第二讲 有理数（2个知识点4大典例）暑假预习讲义 2025-2026学年七年级上册数学人教版

2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（2个知识点4大典例） 第二讲 有理数（解析版） 知识点梳理 知识点1 有理数的概念 正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数； 整数和分数统称有理数 要点诠释 1分数都可以化为有限小数或无限不循环系数的形式，也就是说，有限小数和无限循环小数可以用分数表示. 2无限不循环小数不能用分数的形式表示。 知识点2 有理数的分类 ①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类． 1. 按有理数的定义分类 2. 按有理数的性质符号分类 3.几个常用数学名词的含义 （1）正整数:既是正数，又是整数的数. （2）负整数:既是负数，又是整数的数. （3）正分数:既是正数，又是分数的数. （4）负分数:既是负数，又是分数的数. （5）非负数:正数和0. （6）非正数:负数和0. （7）非负整数（也叫自然数）:在整数范围内的非负的数，即正整数和0. （8）非正整数:在整数范围内的非正的数，即负整数和0. （9）正有理数:正整数和正分数. （10）负有理数:负整数和负分数. （11）非正有理数:0、负整数和负分数. （12）非负有理数:0、正整数和正分数. （13）奇数、偶数:引入负数后，小学学的奇数、偶数的范围也相应扩大了，奇数和偶数也可以有负数，如-1，-3，-5，…都是奇数，-2，-4，-6，…都是偶数. 要点诠释 0的再认识 1. 要做到标准一致,不重不漏.你在分类时,请不要忽略0,0是整数，不是分数,0既不是正数,也不是负数. 2不要把非负整数理解诠释成正整数,非负整数包括正整数和0;也不要把非正整数理解成负整数,非正整数包括负整数和 0. 典例精讲 题型1 有理数的定义 例1．把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 名师支招 （1）分数都可以化为有限小数或无限不循环系数的形式，也就是说，有限小数和无限循环小数可以用分数表示. （2）无限不循环小数不能用分数的形式表示。 【答案】见解析 【分析】此题考查有理数的分类，注意解题技巧，正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意不是有理数．根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可． 【详解】解：正数集合…； 负分数集合…； 非负整数集合…； 有理数集合… 变式训练1 1．下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可． 【详解】解：① 是负分数，故①正确； ②是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④是有理数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； ⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误； 故选：D． 2．在，，，0，，（每两个3之间依次多一个1）中，有理数有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的定义，解题的关键是熟练掌握整数和分数统称为有理数．根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在，，，0，，（每两个3之间依次多一个1）中有理数有，，，0，是有理数，共5个， 故选：B． 3．祖冲之，中国南北朝时期著名的数学家、天文学家．他是世界上将圆周率精确到小数点后第七位的第一人，这一研究发现比西方早了1100多年，他将圆周率的分数近似值称为密率，称为约率．请判断：约率是（   ） A．有理数 B．整数 C．有限小数 D．无限不循环小数 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的定义，利用有理数的定义，有理数包括整数和分数，故是有理数． 【详解】解：∵是分数， ∴是有理数， 故选：A． 4．把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛ ｝…； 正整数集合：｛ ｝…； 分数集合：｛ ｝… 【答案】 【分析】本题考查了有理数定义及其分类，掌握有理数的相关定义成为解题的关键． 根据有理数的分类，逐一判断即可解答． 【详解】解：负数集合为：； 正整数集合为：； 分数集合为：； 故答案为：；；． 题型2 0的意义 例2．下列说法正确的是（   ） A．零既是正数，又是负数 B．零是最小的整数 C．零是绝对值最小的有理数 D．零是最大的负数 名师支招 （1）要做到标准一致,不重不漏.你在分类时,请不要忽略0,0是整数，不是分数,0既不是正数,也不是负数. （2）不要把非负整数理解诠释成正整数,非负整数包括正整数和0;也不要把非正整数理解成负整数,非正整数包括负整数和 0. 【答案】C 【分析】本题考查了0的意义，“0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数，关键是熟练掌握零的意义． 根据零的意义求解即可． 【详解】解：A、零不是正数，也不是负数，故A错误； B、零是最小的非负整数，故B错误； C、零是绝对值最小的有理数，故C正确； D、零是最大的非正数，故D错误． 故选：C． 变式训练2 1．下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【答案】A 【分析】本题考查了的意义，有理数的分类，根据的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：0既不是正数也不是负数，是整数 故选：A． 2．下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个， 故选：B． 3．下列说法中错误的是（    ） A．既不是正数，也不是负数 B．是自然数，也是整数，也是有理数 C．若仓库运进货物记作，那么运出货物记作 D．一个有理数不是正数，那它一定是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了“0”的意义，正负数的应用，有理数的分类，根据0的意义可判断A、B；根据正负数的意义可判断C；根据有理数分为正有理数和负有理数以及0即可判断D． 【详解】解：A、既不是正数，也不是负数，原说法正确，不符合题意； B、是自然数，也是整数，也是有理数，原说法正确，不符合题意； C、若仓库运进货物记作，那么运出货物记作，原说法正确，不符合题意； D、一个有理数不是正有理数，那它一定是负有理数数或者0，原说法错误，符合题意； 故选：D． 4．0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数，0是有理数中的重要数字等知识点，根据0在不同问题中的实际含义解答即可，熟练掌握有理数0的性质是解决此题的关键． 【详解】A．是一个确定的温度，本选项说法正确，不符合题意； B．海拔表示与海平面一样的高度‌，原选项说法错误，符合题意； C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻，本选项说法正确，不符合题意； D．在二进制中，0是基本的数字表示，本选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 题型3 有理数的分类 例3．把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 名师支招 ①按整数和分数的关系分类；整数和分数两类 ②按正负分类：正有理数、零和负有理数三类： 【答案】见解析 【分析】本题主要查了有理数的分类．根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：如图： 变式训练3 1．将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 【答案】；；； 【分析】本题考查了实数的分类，解决本题的关键是熟记有理数的分类． 根据正数、正有理数、整数、分数的定义即可解答． 【详解】解：正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 2．画示意图表示下列概念之间的关系： 有理数、正有理数、负有理数、零． 【答案】见解析 【分析】本题是对有理数的分类的考查．根据有理数分为正有理数、负有理数、零画图即可． 【详解】解：如图所示． 3．如图对整数中数的分类正确吗？若不正确，请说明理由． 【答案】不正确，见解析 【分析】该题考查了整数的分类，根据整数包括正整数，负整数和零．自然数包括正整数和零解答即可． 【详解】解：不正确， 理由：自然数不是正整数，自然数包括0． 4．把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的分类，正确把握相关定义是解题关键． （1）根据整数的定义即可得出答案； （2）根据分数的定义即可得出答案； （3）根据正数的定义即可得出答案； （4）根据非负数的定义即可得出答案； 【详解】（1）解：整数集合：， 故答案为：； （2）解：分数集合：， 故答案为：； （3）解：正数集合：， 故答案为：； （4）解：非负数集合：， 故答案为：． 题型4 带“非”字的有理数 例4．把下列各数分别填在相应的括号里. ，，，20，，0，，，，12，3.151151115… 正整数：（                             ） 负分数：（                             ） 非负有理数：（                         ） 非整数（                              ） 名师支招 （1）非负数:正数和0.（2）非正数:负数和0. （3）非负整数（也叫自然数）:在整数范围内的非负的数，即正整数和0. （4）非正整数:在整数范围内的非正的数，即负整数和0. （5）非正有理数:0、负整数和负分数. （6）非负有理数:0、正整数和正分数. 【答案】正整数：（ 20， 12） 负分数：（ ，， ） 非负有理数：（ ， 20， 0，， 12  ） 非整数（，，，，，，3.151151115…） 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据正整数，负分数，非负有理数，非整数的定义解答即可． 