第2章 有理数（复习讲义）数学苏科版2024七年级上册

第二章 有理数（复习讲义） ①能正确说出有理数的相关概念：正数、负数、绝对值、相反数、倒数、数轴、科学记数法等； ②熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，并能在混合运算中选择合适的运算律简化运算； ③能利用有理数的加、减、乘、除、乘方运算解决简单的生活实际问题； ④能说出有理数的分类方法，对所给出的几个有理数进行适当的分类； ⑤理解数轴的重要作用：比较有理数的大小、数形结合的重要工具等，。 知识点 重点归纳 常见易错点 正数 负数 正数、负数可以表示生活中具有相反意义的量 通常表示上升、盈利等用正数表示； 通常表示下降、亏损等用负数表示； 这只是一种规定，可以根据实际需要改变 数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度； 2.利用数轴比较两个有理数的大小：左<右 单位长度可以根据实际需要选择 绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 4.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即。 1.化简含有字母的绝对值时，要借助分类讨论数学思想，对绝对值内的东西分三种情况讨论，然后利用 将绝对值符号去掉化简； 2.绝对值的几何意义非常重要，要灵活使用这一点解决问题。 3.绝对值的非负性最常见的应用： 由得出 有理数的加法 1. 有理数加法法则：（分类讨论思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2.加法运算律：(作用：简化计算) 交换律： 结合律： 1.有理数加法法则是最基本的，符号弄错是最常见的错误。 法则理解记忆方法： 可以把两个相加的数想象成打仗时的敌我双方，数的符号表示双方的旗子，数的绝对值代表双方的人数力量。 有理数的减法 减去一个数，等于加这个数的相反数 将减法转化成加法做，做熟练后就可以不转化了 有理数的乘法 1. 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 2.有理数乘法运算律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 1.有理数乘法法则简单好记，但写结果时，不要忘记符号，更不要与加法法则符号混淆！ 灵活利用有理数的乘法运算律，可以简化计算，减少计算错误。 有理数的除法 除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 乘除互为逆运算，可以相互转化 有理数的乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数；指数：n叫做指数. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 3.科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 1.乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 2.当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 3.一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 4.底数为-1的幂规律要理解记忆，这个最常考。 有理数的混合运算 有理数的混合运算解题步骤： 1.审题：包含哪些运算，能否使用运算律简化运算； 2.计算：按运算律和运算法则进行计算； 3.检查：注意检查符号。 1.有理数的混合运算主要是运算顺序的问题，每一步都要注意查看运算顺序该做哪一步； 2.另外还要注意使用运算法则时的符号问题。 题型一 负数、绝对值、相反数概念 【例1】的相反数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入元记作元，则支出元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1-2】“玉兔号”是我国首辆月球车，它能够耐受月球表面的最低温度是，则它的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列各数：，，，，中一定是正数的（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-4】若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 题型二 多重符号化简 【例2】．化简：（   ） A． B．25 C． D．52 【变式2-1】下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-2】下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】下列各组数：①与；②与；③与；④与；⑤与．其中互为相反数的有（  ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【变式2-4】下列各式中，化简正确的是（　　） A． B． C． D． 题型三 有理数的分类 【例3】．下列7个数，，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3-1】下列四个数中，属于正整数的是（    ） A． B．0 C．3 D． 【变式3-2】下列四个数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-4】在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 数轴 【例4】．下列各图中，数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，数轴上点A表示的数为a，则与a最接近的整数是（  ） A． B． C． D．0 【变式4-2】若，则有理数在数轴上对应的点的位置是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，已知点在数轴上对应的数分别是，其中最大的数是（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 题型五 有理数的运算 【例5】．以下计算题需要有计算过程． (1) (2) (3) (4) 【变式5-1】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-4】计算 (1) (2) (3) (4) 题型六 有理数的应用 【例6】．某邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2千米到达A村，继续向西骑行3千米到达B村，然后向东骑行9千米到达C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置； (2)求这名邮递员一共骑行了多少千米？ 【变式6-1】足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练在东西方向的足球场上画了一条直线，要求球员在这条直线上进行折返跑训练．如果约定向西为正，向东为负，将某球员的一组折返跑练习记录如下（单位：米）：，，，，，，，，，． (1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)球员训练过程中，最远处离出发点多少米； (3)球员在这一组练习过程中，共跑了多少米？ 【变式6-2】老师倡导同学们要多帮助家长做家务，养成热爱劳动的好习惯，下面是小军对于自己的寒假假期的计划，他计划每天做家务一个小时，但放假期间，由于每天的不定因素，小军实际每天做家务的时间和计划有所出入，下面是放假后第一周小军做家务的时间（增加记为，减少记为） 星期 一 二 三 四 五 六 日（天） 增减/分钟 问： (1)做家务时间最长的一天比最短的一天多多少分钟? (2)实际情况较计划时间是较长还是较短，长（/短）了多少分钟? (3)根据记录的数据，小军这周做家务总时长是多少小时? 【变式6-3】“十一”黄金周期间，某乐园在7天假期中每天的游客人数变化如下表所示．以1万人为标准，多于1万人的记为“+”，不足1万人的记为“”，刚好1万人的记为“0” 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 0 (1)10月2日这一天的游客有_____万人． (2)请求出黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多多少万人． (3)若该乐园的门票是每人100元，请计算黄金周期间该乐园的门票收入． 【变式6-4】有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 题型七 数轴上的动点问题 【例7】．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【变式7-1】，分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 【变式7-2】如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【变式7-3】如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． (1)将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (2)将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； (4)怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 【变式7-4】已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 基础巩固通关测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利100元记作元，那么元表示（          ） A．盈利10元 B．盈利90元 C．亏损元 D．亏损90元 2．下列各数中负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．1.8 B．2 C．2.3 D．5.5 5．实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则a，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 7．化简：（   ） A． B．25 C． D．52 8．中考所用的排球重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 9．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．某公司推出无人驾驶载人飞行器，可搭载乘客或物资．在某次运输模拟测试中，出发时搭载货物重量为，记录装载卸载货物的数据如下：，，，，，（正数表示新装载的货物重量，负数表示卸载的货物重量，单位：）．模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．的相反数是 ． 12．写出一个负数，使这个数的绝对值大于3： ． 13．已知，则 ． 14．在直线上表示、、、时，离0最近的数是 ． 15．若公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，一辆公共汽车原有18名乘客，经过某一站时，乘客变化为：，，这时车上乘客人数为 ． 16．用简便方法计算： ． 17．某地气温开始是，一会儿升高，再过一会儿又下降，这时气温是 ． 18．计算： ； 19．如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 20．2025年佛山市政府工作报告显示，佛山核销消费品以旧换新补贴1870000000元、核销率全省第一，带动汽车、家电、智能家居等消费超142亿元，数据1870000000元用科学记数法表示为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共60分） 21．（每小题5分，共30分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5) (6) 22．（6分）把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 23．（6分）已知5个数分别为． (1)将题目中的5个数在数轴上表示出来； (2)将题目中的5个数按从小到大的顺序用“”连接起来． 24．（8分）为了丰富孩子们的校园生活，西宁市第二中学积极开展多种形式的社团课程．某周三在机器人社团活动中，高一学生小华通过编程使一只电子蚂蚁从点处出发，在一直线上连续匀速左右爬行7趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负．电子妈蚁爬行情况依次记为（单位：厘米）：，，，，，，． (1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧还是左侧？距起点多少厘米？ (2)若电子蚂蚁共用了20秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度． 25．（10分）在数轴上有三个点，，，如图所示．    (1)点表示的数是________； (2)将点向左平移4个单位，此时该点表示的数是________； (3)将点向左平移3个单位得到数，再向右平移2个单位得到数，则，分别是多少？ 能力提升进阶练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·湖北·三模）现有四个标号为1，2，3，4的乒乓球，它们的重量与标准重量的差分别是，，最接近标准重量的乒乓球标号是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·内蒙古·期中）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（2025·河北邯郸·二模）与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 4．（2025·河北唐山·二模）若数轴上点A，B分别表示数为，2，则A，B两点之间的距离可表示为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江西抚州·二模）（深度求索）是一家中国的人工智能公司，专注于通用人工智能的研发，尤其在搜索增强型语言模型领域表现突出．如：是其开发的一个强大的混合专家语言模型，含2360亿个总参数，可贵的是开发团队成员均来自本土，没有任何海外归来人员．把数据2360亿用科学记数法表示应是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河北·模拟预测）刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为，由此可推算图2中计算所得的结果为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江衢州·一模）某种筷子的合格长度标准为，则下列四双筷子中合格的长度是（    ） A． B． C． D． 8．（2022·浙江丽水·三模）如图，运算中的（    ）处，填写的理由是（    ） （乘法交换律） （          ） ． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．加括号 9．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是（    ）天 A．510 B．511 C．513 D．520 10．（24-25七年级上·山东德州·期中）下列说法正确的序号是（   ） ①已知，是非零的有理数，若，则； ②若，为两个负有理数且，则； ③已知，，是非零的有理数，若，则结果的符号为正； ④已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或−3； A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，一辆公共汽车原有18名乘客，经过某一站时，乘客变化为：，，这时车上乘客人数为 ． 12．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是9，则点表示的数是 ． 13．（2024·湖南·模拟预测）数在数轴上对应点的位置如图所示，比较大小：（填“”“”或“”） 14．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在数轴上，点A表示的数为2，若将点A向左移动6个长度单位后，这时点A表示的数是 ． 15．（2025·江苏南京·二模） ； ． 16．（2025·四川资阳·模拟预测）有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有 （填写序号）． ① ；②；③；④；⑤． 17．（2025·河北唐山·三模）若，则的值为 ． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）规定运算“★”是则 ． 19．（2025·山东烟台·二模）《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 20．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 三、解答题（本大题共5小题，共60分） 21．（本题6分）（24-25七年级上·广东珠海·期中）把下列各数的序号填在相应的横线内： ①；②；③；④；⑤；⑥0；⑦ 负数集合：{ ⋯}； 整数集合：{ ⋯}； 有理数集合：{ ⋯}； 22．（本题8分）（24-25七年级上·青海西宁·期中）已知5个数分别为． (1)将题目中的5个数在数轴上表示出来； (2)将题目中的5个数按从小到大的顺序用“”连接起来． 23．（本题20分）（24-25七年级上·四川南充·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 24．（本题12分）（24-25·山东东营·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里程（单位：）如下：． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 25．（本题14分）（24-25七年级上·广东肇庆·期中）如图，在一张纸上画出一条水平的数轴上放置一枚黑棋．一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置所对的数分别是和5的位置上，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋、乙移动白棋）． 两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果进行移动（剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，手势相同为平局），移动规则如下： ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度； ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动2个单位长度； ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度． 前四局如下表： 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪刀 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始，求第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数． (2)规定若每局结束后黑棋的位置离原点更近，则甲胜，若白棋的位置离原点更近，则乙胜，那么第三局结束时获胜的是谁？此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是多少？ (3)若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4，则乙第四局的手势是什么？此时黑棋和白棋在数轴上的位置相距多少个单位长度？ 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数（复习讲义） ①能正确说出有理数的相关概念：正数、负数、绝对值、相反数、倒数、数轴、科学记数法等； ②熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，并能在混合运算中选择合适的运算律简化运算； ③能利用有理数的加、减、乘、除、乘方运算解决简单的生活实际问题； ④能说出有理数的分类方法，对所给出的几个有理数进行适当的分类； ⑤理解数轴的重要作用：比较有理数的大小、数形结合的重要工具等，。 知识点 重点归纳 常见易错点 正数 负数 正数、负数可以表示生活中具有相反意义的量 通常表示上升、盈利等用正数表示； 通常表示下降、亏损等用负数表示； 这只是一种规定，可以根据实际需要改变 数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度； 2.利用数轴比较两个有理数的大小：左<右 单位长度可以根据实际需要选择 绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 4.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即。 1.化简含有字母的绝对值时，要借助分类讨论数学思想，对绝对值内的东西分三种情况讨论，然后利用 将绝对值符号去掉化简； 2.绝对值的几何意义非常重要，要灵活使用这一点解决问题。 3.绝对值的非负性最常见的应用： 由得出 有理数的加法 1. 有理数加法法则：（分类讨论思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2.加法运算律：(作用：简化计算) 交换律： 结合律： 1.有理数加法法则是最基本的，符号弄错是最常见的错误。 法则理解记忆方法： 可以把两个相加的数想象成打仗时的敌我双方，数的符号表示双方的旗子，数的绝对值代表双方的人数力量。 有理数的减法 减去一个数，等于加这个数的相反数 将减法转化成加法做，做熟练后就可以不转化了 有理数的乘法 1. 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 2.有理数乘法运算律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 1.有理数乘法法则简单好记，但写结果时，不要忘记符号，更不要与加法法则符号混淆！ 灵活利用有理数的乘法运算律，可以简化计算，减少计算错误。 有理数的除法 除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 乘除互为逆运算，可以相互转化 有理数的乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数；指数：n叫做指数. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 3.科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 1.乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 2.当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 3.一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 4.底数为-1的幂规律要理解记忆，这个最常考。 有理数的混合运算 有理数的混合运算解题步骤： 1.审题：包含哪些运算，能否使用运算律简化运算； 2.计算：按运算律和运算法则进行计算； 3.检查：注意检查符号。 1.有理数的混合运算主要是运算顺序的问题，每一步都要注意查看运算顺序该做哪一步； 2.另外还要注意使用运算法则时的符号问题。 题型一 负数、绝对值、相反数概念 【例1】的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相反数的定义，熟记“只有符号不同的两个数互为相反数”是解题的关键． 根据相反数定义即可选出答案． 【详解】解： A ． 和互为倒数，不符合题意； B．原式，故的相反数为，符合题意； C．和相等，故不符合题意； D．不是的相反数，故不符合题意． 故答案为：B． 【变式1-1】《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入元记作元，则支出元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据题意，收入与支出为相反意义的量，若收入记为正，则支出应记为负． 【详解】解：∵收入元记作元， ∴支出元记作元． 故选：B． 【变式1-2】“玉兔号”是我国首辆月球车，它能够耐受月球表面的最低温度是，则它的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数，根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”解答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【变式1-3】下列各数：，，，，中一定是正数的（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了负数的识别，化简多重符号，先根据化简多重符号的法则求出对应的数的结果，再根据负数是小于0的数即可得到答案． 【详解】解：，，，，， ∴一定是正数的有，，由于m的符号未知，故的符号未知， 故选：B． 【变式1-4】若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，在数轴上表示有理数，由绝对值的意义确定m的值，再根据数轴上两点间距离相等的条件建立方程进行求解，即可作答． 【详解】解：∵， ∴得或， 根据题意，这个点表示的数为x， x到m的距离等于x到的距离， 即， 当时，则， 即或， ∴无解或， 当时，则， 即或， ∴无解或， 故选：D 题型二 多重符号化简 【例2】．化简：（   ） A． B．25 C． D．52 【答案】B 【分析】本题考查了化简多重符号，根据偶数个负号结果为正即可得解，熟练掌握化简多重符号的法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 【变式2-1】下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的化简，熟练掌握相反数和绝对值是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 【变式2-2】下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，去括号，掌握一个数的前面加上负号就是这个数的相反数成为解题的关键． 根据相反数的定义逐层去括号，然后判断即可解答． 【详解】解；A、，故A选项正确，符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 【变式2-3】下列各组数：①与；②与；③与；④与；⑤与．其中互为相反数的有（  ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的判断，准确理解相反数的性质是解题的关键． 根据相反数的性质判断即可； 【详解】解：①与两数相等； ②与是互为相反数； ③与是互为相反数； ④与两数相等； ⑤与是互为相反数． 其中②③和⑤符合题意，故3组； 故选：B． 【变式2-4】下列各式中，化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符合的方法是解题的关键．根据化简多重符合的方法逐项判断即可． 【详解】解：A．，原化简错误，不符合题意； B．，原化简正确，符合题意； C．，原化简错误，不符合题意； D．，原化简错误，不符合题意； 故选：B． 题型三 有理数的分类 【例3】．下列7个数，，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的概念，解题的关键是根据有理数的定义（整数和分数，即有限小数或无限循环小数），逐一判断各数是否属于有理数． 【详解】解：，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6）中， ：分数形式，属于有理数． 1.010010001：有限小数，属于有理数． ：分数形式，化为小数是无限循环小数，属于有理数． 0：整数，属于有理数． ：整数，属于有理数． ：有限小数，属于有理数． （每两个2之间依次多一个6）：虽然有一定规律，但无限不循环，属于无理数． 综上，前6个数均为有理数，共， 故选：D． 【变式3-1】下列四个数中，属于正整数的是（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正整数的概念，熟知大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数是解题的关键． 【详解】解：这四个数中，属于正整数的是3， 故选：C． 【变式3-2】下列四个数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，即有理数可分为整数和分数，整数分为正整数、负整数和零，分数分为正分数和负分数，熟练掌握有理数的分类方式是解题关键． 根据有理数的分类逐项判断即可． 【详解】解：A、不是整数，故此选项不符合题意； B、是整数，但不是负整数，故此选项不符合题意； C、是负整数，故此选项符合题意； D、是正整数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式3-3】下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可． 【详解】解：① 是负分数，故①正确； ②是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④是有理数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； ⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误； 故选：D． 【变式3-4】在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数，理解有理数、非负整数的定义是正确解答的关键． 根据有理数，非负整数的定义进行判断即可． 【详解】解：在，，0，1.2，2，中，非负整数有0，2，共2个， 故选：B． 题型四 数轴 【例4】．下列各图中，数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素：原点，单位长度，正方向，即可得到答案． 【详解】解：A、缺少正方形，数轴表示不正确，不符合题意； B、缺少原点，数轴表示不正确，不符合题意； C、单位长度不统一，数轴表示不正确，不符合题意； D、是数轴，符合题意； 故选：D． 【变式4-1】如图，数轴上点A表示的数为a，则与a最接近的整数是（  ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，利用数轴上的点估算代数式，解题的关键是数形结合．由数轴可知，，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，在和之间，且更靠近， ， 与最接近的整数是， 故选：B． 【变式4-2】若，则有理数在数轴上对应的点的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据可知在和之间，且离比较近． 【详解】解：， 在和之间，且离比较近， 有理数在数轴上对应的点的位置应是A选项中的位置． 故选：A． 【变式4-3】如图，已知点在数轴上对应的数分别是，其中最大的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点大小问题，根据数轴上的数右边的数比左边的数大的性质，可得出答案. 【详解】解：∵数轴上的数右边的数比左边的数大， ∴数轴上的点大小关系为： ∴最大的是d. 【变式4-4】若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 【答案】C 【分析】分类讨论：线段的两端点是整数点，线段的两端点不是整数点，根据线段的长度，可得答案． 【详解】解：当线段的两端点是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 当线段的两端点不是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 线段盖住的整数点至少有个 故选：C． 题型五 有理数的运算 【例5】．以下计算题需要有计算过程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2)8 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律求解即可； （2）先把减法统一成加法，再按加法法则计算； （3）利用加法交换律和结合律求解即可； （4）先把减法统一成加法，再利用加法交换律和结合律求解即可； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式5-1】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将带分数化为假分数后与相乘并约分计算． （4）把带分数化为假分数，将除法变乘法后从左到右依次计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 【变式5-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)22 (2) (3) (4)1 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，包括去括号法则，乘除运算法则，乘法分配律以及运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内）． （1）按照有理数加减法法则计算； （2）依据有理数乘除法法则计算； （3）运用乘法分配律计算； （4）根据先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式5-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）利用有理数的乘除运算法则即可求解； （）利用有理数的除法法则即可求解； （）利用有理数的乘法分配律即可求解； （）利用有理数的乘法分配律即可求解； 本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式5-4】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算，有理数的乘除运算，含乘方的有理数的混合运算，进行计算，即可． （1）根据有理数的加减运算，先去小括号，然后进行有理数的加减运算，即可； （2）根据有理数的乘除运算，先计算小括号，然后根据有理数的加减运算，进行计算，即可； （3）根据有理数的乘法运算，乘法结合律，进行计算，即可； （4）先计算有理数的乘方，去绝对值，然后根据有理数的四则运算法则，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型六 有理数的应用 【例6】．某邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2千米到达A村，继续向西骑行3千米到达B村，然后向东骑行9千米到达C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置； (2)求这名邮递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)18千米 【分析】本题考查了数轴、正负数和有理数的加法在实际中的应用，正确理解题意、列出算式是解题的关键； （1）根据已知条件，在数轴上把A、B、C三个村庄的位置表示出来即可； （2）根据绝对值的意义列出算式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由题意可得：千米； 答：这名邮递员一共骑行了18千米． 【变式6-1】足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练在东西方向的足球场上画了一条直线，要求球员在这条直线上进行折返跑训练．如果约定向西为正，向东为负，将某球员的一组折返跑练习记录如下（单位：米）：，，，，，，，，，． (1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)球员训练过程中，最远处离出发点多少米； (3)球员在这一组练习过程中，共跑了多少米？ 【答案】(1)球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点米 (2)在最远处离出发点 (3)球员在一组练习过程中，跑了米． 【分析】本题考查的是有理数加减法的应用． （1）根据加法法则，将正数与正数相加，负数与负数相加，进而得出计算得结果； （2）求出每一段到出发点的距离，即可判断出结果； （3）利用绝对值的性质以及有理数加法法则求出即可． 【详解】（1）解： (米)； 答：球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点米； （2）每段路程跑完距离出发点为： 第一段，， 第二段，， 第三段，， 第四段，， 第五段，， 第六段，， 第七段，， 第八段，， 第九段，， 第十段，， ∴在最远处离出发点； （3） (米)， 答：球员在一组练习过程中，跑了米． 【变式6-2】老师倡导同学们要多帮助家长做家务，养成热爱劳动的好习惯，下面是小军对于自己的寒假假期的计划，他计划每天做家务一个小时，但放假期间，由于每天的不定因素，小军实际每天做家务的时间和计划有所出入，下面是放假后第一周小军做家务的时间（增加记为，减少记为） 星期 一 二 三 四 五 六 日（天） 增减/分钟 问： (1)做家务时间最长的一天比最短的一天多多少分钟? (2)实际情况较计划时间是较长还是较短，长（/短）了多少分钟? (3)根据记录的数据，小军这周做家务总时长是多少小时? 【答案】(1)14分钟 (2)长了6分钟 (3) 【分析】本题主要考查了正、负数、有理数的加、减法在实际生活中的应用，利用有理数的加法和减法法则计算是解答本题的关键． （1）根据表格找出家务时间最多的一天和最少的一天，再利用有理数的减法求解即可； （2）根据表格中数据列出算式求出结果，再进行判断即可； （2）根据正、负数的意义，运用有理数的加法即可求出该周做家务总时长． 【详解】（1）解：（分钟）， 答：做家务时间最长的一天比最短的一天多14分钟； （2）解：（分钟）， 答：实际情况较计划时间，长了6分钟． （3）解：（小时）， 答：小军这周做家务总时长是小时． 【变式6-3】“十一”黄金周期间，某乐园在7天假期中每天的游客人数变化如下表所示．以1万人为标准，多于1万人的记为“+”，不足1万人的记为“”，刚好1万人的记为“0” 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 0 (1)10月2日这一天的游客有_____万人． (2)请求出黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多多少万人． (3)若该乐园的门票是每人100元，请计算黄金周期间该乐园的门票收入． 【答案】(1)3.5 (2)万人 (3)1270万元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数运算的应用． （1）用1万加上10月2号变化的人数即可； （2）用记录数据最多的一天减去最少的一天即可； （3）先求出所记录数据变化的人数，加上7天的标准人数，求出出总人数，再乘以100即可． 【详解】（1）解：万人， 故答案为：3.5； （2）解：由题意，得： （万人）， 答：黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多万人． （3）解： （万人）， （万人）， （万元）， 答：黄金周期间该乐园的门票收入是1270万元． 【变式6-4】有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【答案】(1)17；152 (2)160厘米 (3)青蛙在第18次跳出了井口 【分析】本题考查正数和负数、有理数加法、有理数减法的应用，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． （1）以井底为起点0，正数加负数可以计算出青蛙距离井底和井口的距离即可求解； （2）用井深减去青蛙第七次跳跃并下滑稳定后距离井底的距离，就可以计算青蛙距离井口的距离； （3）在跳完七次的基础上，进行循环计算，就可以计算出第几次可以跳出井口． 【详解】（1）解： 井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住，正数表示上跳，负数表示下滑， 第一次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底17厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第二次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底26厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第三次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底41厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第四次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底64厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第五次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底80厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第六次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底90厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第七次跳跃以后没有下滑前：，表示青蛙在距离井底108厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 当青蛙跳完第一次以后距离井底最近为17厘米，当调完第七次后示下滑时，青蛙在距离井口最近152厘米处， 故答案为：17，152； （2）解：第七次跳跃并下滑稳定后：，表示青蛙在距离井底100厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 答：在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有160厘米． （3）解：每7次跳跃下滑记为一周，青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同， 当青蛙跳完2周以后，距离井口的距离（厘米），此时青蛙完成了14次跳跃， 青蛙继续跳跃情况为：（厘米）， ∵ ∴青蛙又继续跳跃4次就跳出了井口， ∴青蛙在第18次跳出了井口． 题型七 数轴上的动点问题 【例7】．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)6或10或22 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分三种情况，点在还没达到原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为，返回经过点A后，与点A的距离为，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴ 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点向右运动时且还没经过点时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点向右运动时且经过点后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 【变式7-1】，分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)点表示的数为或 (3) 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离公式及点的平移性质，根据题意运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据绝对值的定义结合由数轴得出a，b的符号即可得； （2）分以下两种情况：点C在A，B之间、点C在点B右侧，利用两点间距离公式列方程求解； （3）根据平移的性质可知，P点表示的数为，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵由数轴可知，， ∴；. （2）解：①若C点在B点的右侧，则， ∴， ∴点C表示的数为：， ②若C点在A，B点之间，则， ∴， ∴点C表示的数为：． 综上，C点表示的数为或； （3）解： ． 表示的数为． 【变式7-2】如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点之间、数轴上点的平移是距离等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据平移特点列式计算即可； （2）根据三种方法，分别运用平移法则解答即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为4， ∴将点A向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：当点A移动时，此时只需将A向左移动8个单位即可． 当点B移动时，此时只需将B向左移动8个单位即可． 当点C移动时，此时只需要将C向右移动4个单位即可． 【变式7-3】如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． (1)将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (2)将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； (4)怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 【答案】(1)B， (2)B， (3)1 (4)见解析 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上点的平移： （1）根据向左移动减求出点B表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向右移动加求出点A表示的数，然后作出判断即可； （3）根据向左移动减求出点C表示的数，用点B所表示的数减去点C所表示的数即可； （4）根据A、B、C有一点不移动，分三种情况讨论． 【详解】（1）解：三点表示的数分别是，，， 将点B向左移动4个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （2）解：将点A向右移动3个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （3）解：将点C向左移动6个单位长度后表示的数为：， ， 因此点B表示的数比点C表示的数大1； 故答案为：1； （4）解：有三种不同的移动方法： ①将点A向右移动2个单位长度，将点C向左移动5个单位长度； ②将点A向右移动7个单位长度，将点B向右移动5个单位长度； ③将点B向左移动2个单位长度，将点C向左移动7个单位长度． 【变式7-4】已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)；1 (2)①；②1或9秒 【分析】（1）由已知得，则，因为点 B在原点左边，即可求出； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是，计算即可求出； （2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则，然后解方程得到，得到点P运动距离为，再根据和P点在负半轴，即可求出；②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则；超过Q，则；由此求得答案即可． 此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是 故答案为：，1； （2）①点P运动t秒时追上点Q，根据题意得， 解得， ∴当点P运动5秒时，点P追上点Q； ∴点P运动距离为 ∴ ∵此时P点在负半轴， ∴当点P追上点Q时，点P所表示的数是； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度 当P不超过Q，则，解得； 当P超过Q，则，解得； 答：当点1秒或9秒点P与点Q间的距离为8个单位长度． 基础巩固通关测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利100元记作元，那么元表示（          ） A．盈利10元 B．盈利90元 C．亏损元 D．亏损90元 【答案】D 【分析】本题考查了相反意义的量，如果盈利用正数表示，那么亏损就用负数表示，据此求解即可． 【详解】解：如果盈利100元记作元，那么元表示亏损90元， 故选：D． 2．下列各数中负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查负数的定义，即小于0的数，根据负数的定义进行逐一判断，即可作答． 【详解】解：， 则负数有4个， 故选：C 3．在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数，理解有理数、非负整数的定义是正确解答的关键． 根据有理数，非负整数的定义进行判断即可． 【详解】解：在，，0，1.2，2，中，非负整数有0，2，共2个， 故选：B． 4．如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．1.8 B．2 C．2.3 D．5.5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上x的值在刻度尺的5和6之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的5和6之间， 由题意可得，数轴上x的值的取值范围是， ∵，，， 故数轴上x的值最有可能是2.3． 故选：C． 5．实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则a，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据各点再数轴上的位置判断出a、b的符号及绝对值的大小，进而可得结论． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选：A． 6．数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【详解】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 7．化简：（   ） A． B．25 C． D．52 【答案】B 【分析】本题考查了化简多重符号，根据偶数个负号结果为正即可得解，熟练掌握化简多重符号的法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 8．中考所用的排球重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的实际意义，比较各数绝对值的大小即可判断求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴最接近标准质量的是， 故选：． 9．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法、减法、乘法与乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数的加法、减法、乘法与乘方法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 10．某公司推出无人驾驶载人飞行器，可搭载乘客或物资．在某次运输模拟测试中，出发时搭载货物重量为，记录装载卸载货物的数据如下：，，，，，（正数表示新装载的货物重量，负数表示卸载的货物重量，单位：）．模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正数和负数及有理数加减混合运算，熟练掌握正数和负数是表示一对相反意义的量是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：， 即模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是． 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是相反数的定义，解题关键是熟练掌握相反数的定义． 根据相反数的定义即可得解． 【详解】解：根据相反数的定义可得：的相反数是． 故答案为：． 12．写出一个负数，使这个数的绝对值大于3： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了绝对值的含义和运用，首先根据一个负数的绝对值大于3，可得这个负数小于，据此求解即可． 【详解】解：满足绝对值大于3的负数可以是， 故答案为：（答案不唯一） 13．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握绝对值和平方数的非负性，即绝对值一定大于等于0，一个数的平方也一定大于等于0． 因为两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，据此列出方程求解的值． 【详解】解：已知 根据非负数的性质：绝对值，一个数的平方， 当两个非负数的和为0时，只能是且， 对于，解方程可得：，移项得， ∴， 故答案为：． 14．在直线上表示、、、时，离0最近的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据绝对值的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴在直线上表示、、、时，离0最近的数是． 故答案为：． 15．若公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，一辆公共汽车原有18名乘客，经过某一站时，乘客变化为：，，这时车上乘客人数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的运算法则.直接根据题意计算即可. 【详解】∵公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，乘客变化为：，， ∴这时车上乘客人数为（人） 故答案为：12 16．用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法，解答的关键是灵活运用有理数的加法的运算律． 利用有理数的加法的交换律与结合律对式子进行运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 17．某地气温开始是，一会儿升高，再过一会儿又下降，这时气温是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，理解题意，掌握有理数的加减运算是关键． 根据题意，运用有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：开始是，一会儿升高，再过一会儿又下降， ∴， ∴这时气温是， 故答案为：． 18．计算： ； 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 19．如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 【详解】解：， ，输出； 故答案为：128． 20．2025年佛山市政府工作报告显示，佛山核销消费品以旧换新补贴1870000000元、核销率全省第一，带动汽车、家电、智能家居等消费超142亿元，数据1870000000元用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共60分） 21．（每小题5分，共30分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5) (6) 【答案】(1) (2)4 (3) (4)9 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用有理数加减混合运算法则计算； （2）利用有理数加减混合运算法则计算； （3）把小数化为分数，利用有理数加减混合运算法则计算； （4）把小数化为分数，利用有理数加减混合运算法则计算． （5）先审题，弄清楚混合运算的运算顺序，再按相应的运算法则计算； （6）本题可以利用乘法分配律简化计算。 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． （5）解： ． （6）解： ． 22．（6分）把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【答案】①④⑧；③⑤⑦；②⑧ 【分析】本题考查了实数的分类，按照实数的分类填写，实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数，掌握有理数的概念和实数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：①，②0.2，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧中， 整数集合①，④0，⑧； 负分数集合③，⑤，⑦； 正有理数集合②0.2，⑧， 故答案为：①④⑧；③⑤⑦；②⑧． 23．（6分）已知5个数分别为． (1)将题目中的5个数在数轴上表示出来； (2)将题目中的5个数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数大小等知识，将各数准确表示在数轴上是解题关键． （1）首先化简，，然后根据数轴的定义和性质，将各数在数轴上表示出来即可； （2）在数轴上表示的有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数，结合数轴比较各数大小即可． 【详解】（1）解：， 将题中5个数在数轴上表示出来，如下图所示； （2）解： 24．