21.2二次函数的图像与性质（2）课时练2024-2025学年沪科版九年级数学上册

21.2二次函数的图像与性质（2） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.已知二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（﹣2，8）和（﹣1，5），这个二次函数的表达式为（　　） A．y＝﹣x2+6x B．y＝x2+6x C．y＝﹣x2﹣6x D．y＝x2﹣6x 2.若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B．y（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y（x﹣2）2﹣1 3.抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与yx2的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（　　） A．y（x+3）2+5 B．y（x﹣3）2﹣5 C．y（x+3）2+5 D．y（x﹣3）2﹣5 4.如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+5x+4﹣a2的图象，那么a的值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D．±2 5.抛物线y＝ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x＝1为对称轴，则它的解析式为（　　） A．y＝﹣x2﹣2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2﹣2x+3 D．y＝﹣x2+2x﹣3 6.若抛物线y＝ax2+bx+c与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点重合，且与y轴的交点的坐标为（0，1），则抛物线y＝ax2+bx+c的表达式是（　　） A．y＝4x2﹣8x﹣7 B．y＝4x2﹣8x+1 C．y＝2x2﹣4x+1 D．y＝﹣2x2﹣4x+1 7.已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与因变量y的几组对应值如表： x … ﹣2 0 1 3 4 … y … 8 0 ﹣1 3 8 … 则下列说法正确的是（　　） A．顶点坐标为（0，0） B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．图象的对称轴是直线x＝1 D．图象经过第一、二、三象限 8.已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（　　） A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝﹣2（x+1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）2 9.抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，从下表可知： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 下列说法：①抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；②函数的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线；④在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10.如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　） A．（0，2） B． C．（0，2）或 D．或（﹣2，0） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.抛物线y＝（m﹣2）x2﹣m2+4经过原点，则m＝　 　 ． 12.已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝﹣3时，函数取得最值4，当x＝1时，y＝﹣8，则函数解析式为 　 ． 13.如图，已知平面直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中任意三个点，当a的值最大时，二次函数的解析式为 　 　 ． 14.二次函数y＝ax2﹣2ax+b，当﹣2≤x≤3时，﹣2≤y≤6，则的值为 　 　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，抛物线分别经过点A（﹣2，0），B（3，0），C（0，6）．求抛物线的函数解析式． 16.已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）中的x，y满足如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣5 0 3 4 3 m … （1）直接写出m的值； （2）求抛物线的解析式； （3）当y＜3时，直接写出x的取值范围． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.抛物线y＝2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后抛物线的表达式． 18.已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）． （1）求此抛物线的解析式； （2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）写出一种将它平移成抛物线y＝﹣2x2的方法． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.“直播带货”已经成为商家的一种新型促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如图所示： （1）设小亮每天的销售利润（快递费用等不考虑）为w元，求w与x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）； （2）若小亮每天想获得的销售利润w为910元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，且与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线AC的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）若P为直线AC上方的抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点M，交直线AC于点Q，求四边形AOCP面积的最大值及此时P点的坐标． 六、（本题满分12分） 21.已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）B（5，0）C（0，5）三点． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点C的直线y＝kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值； （3）P是x轴下方的抛物线上的点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 七、（本题满分12分） 22.二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足下表． x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣3 m ﹣3 0 … （1）观察表中信息，发现c＝　 　 ，抛物线的对称轴为 　 　 ； （2）求该抛物线的解析式，并求y＝5时x的值； （3）请直接写出当0＜y＜5时，自变量x的取值范围． 八、（本题满分14分） 23.定义：若抛物线L：y＝ax2+bx+c的图象恒过定点M（x0，y0），则称M（x0，y0）为抛物线L的“不动点”．已知：若抛物线L：y＝ax2﹣2ax+x+1（a＜0）与y轴交于点B，顶点为C． （1）求抛物线L的不动点坐标． （2）若抛物线L的对称轴是直线x＝2，对称轴与x轴交于点A． ①求抛物线L的解析式． ②如图所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2二次函数的图像与性质（2） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.已知二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（﹣2，8）和（﹣1，5），这个二次函数的表达式为（　　） A．y＝﹣x2+6x B．y＝x2+6x C．y＝﹣x2﹣6x D．y＝x2﹣6x 【解答】解：将（﹣2，8），（﹣1，5）代入y＝ax2+bx得：， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣6x． 故选：C． 2.若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B．y（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y（x﹣2）2﹣1 【解答】解：设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k ∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1）， ∴二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1， 把（0，3）代入得a＝1， 所以y＝（x﹣2）2﹣1． 故选：C． 3.抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与yx2的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（　　） A．y（x+3）2+5 B．y（x﹣3）2﹣5 C．y（x+3）2+5 D．y（x﹣3）2﹣5 【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2﹣5， 因为所求抛物线与yx2的图象开口大小相同， 而y的最大值为﹣5， 所以a， 所以这条抛物线解析式为y（x﹣3）2﹣5． 故选：B． 4.如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+5x+4﹣a2的图象，那么a的值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D．±2 【解答】解：根据图示知，二次函数y＝ax2+5x+4﹣a2的图象经过原点（0，0）， ∴0＝4﹣a2， 解得，a＝±2； 又∵该函数图象的开口方向向下， ∴a＜0， ∴a＝﹣2． 故选：B． 5.抛物线y＝ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x＝1为对称轴，则它的解析式为（　　） A．y＝﹣x2﹣2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2﹣2x+3 D．y＝﹣x2+2x﹣3 【解答】解：把（3，0）与（2，﹣3）代入抛物线解析式得：， 由直线x＝1为对称轴，得到1，即b＝﹣2a， 代入方程组得：， 解得：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3， 则抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 故选：B． 6.若抛物线y＝ax2+bx+c与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点重合，且与y轴的交点的坐标为（0，1），则抛物线y＝ax2+bx+c的表达式是（　　） A．y＝4x2﹣8x﹣7 B．y＝4x2﹣8x+1 C．y＝2x2﹣4x+1 D．y＝﹣2x2﹣4x+1 【解答】解：∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3， ∴抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点重合， ∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3）， ∴设此抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣3， ∵与y轴的交点的坐标为（0，1）， ∴1＝a﹣3，解得a＝4， ∴此抛物线为y＝4（x﹣1）2﹣3＝4x2﹣8x+1， 故选：B． 7.已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与因变量y的几组对应值如表： x … ﹣2 0 1 3 4 … y … 8 0 ﹣1 3 8 … 则下列说法正确的是（　　） A．顶点坐标为（0，0） B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．图象的对称轴是直线x＝1 D．图象经过第一、二、三象限 【解答】解：由所给表格可知， 当x＝﹣2和x＝4时，函数值y＝8， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1， 所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）． 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1， 将（0，0）代入函数解析式得， a﹣1＝0， 解得a＝1， 所以抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1． 因为抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）， 所以A选项不符合题意． 因为当x＞1时，y随x的增大而增大， 所以B选项不符合题意． 因为抛物线的对称轴为直线x＝1， 所以C选项符合题意． 因为抛物线经过第一、二、四象限， 所以D选项不符合题意． 故选：C． 8.已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（　　） A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝﹣2（x+1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）2 【解答】解：∵某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴是直线x＝1，且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， 所以抛物线的开口向下， 选项A：对称轴是直线x＝﹣1，不符合； 选项B：对称轴是直线x＝1，但是抛物线的开口向上，不符合； 选项C：对称轴是直线x＝﹣，不符合； 选项D：对称轴是直线x＝1，抛物线的开口向下，符合， 故选：D． 9.抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，从下表可知： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 下列说法：①抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；②函数的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线；④在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：由题意可得，函数图象过（0，6）和（1，6）得出对称轴为直线，故③正确； 由对称轴为直线和经过（﹣2，0）得抛物线与x轴另一个交点为（3，0），故①正确； 将（﹣1，4），（0，6），（1，6）代入解析式y＝ax2+bx+c得： ， ∴， ∴抛物线解析式为： ， ∴函数最大值为，故②错误； 因为a＜0，所以在对称轴右侧，y随x的增大而减小，故④错误； 故选：B． 10.如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　） A．（0，2） B． C．（0，2）或 D．或（﹣2，0） 【解答】解：抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，且经过点N（﹣1，1）， 则有， ∴， ∴y＝﹣x2﹣6x﹣4， ∵y＝﹣x2﹣6x﹣4＝﹣（x+3）2+5， ∴M的坐标为（﹣3，5）， ∵△PMN的长度＝PN+PM+MN，且MN是定值，所以PN+PM只需取最小值，即可使得△PMN的周长最小， 如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，与y轴的交点即为所求的点P， 则M′（3，5），PM＝PM′， 设直线M′N的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0）， 将点M′（3，5）和点N（﹣1，1）代入y＝k1x+b1（k1≠0）， 可得， ∴， 故该直线的解析式为y＝x+2， 当x＝0时，y＝2，即P（0，2）， ∵PM+PN+MN＝PM′+PN+MN＝M′N+MN， 且， ∴此时△PMN的周长； 同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，与x轴的交点P即为所求的点， 则M′（﹣3，﹣5）， 设直线M′N的解析式为y＝k2x+b2（k2≠0）， 由题意可得： ， ∴， 故y＝3x+4， 当y＝0时，，即， ∵PM+PN+MN＝PM′+PN+MN＝M′N+MN， 且， ∴此时△PMN的周长； ∵， ∴， ∴点P在y轴上时，△PMN的周长最小，此时点P的坐标是（0，2）． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.抛物线y＝（m﹣2）x2﹣m2+4经过原点，则m＝　 　 ． 【解答】解：∵抛物线经过原点， ∴﹣m2+4＝0，m﹣2≠0 解得m＝﹣2， 故答案为：﹣2 12.已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝﹣3时，函数取得最值4，当x＝1时，y＝﹣8，则函数解析式为 　 ． 【解答】解：∵当x＝﹣3时，函数取得最值4，即抛物线的顶点坐标为（﹣3，4）， 设y＝a（x+3）2+4， ∵当x＝1时，y＝﹣8， 把（1，﹣8）代入y＝a（x+3）2+4， 则﹣8＝（1+3）2a+4， ∴， ∴， 故答案为：． 13.如图，已知平面直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中任意三个点，当a的值最大时，二次函数的解析式为 　 　 ． 【解答】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0， A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0； B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0； A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0； ∵A、B、D组成的二次函数的图象的开口小于A、B、C组成的二次函数的开口大小． ∴A、B、D组成的二次函数的图象中，a的值最大， 当抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、D三点时，则， 解得， 故a的值最大时二次函数的解析式为yx2x+2， 故答案为：yx2x+2． 14.二次函数y＝ax2﹣2ax+b，当﹣2≤x≤3时，﹣2≤y≤6，则的值为 　 　 ． 【解答】解：由y＝ax2﹣2ax+b可知，抛物线的对称轴为直线， 又∵﹣2≤x≤3时，﹣2≤y≤6， 根据题意可知，①a＞0，如图， x＝1时有最小值﹣2，即a﹣2a+b＝﹣2， 当x＝﹣2时有最大值6，即4a+4a+b＝6， 解得：，， ∴， ②a＜0时，如图， x＝1时有最大值6，即a﹣2a+b＝6， 当x＝﹣2时有最小值﹣2，即4a+4a+b＝﹣2， 解得：，， ∴， 故答案为：或﹣2． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，抛物线分别经过点A（﹣2，0），B（3，0），C（0，6）．求抛物线的函数解析式． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣3）， 把C（0，6）代入得6＝a×（0+2）×（0﹣3）， 解得a＝﹣1， 所以抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣3）， 即y＝﹣x2+x+6． 16.已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）中的x，y满足如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣5 0 3 4 3 m … （1）直接写出m的值； （2）求抛物线的解析式； （3）当y＜3时，直接写出x的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点（0，3）和（2，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴x＝﹣1和x＝3所对应的函数值相等， ∴m＝0； （2）由题意可知抛物线的顶点为（1，4）， 设抛物线y＝a（x﹣1）2+4， 代入（0，3）得3＝a+4， 解得a＝﹣1， 所以抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4； （3）∵抛物线开口向下，经过点（0，3）和（2，3）， ∴当y＜3时，x的取值范围是x＜0或x＞2． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.抛物线y＝2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后抛物线的表达式． 【解答】解：设平移后的抛物线解析式为y＝2x2+bx+c， ∵抛物线y＝2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3）， ∴， 解得， 所以，平移后抛物线的表达式为y＝2x2﹣4x+3． 18.已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）． （1）求此抛物线的解析式； （2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）写出一种将它平移成抛物线y＝﹣2x2的方法． 