【详解】解：正整数：（ 20， 12）； 负分数：（ ，， ）； 非负有理数：（ ， 20， 0，， 12  ）； 非整数（，，，，，，3.151151115…）． 变式训练4 1．把下面的有理数填入它们属于的集合内： ． 正有理数集合：{    …}； 负有理数集合：{    …}； 非负整数集合：{    …}． 【答案】；；3，0，2025 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键． （1）根据正有理数的定义即可解答； （2）根据负有理数的定义即可解答； （3）根据非负整数集合即可解答． 【详解】解：正有理数集合：{}； 负有理数集合：{}； 非负整数集合：{3，0，2025}． 2．将下列各数填入相应的集合内： ，0，，，4，π (1)整数集合：{               …}； (2)分数集合：{            …}； (3)非负数集合：{             …}． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数，解题的关键是掌握整数、分数、非负数的概念． （1）根据整数的概念求解可得答案； （2）根据分数的概念求解可得答案； （3）根据非负数的概念求解可得答案． 【详解】（1）解：整数集合：； （2）分数集合：； （3）非负数集合：． 3．把下列各数填入相应的集合里：，0，，3，，， ①正有理数集合：｛ ｝ ②负有理数集合：｛ ｝ ③分  数 集 合：｛ ｝ ④非负 数 集合：｛ ｝ ⑤非正整数集合：｛ ｝ 【答案】，3；，，，；，，；0，，3；0，， 【分析】本题考查有理数的分类，根据正有理数、负有理数、分数、非负数、非正整数的定义进行判断即可． 【详解】解：①正有理数集合：｛，3， ｝ ②负有理数集合：｛，，，， ｝ ③分数集合：｛，，，｝ ④非负数集合：｛0，，3， ｝ ⑤非正整数集合：｛0，，，｝ 故答案为：，3；，，，；，，；0，，3；0，，． 4．把下列各数分别填入相应的大括号内：，0.161616161…，，0，0.375，， 正数：{___________…}； 分数：{_______________…}； 非正整数：{______________…}； 负数：{___________________…}； 有理数：{__________________…}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的性质，正确掌握正数、分数、非正整数、负数的概念是解题的关键． 根据有理数的分类对各数进行判断，即可得出结果． 【详解】解：，，， 正数：{0.161616161…，0.375，，…}； 分数：{0.161616161…，，0.375，，…}； 非正整数：{，0，…}； 负数：{，，…}； 有理数：{，0.161616161…，，0，0.375，…}． 易错易混诠释 有理数概念的易错点主要集中在分类、符号理解及特殊数性质等方面，具体如下： 一、分类易混点 1.整数与分数的界定  正确：整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。 错误：将0归为正整数或负整数，或混淆分数与有限小数、无限循环小数的关系。 2.有理数的定义  正确：有理数是整数和分数的统称，所有有理数均可表示为分数形式。 错误：将无限不循环小数（如π）归为有理数。 针对训练1 1．在数2，0，，，4.8中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的定义．根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在数2，0，，，4.8中，有理数有2，0，，4.8，共4个． 故选：D． 2．在，0，，，，中有理数的个数有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义判断解答即可． 【详解】解：根据题意，有理数是0，，，，，共5个． 故选：B． 二、符号理解易混点 1.负数的分界  0既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界点。 带符号的数不一定代表正负，如+（-2）表示负2，-（-3）表示正3。 2. 非正数是负数和0，非负数正数和0。 易漏掉0 针对训练2 1．下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的相关概念和分类．根据有理数分为：整数和分数或者分为：正有理数，0，负有理数解答即可，熟记这些内容是解题关键． 【详解】解：有限小数和循环小数都是有理数，故①正确； 0是非负有理数，故②正确； 0既不是正数，也不是负数，是有理数，故③错误； 一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，故④正确． 综上可知正确的个数是3个． 故选C． 2．下列有关0的说法中，不正确的是（   ） A．0是整数 B．0既不是正数，也不是负数 C．0乘任何有理数仍得0 D．0除以任何有理数仍得0 【答案】D 【分析】本题考查了0的归类及性质．根据0在有理数中的归类性质，逐项做出判断即可． 【详解】A、0是整数，∴A正确； B、0既不是正数，也不是负数，∴B正确； C、0乘任何有理数仍得0，∴C正确； D、0除以0，没有意义，∴D不正确． 故选：D． 三、特殊数性质易混点 自然数与整数  自然数包括0和正整数，0而整数包括正整数、0、负整数。 易将自然数等同于正整数，忽略0。 无理数（后面学到）与有理数的区分 无限不循环小数（如π、）是无理数，有限小数和无限循环小数是有理数。 针对训练3 1．在中，非负整数有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的分类，非负整数是大于等于的整数，据此求解即可． 【详解】解：在，，，，，，，中，非负整数有，，，，共个， 故答案为：． 2．把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，，，，． 正整数集：{    …}； 正数集：{    …}； 负分数集：{    …}； 负数集：{    …}； 非负整数集：{    …}； 分数集：{    …}． 【答案】，，；，，，，，；，，，，；，，，，，，；，，，； ，，，，，，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，掌握正整数、正数，负分数、负数、非负整数、和分数的定义与特点是解题的关键． 直接利用有理数的相关概念分析得出答案，特别注意整数和正数的区别，注意是整数，但不是正数． 【详解】解：正整数集：{，，}； 正数集：{，，，，，}； 负分数集：{，，，，}； 负数集：{，，，，，，}； 非负整数集：{，，，}； 分数集：{，，，，，，，} 故答案为：，，；，，，，，；，，，，；，，，，，，；，，，； ，，，，，，， 创新拓展能力提升 1．把下列各数填写在相应的集合中． 6.5，，0，11，， (1)整数集合{                                      …}； (2)分数集合{                                      …}； (3)非正数集合{                                      …}； (4)正有理数集合{                                      …}． 【答案】(1)0，11， (2)6.5， (3)，0， (4)6.5，，11 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的相关概念和分类，是解答本题的关键． 根据有理数的分类对各数进行归类即可． 【详解】（1）整数集合{0，11，…}； （2）分数集合{6.5，…}； （3）非正数集合{，0，…}； （4）正有理数集合{6.5，，11…}． 2．把下列序号填在相应的大括号里（只填序号，多填或少填不给分）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨0 整数集合{______________________________……} 负有理数集合{______________________________……} 非负数集合{______________________________……} 【答案】①③⑨； ①⑤⑥⑦⑧； ②③④⑨； 【分析】本题考查了有理数的分类．掌握整数、负有理数、非负数的定义与特点是解答此类题目的关键． 根据整数、负有理数、非负数的定义与特点，进行作答，即可求解； 【详解】解：整数包括：、、0； 负有理数包括：、、、、； 非负数包括：、、、0； 故答案为：①③⑨； ①⑤⑥⑦⑧； ②③④⑨； 3．把下列各数填在相应的大括号里： ，，，7，0，，，，，，，． 正整数集合{    …}， 负整数集合{    …}， 分数集合{    …}， 负有理数数集合{    …}， 正有理数数集合{    …}． 【答案】7；，；，，，，，，； ，，，；，，7，，， 【分析】此题考查了有理数分类，根据有理数的概念和分类可完成此题． 【详解】解：正整数集合，； 负整数集合，； 分数集合，，，，，，，； 负有理数集合，，，，； 正有理数集合，，7，，，，． 故答案为：7；，；，，，，，，；7，0；，，，；，，7，，，． 【点睛】 4．在报道溢油的多少和影响以及准备清除工作时，数据是非常必要的．为了说明数据是如何重要，读一读这则关于一次有名的溢油事件的“被删去”的文章．在　 　、　 　，一艘大型油轮Exxon Valdez从阿拉斯加水道离开，载着　 　原油，为了避免撞上冰山，这艘轮船走了一条离开正常行船线路大约　 　的航线，不幸的是，在离港不到　 　，船碰上了水下的暗礁，暗礁的岩石将船体撞了一个　 　裂缝，　 　原油溢到威廉玛海峡的表面，几个星期后，尽管花了很多的努力控制和清理石油，这次Exxon Valdez溢油事件已成为一个被全球关注的环境灾难，溢出的油不断地扩展形成一个油膜，覆盖了　 　水面，杀死了　 　只水獭和　 　只鸟，清理工作用了　 　只船和工人，工人们与　 　寒冷的水和气温作斗争，清理工作花费　 　，包括　 　单独用于营救野生生物的费用． （1）从以下所列的数据中，将恰当的数据填在相应的空白处，解释说明你的每一选择． 2000km2；46 000 000L；4 100 000美元； 2000～3000；18 000cm；1600m； 4℃；90 000～300 000；240 000 000 L； 20亿美元；1989年3月24日；下午9：00；成千上万；3h． （2）理解大数目的一种方法是找到尺寸相同的熟悉的事物、例如：美国旧金山和纽约合在一起的面积约为2000 km2，Exxon Valdez的油膜大约覆盖这两个城市．理解大数目的另一个方法是考证复制熟悉的事物．例如：美国公立学校，每个学生的平均花费为4500美元，营救Exxon Valdez事件中的野生生物所花费的金钱和9000多名学生的花费差不多． 在A～G中，给出了关于Exxon Valdez灾难中的事实，假如你是一位被分派撰写这一报道的报社记者，用你自己的观点将所给的提示写出一个说明，在某种程度上让你的读者容易理解每一个事实． a、Exxon Valdez溢出原油46 000 000 L． 提示：一个奥林匹克标准游泳池可容纳大约2 270 000 L的水，多少个游泳池可装满46 000 000 L的油？ b、油船偏离航道大约1600m、 提示：你所在的地区，什么地方相距大约1600m？ c、在清理溢油期间，水和空气的温度大约为4℃、 提示：你所在的地区，水和空气什么时候达到这个温度，你还游泳吗？ d、在离港不到3 h，油船触礁、 提示：你熟悉的什么事情持续3h？ e、溢油杀死了90 000～300 000只海鸟、 提示：查阅资料，找出人口数量大约为300 000这个数目的城市、 f、整个清理工作花费2 000 000 000美元、 提示：在美国，付给工人每年平均工资大约为25 000美元，清理工作所花费的付给多少工人的年度工资？ g、油膜最后覆盖了海洋表面2000 km2、 提示：计算你们教室地面的面积，然后计算出需要多少这样的教室的地面才能覆盖2000 km2． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【分析】（1）将恰当的数据根据实际情况填在相应的空白处； （2）a、大约需20、3个游泳池；b、根据各人具体情况而定；c、根据各人具体情况而定；d、根据各人具体情况而定；e、扬州城市人口也为30万；f、80000个工人；g、根据各人具体情况而定． 【详解】解：（1）第一个空为1989年3月24日，第二个空为下午9：00；显然第一、二个空处填的是时间，一般年、月、日在前，具体时间在后； 第三个空为240000000L；载着多少原油，问的是体积，那么应选240000000L； 第四个空为1600m；大约多少的航线，讲的是距离，因此选1600m； 第五个空为3h；离港不到多少时，船撞上了暗礁，显然问的是时间，所以选3h； 第六个空为18000cm，船的裂缝长显然不可能是1600m，那么只有选18000cm； 第七个空为46000000L，第七、三个空问的都是原油的体积，但是根据题意，显然第七个空填的体积＜第三个空填的，因此第七个空选46000000L； 第八个空为2000km2，覆盖了多少水面，问的是面积的大小，所以选2000km2； 第九个空为2000﹣﹣3000；第十个空为90000﹣﹣3000000；第九、十个空说的都是被杀死的动物的数量，显然水獭的数量要比水鸟少的多； 第十一个空为成千上万；由于海水被原油和动物尸体等污染的面积较大，因此需要的船只和人数的数量很大，故选成千上万； 第十二个空为4℃；显然第十二个空问的是水温，因此选4℃； 第十三个空为20亿美元；第十四个空为4100000美元；第十三、四个空问的是钱数，显然第十三个空钱数中包括第十四个空填的钱数，故第十三个空选20亿美元，第十四个空选4100000美元． （2）a、大约需20.3个游泳池； b、学校到体育馆 c、冬天，不能游泳； d、上午上班的时间； e、扬州城市人口也为30万； f、80000个工人； g、20 000 000个教室的地面． 【点睛】本题考查了结合实际情况处理数据的能力，在生活中必须认真观察、分析、研究，才能作出正确的判断和解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（2个知识点4大典例） 第二讲 有理数 知识点梳理 知识点1 有理数的概念 正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数； 整数和分数统称有理数 要点诠释 1分数都可以化为有限小数或无限不循环系数的形式，也就是说，有限小数和无限循环小数可以用分数表示. 2无限不循环小数不能用分数的形式表示。 知识点2 有理数的分类 ①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类． 1. 按有理数的定义分类 2. 按有理数的性质符号分类 3.几个常用数学名词的含义 （1）正整数:既是正数，又是整数的数. （2）负整数:既是负数，又是整数的数. （3）正分数:既是正数，又是分数的数. （4）负分数:既是负数，又是分数的数. （5）非负数:正数和0. （6）非正数:负数和0. （7）非负整数（也叫自然数）:在整数范围内的非负的数，即正整数和0. （8）非正整数:在整数范围内的非正的数，即负整数和0. （9）正有理数:正整数和正分数. （10）负有理数:负整数和负分数. （11）非正有理数:0、负整数和负分数. （12）非负有理数:0、正整数和正分数. （13）奇数、偶数:引入负数后，小学学的奇数、偶数的范围也相应扩大了，奇数和偶数也可以有负数，如-1，-3，-5，…都是奇数，-2，-4，-6，…都是偶数. 要点诠释 0的再认识 1. 要做到标准一致,不重不漏.你在分类时,请不要忽略0,0是整数，不是分数,0既不是正数,也不是负数. 2不要把非负整数理解诠释成正整数,非负整数包括正整数和0;也不要把非正整数理解成负整数,非正整数包括负整数和 0. 典例精讲 题型1 有理数的定义 例1．把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 名师支招 （1）分数都可以化为有限小数或无限不循环系数的形式，也就是说，有限小数和无限循环小数可以用分数表示. （2）无限不循环小数不能用分数的形式表示。 变式训练1 1．下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 2．在，，，0，，（每两个3之间依次多一个1）中，有理数有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．祖冲之，中国南北朝时期著名的数学家、天文学家．他是世界上将圆周率精确到小数点后第七位的第一人，这一研究发现比西方早了1100多年，他将圆周率的分数近似值称为密率，称为约率．请判断：约率是（   ） A．有理数 B．整数 C．有限小数 D．无限不循环小数 4．把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛ ｝…； 正整数集合：｛ ｝…； 分数集合：｛ ｝… 题型2 0的意义 例2．下列说法正确的是（   ） A．零既是正数，又是负数 B．零是最小的整数 C．零是绝对值最小的有理数 D．零是最大的负数 名师支招 （1）要做到标准一致,不重不漏.你在分类时,请不要忽略0,0是整数，不是分数,0既不是正数,也不是负数. （2）不要把非负整数理解诠释成正整数,非负整数包括正整数和0;也不要把非正整数理解成负整数,非正整数包括负整数和 0. 变式训练2 1．下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 2．下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列说法中错误的是（    ） A．既不是正数，也不是负数 B．是自然数，也是整数，也是有理数 C．若仓库运进货物记作，那么运出货物记作 D．一个有理数不是正数，那它一定是负数 4．0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 题型3 有理数的分类 例3．把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 名师支招 ①按整数和分数的关系分类；整数和分数两类 ②按正负分类：正有理数、零和负有理数三类： 变式训练3 1．将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 2．画示意图表示下列概念之间的关系： 有理数、正有理数、负有理数、零． 3．如图对整数中数的分类正确吗？若不正确，请说明理由． 4．把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 题型4 带“非”字的有理数 例4．把下列各数分别填在相应的括号里. ，，，20，，0，，，，12，3.151151115… 正整数：（                             ） 负分数：（                             ） 非负有理数：（                         ） 非整数（                              ） 名师支招 （1）非负数:正数和0.（2）非正数:负数和0. （3）非负整数（也叫自然数）:在整数范围内的非负的数，即正整数和0. （4）非正整数:在整数范围内的非正的数，即负整数和0. （5）非正有理数:0、负整数和负分数. （6）非负有理数:0、正整数和正分数. 变式训练4 1．把下面的有理数填入它们属于的集合内： ． 正有理数集合：{    …}； 负有理数集合：{    …}； 非负整数集合：{    …}． 2．将下列各数填入相应的集合内： ，0，，，4，π (1)整数集合：{               …}； (2)分数集合：{            …}； (3)非负数集合：{             …}． 3．把下列各数填入相应的集合里：，0，，3，，， ①正有理数集合：｛ ｝ ②负有理数集合：｛ ｝ ③分  数 集 合：｛ ｝ ④非负 数 集合：｛ ｝ ⑤非正整数集合：｛ ｝ 4．把下列各数分别填入相应的大括号内：，0.161616161…，，0，0.375，， 正数：{___________…}； 分数：{_______________…}； 非正整数：{______________…}； 负数：{___________________…}； 有理数：{__________________…}． 易错易混诠释 有理数概念的易错点主要集中在分类、符号理解及特殊数性质等方面，具体如下： 一、分类易混点 1.整数与分数的界定  正确：整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。 错误：将0归为正整数或负整数，或混淆分数与有限小数、无限循环小数的关系。 2.有理数的定义  正确：有理数是整数和分数的统称，所有有理数均可表示为分数形式。 错误：将无限不循环小数（如π）归为有理数。 针对训练1 1．在数2，0，，，4.8中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在，0，，，，中有理数的个数有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 二、符号理解易混点 1.