21.2 解一元二次方程（分层作业）数学人教版九年级上册

21.2 解一元二次方程 题型一 直接开平方法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·广西河池·期中）解方程： 2．（24-25九年级上·广东佛山·期中）解下列方程：． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）解方程：． 4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解方程： 题型二 配方法解一元二次方程 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）解方程：． 2．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）解方程：． 3．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）解方程： 4．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）配方法解方程：． 题型三 公式法解一元二次方程 1．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）用公式法解方程． 2．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）解方程：． 3．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）解方程：． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）用公式法解方程：． 题型四 因式分解法解一元二次方程 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 3．（24-25九年级上·青海西宁·期中）解方程 (1) (2)． 4．（24-25九年级上·重庆永川·期中）解下列方程： (1) (2) 题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是 ． 5．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知a，b，c为三角形的三边，试判别方程的根的情况为 ． 题型六 根据一元二次方程根的情况求参数 1．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是 2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是 ． 题型七 一元二次方程的根与系数的关系 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根，求的值 2．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 3．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）已知关于的方程， (1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根? (2)设、是方程的两根，且，求的值． 4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 题型一 配方法的应用 1．（21-22九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以．所以当时，有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为； (2)求代数式的最大或最小值． 2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． 3．（24-25九年级上·山东德州·期末）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 4．（24-25九年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 用配方法求代数式的最值 我们通常把和称为完全平方式，完全平方式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项凑成完全平方式，再减这个添加的项，使原多项式的值不变，这种方法叫做“配方法” 用配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求代数式的最值． 如：求代数式的最值． 解：． ， ． 代数式的最小值为3． (1)以上解答过程，主要体现的数学思想是_______； A．方程思想        B．转化思想        C．数形结合思想        D．统计思想 (2)已知，则a的值为_______，b的值为_______； (3)求代数式的最值． 题型二 换元法解一元二次方程 1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 2．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如果让你去解方程，相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程，我们应该如何去解呢？我们不防将看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解得． 当y=1时，，，．                     当y=4时，，，． 即该方程的根为． 问题： (1)在由原方程得到①的过程中，利用 达到降次的目的，表现了 的数学思想； (2)解方程． 3．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； (2)利用换元法解方程：． 4．（24-25九年级上·广西南宁·期中）阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)求衍生点M的轨迹的解析式； (3)直线：与x轴交于点A，直线过点B，且与相交于点C，若衍生点M在的内部，求m的取值范围； (4)若无论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数．其“快乐数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为_________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若有另一个“快乐方程”的“快乐数”．且满足，则称与互为“开心数”．若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 3．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 4．（23-24九年级上·福建三明·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2 解一元二次方程 题型一 直接开平方法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·广西河池·期中）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期中）解下列方程：． 【答案】或． 【分析】本题考查了解一元二次方程．运用直接开平方法解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：整理得， ∴， 即或， 解得：或． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了平方根，解一元二次方程，把方程化为：，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 方程两边同时除以2，得， 开平方，得， 解得：，． 4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查利用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．先把方程变为的形式，若则利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， 移项，得：， 两边同时除以，得：， 直接开平方，得：， 解得：，． 题型二 配方法解一元二次方程 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 2．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用配方法解答即可． 【详解】解： 解得： 3．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 4．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解决此题的关键．利用配方法解方程即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 或， ，． 题型三 公式法解一元二次方程 1．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）用公式法解方程． 【答案】， 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程．根据一元二次方程的一般形式得到，，，计算得到，代入求根公式进行计算即可． 【详解】解： ∵，，， ∴， ∴， 解得，． 2．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，先找出，再利用公式法进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，． 3．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，并可以根据方程特征用选用适当方法求解是解题的关键．利用公式法求解即可． 【详解】解：， 其中，，，，， 则方程的解为， 则，． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了运用公式法解一元二次方程，先求出，再代入公式进行化简，即可作答． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 题型四 因式分解法解一元二次方程 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2) 【点拨】（1）先移项，再提取公因式；（2）可以把看作一个整体，再因式分解． 【解】（1）移项，得， 即． 因式分解，得， 或， 解得，． （2）因式分解，得，， 解得． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】解：（1）因式分解，得， 或， 解得，． （2）移项，得． 因式分解，得， 或， 解得，． 3．（24-25九年级上·青海西宁·期中）解方程 (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：由得， ∴或， ∴，； （2）解：由得， ∴， ∴或， ∴，． 4．（24-25九年级上·重庆永川·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，选取适当的方法能够正确的运算是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）先移项，利用因式分解解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴， 解得：． 题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 故选：C． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式可进行排除选项． 【详解】解：由A选项可知：，所以有两个不相等的实数根，故不符合题意； 由B选项可知：，所以有两个不相等的实数根，故不符合题意； 由C选项可知：，所以有两个相等的实数根，故不符合题意； 由D选项可知：，所以没有实数根，故符合题意； 故选D． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：A、，则原方程有两个相等的实数根，故此选项符合题意； B、化为一般式为，，则原方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； C、化为一般式为，，则原方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； D、化为一般式为，，则原方程无实数根，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了点的坐标特征、一元二次方程根的判别式，由点在第四象限，得出，，从而可得，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴，, ∴， ∴关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 5．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知a，b，c为三角形的三边，试判别方程的根的情况为 ． 【答案】无实数根 【分析】证明方程的根的判别式即可． 本题考查了根的判别式，三角形三边关系，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程， ∴ ∵a，b，c为三角形的三边， ∴， ∴， 故没有实数根， 故答案为：没有实数根． 题型六 根据一元二次方程根的情况求参数 1．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是 【答案】且 【分析】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程的定义以及根的判别式是解决此题的关键．根据一元二次方程的定义以及根的判别式即可求出答案． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ∴ 解得：， 又， 则a的取值范围是且， 故答案为：且． 2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根的定义，根据有两个不相等的实数根，得出，，再代入数值计算，即可作答． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， ， 即， 且． 故答案为：且． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，求出答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根的判别式．根据根的判别式进行计算即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ，不为， 解得且， 故答案为：． 题型七 一元二次方程的根与系数的关系 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根，求的值 【答案】4048 【分析】本题主要考查一元二次方程跟与系数的关系应用，掌握相关知识是解题的关键，将代入得，再由，即可解答． 【详解】解：根据题意，得，                           ∴． 2．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，然后解不等式即可得到m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到，代入，可求m的值． 【详解】（1）解：根据题意得，解得． 故m的取值范围为； （2）解：根据题意得， ∵， ∴， 解得． 3．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）已知关于的方程， (1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根? (2)设、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：由题意得：， ∴， 解得：． 4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键； （1）由题意可得，再求解即可； （2）当时，一元二次方程为，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根． ， 解得：； （2）解：∵ ∴当时，一元二次方程为， ， ． 题型一 配方法的应用 1．（21-22九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以．所以当时，有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为； (2)求代数式的最大或最小值． 【答案】(1) (2)最大值为10 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法，以及完全平方的非负性，是解题的关键： （1）仿照题干的方法进行求解即可； （2）仿照题干的方法进行求解即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ∴， ∴当时，有最小值为； （2） ； ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为10． 2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． 【答案】(1)4，2． (2)1 (3)最大值为． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式，再利用非负数的性质解答是解题的关键． （1）根据完全平方公式的常数项为一次项系数绝对值一半的平方即可得出结论， （2）将多项式加再减，利用配方法后可得结论； （3）将多项式改写为，再配方可得结论． 【详解】（1）， 故答案为：4，2． （2） ， ． 当时，存在最小值1． （3）， ， ， 当时，代数式有最大值． 3．（24-25九年级上·山东德州·期末）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)9 (2)当为4时，多项式有最小值，最小值是 (3)当时，多项式有最小值，最小值是2 【分析】本题考查了配方法，完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的非负性是解题的关键． （1）根据完全平方式的定义，添加常数项，把原式配成完全平方式即可； （2）仿照示例，把变形为，从而得到结果； （3）根据题意，把原式变形为，可得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：， ， ∴当时，代数式有最小值， 答：当为4时，多项式有最小值，最小值是； （3）解： ， ， ， ∴当时，多项式有最小值，最小值是2． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 用配方法求代数式的最值 我们通常把和称为完全平方式，完全平方式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项凑成完全平方式，再减这个添加的项，使原多项式的值不变，这种方法叫做“配方法” 用配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求代数式的最值． 如：求代数式的最值． 解：． ， ． 代数式的最小值为3． (1)以上解答过程，主要体现的数学思想是_______； A．方程思想        B．转化思想        C．数形结合思想        D．统计思想 (2)已知，则a的值为_______，b的值为_______； (3)求代数式的最值． 【答案】(1)B (2)， (3)代数式的最大值为5 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解此题的关键． （1）根据题意可得，解答过程主要体现的数学思想是转化思想，即可得解； （2）根据题意可得，从而得出，，计算即可得解； （3）根据题意得出，即可得解． 【详解】（1）解：根据题意可得，解答过程主要体现的数学思想是转化思想， 故选：B； （2）解：， ∴，， 解得：，； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为5． 题型二 换元法解一元二次方程 1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意设，得到，求出的值，再求出的值即可． 【详解】解：设，那么原方程可化为， 解得，． 当时，，即． ∵，，，， ∴此一元二次方程无解． 当时，，即． ∵，，，， ∴， 故原方程的解为，． 2．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如果让你去解方程，相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程，我们应该如何去解呢？我们不防将看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解得． 当y=1时，，，．                     当y=4时，，，． 即该方程的根为． 问题： (1)在由原方程得到①的过程中，利用 达到降次的目的，表现了 的数学思想； (2)解方程． 【答案】(1)换元，转化 (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，会用换元法解方程． （1）换元法的目的是降次； （2）利用换元法解决问题． 【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，表现了转化的数学思想； 故答案为：换元，转化； （2）解：设，那么原方程可化为， 则， 所以，， ∴， 解得，． 3．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； (2)利用换元法解方程：． 【答案】(1)；， (2)，，， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，换元法解方程， 对于（1），根据换元法思想，令，把原方程转化为一元二次方程，解方程后的解，代入到原方程中，从而得到原方程的解； 对于（2），利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程后，再得到原方程的解． 【详解】（1）解：， 设， ∴原方程变为：， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 可知，无解. 所以原方程的解是； （2）， 设，则 ∴原方程可变形为：， 即， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 经检验，所有解均是方程的根， ∴，. 4．（24-25九年级上·广西南宁·期中）阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 【答案】；或； 【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，先根据题意填空，再设，最后仿照题干过程解方程即可． 【详解】解：设，原方程化为①， ∴， 解得或． 当时，， ∴， ； 当时，， ∴， ； 原方程的解为． 设，则原方程可化为， ∴， ∴或， 当时，，此时方程无解； 当时，， ∴， ． 1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)求衍生点M的轨迹的解析式； (3)直线：与x轴交于点A，直线过点B，且与相交于点C，若衍生点M在的内部，求m的取值范围； (4)若无论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想及数形结合的思想解决问题． （1）依据题意，关于x的一元二次方程为，计算判别式，进而可以判断得解； （2）依据题意，由可得，故，，则该一元二次方程的衍生点，再令，进而可以得解； （3）依据题意，结合图象，直线与x轴交于点A，可得，又M在直线上，可得在直线上，刚好和的边交于点（，又令，则，从而，结合，进而可以得解； （4）依据题意，由直线，过定点，从而两个根为再由根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：， 解得：，， 方程的衍生点为． 令，， ∴； （3）解：如图，直线与x轴交于点A， 当，则， ∴ ∴， 又M在直线上， ∴在直线上，刚好和的边交于点． 令，则， ∴， ∴． ∴； （4）解：由题意，∵直线， ∴过定点， ∴两个根为， ∴， ∴ ∴，即． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数．其“快乐数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为_________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若有另一个“快乐方程”的“快乐数”．且满足，则称与互为“开心数”．若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 【答案】(1) (2)， (3)n的值为0或3 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【详解】（1）解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3． 3．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】(1)； (2)，，互为倒数； (3)， 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和换元法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）先写出的友好方程，然后再解得其友好方程的答案，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系； （3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，从而解得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程与称为一对“友好方程”， 一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； （2）解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； （3）解：已知关于的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． 4．（23-24九年级上·福建三明·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由． 【答案】(1)不是， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，根与系数关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）解方程后，对比两根与 “倍根方程”的定义即可，再将和分别代入，联立两式可解值． （2）十字相乘法解出方程的两个根，再根据倍根方程的定义可得或，求解即可． （3）由根与系数关系得，，消掉，即可求出答案． 【详解】（1）解：解方程， 解得：， ∵和不是二倍关系， ∴不是“倍根方程”， ∵是“倍根方程”， ∴将和分别代入上式可得，，， 解得：， 故答案为：不是，． （2）解：原方程可化为， ∴， ∴或， ∴或． （3）解：之间满足的关系． 理由：设一个根为，则另一个根为，由根与系数关系得，， ∴，， ∴，即． ∴之间满足的关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$