第一讲 正数和负数（3个知识点4大典例）暑假预习讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点4大典例） 第一讲 正数和负数（解析版） 知识点梳理 知识点1 正数和负数的概念 大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数 要点诠释： 判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，如-（）不是负数，因为它是在负数前面加了“-”号得到的数，不符合负数的定义. 知识点2 具有相反意义的量 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 要点诠释： 1. 具有相反意义的量的正负性是相对的，没有硬性规定，是可以任意选择的. 2. 具有相反意义的量中的两个量表示的意义相反，且必须是同类量。 3. 具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不是具有相反意义的量 4. 用正数、负数表示具有相反意义的量时，选择的基准不同，表示的结果也不同. 知识点3 对数“0”的再认识 0既不是正数，也不是负数。 ①. 表示没有. ②表示数时起到占位的作用 ③. 表示某种量的基准 ④. 表示某些数量的分界 5. 表示起点. 典例精讲 题型1 正负数的意义 例1．在第十五届中国国际航空航天博览会展会期间，无人机记录了精彩瞬间．若选定某一高度为标准位置，无人机从标准位置上升记为，则从标准位置下降记为（   ） A． B． C． D． 名师支招 1.判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数. 2.用正数、负数表示具有相反意义的量时，选择的基准不同，表示的结果也不同. 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的意义，正确理解正负数的意义是解题的关键．表示相反意义的量：其中一个量规定为正的，用正数来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示．根据正负数的意义即可判断答案． 【详解】解：无人机从标准位置上升记为，则从标准位置下降记为． 故选：A．变式训练1 1．下列数是负数的是（   ） A．2025 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查负数的定义，掌握知识点是解题的根据． 根据负数的定义，小于0的数为负数．直接判断各选项的符号即可． 【详解】解：选项A：2025是正数，显然大于0，不符合条件． 选项B：带有负号，数值部分为2025，因此是负数，符合题意． 选项C：0既不是正数也不是负数，不符合条件． 选项D：的分子和分母均为正数，结果为正数，不符合条件． 故选B． 2．下列各数中负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查负数的定义，即小于0的数，根据负数的定义进行逐一判断，即可作答． 【详解】解：， 则负数有4个， 故选：C 3．如图是某用户手机钱包账单，则表示（    ） A．发出10.00元红包 B．收入10.00元 C．余额10.00元 D．抢到10.00元红包 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：表示发出10.00元红包， 故选：A． 4．下列各数，，，，，，中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了负数的定义，小于0的数为负数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，，，都是负数， ∴负数有个， 故选：C． 题型2 相反意义的量 例2．刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果气温为“零上”记作，那么气温为“零下”应表示为 ． 名师支招 1.对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 2.具有相反意义的量的正负性是相对的，没有硬性规定，是可以任意选择的. 3.具有相反意义的量中的两个量表示的意义相反，且必须是同类量。 4.具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不是具有相反意义的量 【答案】 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若零上的温度用“”表示，那么零下的温度就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果气温为“零上”记作，那么气温为“零下”应表示为， 故答案为：． 变式训练2 1．通达桥位于汾河之上，主桥面中心标志高于基准面米，主墩桩基础低于基准面米．若高于基准面米记作米，则低于基准面米记作（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义．理解正负数的意义是解题的关键． 用正负数来表示具有意义相反的两种量：选基准面为标准记为0，高于基准面为正，则低于基准面为负． 【详解】解：已知高于基准面米记作米，说明，高于基准面用正数表示， 那么低于基准面米就应该记作米． 故选B． 2．北京时间3月15日12时11分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将四维高景三号02星发射升空，卫星发射任务获得成功极大增强了中国商业遥感领域在全球范围内的核心竞争力．若火箭发射点火前记作，则火箭发射点火后应记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，若火箭发射点火前记为负，则火箭发射点火后记为正，由此即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：若火箭发射点火前记作，则火箭发射点火后应记作， 故选：A． 3．北京时间2025年1月21日1时12分，经过约小时的出舱活动，“神舟十九号”乘组航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽密切协同，在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置安装、舱外设备设施巡检等任务．出舱航天员蔡旭哲、宋令东已安全返回问天实验舱，出舱活动取得圆满成功.如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为（ ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，准确理解它们是表示相反意义的量是解题的关键．正数和负数是表示相反意义的量，根据题目中的规定用正数或负数表示即可． 【详解】解：如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为秒． 故选： 4．一直以来，我国科技工作者努力攻关，在高温超导研究领域处于世界领先地位，早已获得绝对温度为零下的高温超导材料．我们把高于的温度记为正数，温度零下可记为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，解题的关键是明确正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．根据正数和负数的意义解答．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“正”和“负”相对． 【详解】解：我们把高于的温度记为正数，温度零下可记为． 故答案为：． 题型3 0的再认识 例3．下列关于“0”的说法正确的有 个． ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． 名师支招 0既不是正数，也不是负数。 ①. 表示没有.②表示数时起到占位的作用③. 表示某种量的基准 ④. 表示某些数量的分界⑤. 表示起点. 【答案】4 【分析】本题考查了对数字0的认识，注意：负数都小于零，正数都大于零，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数；零不仅表示没有，还表示一个介于负数与正数之间的一个数． 依据题意，零大于负数，小于正数，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数，零是自然数，零是偶数，从而即可根据以上内容判断求解． 【详解】0是正数和负数的分界点，故①正确； 0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确； 0是自然数，故③正确； 存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误； 0既是整数也是偶数，故⑤正确； 故答案为：4．变式训练3 1．下列语句：①不带“”号的数都是正数；②带“”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④表示没有温度．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：①0不带“”号，但是它不是正数． ②带负号，但是它不是负数． ③0既不是正数也不是负数． ③表示有温度，温度为0度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）． 综上所述，①②③④全部错误． 故选：． 2．下列说法①加正号的数是正数，加负号的数是负数；②任意一个正数，前面加上“－”，就是一个负数；③0是最小的正数；④大于零的数是正数；⑤字母a既是正数，又是负数．正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】加正号的数不一定是正数，如，同样，加负号的数不一定是负数，故①不正确，②正确；0既不是正数，也不是负数，故③不正确，④正确；字母a可以表示正数，也可以表示负数，但不能既是正数又是负数，故⑤不正确． 3．对于“”的说法：①是一个确定的温度；②为正数；③不是负数；④为自然数．正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据自然数，奇数、偶数的定义即可作出判断． 【详解】解：①0℃是一个确定的温度，故①正确； ②0不是正数，故②错误； ③0不是负数，故③正确； ④0为自然数，故④正确； 故选C． 【点睛】题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 4．下列关于“0”的说法正确的是（    ） ①0既是整数，也是正数； ②0不是正数，也不是负数； ③0不是整数，是正数； ④0既是整数，也是自然数． A．①④ B．②④ C．①② D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数，熟记相关概念以及0的特殊性是解题的关键．根据有理数的相关定义和0的特殊性对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：①0是整数，但不是正数，错误； ②0不是正数，也不是负数，正确； ③0是整数，不是正数，错误； ④0是整数，也是自然数，正确． 综上所述：说法正确的是②④． 故选B． 题型4 正负数的实际应用 例4．学校附近某奶茶店计划一周卖出3500杯奶茶，每天卖出500杯作为标准，由于各种原因实际每天销售量与计划销售量相比有出入，如下表是某周的销售量情况（超产为正减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共卖出_______杯； (2)销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出______杯； (3)该奶茶店实行计件工资制，每天卖出一杯奶茶得1元，每天超额卖出一杯奖0.5元，少卖出一杯扣2元，那么该奶茶店工人这一周的工资总额是多少？ 名师支招 正负数的实际运用解题策略可归纳为以下两点： 1.明确正负数表示相反意义的量 （1）基准数据选择 需先确定基准量（如平均成绩、初始状态等），将超过基准的量记为正，低于基准的量记为负 （2）单位与符号完整性 在表示相反意义的量时，需同时保留单位名称，避免仅用数字导致量纲丢失。 2、关键方法：通过运算体现变化或方向 （1）数量变化应用  用正负数表示数据增减， （2）方向距离表示  通过正负数表示位移方向 【答案】(1)1455； (2)111； (3)这一周的工资总额是3425元． 【分析】此题考查正数和负数的应用问题，以及有理数的混合运算，解此题的关键是读懂题意，找出关系，然后列式计算． （1）根据前三天销售量相加计算即可； （2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （3）根据题意列出算式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：（杯）， 故答案为：1455； （2）解：销售量最多的一天为星期五，最少的一天为星期三， 故销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出（杯）， 故答案为：111； （3） 解： (500-13)x1-13x2+(500+5)x1+5x0.5+(500-37)x1-37x2+(500+13)x1+13x0.5+(500+74)x1+74x0.5 +(500-35)x1=35x2+(500+28)x1+28x0.5 =3425（元． 答：该奶茶店工人这一周的工资总额是3425元． 变式训练 1．世界上关于负数的最早应用出现在中国古代的《九章算术》中．《九章算术》中虽然使用了“正负术”一词，但并未给出负数的正式定义．刘徽在为《九章算术》作注时，才对负数的定义进行了明确的阐述．《九章算术》中有所记载，若在粮谷计算中，益实三斗（增加3斗）记为斗，那么损实十斗（减少10斗）记为（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若益实用“”表示，那么损实就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若在粮谷计算中，益实三斗（增加3斗）记为斗，那么损实十斗（减少10斗）记为斗， 故选：C． 2．初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在以下或者最高气温在以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？ 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 最高气温（） 最低气温（） 【答案】周一到周日佳佳有天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六 【分析】本题考查了有理数的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 对周一到周日的气温数据逐一比对，即可得到答案． 【详解】解：根据表格数据得， 周一：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周二：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周三：最高气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周四：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周五：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周六：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周日：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周一到周日佳佳有天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六． 3．（1）一个月内，李明体重增加，张华体重减少，刘伟体重无变化，写出他们这个月的体重增长值． （2）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率如下：A品牌减少，B品牌增长，C品牌增长，D品牌减少，写出今年这些品牌的手机销售量的增长率． 【答案】（1），，；（2）A品牌，B品牌，C品牌，D品牌 【分析】本题考查了正负数的实际应用，解题的关键是理解相反意义的量． （1）将增加量记作正数，减少量记作负数，无变化记作零即可； （2）将增长记作正数，减少记作负数，分别表示出每个国家的变化情况即可． 【详解】解：（1）这个月李明体重增长，张华体重增长，刘伟体重增长． （2）四种品牌的手机今年第二季度销售量的增长率是： A品牌，B品牌，C品牌，D品牌． 4．生活情境·营业额某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长 0 0.2 0.3 0.4 (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年1月和4月比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪个月？ 【答案】(1)3月、5月、6月 (2)今年1月和4月的营业额与去年1月和4月的营业额相比降低； (3)月，月，月 【分析】本题考查了正数，负数的应用，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键． （1）找出表格中增长率为正数的即可得到答案； （2）根据负数的意义即可得到答案； （3）找出表格中增长率为负数和的即可得出的． 【详解】（1）解：∵是正数， ∴月，月，月是增长的； （2）解：今年月和月相比去年同月增长率是负数表示营业额下降； （3）解：∵和是负数，表示不变， ∴营业额没有增长的是月． 易错易混诠释 正数和负数的易错易混问题主要涉及定义、符号使用及实际应用三个方面，具体要点如下： 一、定义混淆 1.0的性质 0既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界点。部分同学可能将0视为“没有”或最小数，需注意其基准意义。 2.正负数范围 正数包括大于0的整数、分数、小数（如+3、1.8%、π）；负数需在正数前加“-”号（如-2、-3.6%），省略“+”号仍表示正数，但“-”号不可省略。 针对训练1 1．下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【答案】C 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 2．下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了0的意义，正负数的定义，在非正数面前加上“”号，那么这个数非负数，据此可判断A；表示有温度，据此可判断B；在正数面前加上“”号，那么这个数就是负数，据此可判断C；0既不是正数也不是负数，据此可判断D． 【详解】解：A、一个数前面加上“”号，这个数不一定是负数，例如前面加上“”号仍然为，原说法错误，不符合题意； B、表示有温度，原说法错误，不符合题意； C、若是正数，则一定是负数，原说法错误，不符合题意； D、0既不是正数也不是负数，原说法正确，符合题意； 故选：D． 二、符号使用错误 1.省略规则 正数前的“+”号可省略（如+3即3），但负数前的“-”号必须保留（如-3不可写成3）。 2.符号位置 部分同学可能将“-”号写在数字前面或后面，需严格遵循“负数前必须加‘-’”的规则。 针对训练2 1．某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示（　　） A．水面低于标准水位 B．水面低于标准水位 C．水面高于标准水位 D．水面水深为 【答案】B 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，根据正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示水面低于标准水位． 本题主要考查了正数和负数，解题关键是熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【详解】∵用正数表示水面高于标准水位的高度， ∴表示水面低于标准水位． 故选：B． 2．在有理数中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据小于零的数是负数，可得答案． 【详解】解：在有理数中，是负数的是-2，，-0.7， 故选：C． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握小于零的数是负数． 三、实际应用混淆 1.相反意义的量  需同时满足：意义相反（如收入与支出）、同类数量（如米与米）、成对出现（如胜局与负局）。例如，“气温升高5℃”与“气温-5℃”是相反意义的量，但“向东走10km”与“向西走8km”不构成相反意义的量。 2.基准选择 正负数需先规定基准方向或意义（如收入为正、零上温度为正），否则无法区分相反量。例如，未规定“水位上升”为正时，“水位下降”不能直接用负数表示。 针对训练3 1．下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据表中给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市 代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上） 城市 时差/h 纽约 悉尼 伦敦 罗马 【答案】C 【分析】本题考查正数与负数，根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：若以24小时制计时间， 第一个表的时间为8点或20点， 第二个表的时间为9点或21点， 第三个表的时间为4点或16点， 第四个表的时间为3点或15点， 第五个表的时间为6点或18点， 因为悉尼时间比北京时间多2个小时， 所以北京的时间只可能是4点或16点，此时E是悉尼，A是伦敦，B是罗马，D是纽约． 故答案为：C． 2．一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 【答案】C 【分析】用减去前5次各数与8：00的水位和，然后即可做出判断． 【详解】解：0-（0.5-0.8+0-0.2-0.3-0.1）=0.9． 故选：C． 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 创新拓展能力提升 1．下面各组量是不是具有相反意义的量？如果是，请你用正数和负数表示这些量. （1）节约20度电与浪费10度电； （2）向南前进100米和向东后退20米； （3）卖出20箱饮料与收入500元； （4）盈利18万元和亏损15万元. 【答案】（1）是，+20度与-10度.（2）不是.（3）不是.（4）是，+18万元与一15万元 【分析】先判断两个量是不是相反意义的量，再由在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示. 【详解】解：（1）是，+20度与-10度. （2）南、北不是意义相反的量，故不是. （3）卖出和收入不是意义相反的量，故不是; （4）是，+18万元与一15万元. 【点睛】考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，知道整数与负数通常表示相反意义的量． 2．某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示。 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长/ 0 请根据表格信息回答下列问题： (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年1月和4月相比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？ 【答案】(1)3月、5月、6月是增长的 (2)表示营业额下降 (3)1月、2月、4月 【分析】本题考查了正负数的应用，正确理解负数的意义是解题关键． （1）找出表格中增长率为正数的即可得； （2）根据负数的意义即可得； （3）找出表格中增长率为负数和0的即可得． 【详解】（1）解：因为，，是正数， 所以3月、5月、6月是增长的． （2）解：今年1月和4月相比去年同月增长率是负数表示营业额下降． （3）解：因为和是负数，0表示不变， 所以营业额没有增长的是1月、2月、4月． 3．今年杜大伯在自家种植的地里采摘了筐白萝卜，每筐的质量如下表（其中以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，单位：）．    (1)质量最大的一筐比质量最小的一筐多多少千克？ (2)若每千克白萝卜按元出售，全部卖出一共能卖多少钱？ 【答案】(1)千克； (2)元． 【分析】（）分别求出质量最大和最小的一筐的质量，再相减即可； （）利用表格中的数据先计算超出或不足的质量，再加上筐萝卜的标准质量即可求出总质量，再乘以萝卜的单价解答即可； 本题考查了正数与负数，有理数的运算在实际中的应用，理解题意，正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：最重的一筐超过千克，最轻的差千克， ∴（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐多重千克； （2）解：（千克） 则筐白萝卜总质量为（千克） ∴全部卖出一共能卖（元）； 答：这筐白萝卜可卖元． 4．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在中的什么位置？ (3)第2024个数是正数还是负数？排在对应于中的什么位置？ 【答案】(1)在A处的数是正数 (2)负数排在B和D的位置 (3)第2024个数是正数，排在对应于、A的位置 【解析】（1）根据A是向上箭头上方对应的数解答，是正数 （2）观察发现向下箭头方向上边的数是负数，下方是正数，向上箭头的方向上下方是负数，上方是正数，所以B、D位置是负数。 （3）20244=506 所以第2024个数是在A的位置是正数。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点4大典例） 第一讲 正数和负数 知识点梳理 知识点1 正数和负数的概念 大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数 要点诠释： 判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，如-（）不是负数，因为它是在负数前面加了“-”号得到的数，不符合负数的定义. 知识点2 具有相反意义的量 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 要点诠释： 1. 具有相反意义的量的正负性是相对的，没有硬性规定，是可以任意选择的. 2. 具有相反意义的量中的两个量表示的意义相反，且必须是同类量。 3. 具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不是具有相反意义的量 4. 用正数、负数表示具有相反意义的量时，选择的基准不同，表示的结果也不同. 知识点3 对数“0”的再认识 0既不是正数，也不是负数。 ①. 表示没有. ②表示数时起到占位的作用 ③. 表示某种量的基准 ④. 表示某些数量的分界 5. 表示起点. 典例精讲 题型1 正负数的意义 例1．在第十五届中国国际航空航天博览会展会期间，无人机记录了精彩瞬间．若选定某一高度为标准位置，无人机从标准位置上升记为，则从标准位置下降记为（   ） A． B． C． D． 名师支招 1.判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数. 2.用正数、负数表示具有相反意义的量时，选择的基准不同，表示的结果也不同. 变式训练1 1．下列数是负数的是（   ） A．2025 B．-2025 C．0 D． 2．下列各数中负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图是某用户手机钱包账单，则表示（    ） A．发出10.00元红包 B．收入10.00元 C．余额10.00元 D．抢到10.00元红包 4．下列各数，，，，，，中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型2 相反意义的量 例2．刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果气温为“零上”记作，那么气温为“零下”应表示为 ． 名师支招 1.对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 2.具有相反意义的量的正负性是相对的，没有硬性规定，是可以任意选择的. 3.具有相反意义的量中的两个量表示的意义相反，且必须是同类量。 4.具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不是具有相反意义的量 变式训练2 1．通达桥位于汾河之上，主桥面中心标志高于基准面米，主墩桩基础低于基准面米．若高于基准面米记作米，则低于基准面米记作（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 2．北京时间3月15日12时11分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将四维高景三号02星发射升空，卫星发射任务获得成功极大增强了中国商业遥感领域在全球范围内的核心竞争力．若火箭发射点火前记作，则火箭发射点火后应记作（   ） A． B． C． D． 3．北京时间2025年1月21日1时12分，经过约小时的出舱活动，“神舟十九号”乘组航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽密切协同，在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置安装、舱外设备设施巡检等任务．出舱航天员蔡旭哲、宋令东已安全返回问天实验舱，出舱活动取得圆满成功.如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为（ ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 4．一直以来，我国科技工作者努力攻关，在高温超导研究领域处于世界领先地位，早已获得绝对温度为零下的高温超导材料．我们把高于的温度记为正数，温度零下可记为 ． 题型3 0的再认识 例3．下列关于“0”的说法正确的有 个． ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． 名师支招 0既不是正数，也不是负数。 ①. 表示没有.②表示数时起到占位的作用③. 表示某种量的基准 ④. 表示某些数量的分界⑤. 表示起点. 变式训练3 1．下列语句：①不带“”号的数都是正数；②带“”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④表示没有温度．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列说法①加正号的数是正数，加负号的数是负数；②任意一个正数，前面加上“－”，就是一个负数；③0是最小的正数；④大于零的数是正数；⑤字母a既是正数，又是负数．正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．对于“”的说法：①是一个确定的温度；②为正数；③不是负数；④为自然数．正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列关于“0”的说法正确的是（    ） ①0既是整数，也是正数； ②0不是正数，也不是负数； ③0不是整数，是正数； ④0既是整数，也是自然数． A．①④ B．②④ C．①② D．①③ 题型4 正负数的实际应用 例4．学校附近某奶茶店计划一周卖出3500杯奶茶，每天卖出500杯作为标准，由于各种原因实际每天销售量与计划销售量相比有出入，如下表是某周的销售量情况（超产为正减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共卖出_______杯； (2)销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出______杯； (3)该奶茶店实行计件工资制，每天卖出一杯奶茶得1元，每天超额卖出一杯奖0.5元，少卖出一杯扣2元，那么该奶茶店工人这一周的工资总额是多少？ 名师支招 正负数的实际运用解题策略可归纳为以下两点： 1.明确正负数表示相反意义的量 （1）基准数据选择 需先确定基准量（如平均成绩、初始状态等），将超过基准的量记为正，低于基准的量记为负 （2）单位与符号完整性 在表示相反意义的量时，需同时保留单位名称，避免仅用数字导致量纲丢失。 2、关键方法：通过运算体现变化或方向 （1）数量变化应用  用正负数表示数据增减， （2）方向距离表示  通过正负数表示位移方向 变式训练4 1．世界上关于负数的最早应用出现在中国古代的《九章算术》中．《九章算术》中虽然使用了“正负术”一词，但并未给出负数的正式定义．刘徽在为《九章算术》作注时，才对负数的定义进行了明确的阐述．《九章算术》中有所记载，若在粮谷计算中，益实三斗（增加3斗）记为斗，那么损实十斗（减少10斗）记为（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 2．初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在以下或者最高气温在以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？ 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 最高气温（） 最低气温（） 3．（1）一个月内，李明体重增加，张华体重减少，刘伟体重无变化，写出他们这个月的体重增长值． （2）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率如下：A品牌减少，B品牌增长，C品牌增长，D品牌减少，写出今年这些品牌的手机销售量的增长率． 4．生活情境·营业额某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长 0 0.2 0.3 0.4 (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年1月和4月比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪个月？ 易错易混诠释 正数和负数的易错易混问题主要涉及定义、符号使用及实际应用三个方面，具体要点如下： 一、定义混淆 1.0的性质 0既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界点。部分同学可能将0视为“没有”或最小数，需注意其基准意义。 2.正负数范围 正数包括大于0的整数、分数、小数（如+3、1.8%、π）；负数需在正数前加“-”号（如-2、-3.6%），省略“+”号仍表示正数，但“-”号不可省略。 针对训练1 1．下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 2．下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 二、符号使用错误 1.省略规则 正数前的“+”号可省略（如+3即3），但负数前的“-”号必须保留（如-3不可写成3）。 2.符号位置 部分同学可能将“-”号写在数字前面或后面，需严格遵循“负数前必须加‘-’”的规则。 针对训练2 1．某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示（　　） A．水面低于标准水位 B．水面低于标准水位 C．水面高于标准水位 D．水面水深为 2．在有理数中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三、实际应用混淆 1.相反意义的量  需同时满足：意义相反（如收入与支出）、同类数量（如米与米）、成对出现（如胜局与负局）。例如，“气温升高5℃”与“气温-5℃”是相反意义的量，但“向东走10km”与“向西走8km”不构成相反意义的量。 2.基准选择 正负数需先规定基准方向或意义（如收入为正、零上温度为正），否则无法区分相反量。例如，未规定“水位上升”为正时，“水位下降”不能直接用负数表示。 针对训练3 1．下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据表中给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市 代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上） 城市 时差/h 纽约 悉尼 伦敦 罗马 2．一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 创新拓展能力提升 1．下面各组量是不是具有相反意义的量？如果是，请你用正数和负数表示这些量. （1）节约20度电与浪费10度电； （2）向南前进100米和向东后退20米； （3）卖出20箱饮料与收入500元； （4）盈利18万元和亏损15万元. 2．某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示。 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长/ 0 请根据表格信息回答下列问题： (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年1月和4月相比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？ 3．今年杜大伯在自家种植的地里采摘了筐白萝卜，每筐的质量如下表（其中以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，单位：）．    (1)质量最大的一筐比质量最小的一筐多多少千克？ (2)若每千克白萝卜按元出售，全部卖出一共能卖多少钱？ 4．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在中的什么位置？ (3)第2024个数是正数还是负数？排在对应于中的什么位置？ 学科网（北京）股份有限公司 $$