2.6应用一元二次方程 （1 ）导学案 2024-2025学年 北师大版九年级数学上册

2.6应用一元二次方程 （1 ）导学案 【学习目标】会分析问题中的数量关系，建立方程解决问题；了解一元二次方程在几何图形中的应用； 【学习重难点】结合几何图形中常见的面积问题和长度问题得到相等关系，并正确列出方程. 【导学过程】 一.知识回顾： 1．列方程解应用题的一般步骤：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ . 2．如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8米， 梯子的顶端下滑1米后，梯子的底端滑动多少米？设梯子底端滑动米，则可列方程为： ． 3．如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8米， 梯子的顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等．设这个距离为米，则可列方程为： ． 二.探究新知： 1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=30cm，BC=25cm．动点P从点C出发，沿CA方向运动，终点是A，速度是；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，终点是C，速度是，设运动时间为t. （1）几秒后P，Q两点相距？ 相等关系是：____________可列方程：_____________ （2） 几秒后∆PAQ的面积为231cm2？ 相等关系是：______________________.可列方程：_____________________. 三.典例与练习： 例1如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头．小岛F位于BC中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E点，相遇时补给船航行了多少海里？ 练习：1．如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．何时P、Q两点间的距离是10cm？ 2．如图，一根木棍OE垂直平分柱子AB，AB=200cm，OE=260cm，一只老鼠C由柱子底端A点以2cm/s的速度向顶端B点爬行，同时，另一只老鼠D由O点以3cm/s的速度沿木棍OE爬行．问：是否存在这样的时刻，使两只老鼠与O点组成的三角形面积是1800cm2？ 例2.为了创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为____________． 练习：3.已知矩形铁片长比宽长3cm,从中截去2cm宽的一块矩形，余下的矩形的面积是6cm2，则原来的矩形铁片的面积是 ． 练习：4.如图，在RT△ABC中，∠C=90︒，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动（到点C为止），它们的速度都是1cm/s．经过几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？ 四.课堂小结： 1.用一元二次方程解决几何图形面积问题，（图形中的面积，围墙中面积，修筑小路中的面积）； 2.利用勾股定理建立方程是常见的方法； 五.分层过关： 1.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了36次手．设到会的人数为x人，则根据题意列方程为（ ）A. B. C. D. 2.元旦期间，一个小组有若干人，这个小组的每两个人互送贺卡一张，已知全组共送贺卡210张，则这个小组的每个人送了（ ）张贺卡．A 13 B 14 C 15 D 16 3.一个直角三角形的两条直角边的和是17cm，面积是30cm2，则斜边长度为_______cm． 4.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，则这个三角形最短的一边的长为______． 5.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程是（ ）A. B. C. D. 6.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离等于（　）A.0.5cm B.1cm C.1.5cm D.2cm 7.如图，甲、乙两车分别从正方形广场ABCD的顶点B，C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min，正方形广场的周长为40KM，多少分钟后两车相距？ 8.如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P,Q分别从A,B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．（1）填空：BQ=__________，PB=_________；（用含t的代数式表示）（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 思考题：某军舰以20海里/时的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30海里/时的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图，当该军舰行至处时，电子侦察船正位于处正南方向的处，且长为90海里，如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由． 2.今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从2024年年初至11月10日，猪排骨价格不断走高，11月10日比年初价格上涨了75%．11月10日某市民于A超市购买5千克猪排骨花费350元． （1）A超市11月排骨的进货价为年初排骨售价的倍，按11月10日价格出售，平均一天能销售出100千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降1元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售排骨每天有1000元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元？ （2）11月11日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在11月10日售价的基础上下调a%出售，A超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比11月10日增加了a%，且储备排骨的销量占总销量的，两种排骨销售的总金额比11月10日提高了a%，求a的值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6应用一元二次方程 （1 ）导学案 【学习目标】会分析问题中的数量关系，建立方程解决问题；了解一元二次方程在几何图形中的应用； 【学习重难点】结合几何图形中常见的面积问题和长度问题得到相等关系，并正确列出方程. 【导学过程】 一.知识回顾： 1．列方程解应用题的一般步骤：①审②找③设④列⑤解⑥验⑦答. 2．如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8米， 梯子的顶端下滑1米后，梯子的底端滑动多少米？设梯子底端滑动米，则可列方程为： 49+（6+x)2=100． 3．如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8米， 梯子的顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等．设这个距离为米，则可列方程为： ( 图 1 )(8-y)2+(6+y)2=100． 二.探究新知： 1．如图2，在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=30cm，BC=25cm．动点P从点C出发，沿CA方向运动，终点是A，速度是；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，终点是C，速度是，设运动时间为t. （1）几秒后P，Q两点相距？ 相等关系是：QC2+PC2=252可列方程：(25-t)2+(2t)2=252 （2） 几秒后∆PAQ的面积为231cm2？ 相等关系是：PA×QC=2×231.可列方程：(30-2t)(25-t)=2×231. ( 图 2 )三.典例与练习： 例1如图3，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头．小岛F位于BC中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E点，相遇时补给船航行了多少海里？ ( 图 3 )解：连接DF，设相遇时补给船行了x海里，可列方程：x2=1002+(300-2x)2 整理得：3x2-1200x+100000=0,解得：x1=200- ≈118.4, x2=200+ （不合题意，舍去） 练习：1．如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．何时P、Q两点间的距离是10cm？ 解：作QH⊥AB于点H，设t分钟时PQ=10cm,由题得方程：(16-3t-2t)2+36=100 ( H )解得：t=1.6或t=4.8答：当运动时间为1.6或4.8s时P、Q两点间的距离是10cm. ( 图 4 )2．如图5，一根木棍OE垂直平分柱子AB，AB=200cm，OE=260cm，一只老鼠C由柱子底端A点以2cm/s的速度向顶端B点爬行，同时，另一只老鼠D由O点以3cm/s的速度沿木棍OE爬行．问：是否存在这样的时刻，使两只老鼠与O点组成的三角形面积是1800cm2？ ( 图 5 )解：①当老鼠C在OA上运动时，设xs时两只老鼠与O点组成的三角形面积是1800cm2 可列方程：3x(200-2x)=2×1800,解得：x1=20,x2=30 ②当老鼠C在OB上运动时，设ys时两只老鼠与O点组成的三角形面积是1800cm2可列方程：3y(2y-100)=2×1800解得：y1=60,y2=-10(舍去).综上知：在20s,30s,60s时可得三角形面积为1800cm2. 例2.(2018·山东日照)为了创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为x(x+40)=1200． 练习：3.已知矩形铁片长比宽长3cm,从中截去2cm宽的一块矩形，余下的矩形的面积是6cm2，则原来的矩形铁片的面积是 10cm2或18cm2． 4.如图6，在Rt△ABC中，∠C=90︒，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动（到点C为止），它们的速度都是1cm/s．经过几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？ 解：设经过x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，可列方程：（6-x）(8-x)=24,解得：x1=2,x2=12（舍去）答：经过2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半 四.课堂小结： ( 图 6 )1.用一元二次方程解决几何图形面积问题，（图形中的面积，围墙中面积，修筑小路中的面积）； 2.利用勾股定理建立方程是常见的方法； 五.分层过关： 1.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了36次手．设到会的人数为x人，则根据题意列方程为（D）A. B. C. D. 2.元旦期间，一个小组有若干人，这个小组的每两个人互送贺卡一张，已知全组共送贺卡210张，则这个小组的每个人送了（B）张贺卡．A 13 B 14 C 15 D 16 3.一个直角三角形的两条直角边的和是17cm，面积是30cm2，则斜边长度为_13_cm． 4.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，则这个三角形最短的一边的长为_6__． 5.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程是（C）A. B. C. D. ( 图 7 )6.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离等于（B）A.0.5cm B.1cm C.1.5cm D.2cm 7.如图8，甲、乙两车分别从正方形广场ABCD的顶点B，C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min，正方形广场的周长为40KM，多少分钟后两车相距？ 解：设x分钟后两车相距，可列方程：x2+(10-2x)2=40 解得：x1=2，x2=6,当x=2时，10-2x=10-4=6<10,符合题意， ( 图 8 )当x=6时，10-2x=10-12=-2<0不合题意舍去. 8.如图9，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P,Q分别从A,B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．（1）填空：BQ=2tcm，PB=(5-t)cm；（用含t的代数式表示）（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 解：（2）由题意，得．解得t1=0（不合题意，舍去），t2=2． ( 图 9 )∴当t=2秒时，PQ的长度等于5cm． （3）存在，t=1秒时，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．矩形ABCD的面积是30(cm2)，若五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBG的面积为4cm2，即(5-t)t=4． 解得t1=4（不合题意，舍去），t2=1．即当t=1秒时，五边形APQCD的面积等于26cm2． 思考题：某军舰以20海里/时的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30海里/时的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB长为90海里，如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由． 解：设侦察船最早由B出发经过x小时能侦察到军舰 可列方程：（90-30x)2+(20x)2=502，解得：x1=2,x2= 答：侦察船最早由B出发经过2小时能侦察到军舰. ( 图 10 )2.2024以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从2024年初至11月10日，猪排骨价格不断走高，11月10日比年初价格上涨了75%．今年11月10日某市民于A超市购买5千克猪排骨花费350元． （1）A超市11月排骨的进货价为年初排骨售价的倍，按11月10日价格出售，平均一天能销售出100千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降1元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售排骨每天有1000元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元？ （2）11月11日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在11月10日售价的基础上下调a%出售，A超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比11月10日增加了a%，且储备排骨的销量占总销量的，两种排骨销售的总金额比11月10日提高了a%，求a的值． 解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，11月的进货价为：元/千克设每千克降价x元，则每千克的利润为70-60-x=10-x元，日销量为 100+20x千克则，解得，因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元. （2）根据题意可得 解得,(舍去)所以a=35. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$