【解答】解：（1）把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c， 得：， 解得：， 所以此抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+4； （2）∵y＝﹣2x2﹣4x+4 ＝﹣2（x2+2x）+4 ＝﹣2[（x+1）2﹣1]+4 ＝﹣2（x+1）2+6， ∴此抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）； （3）∵y＝﹣2（x+1）2+6，顶点坐标为（﹣1，6），抛物线y＝﹣2x2顶点坐标为（0，0）； 由点（﹣1，6）得到点（0，0），应该向右平移1个单位，再向下平移6个单位； 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.“直播带货”已经成为商家的一种新型促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如图所示： （1）设小亮每天的销售利润（快递费用等不考虑）为w元，求w与x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）； （2）若小亮每天想获得的销售利润w为910元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 【解答】解：（1）由题意，设每天的销售量y与x的一次函数关系为y＝kx+b， ∴， ∴． ∴销售量与单价的关系为y＝﹣10x+300． ∴W＝（x﹣10）（﹣10x+300）＝﹣10x2+400x﹣3000． （2）由题意，令w＝910， ∴﹣10x2+400x﹣3000＝910． ∴x1＝17，x2＝23． 又尽可能地减少库存， ﹣10×17+300＞﹣23×10+300， ∴x＝17． 答：应将销售单价定为17元． 20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，且与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线AC的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）若P为直线AC上方的抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点M，交直线AC于点Q，求四边形AOCP面积的最大值及此时P点的坐标． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2，当y＝0时，， 解得x＝4， ∴C（0，2），A（4，0）， ∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴B（﹣2，0）， 设y＝a（x+2）（x﹣4），把C（0，2）代入，得：2＝﹣8a， ∴， ∴； （2）由题意可得：OA＝4，OC＝2， ∴， 设点，则：， ∴， ∴， ∴四边形AOCP的面积， ∴当m＝2时，四边形AOCP的面积最大为6，此时：P（2，2）． 六、（本题满分12分） 21.已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）B（5，0）C（0，5）三点． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点C的直线y＝kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值； （3）P是x轴下方的抛物线上的点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5）， 把C（0，5）代入得a×（0﹣1）×（0﹣5）＝5， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣5）， 即y＝x2﹣6x+5； （2）把E（4，m）代入y＝x2﹣6x+5得m＝16﹣24+5＝﹣3， ∴E（4，﹣3）， 把C（0，5），E（4，﹣3）分别代入y＝kx+b得， 解得， ∴直线CE的解析式为y＝﹣2x+5， ∵直线y＝﹣2x+5与x轴的交点坐标为（，0）， ∴△CBE的面积S（5）×（5+3）＝10； （3）设P（t，t2﹣6t+5）（1＜t＜5）， ∵△ABP的面积为6， ∴（5﹣1）×[﹣（t2﹣6t+5）]＝6， 解得t1＝2，t2＝4， ∴点P的坐标为（2，﹣3）或（4，﹣3）． 七、（本题满分12分） 22.二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足下表． x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣3 m ﹣3 0 … （1）观察表中信息，发现c＝　 　 ，抛物线的对称轴为 　 　 ； （2）求该抛物线的解析式，并求y＝5时x的值； （3）请直接写出当0＜y＜5时，自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝c， 由表可知，当x＝0时，y＝﹣3， ∴c＝﹣3， 由表可知，当x＝0，y＝﹣3，当x＝2时，y＝﹣3， ∴抛物线的对称轴为， 故答案为：﹣3，直线x＝1； （2）由表可知，抛物线经过（﹣1，0），（3，0），（0，﹣3）， 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把（0，﹣3）代入得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得：a＝1， ∴该抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3； 把y＝5代入得：5＝x2﹣2x﹣3， 解得：x1＝4，x2＝﹣2， 即y＝5时，x＝4或x＝﹣2； （3）当y＝5时，5＝x2﹣2x﹣3， 解得：x1＝﹣2，x2＝4， 由表可知：当y＝0时，x＝﹣1或3， 画出该抛物线的图象如图所示： 由图可知，当﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4时，0＜y＜5． 八、（本题满分14分） 23.定义：若抛物线L：y＝ax2+bx+c的图象恒过定点M（x0，y0），则称M（x0，y0）为抛物线L的“不动点”．已知：若抛物线L：y＝ax2﹣2ax+x+1（a＜0）与y轴交于点B，顶点为C． （1）求抛物线L的不动点坐标． （2）若抛物线L的对称轴是直线x＝2，对称轴与x轴交于点A． ①求抛物线L的解析式． ②如图所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值． 【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+x+1＝ax（x﹣2）+x+1， ∴当x＝0时，y＝1， 当x＝2时，y＝2a×（2﹣2）+2+1＝3， ∴抛物线L：y＝ax2﹣2ax+x+1（a＜0）恒过定点（0，1）和（2，3）， 故抛物线L：y＝ax2﹣2ax+x+1（a＜0）的不动点坐标为（0，1）和（2，3）； （2）①∵抛物线L：y＝ax2﹣2ax+x+1， ∴抛物线L的对称轴是直线x2， 解得：a， ∴yx2+2x+1． ②如图，抛物线的对称轴直线x＝2交x轴于点A，过点P作PE∥y轴，交直线AB于E， 则A（2，0）， 当x＝0时，y＝1， ∴B（0，1）， 设直线AB的解析式为y＝kx+n，则， 解得：， ∴直线AB的解析式为yx+1， 设P（t，t2+2t+1），则E（t，t+1）， 令yx2+2x+1＝0， 解得：x＝2±， ∴D（2，0）， ∴P是第一象限抛物线上的一个动点， ∴0＜t＜2， ∵PEt2+2t+1﹣（t+1）t2t， ∴S△ABP＝S△BPE﹣S△APE t•（t2t）（t﹣2）•（t2t） t2t （t）2， ∴当t时，S△ABP最大，最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$