2.3 二次根式（第2课时） 课时作业 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2.3 二次根式（第2课时） 课时作业 一、选择题 1．（2025•兰考县一模）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2025春•富锦市期中）计算的结果是　　 A． B． C． D． 3．（2025春•喀什地区期中）计算的结果正确的是　　 A．4 B．3 C．2 D． 4．（2025春•西陵区期中）下列各式从左到右的变形正确的有　　 ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025春•安次区期中）计算：的结果是　　 A． B． C．40 D．7 6．（2025春•汉川市期中）等式成立的条件是　　 A．x≥-1 B．x≤3 C．-1≤x≤3 D．-1＜x≤3 7．（2025春•怀宁县期中）下列变形正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•薛城区期末）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 9．（2024秋•竞秀区期末）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是　　 填空（每小题4分，共20分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③； ④； ⑤体积为9的正方体的棱长为． A．4分 B．8分 C．12分 D．16分 10．（2025春•龙口市校级期中）把根号外面的因式移到根号内得　　 A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025•南京二模）计算的结果是 　　 ． 12．（2025•宝应县二模）若，，则 　　 ． 13．（2025•建邺区一模）计算的结果是 　　 ． 14．（2025春•平舆县期中）计算：　　． 15．（2025春•台江区校级期中）若，，，则，，的大小关系是 　　 （用“”连接）． 16．（2025春•新华区期中）若，则 　　 ． 17．（2025春•东西湖区校级月考）已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值为 　　． 18．（2024秋•昌平区校级期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，完成下面的问题： 当时， ①得到的整系数方程为　　； ②计算：　　． 19．（2024春•从江县校级期中）把根号外的因式移入根号内，化简后的结果是　　． 20．（2025春•兰山区期中）观察下列各式：；；．猜测　　 ． 三、解答题 21．（2025春•东台市月考）计算： （1）； （2）； （3）． 22．（2025春•铁岭县期中）（1）探索：先观察下列各式的计算情况，再完成后面的问题． ， （1）用，，表示上述规律为：　　 ； （2）利用（1）中的结论，求的值； （3）设，，试用含，的式子表示． 23．（2025春•田家庵区期中）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竞“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． （1）请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； （2）你能只用一个正整数n（n≥2）米表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律； （3）按此规律，若为正整数），则a+b的值为 　　 ． 24．（2025春•鄞州区期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： 等． 【猜想】（1）　　，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数为“穿墙”数，表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若，为正整数），则的值为　　． 25．（2025春•苍溪县期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：　　 ． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知，，为△的三边长．化简：． 26．（2025春•临颍县期中）观察计算： （1） 　　 ； 　　 ； 　　 ； （填“”“ ”“ ” 归纳发现： （2）由（1）中的各式比较与的大小，并说明理由． 实践应用： （3）设计师要对某区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成一个长方形花圃，如图，该花圃恰好可以借用一段墙体，若要围成一个面积为的花圃，则所用的篱笆至少需要 　　 ． 27．（2025春•太湖县期中）已知按规律排列的一列二次根式如下：，，，， （1）根据你发现的规律猜想第个式子是多少； （2）当时，求它与前面所有的二次根式的积． 28．（2025春•平舆县期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）；（2）． 验证： （1）； （2）． ①按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： 　　 ； 　　 ； ②通过上述探究你能猜测出： 　　 ，并验证你的结论． 29．（2024春•德州期中）探究过程：（1）；（2）；（3）；（4） 观察计算过程： （1）按照上面的思路解法，计算； （2）请你用含的式子表示上面过程中的规律； （3）应用根据上面解题方法解决下面的数学问题： 如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 30．（2024秋•南海区校级月考）阅读材料： 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解，如，．像这样，通过分子、分母同乘同一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化． 解决问题： （1）的有理化因式可以是 　　，分母有理化得 　　． （2）①已知，，求的值． ②求的值． 参考答案 一、选择题 1．（2025•兰考县一模）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用二次根式的乘除法的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则，完全平方公式对各项进行运算即可． 【解答】解：、，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，积的乘方，单项式乘单项式，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 2．（2025春•富锦市期中）计算的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的乘法法则计算，得到答案． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 3．（2025春•喀什地区期中）计算的结果正确的是　　 A．4 B．3 C．2 D． 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案． 【解答】解：． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键． 4．（2025春•西陵区期中）下列各式从左到右的变形正确的有　　 ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次根式的乘除法法则分别判断即可． 【解答】解：①，原变形错误； ②，原变形错误； ③，变形正确； ④，变形正确； 所以从左到右的变形正确的有2个， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件，熟练掌握变形成立的条件是解题的关键． 