精品解析：湖南省长沙市望城区长郡斑马湖中2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

高一数学试卷 一、单选题 1. “”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知点在幂函数的图象上，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 7. 若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥的所有顶点在球的球面上，平面，是等腰直角三角形，，是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是 A. B. C. D. 二、多选题 9. 关于集合的性质以下哪些是正确的（　　） A. 若，则 B. 若，则和互为补集 C. D. 10. ，则（ ） A. B. C. D. 11. 若动直线与圆相交于两点，则（ ） A. 最小值为 B. 最大值为 C. 为坐标原点）的最大值为78 D. 的最大值为18 三、填空题 12. 函数定义域为______． 13. 设（为虚数单位），若，则实数________ 14. 记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为__________． 四、解答题 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）且，求正实数的值. 16. 已知平面向量，，. （1）若，求x的值； （2）若（为负实数），求x，的值. 17. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得的俯角分别为，在B点测得的俯角分别为，同时测得． （1）求BN和AM的长度； （2）求之间的距离． 18. 如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为2的菱形， ，是的中点，过、、三点的平面交于为的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面； （3）求多面体体积. 19. 已知函数，其中，，分别求满足下列条件的函数的解析式. （1），，. （2），、是的两个相异零点，的最小值为，且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称. （3），，对任意的实数，记在区间上的最大值为，最小值为，，函数的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 一、单选题 1. “”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据，结合充分条件与必要条件的定义判断. 【详解】因为， 所以“”不能推出“”，“”能推出“” 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2. 已知点在幂函数的图象上，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的概念求解． 【详解】由题意得且，解得，则， 故选：C． 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集运算求解. 【详解】因为集合，， . 故选：B. 4. 设，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得再利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，且， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 故选：C． 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再由，排除部分选项求解. 【详解】函数的定义域为且关于原点对称， 因为，所以为奇函数，即可排除A， 当时，，排除， 故选：B． 6. 存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义一一判断各选项中函数是否符合，即可判断出答案. 【详解】对于A，当时，；当时，， 不符合函数定义，A错误； 对于B,令，则，令，则， 不符合函数定义，B错误； 对于C, 令，则，令，则， 不符合函数定义，C错误； 对于D, ,,则，则存在时，， 符合函数定义，即存在函数满足：对任意都有，D正确， 故选：D 7. 若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在使用余弦定理后用椭圆的基本定义化简即可计算出结果. 【详解】首先我们需要确定椭圆的基本参数，对于椭圆 故. 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点 有： ……①，……② 由题知……③ 在中使用余弦定理有： ……④ 将①②③代入④式得到：……⑤ 现在我们可以计算三角形的面积： 因此， 的面积是 . 故选：B. 8. 已知三棱锥的所有顶点在球的球面上，平面，是等腰直角三角形，，是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得点是的外心，过点作平面使，是外接球球心，半径设为，不难求出，过点作球的截面，当截面时，截面面积最小，求出面积即可. 【详解】点是的外心，过点作平面使， 是外接球球心，半径设为，则. 在直角梯形中，，，，得， 过点作球的截面，当截面时，截面面积最小， 此时截面圆的半径为， 截面面积的最小值是. 故选：B. 【点睛】本题考查球截面问题，通常利用勾股定理求解，根据题意找出圆心，再利用垂直于直径的截面面积最小即可求出最小面积，属于中等题. 二、多选题 9. 关于集合的性质以下哪些是正确的（　　） A. 若，则 B. 若，则和互为补集 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合间的关系及集合的运算逐项判断即可求解. 【详解】若，则，故选项A正确； 若，则，可能互为补集，也可能不互为补集，故选项B错误； 因为是由集合，的公共元素构成，所以，故选项C正确； 根据并集的知识可知，故选项D正确. 故选：ACD. 10. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用的单调性证明，然后直接得到，并通过证明，得出，即可验证C，D正确；然后利用该范围直接估计出的下界，即可得到A正确，B错误. 【详解】对于D，构造，易得在上递增， 而，， 所以有唯一的正根，且该根位于区间， 因为，所以， 则，故，. 所以，故D正确； 对于C，而，，故，而， 所以有，故C正确； 对于AB，由，知. 从而，故A正确，B错误. 故选：ACD. 11. 若动直线与圆相交于两点，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 为坐标原点）的最大值为78 D. 的最大值为18 【答案】AB 【解析】 【分析】由题可知直线恒过定点，利用圆的性质可判断A，利用余弦定理及数量积的定义可判断B，利用韦达定理法可得，然后利用基本不等式可判断C，利用向量数量积的定义及圆的性质可判断D. 【详解】由，可得， 故直线恒过定点，又圆，圆心为，半径为3， 由圆的性质可得当⊥时，取得最小， 此时，，故A正确； ∵， ∴，故B正确； 由，可得， 设，则， ∴ ， ∴， 要使最大，则最大， 要求的最大值，不妨令，（当时不合题意） 则， 当且仅当，即取等号， 故，故C错误； 由题可知， ∴， 因为等号成立时直线过圆心，而圆心为不满足直线，故D不正确. 故选：AB. 三、填空题 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义域的定义，列出不等式方程，求解即可. 【详解】依题意得，即， 所以函数的定义域为． 故答案为： 13. 设（虚数单位），若，则实数________ 【答案】 【解析】 【分析】直接代入化简求解 【详解】解：由和得 ， 所以， ，解得， 故答案为： 【点睛】此题考查的是复数的运算，属于基础题 14. 记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【详解】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解. 四、解答题 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）且，求正实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)利用余弦定理求出边b的值，再用正弦定理即可作答； (2)由给定条件结合特征求出BD长即可得解. 【详解】（1）在中，由余弦定理知，，即， 由正弦定理知，； （2）因点D在边BC上，且，则，而， 则有为直角三角形，，又，， 所以. 16. 已知平面向量，，. （1）若，求x的值； （2）若（为负实数），求x，的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示列方程即可求出答案； （2）因为（为负实数），所以，由向量平行的坐标表示列方程求出的值，再代入验算即可得出答案. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，，， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为（为负实数），所以， 因为，，， 所以，解得，或， 当时，，，所以； 当时，，，所以，不合题意，舍去， 所以，. 17. 如图，为了测量两山顶间距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得的俯角分别为，在B点测得的俯角分别为，同时测得． （1）求BN和AM的长度； （2）求之间的距离． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求解出，再利用条件得到； （2）在中，利用条件和（1）中的结果，求出，在中，再利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 在中，由题知,，所以， 由正弦定理得，所以， 在中，又因为，得到， 所以. 【小问2详解】 在，由（1），，， 所以， 在中，，，，由余弦定理得，所以. 18. 如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为2的菱形， ，是的中点，过、、三点的平面交于为的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面； （3）求多面体的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题设条件证得和，根据，得到，，结合线面垂直判定定理，即可证得平面. （2）由（1）知平面，得到，再由，证得平面， 进而得到平面平面. （3）根据，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为侧面是正三角形， 且，为的中点，所以且， 因为，底面是边长为2的菱形， 所以是正三角形，又因为为的中点，所以， 又因为，所以，. 因为，平面，所以平面. 【小问2详解】 证明：由（1）知平面，所以， 又由，所以， 因为，是的中点，所以， 又因为，平面，所以平面， 又由平面，所以平面平面. 【小问3详解】 解：在四棱锥中，侧面是边长为正三角形，且与底面垂直， 因为为的中点，可得， 又因为平面，平面平面， 所以面，且， 由底面是边长为2的菱形， ，所以， 所以， 连接，因为平面，且平面，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，且平面，所以， 所以，又由是的中点，所以， 在直角中，，可得，且， 所以， 又由平面，所以 所以. 19. 已知函数，其中，，分别求满足下列条件的函数的解析式. （1），，. （2），、是的两个相异零点，的最小值为，且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称. （3），，对任意的实数，记在区间上的最大值为，最小值为，，函数的值域为. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，即可求出函数解析式； （2）依题意可得，即可求出，再根据三角函数的变换规则求出变换后的解析式，由对称性及诱导公式求出，即可得解； （3）首先求出周期，分、两种情况讨论，分别求出的取值范围，即可得到的值域，从而得到方程组，解得，再根据求出，即可得解. 【小问1详解】 依题意，又，所以， 所以，，解得，，又， 所以，所以. 【小问2详解】 依题意，，所以， 所以，将的图像向右平移个单位长度得到， 又关于轴对称，所以，所以， 又，所以，所以. 小问3详解】 因为，，即区间的长度恰为， 又，令，，解得，， 所以的对称轴为，， 根据正弦曲线的性质当在区间上严格单调时取得最大值， 当与恰关于，对称时取得最小值， ①不妨设当，则是上严格增函数， 则 ， 因为， 所以，则，即， 即， ②不妨设当， 则， 因为， 所以，则，即， 即， 综上所述，即，解得， 所以，又， 所以，所以或，， 因为，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $