精品解析：内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼后旗2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

八年级2024-2025学年度下学期数学期中教学质量监测 注意事项： （1）本试卷共六道大题，满分100分，考试时间 90分钟 （2）根据网上阅卷需要，本试卷中所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答案无效 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 且 2. 下列二次根式①；②；③；④；⑤中，最简二次根式的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 满洲窗，作为岭南建筑的一个独特符号，彰显着岭南文化的兼收并蓄，工人师傅在制作矩形满洲窗的窗框时． （1）如图1，先截出两对符合规格的木条，使； （2）摆成如图2所示的四边形； （3）____，矩形窗框制作完成． 下列方法中不能作为制作工序的第（3）个步骤的是（　　） A. 将直角尺紧靠窗框一个角，调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框无缝隙 B. 调整窗框的边框使得两条对角线长度相等 C. 调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直 D. 调整窗框的边框使得两条对角线与边的夹角相等 4. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，，，如果，则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 4 C. 5 D. 8 6. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 7. 如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为（ ）     A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 命题“内错角相等”的逆命题为__________． 10. 若为实数，且，则___________． 11. 如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，则的长为________ 12. 如图，在矩形中，，，将沿折叠，使点B落在F处，当为直角三角形时，的长为________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1） （2） 14. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，，，求该田地的面积． 15. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 16. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 17. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为30，，求四边形的面积． 18. 已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． （1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数． （2）如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，此时的面积______的面积（填“”或“”或“” ，那么的面积为______． （3）如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级2024-2025学年度下学期数学期中教学质量监测 注意事项： （1）本试卷共六道大题，满分100分，考试时间 90分钟 （2）根据网上阅卷需要，本试卷中所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答案无效 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的自变量有意义的条件，分式有意义的条件、二次根式有意义的条件．根据分式的分母不能为0，被开方数不0即可得． 【详解】解：在函数中， 函数的自变量有意义的条件是，， 解得且， 即自变量的取值范围是且， 故选：C． 2. 下列二次根式①；②；③；④；⑤中，最简二次根式的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含开方开的尽的因式或因数，被开方数不含分母，进行判断即可． 【详解】解：在二次根式①，②，③，④，⑤中，只有的被开方数不含分母，且不含能开方开的尽的因式或因数，是最简二次根式； 故选A． 3. 满洲窗，作为岭南建筑的一个独特符号，彰显着岭南文化的兼收并蓄，工人师傅在制作矩形满洲窗的窗框时． （1）如图1，先截出两对符合规格的木条，使； （2）摆成如图2所示的四边形； （3）____，矩形窗框制作完成． 下列方法中不能作为制作工序的第（3）个步骤的是（　　） A. 将直角尺紧靠窗框一个角，调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框无缝隙 B. 调整窗框的边框使得两条对角线长度相等 C. 调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直 D. 调整窗框的边框使得两条对角线与边的夹角相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． A．将直角尺紧靠窗框一个角， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形； B．调整窗框的边框使得两条对角线长度相等， 根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形； C．调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直， 此时无法判定四边形是矩形，符合题意； D．调整窗框的边框使得两条对角线与边的夹角相等， 此时可以证明对角线相等，可知四边形是矩形． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的判定，熟练运用矩形的判定定理是解题的关键． 4. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 5. 如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，，，如果，则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ∵， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 故选：B． 6. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质可得，，，在中，根据勾股定理可得，然后根据可得，于是得解．熟练掌握菱形的性质与菱形面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 是菱形的高， ， ， 故选：C． 7. 如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，以及勾股定理的应用．首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即可解得． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， 圆柱的底面周长为， ． ，， ， 在中，， ， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是． 故选：B． 8. 如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等，连接，由三角形中位线的性质得，可知当时，最小，此时也最小，又由平行四边形的性质可得，即得是等腰直角三角形，利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵点为的中点，点为的中点， 是的中位线， ， 当时，最小，此时也最小，如图， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 最小为， 故选：． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 命题“内错角相等”的逆命题为__________． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是内错角 【解析】 【分析】本题考查逆命题的定义，将原命题的条件与结论互换就得到其逆命题． 【详解】解：逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是内错角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是内错角 ． 10. 若为实数，且，则___________． 【答案】或##2或8 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可求出与的值，然后代入原式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：且， ， ， 当时， ； 当时， 故答案为：或 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 11. 如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，则的长为________ 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，根据题意可得，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵在中，，为边上的高，为边上的中线，，， ∴， 在中， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，，将沿折叠，使点B落在F处，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】6或3 【解析】 【分析】本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．当为直角三角形时，需要分类讨论：分与两种情况，通过勾股定理列方程求解． 【详解】解：当时，三点共线， 设长为x，则， 由翻折可得，， 由勾股定理的， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 当时，四边形为正方形， ∴， 故答案为：6或3． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减进行计算即可求解； （2）先化简二次根式，绝对值，计算零指数幂，再加减即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，，，求该田地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理， 连接，首先根据勾股定理求出，然后根据勾股定理的逆定理得到，然后利用该田地的面积的面积的面积代数求解即可． 【详解】解∶连接， 在中，根据勾股定理， 可得 ， ∴是直角三角形， ∴， ∴该田地的面积的面积的面积 ． 答：该田地的面积是． 15. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求分式的值，解题的关键是利用完全平方公式的变形求值． （1）可先根据题意求出，，再利用完全平方公式的变形求解即可； （2）将所求式子化为，再利用完全平方公式的变形求解即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ； 【小问2详解】 由（1）知，，， 16. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． ()设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； ()过作，垂足为，证明四边形为长方形，得出，由勾股定理得，即可得解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． 【小问2详解】 过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退． 17. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为30，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 矩形， ， 平行四边形是菱形． （2）25 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，再根据菱形的判定即可证明； （2）根据矩形的周长为30，得到，再利用勾股定理得到，利用完全平方公式求出的值，得到矩形的面积，利用图形面积之间的关系即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：矩形， ，，， 矩形的周长为30， ，即， 在中，， ， ， ， 由（1）得，四边形是菱形， ． 四边形的面积为25． 18. 已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． （1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数． （2）如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，此时的面积______的面积（填“”或“”或“” ，那么的面积为______． （3）如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】（1）； （2）； （3）为0或或或秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）如图①中，只要证明是等边三角形即可． （2）如图②中，由四边形是平行四边形，推出，，推出，推出，推出，可得由此即可解决问题． （3）如图③中，分四种情形列出方程解方程即可． 【小问1详解】 解：如图①中， 四边形是平行四边形， ∴， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 【小问2详解】 解：如图②中， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ∴， 作于G， ∵是等边三角形，且， ∴，， ． 故答案为：；； 【小问3详解】 解：如图③中， ∵， 当时，四边形是平行四边形， 或或或， 解得或8或9.6， 另外时，也满足条件， ∴为0或或或秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $