八年级暑期自学成果评定卷（测试范围：实数、二次根式、一元二次方程）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

2025年上海市八年级暑期自学成果评定卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分 测试范围：实数、二次根式、一元二次方程 ） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在，，，，1.212212221这些数中无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列代数式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，要建一个面积为75平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．比较大小： （填“”“”或“”）． 8．如果有意义，那么的取值范围是 ． 9．写出的一个有理化因式 ． 10．不等式的解集为： ． 11．设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 12．如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律符合一定的规律，若=180，且=1.8，则被开方数a的值为 ． a … 0.000001 0.01 1 100 10000 1000000 … … 0.001 0.1 1 10 100 1000 … 13．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 14．关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 15．某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为128元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是，那么可以列出方程 ． 16．在实数范围内因式分解： ． 17．三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 支队伍参加比赛． 18．已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 20．计算：． 21．一个正数的两个平方根分别是和，求这个数． 22．某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，墙长米，用米长的铁栅栏围一个所占地形状为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，如果长方形的面积为平方米，那么长方形的两条邻边长是多少米？ 23．填写下表，并回答问题： a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … … （1）数a与它的立方根的小数点的移动有何规律？ （2）根据这个规律，若已知，求a的值． 24．已知：关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长为b，c,恰好是这个方程的两个根，求的周长． 25．像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 26．若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市八年级暑期自学成果评定卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分 测试范围：实数、二次根式、一元二次方程 ） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在，，，，1.212212221这些数中无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据“无理数是无限不循环小数”，进行判断即可． 【详解】解：， 则无理数有：，，共2个． 故选：B． 2．下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、属于一元二次方程，故A选项符合题意； B、中若，不属于一元二次方程，故B选项不符合题意； C、中有含两个未知数、，不属于一元二次方程，故C选项不符合题意； D、不是整式方程，不属于一元二次方程，故D选项不符合题意； 故选：A． 3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意． 故选：C ． 4．下列代数式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，不符合题意； B. ，不是二次根式，不符合题意；     C. ，符合题意；     D. ，不符合题意； 故选：Ｃ． 5．在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，分别求出每个方程的解，进行判断即可． 【详解】解：A、， ∴；不符合题意； B、， ∴；符合题意； C、，此方程无解；不符合题意； D、， ∴， ∴；不符合题意； 故选B． 6．如图，要建一个面积为75平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系．设仓库的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，那么平行于墙的一边长为，而仓库的面积为75平方米，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题． 【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x米， 依题意得， 即， 故选：C． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，关键要熟记实数大小的比较方法：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 根据，即，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如果有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 解得，且， 故答案为：且． 9．写出的一个有理化因式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．根据二次根式的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为， 故答案为：（答案不唯一） 10．不等式的解集为： ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，涉及了分母有理化，由题意得，即可求解； 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 11．设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，利用二次根式的性质化简，整式加减的应用等知识点，由三角形三边之间的关系得出，是解题的关键． 首先由三角形三边之间的关系得出，，然后化简二次根式，再进行整式的加减运算即可得出答案． 【详解】解：∵a、b、c分别是三角形三边的长， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 12．如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律符合一定的规律，若=180，且=1.8，则被开方数a的值为 ． a … 0.000001 0.01 1 100 10000 1000000 … … 0.001 0.1 1 10 100 1000 … 【答案】32400 【分析】根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得a的值． 【详解】解：∵＝180，且＝1.8， ∴＝180， ∴a＝32400， 故答案为：32400． 【点睛】此题考查的是算术平方根的探索规律题，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键． 13．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据方程的根的判别式且，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 14．关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的解、解一元二次方程．首先根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有一个根为，可得关于的一元二次方程，用十字相乘法分解因式解方程可得：或(舍去)，把不符合要求的解舍去即可． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有一个根为， ， ， 分解因式得：， 或， 解得：或(舍去)， 故答案为： ． 15．某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为128元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是，那么可以列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据平均变化率的等量关系，增长为加，降低为减，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故答案为： 16．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，把y看做常数，解关于x的一元二次方程，求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：当时， 令， ∴， ∴， 解得或， ∴， 故答案为：． 17．三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 支队伍参加比赛． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 有支队伍参加比赛，根据每支队伍与其他队伍只比一场，共计场比赛，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设有支队伍参加比赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即有支队伍参加比赛， 故答案为：． 18．已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+． 由题意得所以，代入得到，换元解方程即可． 【详解】解：因为是关于x的一元二次方程的两个实数根， 所以． 又因为， 所以， 解得， 经检验，两根都是原方程的解，且满足， 所以k的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可． 【详解】解： ． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及二次根式性质、平方差公式等知识，首先利用二次根式性质化简，再由二次根式混合运算求解即可得到答案．熟练掌握二次根式的性质、二次根式混合运算法则及平方差公式是解决问题的关键． 【详解】解： ． 21．一个正数的两个平方根分别是和，求这个数． 【答案】49 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数、平方根的性质，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴这一个正数为． 22．某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，墙长米，用米长的铁栅栏围一个所占地形状为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，如果长方形的面积为平方米，那么长方形的两条邻边长是多少米？ 【答案】长方形的两条邻边长分别是48米、24米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米，根据长方形的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解方程得出的值，再结合墙长米，即可确定结论． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：长方形的两条邻边长分别是米、米． 23．填写下表，并回答问题： a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … … （1）数a与它的立方根的小数点的移动有何规律？ （2）根据这个规律，若已知，求a的值． 【答案】填表见解析；（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点相应地向右或向左移动一位解答； （2）根据（1）总结的规律解答． 【详解】 a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … （1）由题可知，被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点相应地向右或向左移动一位； （2）由（1）总结的规律可知：0.1738的小数点向右移动了一位， ∴0.00525的小数点应向右移动三位，得到． 【点睛】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格． 24．已知：关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长为b，c,恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）证明：， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 不符合三角形三边的关系，此情况舍去， 的周长为5． 25．像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)①，② (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，再计算求解即可；②根据，再计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：；理由如下； ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴． 26．若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 【答案】(1) (2)、 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系的综合应用等知识点， （1）把两根倒数和通分后代入计算即可； （2）仿照小明同学的求解即可； （3）由根与系数的关系，可得，，，代入即可证出，可设新方程为，由题意和根与系数的关系化简即可得出m，n，p的值，进而即可得解； 熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）， 、、， ，． 设，， ∴，即， 解得， ∴原方程的解为、； （3）∵三次方程的三个根分别为、、，且， ∴由根与系数的关系，可得，，， ∴， 由题意得，可设新方程为， ∵新的三次方程，其三个根分别为、、， 又∵， ∴新的三次方程，其三个根分别可化为、、， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴新方程为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$