精品解析：2025年吉林省中考数学试卷

吉林省2025年初中学业水平考试 数学试题 数学试卷共6页，包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共18分） 1. 如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（ ） A. 我 B. 中 C. 国 D. 梦 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：______． 8. 计算：________． 9. 《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为________． 10. 如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度． 11. 如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留） 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动需分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法，求参与者小顺和小利被分配到同一组的概率． 14. 吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 15. 如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 16. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． （2）在图②中找一个格点E，画出，使． 17. 端午节是我国的传统节日．某食品公司为迎接端午节的到来，组织了“浓情端午，粽叶飘香”的包粽子比赛，规定：粽子质量为克时，其质量等级为合格；粽子质量为克时，其质量等级为优秀．共有甲、乙两个小组参加比赛，他们在相同时间内分别包了220个和200个粽子．质检员小李从甲、乙两个参赛小组所包粽子中各随机抽检10个，分别对它们的质量整理和分析，得到如下信息： 被抽检粽子的质量（单位：克）分布 甲组 144 146 147 148 150 152 152 152 154 155 乙组 146 147 147 150 150 151 153 154 155 被抽检粽子质量的平均数和众数（单位：克）统计 参赛小组 平均数 众数 甲组 150 152 乙组 150 147 根据以上信息，回答下列问题： （1）在被抽检粽子的质量分布表中，有一个数据缺失，通过计算说明缺失数据对应的粽子的质量等级是否为优秀？ （2）此次比赛规定：相同时间内所包粽子中质量等级为优秀的个数较多的小组获得奖励．估计甲、乙两个参赛小组哪组能获得奖励，并说明理由． 18. 综合与实践：确定建筑物的打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作打印模型提供数据． 项目报告表 时间：2025年5月29日 项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其打印模型的高度 测量工具 测角仪、皮尺 项目实施 任务一测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 1．测出测角仪的高． 2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角． 3．测出测角仪底端D处到展览馆底端B处之间的距离． 任务二计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆的高度．（结果精确到1m）（参考数据：，，） 任务三换算模型高度 将该城市规划展览馆的高度按等比例缩小，得到其打印模型的高度约为________．（结果精确到） 项目结果 为社团制作城市规划展览馆的打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三． 19. 如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． （1）的长为_______． （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值． 20. 【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 （1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． （2）当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． （3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 21. 【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． （4）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省2025年初中学业水平考试 数学试题 数学试卷共6页，包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共18分） 1. 如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用点A表示的数减去移到的距离即可得到答案． 【详解】解；∵点A表示的数是1．将点A向左移动3个单位长度得到点， ∴点表示的数为， 故选：B． 2. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（ ） A. 我 B. 中 C. 国 D. 梦 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方体表面展开图，根据特点作答即可． 【详解】A、“我”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； B、“中”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； C、“的”字一面的相对面上的字为“国”，不符合题意； D、“梦”字一面的相对面上的字为“我”或“中”，不符合题意； 故选：C． 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方运算及幂的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算及幂的乘方运算是解题的关键．根据积的乘方法则及幂的乘方运算，逐步计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键． 解一元一次不等式，通过移项即可求解． 【详解】解：不等式为， 移项，得：， 不等式的解集为． 故选：A． 5. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为， ∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合， ∴角的大小可以为， 故选：B． 6. 如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 用提公因式的方法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 9. 《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，即可求解． 【详解】解:依题意，得：， 故答案为：． 10. 如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求出的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴轴，轴， ∵半径为1， ∴， ∴A点的纵坐标为1， 把代入，求得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把第二个分式的分子分解因式，再计算分式乘法化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当时，原式． 13. 在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动需分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法，求参与者小顺和小利被分配到同一组的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到参与者小顺和小利被分配到同一组的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 小顺 小利 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中参与者小顺和小利被分配到同一组的结果数有3种， ∴参与者小顺和小利被分配到同一组的概率为． 14. 吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 【答案】游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元”建立方程组求解即可． 【详解】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒， 由题意得：， 解得：， 答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒． 15. 如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据矩形得到，再结合已知条件由即可证明全等； （2）根据全等三角形得到，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 16. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． （2）在图②中找一个格点E，画出，使． 【答案】（1）见解析（答案不唯一） （2）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及圆的内接四边形对角互补的性质． （1）取格点，连接，根据得到； （2）取格点，连接，根据圆内接四边形对角互补即可得到． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求： 【小问2详解】 解：如图，即为所求： 17. 端午节是我国的传统节日．某食品公司为迎接端午节的到来，组织了“浓情端午，粽叶飘香”的包粽子比赛，规定：粽子质量为克时，其质量等级为合格；粽子质量为克时，其质量等级为优秀．共有甲、乙两个小组参加比赛，他们在相同时间内分别包了220个和200个粽子．质检员小李从甲、乙两个参赛小组所包粽子中各随机抽检10个，分别对它们的质量整理和分析，得到如下信息： 被抽检粽子的质量（单位：克）分布 甲组 144 146 147 148 150 152 152 152 154 155 乙组 146 147 147 150 150 151 153 154 155 被抽检粽子质量的平均数和众数（单位：克）统计 参赛小组 平均数 众数 甲组 150 152 乙组 150 147 根据以上信息，回答下列问题： （1）在被抽检粽子的质量分布表中，有一个数据缺失，通过计算说明缺失数据对应的粽子的质量等级是否为优秀？ （2）此次比赛规定：相同时间内所包粽子中质量等级为优秀的个数较多的小组获得奖励．估计甲、乙两个参赛小组哪组能获得奖励，并说明理由． 【答案】（1）是优秀 （2）乙参赛小组能获得奖励，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查众数、样本估计总体，解题的关键是掌握众数的定义，并利用样本估计总体求出两个小组优秀等级个数． （2）根据众数的定义求解即可； （2）利用样本估计总体求出甲、乙小组优秀等级的个数即可． 【小问1详解】 解：因为乙组质量的众数为147， 所以缺失的数据为147，且，质量登记为优秀； 【小问2详解】 解：乙参赛小组能获得奖励，理由如下： 甲组抽检的优秀为：， ∴甲组优秀个数为：（个）， 乙组抽检的优秀为： ∴乙组优秀个数为： (个)， ∵， ∴乙参赛小组能获得奖励． 18. 综合与实践：确定建筑物的打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作打印模型提供数据． 项目报告表 时间：2025年5月29日 项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其打印模型的高度 测量工具 测角仪、皮尺 项目实施 任务一测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 1．测出测角仪的高． 2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角． 3．测出测角仪底端D处到展览馆底端B处之间的距离． 任务二计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆的高度．（结果精确到1m）（参考数据：，，） 任务三换算模型高度 将该城市规划展览馆的高度按等比例缩小，得到其打印模型的高度约为________．（结果精确到） 项目结果 为社团制作城市规划展览馆的打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三． 【答案】该城市规划展览馆的高度为；打印模型的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，比例的基本性质，正确理解题意是解题的关键． 任务二：先由矩形得到，，然后解即可； 任务三：由比例尺等于图上距离比上实际距离求解即可． 【详解】解：任务二：由题意得为矩形， ∴，， ∵在中， ∴， ∴， 答：该城市规划展览馆的高度为； 任务三：设打印模型的高度约为， 则由题意得：， 解得：， 答：打印模型的高度约为． 19. 如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． （1）的长为_______． （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值． 【答案】（1）7 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何图形问题，正方行的性质、三角形相似、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线利用数形结合的思想进行求解； （1）当重合时，通过勾股定理分别求出即可求解； （2）将正方形与重叠部分图形的面积分割成一个三角形的面积和直角梯形的面积之和来求解即可； （3）根据正方形的对称中心与点B重合时，得出，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：当重合时，如下图： ，以为边作正方形， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：（负的舍去）， ， ， ， 故答案为：7； 【小问2详解】 解：当在线段上运动时， ， 当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图： ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； 【小问3详解】 解：当正方形的对称中心与点B重合时， ， ， 即， 解得：， ， ． 20. 【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 （1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． （2）当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． （3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】（1）弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）； （3），． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【小问1详解】 解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； 【小问2详解】 解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 21. 【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 【答案】[探究发现]：四边形是菱形，理由见解析；[探究证明]：四边形是平行四边形；[探究提升]：四边形为轴对称图形时，的值为或，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及到平行四边形，矩形，菱形、等边三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的判定定理，平行四边形的判定定理； [探究发现]由将△沿翻折得到△，即知，，而，故； [探究证明]同探究发现可知四边形是菱形，有，而为边的中点，为边的中点，四边形是平行四边形，即可得，，又，，故，，从而四边形是平行四边形； [探究提升]若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形，分两种情况进行讨论：当四边形是矩形时，过作于，过作于，设，则，可得，，求出，即可得；当四边形是菱形时，延长交于，设，求出，即可得． 【详解】[探究发现]：解：四边形是菱形，理由如下： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形； [探究证明]：证明：如图： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形； [探究提升]：解：四边形能成为轴对称图形，理由如下： 由[探究证明]知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形， 当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图： ， ， ， 设，则， ， 为中点， ，， 四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ； 当四边形是菱形时，延长交于，如图： 设，则， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，， ， △是等边三角形， ， ， ； 综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． （4）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）面积比保持不变为或，理由见详解 （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可； （3）经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出的值，最后分两种情况求出点的坐标即可； （4）根据题意，分三种情况进行分析，画出图形找出临界点，利用相似三角形的性质列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，面积比保持不变为，理由如下： 根据题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则或. ∴这个面积比为或； 【小问3详解】 解：如图所示，经过最低点，即经过顶点， 该抛物线的顶点横坐标为，纵坐标为， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴，且相似比为， 根据顶点纵坐标可得，， 则， 即 解得， ①当时，即为如图所示， 此时， 点在第四象限，故； ②如图所示， 当时，此时点在第一象限，点在第三象限， 此时， 故； 综上，或； 【小问4详解】 解：①当经过顶点时，过点作轴，交轴于点， 由得，， ∴， 即， 解得（舍去），或， ∴当点向左运动时，满足题意， ∴； ②如图所示，当点在抛物线上时，过点作，交轴于点， 同理，，相似比仍为， 此时，，代入抛物线解析式得， ， 解得（舍去），或， 此时，当点向下一直移动，直至到轴时，都符合题意， 当时，解得， ∴当时，符合题意； ③图所示，当点在抛物线上时，点在第二象限，点在第四象限， 思路同②，此时，代入抛物线解析式得， ， 解得（舍去），或， 此时，当点向右一直移动，直至到轴时，都符合题意， ∵点不在坐标轴上， ∴当时，符合题意； 综上，当或或时，符合题意． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，利用一元二次方程解决几何问题，抛物线中动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，并发展空间想象能力，分情况研究动点问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $