【数学帮】代数式求值（含答案解析版）

代数式求值（程序框图） 一．填空题（共 1 小题） 1 ．任意给定一个非零数 m ，按如下程序计算，最后输出的代数式是 （最简结果）． 二．解答题（共 12 小题） 2 ．解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作： 魔术师能立刻说出观众想的那个数． （1）如果小明想的数是 - 2 ，则她计算后告诉魔术师结果是 ； （2） 如果小玲想了一个数计算后，告诉魔术师结果为 10235 ，那么魔术师立刻说出小玲想的那个数 是 ； （3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数．若设观众心想的数为 a ，请你按照 魔术师要求的运算过程列代数式并化简，再用一句话解释这个魔术的奥妙． 3．为了缓解用电紧张，某电力公司制订了新的用电收费标准，爱思考的李明根据电力公司制订的收费标准， 绘制了如下的计算程序转换机示意图： （1）李明家 10 月份用电 190 度，则应缴纳电费 元； （2） 李明家 6 月份用电 x （x＞210） 度 ，则李明家 6 月份应缴纳电费 元（用含 x 的代数式表示，并化成最简形式）； （3）李明家 12 月份缴纳电费 265 元，求出李明家 12 月份的用电量． 第 1 页 共 20 页 4 ．如图是一个数值转换机，当输入一个数进行规定的数值转换，就可以输出一个数． （1）请将图中的计算程序用代数式表示出来，并化简； （2）当输入 m 的值分别是 5 ， - 3 ， 时，求输出的结果． 5 ．请你设计一个求代数式a2+6 的值的计算程序，并计算出当 a 分别取 - 6 ， - 3 ，0 ，3 ，9 ，12 时，该代 数式的值． 6 ．按下列程序计算，把答案填写在表格内，并回答下列问题： 输入 x 3 2 - 2 … 输出答案 1 1 … （1）根据上述计算，你发现了什么规律？ （2）请列出代数式，并说明你发现的规律的正确性． 第 2 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 7 ．嘉淇在学习scratch 电脑编程时，设计了一个小程序：程序界面分为 A 、B 两区，每按一次按键，A 区就 会自动加上 a2+2a ，同时 B 区就会自动乘以 2 且均显示化简后的结果，已知 A、B 两区初始显示的分别是 16 和 4+a． （1）从初始状态按 2 次后，分别求 A ，B 两区显示的结果； （2）从初始状态按 2 次后，计算代数式 A 减去代数式 B 的差，请判断这个差能为负数吗？说明理由． 8 ．我们在学习《3.3 代数式的值（2）》 时，介绍了“计算框图 ”，其实计算框图中有很多的规范要求：“输 入、输出框 ”用“ ”表示（表示输入、输出操作）；“处理框 ”用“ ”表示（表示数据 处理和运算）；“判断框 ”用“ ”表示（根据条件决定执行两条路径中的某一条） （1）观察与思考： 在图①中写出操作过程． （2）类比与归纳： ①如图② , 如果输入 x 的值为 1 ，那么输出的结果为 ； ②根据图③所示的计算程序，若输出的值y ＝10 ，则输入的值 x = . 第 3 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 （3）生活与应用： 为加强居民节水意识，扬州市江都区政府决定对居民用水实行“阶梯价 ”，见价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出 15 吨的部分 2 元/吨 超 15 吨不超 25 吨的部分 3 元/吨 超出 25 吨的部分 6 元/吨 注：水费按月结算 若某居民 1 月用水量不超 25 吨，请你设计“计算框图 ”，使得输入数据为用水量 x ，输出数据为水费y． 9 ．小王在电脑课上设计了一个小程序，在电脑执行该小程序时，第一步会将输入的数值乘以 8 ，第二步将 乘积的结果减去 5 ，第三步将所得差取绝对值后输出．请问：如果输入的数是b ，那么输出的结果可以用 怎样的代数式来表示？ 10 ．按下列程序计算，把答案写在表格内： （1）填写表格： 输入 n 3 1 - 2 - 3 … 答案 12 … （2）请将题中计算程序用含 n 的代数式表示出来，并将该式化简． 第 4 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 11．有这样一个题目： 按照给定的计算程序，确定使代数式 n（n+2）大于 2000 的 n 的最小正整数值．想一想，怎样迅速找到 这个 n 值，请与同学们交流你的体会． 小亮尝试计算了几组 n 和 n（n+2）的对应值如下表： n 50 40 n（n+2） 2600 1680 （1）请你继续小亮的尝试，再算几组填在上表中（几组随意， 自己画格），并写出满足题目要求的 n 的 值； （2）结合上述过程，对于“怎样迅速找到 n 值 ”这个问题，说说你的想法． 12．小明根据市自来水公司的居民用水收费标准，制定了水费计算数值转换机的示意图．（用水量单位：m3， 水费单位：元） （1）根据转换机程序计算下列各户月应缴纳水费 用户 张大爷 王阿姨 小明家 月用水量/m3 6 15 17 月应缴纳水费/元 （2）当 x＞15 时，用含 x 的代数式表示水费 ； （3）小丽家 10 月份水费是 70 元，小丽家 10 月份用水 m3． 第 5 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 13 ．当今是计算机时代，我们知道计算机装置有一个数据输入口 A 和一个运算结果输出口 B ．小聪同学编 入下列运算程序，将数据输入且满足以下性质： ①从 A 口输入 n ＝1 时，从 B 口得到 au=；从 A 口输入 n ＝2 时，从 B 口得到 ； ②从 A 口输入整数 n（n≥3）时，在 B 口得到的结果 an满足： 当 n 是奇数时， ；当 n 是偶数时， ． （1）求 a3 和 a4 的值． （2）当 n 为正整数时，直接写出 an 的表达式（用 n 的代数式表示）． （3）求 a1+a2+a3+a4+…+a99+a100 的值． 第 6 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 代数式求值（程序框图） 一．填空题（共 1 小题） 1 ．任意给定一个非零数 m ，按如下程序计算，最后输出的代数式是 m - 1 （最简结果）． 【分析】根据题意列出代数式，化简即可． 【解答】解：（m2 - m ） ÷m =m2 ÷m - m ÷m =m - 1． 故答案为：m - 1． 【点评】本题考查列代数式，列代数式时要按照程序给出的运算顺序从左往右计算，这是解题的关键． 二．解答题（共 12 小题） 2 ．解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作： 魔术师能立刻说出观众想的那个数． （1）如果小明想的数是 - 2 ，则她计算后告诉魔术师结果是 35 ； （2）如果小玲想了一个数计算后，告诉魔术师结果为 10235 ，那么魔术师立刻说出小玲想的那个数是 100 ； （3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数．若设观众心想的数为 a ，请你按照 魔术师要求的运算过程列代数式并化简，再用一句话解释这个魔术的奥妙． 【分析】（1）本题根据程序框图按有理数四则混合运算法则计算即可． （2）本题设小玲想的那个数是 x ，根据程序框图列出方程求解，即可解题． （3）本题根据程序框图列出代数式化简即可，再根据化简后的代数式解释这个魔术的奥妙． 【解答】解：（1）[（ - 2×4+8） ×5+7]×5 =7×5 =35． 故答案为：35． （2）设小玲想的那个数是 x， 第 7 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 根据题意可得，[（4x+8） ×5+7]×5 ＝10235 100x+235 ＝10235 100x ＝10000 x ＝100， 故答案为：100． （3） 由题意得，[（4a+8） ×5+7]×5 =（20a+47） ×5 = 100a+235， 这个魔术的奥妙是根据所得的数字减去 235 ，再除以 100 ，即可得到心中所想的数字． 【点评】本题考查了程序框图、有理数的四则混合运算、一元一次方程的应用、列代数式、代数式化简， 本题解题的关键在于正确理解程序框图的运算顺序． 3．为了缓解用电紧张，某电力公司制订了新的用电收费标准，爱思考的李明根据电力公司制订的收费标准， 绘制了如下的计算程序转换机示意图： （1）李明家 10 月份用电 190 度，则应缴纳电费 95 元； （2）李明家 6 月份用电 x（x＞210）度，则李明家 6 月份应缴纳电费 （0.8x - 63） 元（用含 x 的代 数式表示，并化成最简形式）； （3）李明家 12 月份缴纳电费 265 元，求出李明家 12 月份的用电量． 【分析】（1）根据题意即可求出李明家 10 月份应付的电费； （2）根据题意即可用含 x 的代数式表示出李明家 6 月份应付的电费； （3）设李明家 12 月份的用电量为y 度，求出用电量为 210 度时的应付电费，由该值小于 265 ，可得出y >210 ，由（2）的结论结合李明家 12 月份交付电费 265 元，即可得出关于y 的一元一次方程，解之即可 第 8 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 得出李明家 12 月份的用电量． 【解答】解：（1）0.5×190 ＝95（元）． 故答案为：95． （2）（x - 210） ×0.8+210×0.5 ＝（0.8x - 63）元． 故答案为：（0.8x - 63）． （3）设李明家 12 月份缴纳电量为y 度， ∵210×0.5 ＝105（元）， 105＜265， ∴y＞210， 则 0.8y - 63 ＝265， 解得，y ＝410， 答：李明家 12 月份的用电量为 410 度． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算、代数式的求值以及列代数式，解题的关 键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含 x 的代数式表示出李 明家 6 月份应付的电费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 4 ．如图是一个数值转换机，当输入一个数进行规定的数值转换，就可以输出一个数． （1）请将图中的计算程序用代数式表示出来，并化简； （2）当输入 m 的值分别是 5 ， - 3 ， 时，求输出的结果． 【分析】（1）将图中的计算程序用代数式表示出来，再化简即可； （2）输入 m 的值分别计算，再求输出的结果． 【解答】解：（1）（ - | - 5|+m2） =（ - 5+m2） m2 - 2； 第 9 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）当 m ＝5 时，原式 52 - 2 ＝10 - 2 ＝8； 当 m ＝5 时，原式 （ - 3）2 - 2 2 ； 当 m ＝5 时，原式 （ ）2 - 2 2 ． 【点评】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 5 ．请你设计一个求代数式a2+6 的值的计算程序，并计算出当 a 分别取 - 6 ， - 3 ，0 ，3 ，9 ，12 时，该代 数式的值． 【分析】利用实数的运算顺序设计程序，正确代入 a 值，利用老师的混合运算的思想解答即可． 【解答】解：设计求代数式 a2+6 的值的计算程序如下： 当 a ＝ - 6 时， a2+6 6 =24+6 =30； 当 a ＝ - 3 时， a2+6 （ - 3）2+6 =6+6 = 12； 当 a ＝0 时， 第 10 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 a2+6 02+6 =0+6 =6； 当 a ＝3 时， a2+6 32+6 =6+6 = 12； 当 a ＝9 时， a2+6 92+6 =54+6 =60； 当 a ＝12 时， a2+6 122+6 =96+6 = 102． 【点评】本题主要考查了求代数式的值，正确代入 a 值，熟练掌握实数的混合运算的法则是解题的关键． 6 ．按下列程序计算，把答案填写在表格内，并回答下列问题： 第 11 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 输入 x 3 2 - 2 … 输出答案 1 1 1 1 … （1）根据上述计算，你发现了什么规律？ （2）请列出代数式，并说明你发现的规律的正确性． 【分析】根据题意可列出代数式，根据规律即可求解． 【解答】解：[（ - 2）2+（ - 2）]÷（ - 2）2 - （ ）＝1； [（ ）2 ]÷ ( ) 2 1． 故答案为：1 ；1． （1）规律：不论 x 取何值，最终答案都是 1； （2）代数式：（x2+x） ÷x2 1， 理由： ∵（x2+x） ÷x2 1 1， ∴不论 x 取何值，最终答案都是 1． 【点评】本题考查了代数式求值，解题的关键是找规律计算． 7 ．嘉淇在学习scratch 电脑编程时，设计了一个小程序：程序界面分为 A 、B 两区，每按一次按键，A 区就 会自动加上 a2+2a ，同时 B 区就会自动乘以 2 且均显示化简后的结果，已知 A、B 两区初始显示的分别是 16 和 4+a． （1）从初始状态按 2 次后，分别求 A ，B 两区显示的结果； （2）从初始状态按 2 次后，计算代数式 A 减去代数式 B 的差，请判断这个差能为负数吗？说明理由． 第 12 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）根据题意列出相应的式子，利用整式的加减运算的法则进行运算即可； （2）结合（1）进行求解即可． 【解答】解：（1）A：16+2（a2+2a） = 16+2a2+4a， B：2×2（4+a） =4（4+a） = 16+4a； （2）不能，理由如下： 由题意得：16+2a2+4a - （16+4a） = 16+2a2+4a - 16 - 4a =2a2≥0， 则其值为非负数． 【点评】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 8 ．我们在学习《3.3 代数式的值（2）》 时，介绍了“计算框图 ”，其实计算框图中有很多的规范要求：“输 入、输出框 ”用“ ”表示（表示输入、输出操作）；“处理框 ”用“ ”表示（表示数据 处理和运算）；“判断框 ”用“ ”表示（根据条件决定执行两条路径中的某一条） 第 13 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）观察与思考： 在图①中写出操作过程． （2）类比与归纳： ①如图② , 如果输入 x 的值为 1 ，那么输出的结果为 - 27 ； ②根据图③所示的计算程序，若输出的值y ＝10 ，则输入的值 x ＝ 15 或 - 3 ． （3）生活与应用： 为加强居民节水意识，扬州市江都区政府决定对居民用水实行“阶梯价 ”，见价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出 15 吨的部分 2 元/吨 超 15 吨不超 25 吨的部分 3 元/吨 超出 25 吨的部分 6 元/吨 注：水费按月结算 若某居民 1 月用水量不超 25 吨，请你设计“计算框图 ”，使得输入数据为用水量 x ，输出数据为水费y． 【分析】（1）首先乘以 5 ，再减去 - 3 ，即可解答； （2）①将 x ＝1 代入 2x - 5 中，求出对应的值，接下来将计算结果与 - 20 进行比较，满足则输出，否则， 继续计算； ②分 x 为正数，x 不是正数两种情况，求出对应的 x 的值，问题便可解答； 第 14 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 （3）找等量关系列出代数式即可得答案． 【解答】解：（1）如图所示． （2） ①把 x ＝1 代入可得： 2x - 5 =2×1 - 5 = - 3＞ - 20 把 x ＝ - 3 代入可得： 2x - 5 =2×（ - 3） - 5 = - 11＞ - 20 把 x ＝ - 11 代入可得： 2x - 5 ＝2×（ - 11） - 5 = - 27＜ - 20． 故答案为： - 27． ②当 x 为正数时，x - 5 ＝10 ，解得 x ＝15； 当 x 不是正数时，x2+1 ＝10 ，解得 x ＝ - 3（正值舍去）． 故答案为：15 或 - 3． （3）如图所示： 第 15 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 【点评】本题考查列代数式求值，关键是列出代数式． 9 ．小王在电脑课上设计了一个小程序，在电脑执行该小程序时，第一步会将输入的数值乘以 8 ，第二步将 乘积的结果减去 5 ，第三步将所得差取绝对值后输出．请问：如果输入的数是b ，那么输出的结果可以用 怎样的代数式来表示？ 【分析】第一步会将输入的数值乘以 8 ，如果输入的数是b ，则第一步运算后结果为 8b． 【解答】解：如果输入的数是b ，输出结果用代数式表示为|8b - 5|． 【点评】本题考查列代数式，找到题的等量关系是解题关键． 10 ．按下列程序计算，把答案写在表格内： （1）填写表格： 输入 n 3 1 - 2 - 3 … 答案 12 4 - 8 - 12 … （2）请将题中计算程序用含 n 的代数式表示出来，并将该式化简． 【分析】（1）将 n ＝1 ， - 2 ， - 3 分别代入程序，求出结果即可． （2）按程序列出代数式（n2+3n） - （n2 - n）＝4n． 【解答】解：（1）当 n ＝1 时，答案＝4； 当 n ＝ - 2 时，答案＝ - 8； 当 n ＝ - 3 时，答案＝ - 12； 第 16 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 故答案为 4 ， - 8 ， - 12； （2）按程序列出代数式（n2+3n） - （n2 - n）＝4n． 【点评】本题考查列代数式；能够根据题意，列出正确的代数式是解题的关键． 11．有这样一个题目： 按照给定的计算程序，确定使代数式 n（n+2）大于 2000 的 n 的最小正整数值．想一想，怎样迅速找到 这个 n 值，请与同学们交流你的体会． 小亮尝试计算了几组 n 和 n（n+2）的对应值如下表： n 50 40 n（n+2） 2600 1680 （1）请你继续小亮的尝试，再算几组填在上表中（几组随意， 自己画格），并写出满足题目要求的 n 的 值； （2）结合上述过程，对于“怎样迅速找到 n 值 ”这个问题，说说你的想法． 【分析】（1）取 n ＝44 与 n ＝43 ，分别计算 n（n+2），即可完成表格，从而确定满足题目要求的 n 的值； （2）根据表格中给出的 n ＝50 与 n ＝40 时 n（n+2）的对应值，将它们与 2000 比较，得出 n＜45 ，取 n =44 计算，根据此时 n（n+2）＞2000 ，再取 n ＝43 计算，根据 43×45 ＝1935＜2000 ，即可求出 n 的值． 【解答】解：（1）填表如下： n 50 40 44 43 n（n+2） 2600 1680 2024 1935 由上表可得，满足条件的 n 值为44； （2） 由于 n 与（n+2）都是整数，确定使代数式 n（n+2）大于 2000 的 n 的最小正整数值，因为 50×52 第 17 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 =2600 ，40×42 ＝1680 ，2600 - 2000 ＝600＞2000 - 1680 ＝320 ，所以 n＜45 ，取 n ＝44 计算，发现 44× 46 ＝2024＞2000 ，再取 n ＝43 计算，由于 43×45 ＝1935＜2000 ，从而确定满足条件的 n 值为 44． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，理解题意，根据表格得出n＜45 是解题的关键． 12．小明根据市自来水公司的居民用水收费标准，制定了水费计算数值转换机的示意图．（用水量单位：m3， 水费单位：元） （1）根据转换机程序计算下列各户月应缴纳水费 用户 张大爷 王阿姨 小明家 月用水量/m3 6 15 17 月应缴纳水费/元 18 45 55 （2）当 x＞15 时，用含 x 的代数式表示水费 5x - 30 ； （3）小丽家 10 月份水费是 70 元，小丽家 10 月份用水 20 m3． 【分析】（1）根据用水量的多少和两种不同的计算方法计算水费即可； （2）用 15 立方米的水费加上比 15 立方米多的部分的水费即可； （3）代入总水费 150 元，求得用水量即可． 【解答】解：（1）张大爷水费：6×3 ＝18 元； 王阿姨水费：15×3 ＝45 元； 小明家水费：（17 - 15） ×5+15×3 ＝55 元． 故答案为：18 ，45 ，55． （2）观察示意图得：当 x＞15 时，月应缴纳水费（元）用 x 的代数式表示为 15×3+5（x - 15）＝5x - 30； 故答案为：5x - 30； 第 18 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 （3）（70 - 15×3） ÷5+15 ＝25÷5+15 ＝5+15 ＝20（m3）． 答：小丽家该月用水 20m3． 故答案为：20； 【点评】本题考查了列代数式的知识，解题的关键是能够读懂示意图的意思，实际本题是一个分段收取 水费的知识，难度不大． 13 ．当今是计算机时代，我们知道计算机装置有一个数据输入口 A 和一个运算结果输出口 B ．小聪同学编 入下列运算程序，将数据输入且满足以下性质： ①从 A 口输入 n ＝1 时，从 B 口得到 au=；从 A 口输入 n ＝2 时，从 B 口得到 ； ②从 A 口输入整数 n（n≥3）时，在 B 口得到的结果 an满足： ( 当 n 是奇数时， ) ( . )；当 n 是偶数时， （1）求 a3 和 a4 的值． （2）当 n 为正整数时，直接写出 an 的表达式（用 n 的代数式表示）． （3）求 a1+a2+a3+a4+…+a99+a100 的值． 【分析】（1）根据已知计算可得 a3 的值为 ，a4 的值为 ； （ 2 ） 求 出 a5 a3 ， a7 a5 ...... ， 知 当 n 为 奇 数 时， ( =指 )an ；求出 a6 a4 ，a8 a6 ...... ，知当 n 为 奇数时，an ， （3）a1+a2+a3+a4+…+a99+a100 ＝a1+a3+a5+a7+…+a99+a2+a4+a6+…+a100 第 19 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 （1 ( -計-+ ... ... ) ) , 即可算得答案． 【解答】解：（1）a3 ；a4 ； ∴a3 的值为 ，a4 的值为 ； 第 20 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）根据题意，a5 =x a3 , a7 a5 ......， ∴当 n 为奇数时，an ； 同理 a6 a4 ，a8 a6 ......， ∴当 n 为奇数时，an ， ∴an ； （3）a1+a2+a3+a4+…+a99+a100 =a1+a3+a5+a7+…+a99+a2+a4+a6+…+a100 ( ) )（ 1 ... ( ( )... ） . 【点评】本题考查规律型 - 数字变化类问题，解题的关键是读懂题意，找到规律求出 an． $$