专题01 二次根式的四类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题01 二次根式的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次根式有意义的条件 类型二、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 类型三、含隐含条件的参数范围化简二次根式 类型四、复杂的复合二次根式化简 压轴专练 类型一、二次根式有意义的条件 1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 例1．若二次根式有意义，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【变式1-3】若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 类型二、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 1.二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2.二次根式的性质：（） 3.二次根式的性质： 例2．化简： ． 【变式2-1】已知，化简的结果是 ． 【变式2-2】若，则的值为 ． 【变式2-3】如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式 ． 类型三、含隐含条件的参数范围化简二次根式 1. 挖掘隐含条件：需关注二次根式中被开方数为非负数，分母不为零等条件。 2. 化简原则与步骤：依据二次根式性质，结合已确定的参数范围去绝对值化简。 例3．二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】化简： ． 类型四、复杂的复合二次根式化简 1. 配方法化简：对于形如的复合二次根式，若能找到两个数m、n，使得m + n = a，mn = b，且m≥n>0，则可将原式化为=。 2. 平方法与分母有理化：当无法直接配方时，可先对复合二次根式平方，化简后再开方；若分母含复合二次根式，通过分子分母同乘共轭式进行有理化，消除分母中的根式完成化简。 例4．有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【变式4-1】像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【变式4-2】先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【变式4-3】先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 一、单选题 1．下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．当时，化简得（   ） A． B． C． D． 3．将二次根式根号外的移入根号内得到（    ） A． B． C． D． 4．若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 6．已知，则 ． 7．若，则化简 ． 8．把根号外的因式移到根号内的结果是 ． 三、解答题 9．将x移到根号内，不改变原来的式子的值： (1)； (2)． 10．把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变． (1)； (2)； (3)； (4)． 11．（1）若为实数，且，求的值； （2）若实数满足，求的值． 12．观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 13．阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 14．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如，如果你能找到两个数m，n，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的． 例如化简且，， ． (1)横线填上适当的数：____________． (2)化简． (3)当时，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次根式有意义的条件 类型二、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 类型三、含隐含条件的参数范围化简二次根式 类型四、复杂的复合二次根式化简 压轴专练 类型一、二次根式有意义的条件 1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 例1．若二次根式有意义，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故选：D． 【变式1-1】当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数非负．根据被开方数非负得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：C． 【变式1-2】若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故选：D． 【变式1-3】若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件、负整数指数幂 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握：在二次根式中，要求字母必须满足条件，即被开方数是非负的，则当时，二次根式有意义，当时，二次根式无意义．据此得到关于的不等式组，继而得到、的值，再代入计算即可．也考查了负整数指数幂． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故选：A． 类型二、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 1.二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2.二次根式的性质：（） 3.二次根式的性质： 例2．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵被开方数恒为非负数，即中，， ∴中，， ∴， 故答案为： ． 【变式2-1】已知，化简的结果是 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键. 根据，判断，的正负，进行化简，合并同类项，得出结果. 【详解】解：∵ ∴. 故答案为：5 【变式2-2】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据题意先得到，再由进行化解求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式2-3】如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，立方根的定义，掌握二次根式的性质，立方根的定义，是解题的关键． 根据数轴的特点确定的符号和大小，再根据二次根式的性质，立方根的定义化简，即可求解． 【详解】解：根据数轴上点的位置可得，，，， ∴ ， 故答案为： ． 类型三、含隐含条件的参数范围化简二次根式 1. 挖掘隐含条件：需关注二次根式中被开方数为非负数，分母不为零等条件。 2. 化简原则与步骤：依据二次根式性质，结合已确定的参数范围去绝对值化简。 例3．二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据，得出，二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简． 【详解】∵，， ∴原式， ， 故选：． 【变式3-1】当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键． 由的积小于0得到与异号，再根据负数没有平方根得到大于0，进而确定出小于0，所求式子利用二次根式的化简公式即可得到结果． 【详解】 解：，与异号， ，， ， 则． 故选：C． 【变式3-2】已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式3-3】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】根据题意有：，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 类型四、复杂的复合二次根式化简 1. 配方法化简：对于形如的复合二次根式，若能找到两个数m、n，使得m + n = a，mn = b，且m≥n>0，则可将原式化为=。 2. 平方法与分母有理化：当无法直接配方时，可先对复合二次根式平方，化简后再开方；若分母含复合二次根式，通过分子分母同乘共轭式进行有理化，消除分母中的根式完成化简。 例4．有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； （2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键． 【变式4-1】像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查化简二次根式，活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴a的值为：或． 【变式4-2】先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【答案】(1)④， (2)①；② 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 ④步出现了错误， 故答案为：④，； （2）解：①原式 ； ②原式 ． 【变式4-3】先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用． （1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论 （2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可． 【详解】（1） ， ， 故答案为：，； （2）． 一、单选题 1．下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，正确理解定义是解题的关键．根据二次根式的定义，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数非负． 【详解】解：选项A：，被开方数为（负数），不符合条件②，排除，故本选项不符合题意． 选项B：，根指数为2（默认省略），被开方数为正数，满足①②，是二次根式，故本选项符合题意． 选项C：，根指数为3，不符合条件①，排除，故本选项不符合题意． 选项D：，若则为二次根式，但题目未限定的范围，无法确定，排除，故本选项不符合题意． 故选：B 2．当时，化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性成为解题的关键． 先利用已知条件确定y的符号，进而得到，再根据二次根式的性质，将根号内的表达式分解为平方项和非平方项的乘积，再进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，即， ∴． 故选C． 3．将二次根式根号外的移入根号内得到（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，据此根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， ∴． ∴， 故选：D． 4．若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象经过的象限确定a、b的符号，再利用绝对值的性质化简表达式． 本题考查了一次函数的图象分布，绝对值的化简，二次根式的化简，熟练掌握图象分布，二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， ∴ ， 故选：A． 二、填空题 5．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 6．已知，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ， ， 故答案为：5． 7．若，则化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，先根据得出，，再根据二次根式的性质化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．把根号外的因式移到根号内的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式的性质是解题的关键． 首先根据题意得到，然后根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】∵有意义， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题 9．将x移到根号内，不改变原来的式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1． 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． （）根据二次根式性质即可求解； （）根据二次根式性质即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】题目主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先将二次根式化简，然后计算乘法即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可； （4）利用二次根式的性质化简即可 【详解】（1）解： （2） （3） （4）． 11．（1）若为实数，且，求的值； （2）若实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟记二次根式被开方数大于或等于0和运算法则，准确进行推理计算； （1）先根据二次根式有意义的条件确定字母的值，再代入求解； （2）先确定字母的取值范围，再求出字母的值，代入计算即可． 【详解】解：（1），， ， ， ； （2）， ， ， 可化为， ， ， ． 12．观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，故，即可作答． （2）因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意 ． （2）解：∵， ∴， 即，． 13．阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握复合二次根式化简的方法是解答本题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法计算即可； （2）仿照阅读材料中的方法计算即可； （3）仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 14．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如，如果你能找到两个数m，n，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的． 例如化简且，， ． (1)横线填上适当的数：____________． (2)化简． (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，得，即可得出答案． （3）因为，所以化简原式，即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$