负数的分界  0既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界点。 带符号的数不一定代表正负，如+（-2）表示负2，-（-3）表示正3。 2. 非正数是负数和0，非负数正数和0。 易漏掉0 针对训练2 1．下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列有关0的说法中，不正确的是（   ） A．0是整数 B．0既不是正数，也不是负数 C．0乘任何有理数仍得0 D．0除以任何有理数仍得0 三、特殊数性质易混点 自然数与整数  自然数包括0和正整数，0而整数包括正整数、0、负整数。 易将自然数等同于正整数，忽略0。 无理数（后面学到）与有理数的区分 无限不循环小数（如π、）是无理数，有限小数和无限循环小数是有理数。 针对训练3 1．在中，非负整数有 个． 2．把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，，，，． 正整数集：{    …}； 正数集：{    …}； 负分数集：{    …}； 负数集：{    …}； 非负整数集：{    …}； 分数集：{    …}． 创新拓展能力提升 1．把下列各数填写在相应的集合中． 6.5，，0，11，， (1)整数集合{                                      …}； (2)分数集合{                                      …}； (3)非正数集合{                                      …}； (4)正有理数集合{                                      …}． 2．把下列序号填在相应的大括号里（只填序号，多填或少填不给分）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨0 整数集合{______________________________……} 负有理数集合{______________________________……} 非负数集合{______________________________……} 3．把下列各数填在相应的大括号里： ，，，7，0，，，，，，，． 正整数集合{    …}， 负整数集合{    …}， 分数集合{    …}， 负有理数数集合{    …}， 正有理数数集合{    …}． 4．在报道溢油的多少和影响以及准备清除工作时，数据是非常必要的．为了说明数据是如何重要，读一读这则关于一次有名的溢油事件的“被删去”的文章．在　 　、　 　，一艘大型油轮Exxon Valdez从阿拉斯加水道离开，载着　 　原油，为了避免撞上冰山，这艘轮船走了一条离开正常行船线路大约　 　的航线，不幸的是，在离港不到　 　，船碰上了水下的暗礁，暗礁的岩石将船体撞了一个　 　裂缝，　 　原油溢到威廉玛海峡的表面，几个星期后，尽管花了很多的努力控制和清理石油，这次Exxon Valdez溢油事件已成为一个被全球关注的环境灾难，溢出的油不断地扩展形成一个油膜，覆盖了　 　水面，杀死了　 　只水獭和　 　只鸟，清理工作用了　 　只船和工人，工人们与　 　寒冷的水和气温作斗争，清理工作花费　 　，包括　 　单独用于营救野生生物的费用． （1）从以下所列的数据中，将恰当的数据填在相应的空白处，解释说明你的每一选择． 2000km2；46 000 000L；4 100 000美元； 2000～3000；18 000cm；1600m； 4℃；90 000～300 000；240 000 000 L； 20亿美元；1989年3月24日；下午9：00；成千上万；3h． （2）理解大数目的一种方法是找到尺寸相同的熟悉的事物、例如：美国旧金山和纽约合在一起的面积约为2000 km2，Exxon Valdez的油膜大约覆盖这两个城市．理解大数目的另一个方法是考证复制熟悉的事物．例如：美国公立学校，每个学生的平均花费为4500美元，营救Exxon Valdez事件中的野生生物所花费的金钱和9000多名学生的花费差不多． 在A～G中，给出了关于Exxon Valdez灾难中的事实，假如你是一位被分派撰写这一报道的报社记者，用你自己的观点将所给的提示写出一个说明，在某种程度上让你的读者容易理解每一个事实． a、Exxon Valdez溢出原油46 000 000 L． 提示：一个奥林匹克标准游泳池可容纳大约2 270 000 L的水，多少个游泳池可装满46 000 000 L的油？ b、油船偏离航道大约1600m、 提示：你所在的地区，什么地方相距大约1600m？ c、在清理溢油期间，水和空气的温度大约为4℃、 提示：你所在的地区，水和空气什么时候达到这个温度，你还游泳吗？ d、在离港不到3 h，油船触礁、 提示：你熟悉的什么事情持续3h？ e、溢油杀死了90 000～300 000只海鸟、 提示：查阅资料，找出人口数量大约为300 000这个数目的城市、 f、整个清理工作花费2 000 000 000美元、 提示：在美国，付给工人每年平均工资大约为25 000美元，清理工作所花费的付给多少工人的年度工资？ g、油膜最后覆盖了海洋表面2000 km2、 提示：计算你们教室地面的面积，然后计算出需要多少这样的教室的地面才能覆盖2000 km2． 学科网（北京）股份有限公司 $$