5．（2025春•安次区期中）计算：的结果是　　 A． B． C．40 D．7 【解答】解： ． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法运算，正确化简得出是解题关键． 6．（2025春•汉川市期中）等式成立的条件是　　 A．x≥-1 B．x≤3 C．-1≤x≤3 D．-1＜x≤3 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件即可求解． 【解答】解：由题意得： ， 解得：-1＜x≤3．． 故选：． 【点评】本题考查了分式、二次根式有意义的条件，掌握相关结论是解题关键． 7．（2025春•怀宁县期中）下列变形正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】．根据二次根式的乘法法则进行计算，然后判断即可； ．先把带分数化成假分数，然后根据二次根式的除法法则进行计算，然后判断即可； ．根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可； ．根据平方差公式进行计算，然后判断即可． 【解答】解：．，此选项的变形错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的变形错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的变形正确，故此选项符合题意； ．，此选项的变形错误，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则和二次根式的性质． 8．（2024秋•薛城区期末）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式的乘法或除法运算法则依次计算进行判断即可． 【解答】解：直接利用二次根式的乘法或除法运算法则依次计算进行判断如下： 、，选项错误，不符合题意； 、，选项错误，不符合题意； 、无意义，选项错误，不符合题意； 、，选项正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的乘法或除法运算法则，解题的关键是掌握相关的运算法则． 9．（2024秋•竞秀区期末）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是　　 填空（每小题4分，共20分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③； ④； ⑤体积为9的正方体的棱长为． A．4分 B．8分 C．12分 D．16分 【分析】利用倒数，绝对值及立方根的定义，二次根式的乘除法则判断后即可得出答案． 【解答】解：的倒数是，则①错误， 的绝对值是，则②正确， ，则③错误， ，则④正确， 体积为9的正方体的棱长为，则⑤正确， 那么他的得分应是（分， 故选：． 【点评】本题考查倒数，绝对值，立方根，二次根式的乘除，实数的性质，熟练掌握相关定义及性质，二次根式的乘除法则是解题的关键． 10．（2025春•龙口市校级期中）把根号外面的因式移到根号内得　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义，可知，则，再根据二次根式的性质解答即可． 【解答】解：二次根式有意义， ，则， 原式 ． 故选：． 【点评】解答此题，要弄清以下问题：一般地，形如的代数式叫做二次根式．利用，将根号外面的因式移到根号里面． 二、填空题 11．（2025•南京二模）计算的结果是 　　 ． 【分析】直接化简二次根式进而约分求出答案． 【解答】解：根据二次根式乘除运算法则可得： ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键． 12．（2025•宝应县二模）若，，则 　14　 ． 【分析】根据，计算即可． 【解答】解：，， ， 故答案为：14． 【点评】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13．（2025•建邺区一模）计算的结果是 　4　 ． 【分析】根据二次根式的乘除法则计算即可． 【解答】解：， 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14．（2025春•平舆县期中）计算：　　． 【分析】直接利用二次根式的性质，进而化简得出答案． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键． 15．（2025春•台江区校级期中）若，，，则，，的大小关系是 　　 （用“”连接）． 【分析】把2026化为，化简，根据完全平方公式化简，根据平方差公式化简，根据实数的大小比较法则解答即可． 【解答】解： ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式的乘除法、实数的大小比较、乘法公式，灵活运用乘法公式是解题的关键． 16．（2025春•新华区期中）若，则 　4　 ． 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可得出、的值，从而计算即可． 【解答】解：， 又， ，， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17．（2025春•东西湖区校级月考）已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值为 　3　． 【分析】先将化简为，可得最小为3，即可求解． 【解答】解：，且为整数， 最小为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“整数”进行求解． 18．（2024秋•昌平区校级期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，完成下面的问题： 当时， ①得到的整系数方程为　　； ②计算：　　． 【分析】①根据已知可得，然后利用完全平方公式进行计算即可解答； ②利用①的结论可得，，然后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：①， ， ， ， ， 得到的整系数方程为：， 故答案为：； ②， ，， ， 故答案为：2017． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19．（2024春•从江县校级期中）把根号外的因式移入根号内，化简后的结果是　　． 【分析】根据二次根式的意义可知，只能根号外的正因式移入根号内，要注意符号的变化． 【解答】解：由根式可知，； 故原式 ． 【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．本题需要注意的是的符号． 20．（2025春•兰山区期中）观察下列各式：；；．猜测　10301　 ． 【分析】根据已知等式即可得出猜测结果． 【解答】解：猜测， 故答案为：10301． 【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是根据已知等式得出算式的规律． 三、解答题 21．（2025春•东台市月考）计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算； （2）利用二次根式的除法法则计算； （3）利用二次根式的乘除法计算． 【解答】解：（1）； （2） ； （3） ． 【点评】本题主要考查了二次根式的运算，掌握二次根式的乘除法法则及二次根式的性质是解决本题的关键． 22．（2025春•铁岭县期中）（1）探索：先观察下列各式的计算情况，再完成后面的问题． ， （1）用，，表示上述规律为：　　 ； （2）利用（1）中的结论，求的值； （3）设，，试用含，的式子表示． 【分析】（1）写出二次根式的乘法法则； （2）利用二次根式的乘法法则运算； （3）利用二次根式的乘法法则，把化为即可． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）原式； （3），， ． 【点评】本题考查了二次根式的乘法法则：灵活运用二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 23．（2025春•田家庵区期中）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竞“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． （1）请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； （2）你能只用一个正整数n（n≥2）米表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律； （3）按此规律，若为正整数），则a+b的值为 　71　 ． 【分析】（1）根据已知条件，找出规律，写出一个有“穿墙”现象的数，并验证即可； （2）根据验证条件，找出规律，并进行证明即可； （3）根据（2）中所找规律，求出a，b，再代入a+b进行计算即可． 【解答】解：（1）例如：（答案不唯一）， 验证：； （2）规律为：（n为正整数，n≥2）， 证明： ＝ ＝ ＝ ＝； （3）∵为正整数），， ∴a＝8，b＝82﹣1＝64﹣1＝63， ∴a+b＝8+63＝71， 故答案为：71． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是理解题意，找出规律． 24．（2025春•鄞州区期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： 等． 【猜想】（1）　　，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数为“穿墙”数，表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若，为正整数），则的值为　　． 【分析】【猜想】（1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； 【推理证明】（2）根据题意得出规律，进行计算即可； 【创新应用】（3）根据规律计算求出，的值，代入计算即可． 【解答】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）由条件可知，， ， ， 故答案为：71． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 25．（2025春•苍溪县期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：　≤1　 ． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知，，为△的三边长．化简：． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出的范围； （2）根据二次根式的性质把原式化简，合并同类项得到答案； （3）根据三角形的三边关系得到，，再根据二次根式的性质计算． 【解答】解：（1）隐含条件1-x≥0，解得：x≤1，故答案为：≤1； （2）由（1）可知：x≤1， ， ； （3），，为△的三边长， ，， ，， ． 【点评】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式的性质、三角形的三边关系，掌握二次根式的性质是解题的关键． 26．（2025春•临颍县期中）观察计算： （1） 　　 ； 　　 ； 　　 ； （填“”“ ”“ ” 归纳发现： （2）由（1）中的各式比较与的大小，并说明理由． 实践应用： （3）设计师要对某区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成一个长方形花圃，如图，该花圃恰好可以借用一段墙体，若要围成一个面积为的花圃，则所用的篱笆至少需要 　　 ． 【分析】（1）将7，分别表示成，从而可判断出，，； （2）由（1）初步推理出，再根据完全平方公式，利用作差法比较与的大小即可； （3）设长方形花圃的与墙平行的边长为米，垂直于墙的边为米，则篱笆长为米，，再根据（2）中可得，，进而解决问题． 【解答】解：（1），， ； ，， ； ； 故答案为：，，； （2）由（1）可得：，理由如下： ，， ，， ， ； （3）设长方形花圃的与墙平行的边长为米，垂直于墙的边为米， 由题意得：篱笆长为米，， 由（2）可得：， ， ， 所用的篱笆至少需40米， 故答案为：40米． 【点评】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的应用等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键，且要注意归纳思想的应用． 27．（2025春•太湖县期中）已知按规律排列的一列二次根式如下：，，，， （1）根据你发现的规律猜想第个式子是多少； （2）当时，求它与前面所有的二次根式的积． 【分析】（1）先把前面给定的几个二次根式化为具有相同规律的形式，再总结归纳即可； （2）根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1），，，，， 第个式子是； （2）当时，，它与前面所有的二次根式的积为： ． 【点评】本题考查的实数的规律探究，二次根式的乘法运算，掌握规律探究的方法以及二次根式的乘法运算法则是解本题的关键． 28．（2025春•平舆县期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）；（2）． 验证： （1）； （2）． ①按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： 　　 ； 　　 ； ②通过上述探究你能猜测出： 　　 ，并验证你的结论． 【分析】（1）按照题干中两个等式及其验证过程的基本思路，猜想即可； （2）先猜测出结果，再按照原题写出验证过程即可． 【解答】解：按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想，， 验证如下： ； ． 故答案为：，； （2）通过上述探究你能猜测出， 验证如下： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式运算的规律性题目，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 29．（2024春•德州期中）探究过程：（1）；（2）；（3）；（4） 观察计算过程： （1）按照上面的思路解法，计算； （2）请你用含的式子表示上面过程中的规律； （3）应用根据上面解题方法解决下面的数学问题： 如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 【分析】（1）根据探究规律直接求解即可得到答案； （2）根据探究规律及完全平方公式直接写出即可得到答案； （3）根据图1，图2的面积相等列等式求解即可得到答案； 【解答】解：（1）由题意可得， ； （2）由探究规律可得， ； （3）设大正方形的边长为， 由图1和图2的面积相等可得：，即， ， 即大正方形的边长为757． 【点评】本题考查规律探究与完全平方公式化简，解题的关键是找到探究中的完全平方规律． 30．（2024秋•南海区校级月考）阅读材料： 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解，如，．像这样，通过分子、分母同乘同一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化． 解决问题： （1）的有理化因式可以是 　　，分母有理化得 　　． （2）①已知，，求的值． ②求的值． 【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可； （2）①将与分母有理化化简后代入原式计算即可得到结果． ②原式各项分母有理化，合并即可得到结果． 【解答】解：（1）的有理化因式可以是， ， 故答案为：，； （2）①当，时， ． ② ． 【点评】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$