2024-2025学年浙教版数学中考考点课堂限时训练《练习十 特殊三角形、勾股定理》

浙教版数学中考考点课堂限时训练 练习十 特殊三角形、勾股定理 一.选择题(每题6分,共36分) 1.如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于 (　 　) 第1题图 A.10 B.5 C.4 D.3 2.[2024·台州模拟]下列是几个城市地铁标志,其中是轴对称图形的是 (　 　) A B C D 3.在等腰三角形ABC中,AB=4,BC=2,则△ABC的周长为 (　 　) A.8 B.10 C.8或10 D.6或8 4.[2024·滨江区模拟]如图,在△ABD中,∠BAD=90°,将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE,此时点C恰好落在BD边上.若∠E=24°,则∠BAC= (　 　) 第4题图 A.24° B.48° C.66° D.72° 5.现有边长为2的正方形ABCD制作的一副如图1所示的七巧板,将这副七巧板在矩形EFGH内拼成如图2所示的“老虎”造型,则矩形EFGH与“老虎”的面积之比为 (　 　) 第5题图 A.2 B. C. 6.[2024·温州模拟]由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.连结DF并延长交BC于点I,若I是BC的中点,则的值为 (　 　) 第6题图 A. C. 二.填空题(每题6分,共24分) 7.[2024·萧山区模拟改编]如图,AD,BE均为△ABC的高线,且AB=AC,连结DE交AB于点O,若∠C=28°,则∠OEB=　 　°.  第7题图 8.如图,在Rt△ABC中,D为斜边AC的中点,E为BD上一点,F为CE的中点.若AE=AD,DF=2,则BD的长为　 　.  第8题图 9.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A=90°,BD=3,CF=10,则OE的长为　 　.  第9题图 10.[2024·富阳区模拟]如图,在Rt△ABC纸片中,∠C=90°,BC<AC,点D,E分别在边AB,BC上,连结DE,将△BDE纸片沿DE折叠,点B的对应点为B1,若点B1刚好落在边AC上,∠CB1E=30°,CE=m,则BC的长为　 　(用含m的代数式表示).  第10题图 三.解答题(共40分) 11.(10分)[2024·衢州模拟]如图,在5×5的方格纸中,每个小正方形的边长都为1,点A,B位于格点处. 　 第11题图 (1)分别在图1,图2中画出两个不全等的格点三角形ABC,使其内部(不含边)均有2个格点. (2)任选一个你所画的格点三角形ABC,判断其是否为等腰三角形,并说明理由. 12.(12分)如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA的延长线于点F. (1)求证:△ADF是等腰三角形. (2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的长. 第12题图 13.(18分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,点P在AC上,将△ABP绕顶点B顺时针旋转90°后得到△CBQ. (1)求∠PCQ的度数. (2)当AB=4,AP∶PC=1∶3时,求PQ的长. (3)当点P在线段AC上运动时(点P不与点A,C重合),请写出一个反映PA2,PC2,PB2之间关系的等式,并加以证明. 第13题图 【答案解析】 一.选择题(每题6分,共36分) 1.如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于 (　B　) 第1题图 A.10 B.5 C.4 D.3 2.[2024·台州模拟]下列是几个城市地铁标志,其中是轴对称图形的是 (　B　) A B C D 3.在等腰三角形ABC中,AB=4,BC=2,则△ABC的周长为 (　B　) A.8 B.10 C.8或10 D.6或8 4.[2024·滨江区模拟]如图,在△ABD中,∠BAD=90°,将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE,此时点C恰好落在BD边上.若∠E=24°,则∠BAC= (　B　) 第4题图 A.24° B.48° C.66° D.72° 【解析】 由题意,得△ABD≌△ACE,∴∠D=∠E=24°,AB=AC,∴∠B=∠ACB. ∵∠BAD=90°,∴∠B=∠ACB=66°,∴∠BAC=48°. 5.现有边长为2的正方形ABCD制作的一副如图1所示的七巧板,将这副七巧板在矩形EFGH内拼成如图2所示的“老虎”造型,则矩形EFGH与“老虎”的面积之比为 (　D　) 第5题图 A.2 B. C. 【解析】 由题意,得S矩形EFGH=(1+2+1+1)×(2+1)=15, S“老虎”=S正方形ABCD=(2)2=8, ∴=. 6.[2024·温州模拟]由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.连结DF并延长交BC于点I,若I是BC的中点,则的值为 (　A　) 第6题图 A. C. 【解析】 由题意知DG=FC,BF=CG=DH,AD∥BC,BF⊥GC,DG⊥GF,∠ADH=∠FBI, ∴∠ADF=∠FIC. ∵I为BC的中点, ∴IB=IF=IC, ∴∠BFI=∠FBI, ∴∠FIC=2∠FBI, ∴∠FIC-∠ADH=2∠FBI-∠ADH,即∠FDG=∠FBI, ∴△FDG∽△CBF, ∴=,即=, ∴易知=,即=. 二.填空题(每题6分,共24分) 7.[2024·萧山区模拟改编]如图,AD,BE均为△ABC的高线,且AB=AC,连结DE交AB于点O,若∠C=28°,则∠OEB=　62　°.  第7题图 8.如图,在Rt△ABC中,D为斜边AC的中点,E为BD上一点,F为CE的中点.若AE=AD,DF=2,则BD的长为　4　.  第8题图 9.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A=90°,BD=3,CF=10,则OE的长为　2　.  第9题图 10.[2024·富阳区模拟]如图,在Rt△ABC纸片中,∠C=90°,BC<AC,点D,E分别在边AB,BC上,连结DE,将△BDE纸片沿DE折叠,点B的对应点为B1,若点B1刚好落在边AC上,∠CB1E=30°,CE=m,则BC的长为　3m　(用含m的代数式表示).  第10题图 三.解答题(共40分) 11.(10分)[2024·衢州模拟]如图,在5×5的方格纸中,每个小正方形的边长都为1,点A,B位于格点处. 　 第11题图 (1)分别在图1,图2中画出两个不全等的格点三角形ABC,使其内部(不含边)均有2个格点. (2)任选一个你所画的格点三角形ABC,判断其是否为等腰三角形,并说明理由. 解:(1)如答图,作△ABC1(△ABC3),△ABC2(△ABC4),△ABC5三种三角形中的任意两个即可. (2)选△ABC2是等腰三角形.理由如下: 易知AC2=,BC2=,∴△ABC2是等腰三角形.(答案不唯一). 第11题答图 12.(12分)如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA的延长线于点F. (1)求证:△ADF是等腰三角形. (2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的长. 第12题图 解:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵FE⊥BC,∴∠F+∠C=90°,∠BDE+∠B=90°, ∴∠F=∠BDE. 又∵∠BDE=∠FDA, ∴∠F=∠FDA,∴AF=AD, ∴△ADF是等腰三角形. (2)∵DE⊥BC, ∴∠DEB=90°. 又∵∠B=60°,BD=4, ∴BE=BD=2. ∵AB=AC, ∴△ABC是等边三角形, ∴BC=AB=AD+BD=6, ∴EC=BC-BE=4. 13.(18分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,点P在AC上,将△ABP绕顶点B顺时针旋转90°后得到△CBQ. (1)求∠PCQ的度数. (2)当AB=4,AP∶PC=1∶3时,求PQ的长. (3)当点P在线段AC上运动时(点P不与点A,C重合),请写出一个反映PA2,PC2,PB2之间关系的等式,并加以证明. 第13题图 解:(1)由题意知,△ABP≌△CBQ,∠A=∠ACB=45°, ∴∠BCQ=∠A=45°,∠ABP=∠CBQ,AP=CQ,PB=QB, ∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°. (2)由(1)知∠ABP+∠PBC=∠CBQ+∠PBC=90°,PB=QB,△PCQ是直角三角形, ∴△BPQ是等腰直角三角形. 当AB=4,AP∶PC=1∶3时,有AC=4,CQ=AP=,PC=3, ∴PQ==2. (3)2PB2=PA2+PC2.证明如下: ∵△BPQ是等腰直角三角形, ∴PQ=PB. ∵AP=CQ, ∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2, ∴2PB2=PA2+PC2. 学科网（北京）股份有限公司 $$