（8分）为了丰富孩子们的校园生活，西宁市第二中学积极开展多种形式的社团课程．某周三在机器人社团活动中，高一学生小华通过编程使一只电子蚂蚁从点处出发，在一直线上连续匀速左右爬行7趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负．电子妈蚁爬行情况依次记为（单位：厘米）：，，，，，，． (1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧还是左侧？距起点多少厘米？ (2)若电子蚂蚁共用了20秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度． 【答案】(1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧，距起点8厘米． (2)厘米/秒 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加法应用，有理数的除法应用，根据题意正确的列式计算是解题的关键； （1）各数据相加即可求解； （2）计算出电子蚂蚁爬行的总路程，再除以时间即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴电子蚂蚁最后位于起点的右侧，距起点8厘米． （2）∵， ∴（厘米/秒）． 答：电子蚂蚁的速度（厘米/秒）． 25．（10分）在数轴上有三个点，，，如图所示．    (1)点表示的数是________； (2)将点向左平移4个单位，此时该点表示的数是________； (3)将点向左平移3个单位得到数，再向右平移2个单位得到数，则，分别是多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据点A在数轴上的位置即可得到点A表示的数； （2）根据数轴上点的平移规律求解即可； （3）根据数轴上点的平移规律求解即可． 【详解】（1）点表示的数是， 故答案为：； （2）∵B点表示的数是2， ∴将点向左平移4个单位，此时该点表示的数是， 故答案为：； （3）将点向左平移3个单位得到数，再向右平移2个单位得到数． 【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上点的平移特点，注意运动的方向与符号的关系是解题的关键． 能力提升进阶练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·湖北·三模）现有四个标号为1，2，3，4的乒乓球，它们的重量与标准重量的差分别是，，最接近标准重量的乒乓球标号是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．先比较出超标情况的大小，再根据绝对值最小的越接近标准质量，即可得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴球的质量最接近标准质量是1号乒乓球， 故选：A． 2．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了相反数、绝对值，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，，5和5不是相反数，不符合题意； B、，，4和4不是相反数，不符合题意； C、，，和3互为相反数，符合题意； D、，和不是相反数，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·河北邯郸·二模）与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值和化简多重符号，首先化简绝对值和多重符号，然后比较即可． 【详解】解：， ∴与的关系是相等． 故选：A． 4．（2025·河北唐山·二模）若数轴上点A，B分别表示数为，2，则A，B两点之间的距离可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，即数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的差的绝对值，或用右边的点表示的数减去左边的点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点A，B分别表示数为，2， ∴A，B两点之间的距离可表示为， 故选：C． 5．（2025·江西抚州·二模）（深度求索）是一家中国的人工智能公司，专注于通用人工智能的研发，尤其在搜索增强型语言模型领域表现突出．如：是其开发的一个强大的混合专家语言模型，含2360亿个总参数，可贵的是开发团队成员均来自本土，没有任何海外归来人员．把数据2360亿用科学记数法表示应是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，将数据2360亿用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为正整数，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，2360亿， ∴把数据2360亿用科学记数法表示， 故选：A． 6．（2025·河北·模拟预测）刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为，由此可推算图2中计算所得的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图示得出两个数，然后再进行求和得出答案． 本题主要考查了有理数的加法，正数和负数，掌握有理数的加法运算法则是关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 7．（2025·浙江衢州·一模）某种筷子的合格长度标准为，则下列四双筷子中合格的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加减法的实际应用．求出的值，确定筷子中合格的长度，进行判断即可． 【详解】解：，， ∴零件的尺寸标准在之间， 故四双筷子中合格的长度是． 故选：B． 8．（2022·浙江丽水·三模）如图，运算中的（    ）处，填写的理由是（    ） （乘法交换律） （          ） ． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．加括号 【答案】B 【分析】根据运算过程可知是根据乘法结合律． 【详解】解： (乘法交换律) (乘法结合律) 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握和运用有理数的乘法运算律是解决本题的关键． 9．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是（    ）天    A．510 B．511 C．513 D．520 【答案】A 【分析】本题考查了计数方法，有理数的混合运算．类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，再列式计算即可． 【详解】解：（天）， 答：孩子自出生后的天数是510天． 故选：A． 10．（24-25七年级上·山东德州·期中）下列说法正确的序号是（   ） ①已知，是非零的有理数，若，则； ②若，为两个负有理数且，则； ③已知，，是非零的有理数，若，则结果的符号为正； ④已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或−3； A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的运算法则，熟知绝对值的意义是解题的关键． ①已知，是非零的有理数，若，即可得出，可判断①；②根据，为两个负有理数且，，得出，即可判断②；③举例当为负数时，即可判断③；④分两种情况：一是、、皆为负数，二是、、中只有一个负数，即可判断④． 【详解】解：①已知，是非零的有理数，若， ∴， ∴， 则； 故①正确； ②若，为两个负有理数， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，为两个负有理数， ∴； 故②正确； ③已知，，是非零的有理数，若， ∴中有个或个负数． 当为负数时，； 故③错误； ④已知，，是非零的有理数， 当时， 则， ∴中有个或个负数． 分两种情况： 一是、、皆为负数， 此时； 二是、、中只有一个负数， 令，、， 此时， 故④正确； 综上所述：正确的有①②④． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，一辆公共汽车原有18名乘客，经过某一站时，乘客变化为：，，这时车上乘客人数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的运算法则.直接根据题意计算即可. 【详解】∵公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，乘客变化为：，， ∴这时车上乘客人数为（人） 故答案为：12 12．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是9，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，在数轴上表示有理数．根据已知条件和两点间的距离公式，求出和，结合数轴求出点表示的数，即可作答． 【详解】解：点表示的数是9， ，， 结合点在点的左边， ∴点表示的数是， 故答案为：． 13．（2024·湖南·模拟预测）实数在数轴上对应点的位置如图所示，比较大小：（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴的性质可得，再根据绝对值的性质即可得． 【详解】解：由数轴可知，， 则， 故答案为：． 14．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在数轴上，点A表示的数为2，若将点A向左移动6个长度单位后，这时点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点的平移，熟练掌握规律是解题的关键．根据向左平移减，解答即可． 【详解】解：根据题意，得点A表示的数为2，将点A向左移动6个长度单位后得新数为． 故答案为：． 15．（2025·江苏南京·二模） ； ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了相反数、绝对值等知识点，掌握运用相反数的定义去括号的方法成为解题的关键． 分别根据相反数、绝对值的定义求解即可． 【详解】解：，． 故答案为：5，． 16．（2025·四川资阳·模拟预测）有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有 （填写序号）． ① ；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较等知识，由数轴可得，，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ∵，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，， 又∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 17．（2025·河北唐山·三模）若，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是非负数的性质，零次幂的含义，根据条件可得，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为： 18．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）规定运算“★”是则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义及有理数的除法及减法运算，根据新定义列出式子，根据运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 19．（2025·山东烟台·二模）《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运用，根据题意，分别得出第1次截取后，剩余的木棒有尺；第2次截取后，剩余的木棒有，以此类推即可解答，熟知期中规律是解题的关键． 【详解】解：第1次截取后，剩余的木棒有尺； 第2次截取后，剩余的木棒有尺； 第3次截取后，剩余的木棒有尺， ， 第2025次截取后，剩余的木棒有尺， 故答案为：． 20．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 三、解答题（本大题共5小题，共60分） 21．（本题6分）（24-25七年级上·广东珠海·期中）把下列各数的序号填在相应的横线内： ①；②；③；④；⑤；⑥0；⑦ 负数集合：{ ⋯}； 整数集合：{ ⋯}； 有理数集合：{ ⋯}； 【答案】③④；③⑤⑥；①③④⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的乘方计算和求绝对值，先计算绝对值和乘方，再根据负数，整数和有理数的定义求解即可． 【详解】解：， ∴负数集合：{③④}； 整数集合：{③⑤⑥}； 有理数集合：{①③④⑤⑥⑦}； 22．（本题8分）（24-25七年级上·青海西宁·期中）已知5个数分别为． (1)将题目中的5个数在数轴上表示出来； (2)将题目中的5个数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数大小等知识，将各数准确表示在数轴上是解题关键． （1）首先化简，，然后根据数轴的定义和性质，将各数在数轴上表示出来即可； （2）在数轴上表示的有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数，结合数轴比较各数大小即可． 【详解】（1）解：， 将题中5个数在数轴上表示出来，如下图所示； （2）解： 23．（本题20分）（24-25七年级上·四川南充·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)6 (4) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先去括号，再根据有理数加减法法则计算即可； （2）先将除法转化为乘法，再根据有理数乘法法则计算即可； （3）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 24．（本题12分）（24-25·山东东营·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里程（单位：）如下：． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)小李在九洲体育馆门口西侧处； (2)共消耗天然气立方米； (3)小李这天上午共得车费58元． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数加减法以及乘法应用，绝对值的意义，掌握相关运算法则是解题关键． （1）将小李上午所接送8位乘客的行车里程相加即可求解； （2）先求出小李上午的总行车里程，再乘以每千米消耗天然气量即可求解； （3）8位乘客均有起步价，再求出超出部分的加价即可． 【详解】（1）解：， 即小李在九洲体育馆门口西侧处； （2）解：小李上午的总行车里程为， 则共消耗天然气立方米； （3）解：（元）， 答：小李这天上午共得车费58元． 25．（本题14分）（24-25七年级上·广东肇庆·期中）如图，在一张纸上画出一条水平的数轴上放置一枚黑棋．一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置所对的数分别是和5的位置上，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋、乙移动白棋）． 两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果进行移动（剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，手势相同为平局），移动规则如下： ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度； ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动2个单位长度； ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度． 前四局如下表： 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪刀 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始，求第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数． (2)规定若每局结束后黑棋的位置离原点更近，则甲胜，若白棋的位置离原点更近，则乙胜，那么第三局结束时获胜的是谁？此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是多少？ (3)若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4，则乙第四局的手势是什么？此时黑棋和白棋在数轴上的位置相距多少个单位长度？ 【答案】(1)第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别为和 (2)第三局结束时获胜的是甲，此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是 (3)乙第四局的手势是剪刀；此时黑棋和白棋在数轴上的位置相距个单位长度． 【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及数轴上动点问题，有理数的加减的应用； （1）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算即可求解； （2）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算第二、三局，黑棋对应点数即可求解； （3）白棋在数轴上的位置所对应的数是4，第三局结束时白棋在数轴上的位置所对应的数为，结合题意可得第四局是乙赢，则乙第四局的手势是剪刀，进而根据黑棋和白棋的位置，可得在数轴上的距离，即可求解． 【详解】（1）解：∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第一局是平局， ∴， 答：第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别为和； （2）∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，4，第二局是甲赢， ∴，， ∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第三局是甲赢， ∴， 答：第三局结束时获胜的是甲，此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是； （3）解：由（2）可得，第三局结束时白棋在数轴上的位置所对应的数为， ∵若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4， ∴，即白棋向左移动2个单位长度， ∴第四局是乙赢，则乙第四局的手势是剪刀 ∴， ∴此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是， 此时黑棋和白棋在数轴上的位置相距个单位长度； 答：乙第四局的手势是剪刀；此时黑棋和白棋在数轴上的位置相距个单位长度 2 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $$