广西壮族自治区南宁市第三中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题

高二期末考试 数学试题 第 1页 共 4页 南宁三中 2024~2025学年度下学期高二期末考试 数学试题 2025.6 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。） 1．复数 (1 2i)(1 i)z    的虚部是（ ） A． 1 B．1 C． 3 D．3 2．已知集合   24 2 { 6 0M x x N x x x       ， ，则M N =（ ） A． { 4 3x x   B． { 4 2x x   C． { 2 2x x   D． { 2 3x x  3．若aR ，直线 1 : 2 1 0l x ay   ，直线 2 : (3 1) 1 0l a x ay    ，则“ 1 2/ /l l ”的充分不必要条件是（ ） A． 0a  B． 1 6 a   C． 1a  D． 1 2 a  4．已知随机变量服从正态分布  24,N  ，若 ( 8) 0.8P    ，则 (0 4)P   （ ） A．0.3 B． 0.4 C．0.6 D．0.7 5．双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的一条渐近线过点  1,2 ，则双曲线C的离心率为（ ） A． 3 B． 5 C． 6 D． 2 2 6．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码 放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取 出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客得到的黄金实际 克数（ ） A．大于 10克 B．等于 10克 C．小于 10克 D．与砝码放置顺序有关 7．已知定义在 ( 3, 2 )a a 上的偶函数  f x ，对 1 2, (0, 2 )x x a  有 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x    ，则关于 x的不 等式   ( ) 0f x a f x   的解集为（ ） A． 1( 1, ) 2  B． 1( , ) 2  C． ( 1, 2) D． 1( , 2) 2 高二期末考试 数学试题 第 2页 共 4页 8．已知函数 2 2 , ( ) 2 , x a x af x x ax x a        存在最小值，则 a的范围是（ ） A． ( , 1]  B． 1( ,0] [ , ) 3   C． 1( , 1] [ , ) 3    D． 1( , 1] [0, ] 3    二、选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6分，选对但不全得部分分，有选错的得 0分。） 9．在 2 52 )( 1x x  的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．第 2项的系数为 80 B．各项系数和为 1 C．二项式系数和为 32 D．展开式中有常数项 10．已知数列 na 的前 n项和为 nS ， 1 1a  ， 1 2 1n nS S   ，则（ ） A．数列 1nS  是等比数列 B． 2 1nna   C． 2 1nnS   D．数列 1{ } na 的前 n项和为 1 12 2n  11．定义在R 上的函数 ( )f x 满足 (4 ) ( )f x f x  ， (2) 2f  ， (3 1)f x  为奇函数，函数 ( )( R)g x x 满足 ( ) (2 )g x g x   ，若 ( )y f x 与 ( )y g x 恰有 7个交点 1 1 2 2 7 7( , ) ( , ) ( , )x y x y x y， ， ， ，则下列说法正确 的是（ ） A． (70) 2f  B． 3x  为 ( )y f x 的对称轴 C． (1) 0f  D． 7 1 ( ) 7i i i x y    三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。） 12．已知向量 ,a b  满足 2, 2 3a b a b       ，则 a b    ▲ ． 13．若 2 3 3( ) 1 x xf x x     (x>1)，则函数 ( )f x 的值域为 ▲ ． 14．某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的旅客都可以参与抽奖活动．组织方准备了 20个盲盒， 其中有 6个盲盒内有奖品．抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没 有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为 P，则 P  ▲ ． 高二期末考试 数学试题 第 3页 共 4页 四、解答题（本题共 5小题，共 77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．在 ABCV 中， 2 2 2 4 2 3 b c a bc   ． （1）求cos A的值； （2）若3 sin 2 sinc A a B ，且 ABCV 的面积 2 2S  ，求 c的值． 16．已知函数 ( ) ( ) exf x x a   （1）当 1a  时，求函数 ( )f x 的极值； （2）若函数 ( )f x 有两条过坐标原点的切线，求实数 a的取值范围． 17．如图，在梯形 ABCD中， //AB DC， 2AD DC  ， 4AB  ，现将 ADC△ 所在平面沿对角线 AC翻 折，使点D翻折至点 P，且成直二面角P AC B  ． （1）证明： BC 平面 PAC； （2）若异面直线 PC与 AB所成角的余弦值为 1 4 ，求平面 BPA与平面 PAC所成角的余弦值． 高二期末考试 数学试题 第 4页 共 4页 18．某小区有 2000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占 %a ．为减 轻工作量，随机地按 n人一组分组，然后将各组 n个人的血样混合在一起化验．若混合血样呈阴性， 说明这 n个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人 再分别化验一次． （1）若 0.2 20a n ， ，求该小区化验总次数的期望； （2）若 0.9a  ，且每人单独化验一次花费 10元， n人混合化验一次花费 9n  元，求当 n为何值时， 每个居民化验的平均费用最少． 注：当0 0.01p  时， (1 ) 1np np   ． 19．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     经过点 3( , ) 2 b b  ， 1A， 2A 为椭圆 C的左、右顶点，M，N为椭 圆 C上不同于 1A， 2A 的两动点，若直线 1AM 的斜率与直线 2A N的斜率的比值恒为常数 7 5 ，按下面 方法构造数列{ }nb ：椭圆 C的短半轴长为 nb 时，直线 MN与 x轴交于点 1,( )0n nQ b  ． （1）求椭圆 C的离心率； （2）证明：数列{ }nb 是等比数列； （3）设顶点 1A到直线 MN的最大距离为 d，证明 1 5 3 d b ．