单调递减， 所以或，解得或， 所以的取值范围是． 17. 已知函数． （1）求的极值； （2）若过点可作3条直线与的图象相切，求的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为0 （2） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值； （2）首先设切点，再求切线方程，根据切线方程过点，转化为关于的方程有3个实数根，通过构造函数，利用导数分析函数的性质，从而根据函数有3个零点，求参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以． 令，得或， 则当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极大值，且，当时，取得极小值，且， 所以的极大值为，极小值为0． 【小问2详解】 设过点的直线与的图象切于点，切线斜率， 则该切线的方程为， 把代入方程并整理得， 由过点可作3条直线与的图象相切， 则关于的方程有3个不同实根， 设， 则， 令，得或， 所以， 所以或且， 所以的取值范围是． 18. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若集合，且中仅有2个元素，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将变形为，然后根据等比数列的定义及通项公式得，求解即可； （2）利用错位相减法求和即可； （3）先利用作差法判断得，再结合可得的不等式，即可得解． 【小问1详解】 由，得， 又，所以数列是首项为1、公差为2的等差数列， 所以，故． 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 则， 两式相减得 ． 所以． 【小问3详解】 由（1）知， 所以， 因为当或2时，，当时，， 所以， 又，若中仅有2个元素，则这2个元素为， 所以，即的取值范围是． 19. 已知定义在上的函数的导函数为，且满足，记． （1）若，写出一个符合条件的函数，使得的值域中只有1个元素，并求出该元素； （2）若，证明：； （3）已知，判断是否存在，使得，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），3，（答案不唯一） （2）证明：因为， 所以， 设，则， 所以在区间上单调递减， 因为， 所以存在，使得，即， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以． （3）存在；1 【解析】 【分析】（1）由题意是的常数倍，可考虑幂函数形式，取判断即可； （2）先求得，则，设，利用导函数研究其单调性，结合零点存在定理得的单调性，即可证明； （3）先判定不可能小于1，然后再证明时符合题意，要使，则，设，利用导数法得在区间上单调递增，所以，即可求解. 【小问1详解】 取，则， 则， 故的值域中只有1个元素3．（答案不唯一） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，因为，，所以不可能小于1， 下面证明的最小值为1： 因为，所以， 当时，， 所以，即， 即， 设， 则， 则在区间上单调递增， 所以， 所以存在，使得，且的最小值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2024－2025下学期高二年级期末考试 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：选择性必修第二册占70%，一轮复习第一章集合、第二章函数占30%． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列满足，则的第项是（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，若，则（ ） A. －1 B. －2 C. 1 D. 2 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的最小值为，则的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 若对任意，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知公比不为1的等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 9 B. 36 C. 72 D. 84 8. 已知数列满足，集合．若将的所有子集分别记作中所有元素之和记为，则（ ） A. 1632 B. 2448 C. 4896 D. 9784 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. “”的否定是“” D. “”是真命题 10. 下列函数中恰有2个零点的函数是（ ） A. B. C. D. 11. 已知等比数列的公比为，若，且，则（ ） A. 当时， B. 当时，的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. “点在幂函数图象上”的充要条件是______． 13. 记等差数列的前项和为，若，则最大时的值为______． 14. 若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为． （1）若是等差数列，且，求的通项公式； （2）若是等比数列，且成等差数列，求． 16. 已知函数． （1）证明：是奇函数； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围． 17. 已知函数． （1）求的极值； （2）若过点可作3条直线与的图象相切，求的取值范围． 18. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若集合，且中仅有2个元素，求的取值范围． 19. 已知定义在上的函数的导函数为，且满足，记． （1）若，写出一个符合条件的函数，使得的值域中只有1个元素，并求出该元素； （2）若，证明：； （3）已知，判断是否存在，使得，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $