第11讲 图形的位似（1大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第11讲 图形的位似（1大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 位似图形的识别 典型例题二 判断位似中心 典型例题三 位似图形相关概念辨析 典型例题四 求两个位似图形的相似比 典型例题五 求位似图形的对应坐标 典型例题六 在坐标系中画位似中心 典型例题七 在坐标系中画位似图形 典型例题八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 典型例题九 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 典型例题十 坐标与图形综合 知识点01 图形的位似变换 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； b．两个位似图形的位似中心只有一个； c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 即时训练】 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为．则四边形的周长为 ． 【典型例题一 位似图形的识别】 【例1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B．C．D． 【例2】（24-25九年级上·河南三门峡·期末）在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（2025九年级上·全国·专题练习）下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 个． 【例4】（23-24九年级上·北京·阶段练习）如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．    1．（2025九年级上·全国·专题练习）下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级·全国·单元测试）已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是 图形，其中 点是位似中心． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）判断满足下列关系的两个三角形是否是位似图形？如果是，请指出位似中心． (1)如图（1）所示，，相交于点O，且，； (2)如图（2）所示，，相交于点O，且． 4．（24-25九年级上·江西景德镇·期末）如图，在正方形网格中，每个最小正方形的边长均为1． (1)求证：； (2)和是位似三角形吗？如果是，请在图中画出位似中心的位置O；如果不是，请说明理由． 【典型例题二 判断位似中心】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在的方格纸中，A，B，C，D是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，四边形与四边形是位似图形，则位似中心是（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【例4】（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 . 1．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图所示，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ，△ABC与△A′B′C′的相似比为 ． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）用直尺画出下面位似图形的位似中心． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心，（保留作图痕迹） (2)若，位似比是，求的长． 【典型例题三 位似图形相关概念辨析】 【例1】（24-25八年级下·重庆北碚·期末）如图，与是位似图形，位似比为1：4，若，则的长为(　　)    A．4 B．6 C．8 D．10 【例2】（2024·重庆·模拟预测）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为（    ） A．点N B．点 C．点 D．点 【例3】（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为，点A，B的对应点，分别为点，．若，则的长为 ． 【例4】（2025·广东·模拟预测）如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，位似比为，且三角尺的一边长为4cm，则投影三角尺的对应边长为 cm． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）一把放缩尺如图所示，当画笔沿图形运动时，画笔随之画出放大后的位似图形．若位似比为，图形的周长是，则图形的周长是（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级·浙江嘉兴·学业考试）如图，已知的面积为24，以B为位似中心，作的位似图形，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则的面积为 ． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知与是位似图形，点A、B、、O共线，点O为位似中心． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 4．（2025九年级·北京海淀·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6，若矩形AEFG与矩形ABCD是位似图形且相似比为，求C，F之间的距离． 【典型例题四 求两个位似图形的相似比】 【例1】（2025·重庆·模拟预测）如图，四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（   ） A．10 B．15 C．20 D．45 【例3】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，与是位似图形，点O为位似中心，位似比为，若，则的长为 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，与是位似图形，原点为位似中心，位似比为，若点，的坐标分别为，，则点的坐标为 ． 1．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图所示，由位似的正，正，正，…正组成的相似图形，点为位似中心，其中第一个的边长为1，点是的中点，是的中点，是的中点…是的中点，顶点，，…，和，，…，都在边上．则正的边长是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，以点为位似中心，将放大后得到；，，那么与四边形的面积之比为 ．    3．（24-25九年级上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)求出与的位似比． 4．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，在格点上画出，使得且相似比为． (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． 【典型例题五 求位似图形的对应坐标】 【例1】（2025·河南安阳·模拟预测）如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·山东青岛·开学考试）已知在直角坐标系中的位置如图所示，如果以原点O为位似中心，位似比为2，在第四象限内将图象放大为，那么点A的对应点的坐标（　　） A． B． C． D． 【例3】（2025·四川内江·模拟预测）在平面直角坐标系中，和的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为，则其对应点的坐标是 ． 【例4】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，和是以为位似中心的位似图形，，两点的坐标分别为，．点的对应点的坐标是，则点的坐标是 ． 1．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的菱形与边长为3的菱形是位似图形，点是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则位似中心的坐标为 ． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为，． (1)若以O点为位似中心在y轴的左侧将缩放，使得相似比为，求作； (2)分别写出B，C两点的对应点，的坐标． 4．（24-25九年级上·山东聊城·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，与是以点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心点的位置并直接写出点的坐标为______，与的相似比为______． (2)的内部一点的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【典型例题六 在坐标系中画位似中心】 【例1】（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，有两个格点三角形，格点和成位似关系，则位似中心的坐标为 ． 【例4】（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为,C,D两点的坐标分别为．若线段和线段是位似图形,且位似中心在y轴上,则位似中心的坐标为 ．    1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为（-4，2）点E的坐标为（-1，1），则这两个正方形位似中心的坐标为（   ） A．(2，0) B．(1，1) C．（－2,0） D．（-1,0） 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为 3．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系中已作出的位似图形． (1)在图中标出与的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标； (2)若以点为位似中心，请在图中给定的网格内画出的位似图形，且与的位似比为2∶1． 4．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，是边长为个单位的小正方形组成的方格，在网格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为和．顶点都在格点上，将的三边分别扩大得到（顶点均在格点上），它们是以点为位似中心的位似图形．    (1)画出向下平移3个单位后的三角形； (2)画出关于原点成中心对称的三角形； (3)直接写出点P的坐标． 【典型例题七 在坐标系中画位似图形】 【例1】（2025·北京海淀·模拟预测）如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025九年级上·全国·专题练习）平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 【例4】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为 ．    1．（2025·河北保定·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，先以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），再将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，则四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位． 3．（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）已知三顶点的坐标分别为、、． (1)以为位似中心，将缩小到原来的，在如图的网格中画出缩小后的图形； (2)写出点的对应点的坐标：________． 4．（2025·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，位置如图所示． (1)画出向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的右侧画的一个位似，使它与的位似比为； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【典型例题八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 【例1】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格中，以点为位似中心，作与的相似比为的位似图形，则点的对应点可能为（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】（2025·重庆·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为（    ）    A．4 B．8 C．6 D．18 【例3】（24-25九年级上·全国·单元测试）在中，，，以点为位似中心，把放大倍后得到，则 ． 【例4】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，三个顶点的坐标分别为，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，已知点的坐标是，则点的坐标是 ． 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则 ． 3．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，由若干个小正方形组成的网格中，已知格点线段和格点（格点为网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在点O同侧画出线段的位似线段，使线段与线段的位似比为； (2)以点，为顶点画一个格点平行四边形． 4．（24-25九年级上·上海·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形． (1)分别写出和的顶点的坐标． (2)以D为位似中心，把缩小一半，得到，请画出 (只画出一个即可)，并写出M、N两点的坐标． (3)试说明和的面积的关系． 【典型例题九 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 【例1】（2025·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，把缩小后得到，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为 ． 【例4】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，六边形和六边形是以点．O为位似中心的位似图形，．若六边形的周长为，则六边形的周长为 ． 1．（2025·河南洛阳·模拟预测）如图，点是的重心，和是以点为位似中心的位似图形．则与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则边的长为 ． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为，，与位似，点为位似中心，点的对应点为． (1)与的相似比为______； (2)在图中画出； (3)点是内部一个点，的对应点的坐标为______． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． (1)和关于y轴对称，画出； (2)若与（1）中的是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限． ①画出； ②__________． 【典型例题十 坐标与图形综合】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）下列与相连所得的直线与y轴平行的点为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，边在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且位似比为，那么点的坐标为（  ） A． B．或 C． D．或 【例3】（24-25八年级下·北京昌平·期中）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国汉民族的一种古老的传统智力游戏．它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图为由七巧板拼成的“小船”，若点A的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【例4】（2025·四川成都·模拟预测）平面内，对于图形与点，给出如下定义：图形绕点逆时针旋转得到图形，若图形与图形有重叠，则称图形关于点“逆垂相关”．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点分别是，．若以为圆心，为半径的上存在点，使线段关于点“逆垂相关”，则的取值范围是 ． 1．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点A的坐标是（ ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川南充·期中）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC中点B(8，4)，若将沿AC折叠，使B落在处，则的纵坐标是 ． 3．（24-25九年级上·河南许昌·期中）定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为．若此时长方形的周长与面积的数值相等，则点叫做“等周积点”． (1)请判断点___________“等周积点”（填“是”或“不是”）； (2)若点是“等周积点”，求的值． 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为．若点按下列规律跳动：第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，． 根据上述规律，解答下列问题 (1)写出点的坐标：__________； (2)第次跳动后，点的坐标为__________； (3)求三角形的面积． 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，下面三组图形中，位似图形有（　　） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点是坐标原点，点坐标分别为，则位似中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，两点分别位于坐标轴上，且，若，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，点的坐标为，以原点为位似中心，将位似缩小后得到．若点的坐标为，的面积为1，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）画位似图形的依据是 ． 7．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，且，则与的相似比为 ． 8．（23-24九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形是位似图形，已知且点在x轴上，那么这两个正方形的位似中心的坐标是 ． 9．（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一个边长为3的正三角形沿着轴负方向滚动，点的初始位置为，当三角形的任一顶点落在轴上时，点的坐标为 ． 10．（24-25九年级上·四川·阶段练习）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是 ． 11．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 12．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，ABC与是位似图形，且相似比是1：2．若AB＝2cm，在图中画出位似中心O，并求的长． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)点关于原点对称的点的坐标为________； (2)请以原点为位似中心，在轴左侧画一个，使与位似，且相似比为，点、、的对应点分别为、、． 14．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，，以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将放大，放大后得到． (1)写出点、、的坐标（点A、B、C的对应点分别为、、）； (2)求与的周长比． 15．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形内，是的中点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿着运动，设运动时间为． (1)点坐标是_____，点坐标是_____； (2)当点在上（包含端点）运动时，求的取值范围； (3)当三角形的面积为时，直接写出此时点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 图形的位似（1大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 位似图形的识别 典型例题二 判断位似中心 典型例题三 位似图形相关概念辨析 典型例题四 求两个位似图形的相似比 典型例题五 求位似图形的对应坐标 典型例题六 在坐标系中画位似中心 典型例题七 在坐标系中画位似图形 典型例题八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 典型例题九 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 典型例题十 坐标与图形综合 知识点01 图形的位似变换 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； b．两个位似图形的位似中心只有一个； c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意； 选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意； 故选：A． 即时训练】 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为．则四边形的周长为 ． 【答案】50 【分析】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似图形的周长比等于相似比（位似比）可直接进行求解． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形与四边形的周长比为， ∵四边形的周长为， ∴四边形的周长为； 故答案为． 【典型例题一 位似图形的识别】 【例1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点． 【详解】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形， 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·河南三门峡·期末）在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】由位似图形中，对应点的连线必过位似中心（即相交于一点）可知，上述四个选项所涉及的图形中，只有第三个不是位似图形，其余三个都是，故选C. 【例3】（2025九年级上·全国·专题练习）下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点， 所以第1，2，4个中的两个图形是位似图形，第3个中的两个图形不是位似图形． 故答案为：3． 【例4】（23-24九年级上·北京·阶段练习）如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似变换，相似多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接．利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出边长，再求出可得结论． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形正方形，， 又∵正方形的面积为4， ∴正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的外接圆的半径为， 故答案为：． 1．（2025九年级上·全国·专题练习）下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据位似图形的定义逐一判定即可得答案． 【详解】①两个正方形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形， ②两个等边三角形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形， ③两个同心圆符合位似图形的定义，是位似图形， ④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形， ∴正确的有③④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查位似图形的定义，记住位似图形的性质是解题的关键①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 2．（24-25九年级·全国·单元测试）已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是 图形，其中 点是位似中心． 【答案】 位似 O 【分析】由A′B′∥AB，A′C′∥AC，可证得△A′B′C′∽△ABC，又由AA′的延长线交于BC于点D，即可得△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心． 【详解】解：∵A′B′∥AB，A′C′∥AC， ∴∠A′B′C′＝∠B，∠A′′B′＝∠C， ∴△A′B′C′∽△ABC， ∵AA′的延长线交于BC于点D， ∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心． 故答案为（1）位似，（2）O． 【点睛】本题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）判断满足下列关系的两个三角形是否是位似图形？如果是，请指出位似中心． (1)如图（1）所示，，相交于点O，且，； (2)如图（2）所示，，相交于点O，且． 【答案】(1)与不是位似图形； (2)与是位似图形，位似中心是点O． 【分析】（1）根据位似图形对应边互相平行进行判断即可得到答案； （2）根据位似图形的定义进行判断即可得到答案． 【详解】（1）解：，， 点A与点C，点D与点B为对应点， 与不一定平行， 与不是位似图形； （2）解：， ， ， ，相交于点O， 与是位似图形，位似中心是点O． 【点睛】本题考查了位似图形，解题关键是掌握位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 4．（24-25九年级上·江西景德镇·期末）如图，在正方形网格中，每个最小正方形的边长均为1． (1)求证：； (2)和是位似三角形吗？如果是，请在图中画出位似中心的位置O；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)和是位似三角形，见解析 【分析】（1）运用勾股定理求出两个三角形各边的长，再根据相似三角形的判定方法进行判断即可； （2）利用位似图形的性质进行判断即可． 【详解】（1）证明：∵每个最小正方形的边长均为1， ∴，， ，， ∵ ∴ ∴ （2）和是位似三角形，位似中心的位置O如图所示： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及位似图形的性质，注意位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比． 【典型例题二 判断位似中心】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在的方格纸中，A，B，C，D是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解． 【详解】解：如图：连接、并延长，则交点即为它们的位似中心， ， ∴它们的位似中心为， 故选：A． 【例2】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，四边形与四边形是位似图形，则位似中心是（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,判断即可. 【详解】解:由图可知,对应边AG与CE的延长线交于点B， ∴点B为位似中心 故选B. 【点睛】此题考查的是找位似图形的位似中心，掌握位似图形的定义是解决此题的关键. 【例3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 【例4】（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 . 【答案】或 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点. 【详解】∵正方形和正方形中，点和点的坐标分别为， ∴ （1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点. 设AG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 当时，，所以EC与AG的交点为 （2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点 设AE所在的直线的解析式为 解得 ∴AE所在的直线的解析式为 设CG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 联立解得 ∴AE与CG的交点为 综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或 故答案为或 【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键. 1．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】A 【分析】本题考查了位似中心“位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心”，熟练掌握位似中心的定义是解题关键．根据位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心即可得． 【详解】解：如图，作直线、， 由图可知，直线、交于点， 则位似中心可以是点， 故选：A． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图所示，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ，△ABC与△A′B′C′的相似比为 ． 【答案】 (9，0) 1∶2 【分析】首先连接B`B并延长交于C`C的延长线于点D,则点D即为位似中心,则可求得位似中心的坐标;又由△ABC与△A`B`C`的相似比即是其对应边的比,则可求得答 【详解】连接B'B并延长交 于C'C的延长线于点D,则点D即为位似中心 则位似中心的坐标是:(9,0) ∵BC与B'C'是对应边,且BC=2,B`C'=4 △ABC与△A`B`C`的相似比为 BC:B`C`=2:4=1:2 故答案为:(9,0),1:2 【点睛】此题考查位似变换，做辅助线是解题关键 3．（2024九年级上·全国·专题练习）用直尺画出下面位似图形的位似中心． 【答案】画图见解析． 【分析】本题考查了位似中心的画法，连接两个位似图形两对对应点，对应点连线的交点就是位似中心，正确理解两个位似图形对应点连线的交点就是位似中心是解题的关键． 【详解】解：如图，点、、分别为位似图形的位似中心． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心，（保留作图痕迹） (2)若，位似比是，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． （1）根据位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心，则连接，，交于点即为所求； （2）利用位似比得出对应边的比，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，位似中心即为所求． ． （2）解：∵与是位似图形，位似比是， ∴， ∴， ∵， ∴． 【典型例题三 位似图形相关概念辨析】 【例1】（24-25八年级下·重庆北碚·期末）如图，与是位似图形，位似比为1：4，若，则的长为(　　)    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据对应点到位似中心距离之比等于位似比即可解答． 【详解】∵与是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形中“对应点到位似中心距离之比等于位似比”是解答本题的关键． 【例2】（2024·重庆·模拟预测）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为（    ） A．点N B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查图形的位似、位似中心等知识，熟练掌握寻找位似中心的作图方法是解决问题的关键．根据题意，结合位似中心的定义及作法：成位似关系的两个图形的对应点的连线交于位似中心，数形结合，作出图形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 点为位似中心， 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为，点A，B的对应点，分别为点，．若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】根据位似图形的概念列出比例式，代入数据计算即可． 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴，即， 解得：． 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的两个图形是相似图形的性质是解题的关键． 【例4】（2025·广东·模拟预测）如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，位似比为，且三角尺的一边长为4cm，则投影三角尺的对应边长为 cm． 【答案】10 【分析】投影三角尺的对应边长为cm，根据位似比等于相似比即可列出方程求解． 【详解】解：投影三角尺的对应边长为cm，依题意得， 解得， ∴投影三角尺的对应边长为cm， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形，熟记位似比等于相似比是解题的关键． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）一把放缩尺如图所示，当画笔沿图形运动时，画笔随之画出放大后的位似图形．若位似比为，图形的周长是，则图形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的周长比等于位似比，掌握位似图形的周长比等于位似比是解答本题的关键． 根据位似图形的周长比等于位似比解答即可． 【详解】解：位似图形的周长比等于位似比，且位似比为，图形的周长是， 图形的周长是， 故选：C． 2．（2025九年级·浙江嘉兴·学业考试）如图，已知的面积为24，以B为位似中心，作的位似图形，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则的面积为 ． 【答案】4 【分析】延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平行四边形的面积为8，从而可得△ADG的面积． 【详解】延长EG交CD于点H，如图， ∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG， ∴AD∥EG， ∴四边形AEHD是平行四边形， ∴． ∵位似图形与原图形的位似比为， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知与是位似图形，点A、B、、O共线，点O为位似中心． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)15或5 【分析】此题考查了位似图形的性质． （1）分两种情况画出图形，利用位似的性质进行证明即可； （2）分两种情况画出图形，利用位似的性质进行求解即可． 【详解】（1）如图所示，与平行，理由： ∵与是位似图形，点A、B、、O共线， ∴ ∴． 如图， ∵与是位似图形，点A、B、、O共线， ∴， ∴． （2）如图． ∵， ∴， ∴的长为； 如图． ∵， ∴， ∴的长为； 综上所述，的长为15或5． 4．（2025九年级·北京海淀·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6，若矩形AEFG与矩形ABCD是位似图形且相似比为，求C，F之间的距离． 【答案】C，F之间的距离为 【详解】试题分析： 如图，过点F作FH⊥BC于点H，连接CF，由已知容易求得EF=4，AE=6，从而可得CH=BC-BH=BC-EF=2，FH=BE=AB-AE=3，这样在Rt△CHF中，由勾股定理即可求得CF=. 试题解析： 如图，过点F作FH⊥BC于点H，连接CF， ∴∠BHF=∠CFH=90°， ∵矩形AEFG与矩形ABCD是位似图形且相似比为，AB＝9，BC＝6， ∴∠B=∠BEF=90°，AE=6，EF=4， ∴四边形BEFH是矩形， ∴BH=EF=4，FH=BE=AB-AE=3， ∴CH=BC-BH=6-4=2， ∴在Rt△CFH中，CF=，即点C和点F之间的距离为. 点睛：本题的解题要点是：通过作辅助线FH⊥BC于点H，连接CF即可把问题转化到Rt△CFH中，这样即可利用相似四边形的性质和勾股定理求得CF的长了. 【典型例题四 求两个位似图形的相似比】 【例1】（2025·重庆·模拟预测）如图，四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【详解】解；∵四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形，若， ∴四边形与四边形的面积比为， 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（   ） A．10 B．15 C．20 D．45 【答案】C 【分析】本题主要考查位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似，位似中心是点， ∴，， ∴， ∵的面积为5， ∴的面积为20； 故选C． 【例3】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，与是位似图形，点O为位似中心，位似比为，若，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查位似变换，解题关键是掌握位似变换的性质、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】 解：∵与是位似图形，位似比为， ， ， ， 故答案为： 12． 【例4】（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，与是位似图形，原点为位似中心，位似比为，若点，的坐标分别为，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，由位似图形的性质可得，求出即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与是位似图形，原点为位似中心，位似比为， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图所示，由位似的正，正，正，…正组成的相似图形，点为位似中心，其中第一个的边长为1，点是的中点，是的中点，是的中点…是的中点，顶点，，…，和，，…，都在边上．则正的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查规律探索及位似图形的性质，理解题意，找出相应规律是解题关键 根据题意得出正的边长为，正的边长为，得出规律，即可求解． 【详解】解：∵点为位似中心，其中第一个的边长为1，点是的中点，是的中点， ∴正的边长为， 同理：正的边长为， ⋮ 正的边长是， 故选：B． 2．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，以点为位似中心，将放大后得到；，，那么与四边形的面积之比为 ．    【答案】 【分析】本题考查了位似变换，利用位似性质得到，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】解： ∵以点为位似中心，将放大后得到 ∴ ∴ 故答案为：. 3．（24-25九年级上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)求出与的位似比． 【答案】(1)图见解析； (2)． 【分析】本题主要考查位似，相似三角形的性质，熟练掌握位似变换是解题的关键． （1）对应点连线所在的直线的交点即为位似中心； （2）求出，，即可得到位似比． 【详解】（1）解：作图如示．注：画出任二条线并标出点O （2）解：由题意得：，， 与的位似比． 4．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，在格点上画出，使得且相似比为． (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查作图—位似变换，平行线分线段成比例定理． （1）将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，点、、三点共线，点B向右移动1个格点单位，向上移动1个格点单位得到点N，点、、三点共线，连接，，； （2）构建，为分成等份，其中点为等份点，过点的格线交于点 【详解】（1）如图，将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，点、、三点共线，点B向右移动1个格点单位，向上移动1个格点单位得到点N，点、、三点共线，连接连接，，，即为所作，使得且相似比为． 即为所作． （2）如图，取格点，连接、，取点为等份点，过点的格线交于点， ∴， ∵， ∴， 则点即为所作． 【典型例题五 求位似图形的对应坐标】 【例1】（2025·河南安阳·模拟预测）如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标平面内的位似变换，掌握在平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律是解题的关键． 根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以原点为位似中心，线段在第一象限内的位似图形为线段， ∴线段和线段的位似比为， ∴点坐标为，即， 故选：． 【例2】（24-25九年级上·山东青岛·开学考试）已知在直角坐标系中的位置如图所示，如果以原点O为位似中心，位似比为2，在第四象限内将图象放大为，那么点A的对应点的坐标（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查求位似图形中点的坐标，根据位似比为2，且在第四象限内将图象放大为，画出图形，写出点的坐标即可． 【详解】解：如图，即为所求， ∴点A的对应点A'的坐标为． 故选：D． 【例3】（2025·四川内江·模拟预测）在平面直角坐标系中，和的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为，则其对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据以原点为位似中心的位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵和是关于原点O的位似图形，相似比等于，点A的坐标为， ∴点的坐标为或，即或， 故答案为：或． 【例4】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，和是以为位似中心的位似图形，，两点的坐标分别为，．点的对应点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，且，, ∴ ∴相似比为， ∴点D的坐标为，即， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题得，然后可得，进而根据可求出，，最后问题可求解． 【详解】解：分别过点A、M作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图所示： ∵，，，， ∴，，，， ∵在x轴的下方作的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的菱形与边长为3的菱形是位似图形，点是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则位似中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与位似，熟练掌握位似的性质，是解题的关键．过点作轴，轴，根据位似比等于相似比，得到，证明，求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵边长为1的菱形与边长为3的菱形是位似图形，点是位似中心， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， 过点作轴，轴， 则：轴，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为，． (1)若以O点为位似中心在y轴的左侧将缩放，使得相似比为，求作； (2)分别写出B，C两点的对应点，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查作图-位似变换，解题的关键是理解位似图形的性质得出位似图形对应点的位置． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而即可画图； （2）利用题（1）所画出的图形得出对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2），． 4．（24-25九年级上·山东聊城·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，与是以点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心点的位置并直接写出点的坐标为______，与的相似比为______． (2)的内部一点的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）作直线，，，三线交于点P，根据题意，设直线的解析式为，代入确定解析式为；直线为，联立得，于是得到位似中心；根据题意，，故可以求得与的相似比为，解答即可． （2）设，根据位似比为，得到即点为线段的中点，利用中点坐标公式解答即可． 本题考查了位似中心的确定，位似点坐标的确定，熟练掌握位似的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，作直线，，，三线交于点P，根据题意，设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴解析式为； 直线为， 当时， ， 故位似中心； ∵，， ∴， ∴与的相似比为， 故答案为：，． （2）解：设，根据位似比为，得到即点为线段的中点， ∵， ∴， 解得， 故， 故答案为：． 【典型例题六 在坐标系中画位似中心】 【例1】（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】解：连接，交于点O， ∴点O是位似中心， 故答案为：D． 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形及位似中心的概念，掌握位似中心的确定方法是解题关键． 根据连接位似图形的对应点，交点即为位似中心，即可解答． 【详解】解：如图所示 ， 连接，，，交于点D， 通过观察平面直角坐标系可以发现，这些连线的交点坐标为． 故选：A． 【例3】（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，有两个格点三角形，格点和成位似关系，则位似中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解： 由位似图形的概念可知：与的位似中心是直线与直线的交点， 位似中心的坐标为． 故答案为： 【例4】（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为,C,D两点的坐标分别为．若线段和线段是位似图形,且位似中心在y轴上,则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似变换,平行线性质,相似三角形判定及性质．根据题意连接交于E,根据坐标与图形性质分别求出,根据平行线性质列出比例式,求出,继而得到本题答案． 【详解】解：连接交于E,则点E为位似中心,   , ∵,, ∴, ∵线段和是位似图形, ∴, ∴, ∴,即, ∴, ∴, ∴位似中心点E的坐标为, 故答案为：． 1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为（-4，2）点E的坐标为（-1，1），则这两个正方形位似中心的坐标为（   ） A．(2，0) B．(1，1) C．（－2,0） D．（-1,0） 【答案】A 【分析】两个位似图形的主要特征是： 每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．则位似中心就是两对对应点的延长线的交点，求出直线AE与BF（x轴）的交点即可． 【详解】解：如图，连接AE、DG并延长交x轴与N点， 设直线解析式为，将，代入， 得， 解得， 即， 令得， 坐标是； 故选：A． 【点睛】本题主要考查位似图形的性质， 难度一般， 注意掌握每对位似对应点与位似中心共线， 另外解答本题注意选择适当的方法求直线交点的坐标． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为 【答案】或/或 【分析】本题考查了位似图形，以及求位似中心，连接对应点，存在两种情况，第一：位似中心在两个图形的中间，第二：位似中心在第二象限，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离比，即可作答． 【详解】解：如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，轴， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， 则， ∴， 故， ∴， 即， 则， 此时位似中心为； 如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故， 由于点H在轴的负半轴上， 此时位似中心为； 综上：位似中心为或， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系中已作出的位似图形． (1)在图中标出与的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标； (2)若以点为位似中心，请在图中给定的网格内画出的位似图形，且与的位似比为2∶1． 【答案】(1)作图如图所示， (2)如图所示 【分析】（1）根据位似图形的对应点的连线交于一点，改点即为位似中心即可求解； （2）根据位似图形的定义和作图方法即可作出图形． 【详解】（1）解：M点位置如图所示，． （2）如图所示． 【点睛】本题考查了位似图形的定义与作图，解题关键是掌握相关概念与作图技巧． 4．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，是边长为个单位的小正方形组成的方格，在网格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为和．顶点都在格点上，将的三边分别扩大得到（顶点均在格点上），它们是以点为位似中心的位似图形．    (1)画出向下平移3个单位后的三角形； (2)画出关于原点成中心对称的三角形； (3)直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)． 【分析】（1）将A、B、C三点分别向下平移3个单位，得到，再顺次连接即可得到； （2））作出A、B分别关于原点的对称点，顺次连接，即可得到； （3）连接并延长，它们的交点就是P点．    【详解】（1）如图即为所求； （2）如图即为所求； （3）连接并延长，交点为，则P点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的图形变换：平移变换／旋转变换和位似变换．正确的找到变换以后的对应点是解题的关键． 【典型例题七 在坐标系中画位似图形】 【例1】（2025·北京海淀·模拟预测）如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解 【详解】解：连接，，，并延长如图所示， ， ∴的位似图形是， 故选：C． 【例2】（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查作图-位似变换，解题关键是画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．根据题意分两种情况画出满足题意的线段，即可做出判断． 【详解】解：画出图形，如图所示： 故选D． 【例3】（2025九年级上·全国·专题练习）平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 【答案】两；同 【解析】略 【例4】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为 ．    【答案】 【分析】先画出图形，再根据图形可得的坐标． 【详解】解：如图，为所作；点的坐标为．    故答案为． 【点睛】本题考查的是位似变换的作图，坐标与图形，熟练的利用位似的性质进行作图是解本题的关键． 1．（2025·河北保定·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知，点C的坐标为(-2，3)， 以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2， 则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)， 故选：D． 【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，先以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），再将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，则四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位． 【答案】20 【分析】以点为位似中心，将线段放大为原来的倍，即可画出线段；将线段绕点逆时针旋转得到线段，即可画出线段；连接，即可得到四边形为正方形，进而得出其面积. 【详解】如图所示，线段即为所求， 如图所示，线段即为所求； 由图可得，四边形为正方形， 四边形的面积是. 故答案为. 【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转的性质以及勾股定理等知识的运用，利用相似变换的性质得出对应点的位置是解题关键. 3．（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）已知三顶点的坐标分别为、、． (1)以为位似中心，将缩小到原来的，在如图的网格中画出缩小后的图形； (2)写出点的对应点的坐标：________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画已知图形的位似图形，求位似图形的对应点坐标，通过位似比求位似图形的对应点的坐标是解题的关键． （1）根据位似的概念，分别作出点、、，将点连接，即可解答． （2）依据将缩小为原来的，可得位似比为，即可得出点的对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：根据题意，可得与 的位似比为， ， ． 4．（2025·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，位置如图所示． (1)画出向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的右侧画的一个位似，使它与的位似比为； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换． （1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （3）作直线，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：和是位似图形，点为所求位似中心，点的坐标为． 【典型例题八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 【例1】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格中，以点为位似中心，作与的相似比为的位似图形，则点的对应点可能为（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了作图-位似变换，连接并延长，使得，得到的对应点，即可求解． 【详解】解：如图所示连接并延长，使得，得到的对应点为，    故选：A． 【例2】（2025·重庆·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为（    ）    A．4 B．8 C．6 D．18 【答案】B 【分析】根据位似比等于三角形的相似比，再结合面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解∵与位似，点O为位似中心，已知， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积是8． 故选B． 【点睛】本题主要考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·全国·单元测试）在中，，，以点为位似中心，把放大倍后得到，则 ． 【答案】72° 【分析】在△ABC中，AB=AC，∠A=36º，则∠B=∠C=72º，以点A为位似中心，把△ABC放大3倍后得△AEF，则△ABC与△AEF相似，则对应角相等，因而∠E=∠B=72º. 【详解】解：∵AB=AC，∠A=36º， ∴∠B=∠C=72º， ∵△ABC∽△AEF， ∴∠E=∠B=72º. 故答案为72º. 【点睛】本题考查了位似变换. 【例4】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，三个顶点的坐标分别为，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，已知点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】（1，2） 【详解】解：根据位似变换的性质及位似比，可知A′的坐标为（1，2） 故答案为（1，2） 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先由可得，再由矩形与矩形位似可得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵矩形与矩形位似， ∴ ∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了位似的性质，根据题意得到是解答本题的关键． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比平方,求出三角形的相似比即可解题. 【详解】∵与是位似图形， ∴与的相似比为=2:3, ∴与的面积比为4：9, ∵， ∴=. 【点睛】本题考查了相似三角形的面积之间的关系,属于简单题,理解相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键. 3．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，由若干个小正方形组成的网格中，已知格点线段和格点（格点为网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在点O同侧画出线段的位似线段，使线段与线段的位似比为； (2)以点，为顶点画一个格点平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形是解决此题的关键． (1)利用位似变换的性质，分别作出，的对应点，即可； (2)根据平行四边形的判定作出图形即可(答案不唯一）． 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）如图，四边形即为所求（答案不唯一）． 4．（24-25九年级上·上海·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形． (1)分别写出和的顶点的坐标． (2)以D为位似中心，把缩小一半，得到，请画出 (只画出一个即可)，并写出M、N两点的坐标． (3)试说明和的面积的关系． 【答案】(1) (2)见解析， (3)与的面积比为 【分析】（1）根据图形写出坐标即可； （2）取 DE的中点 M，DF的中点 N，连结 MN，则就是以 D 为位似中心，的位似图形，且 与 的相似比为 ； （3）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：如图，由图知，M、N两点的坐标分别为． （3）解：∵，， ∴． 同理可求：，， ∴， ∴， ∴与的面积比为． 【点睛】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标，位似作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【典型例题九 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 【例1】（2025·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用位似图形的性质得出与的面积比，进而得出答案． 【详解】解：与关于原点位似，， 与相似比为：：， 与面积之比为：， ， ， ． 故选：． 【点睛】此题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关知识是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，把缩小后得到，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，，根据位似图形的概念解答即可． 【详解】解：由平面直角坐标系可知：，， ∴与的相似比为：， 故选B． 【点睛】本题考查的是位似变换，熟记位似图形对应边的比是位似比是解题的关键． 【例3】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查坐标与位似．根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵和是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴和的相似比为：， ∴和的周长比为：， ∵的周长为3， ∴的周长为6； 故答案为：6． 【例4】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，六边形和六边形是以点．O为位似中心的位似图形，．若六边形的周长为，则六边形的周长为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的六边形周长的比等于边长比进行求解即可． 【详解】解：由位似图形的性质，可得， 六边形的周长：六边形的周长， 六边形的周长为， 则 六边形的周长为， 故答案为：21． 1．（2025·河南洛阳·模拟预测）如图，点是的重心，和是以点为位似中心的位似图形．则与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是的重心得到，和是以点为位似中心的位似图形，得到∽，，推出∽，得到，同理可得，由此可解． 【详解】解：点是的重心， ， ，和是以点为位似中心的位似图形， ∽，， ∽， ， 同理可得， 与的面积之比为， 故选：C． 【点睛】本题考查位似图形，三角形的重心，相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则边的长为 ． 【答案】/ 【分析】过点A作轴于H，根据勾股定理求出，根据位似即可得出结果． 【详解】解：过点A作轴于H， ∵，， ∴，， 由勾股定理得：， ∵与位似，且位似比为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，位似图形的性质，根据勾股定理和位似比计算边长是解题的关键． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为，，与位似，点为位似中心，点的对应点为． (1)与的相似比为______； (2)在图中画出； (3)点是内部一个点，的对应点的坐标为______． 【答案】(1)： (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）结合位似的性质可得答案． （2）结合位似的性质确定对应点再作图即可． （3）根据位似的性质可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵与位似，点为位似中心，点的对应点为， ∴与的相似比为：． （2）解：如图，即为所求． （3）解：由题意得，点的坐标为． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． (1)和关于y轴对称，画出； (2)若与（1）中的是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限． ①画出； ②__________． 【答案】(1)见解析 (2)①图见解析；② 【分析】本题考查了作图-位似变换、作图-轴对称变换． （1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可； （2）①由（1）及位似的性质进行作图即可； ②由（1）得，进而得． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：①如图，即为所求； ②∵和关于y轴对称， ∴， ∵与的位似比为， ∴， 即， 故答案为：． 【典型例题十 坐标与图形综合】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）下列与相连所得的直线与y轴平行的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了坐标的特征，与y轴平行的直线上的每一个点到y轴的距离都相等，即每点的横坐标都相同． 【分析】解：与相连所得的直线与y轴平行的点横坐标，一定与的横坐标相同， 各选项中只有符合， 故选∶B． 【例2】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，边在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且位似比为，那么点的坐标为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质、矩形的性质，熟练掌握位似的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 由图可得，，根据位似的性质可得点的坐标是或． 【详解】解：由图可得，， ∵矩形与矩形关于点O位似，且相似比为， ∴点的坐标是或，即或． 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·北京昌平·期中）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国汉民族的一种古老的传统智力游戏．它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图为由七巧板拼成的“小船”，若点A的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案． 【详解】解：确定平面直角坐标系如图所示： ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【例4】（2025·四川成都·模拟预测）平面内，对于图形与点，给出如下定义：图形绕点逆时针旋转得到图形，若图形与图形有重叠，则称图形关于点“逆垂相关”．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点分别是，．若以为圆心，为半径的上存在点，使线段关于点“逆垂相关”，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意画图得出， P在A时， 线段 对应线段，P在B时， 线段 对应线段，P在时， 线段 对应线段，P在时， 线段 对应线段，要证与其对应线段有交有点，则A在以为边的左侧正方形内，B在以为边的右侧正方形内，P在正方形内，可得当过点A时，r取得最大值，当与相切时，r取得最小值，记切点为，结合切线性质，解直角三角形等知识求解，即可解题． 【详解】解：根据题意画图可得， ⸪线段关于点“逆垂相关”， ⸫ P在A时， 线段 对应线段， P在B时， 线段 对应线段， P在时， 线段 对应线段， P在时， 线段 对应线段， 要证与其对应线段有交有点， 则A在以为边的左侧正方形内，B在以为边的右侧正方形内， P在正方形内， 则当过点A时，r取得最大值，连接， ∵，， ∴， 此时， 当与相切时，r取得最小值，记切点为，交于点，作于点， ，． ，， ，即， 由正方形性质可知，即为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要查了正方形性质，旋转旋转，坐标与图形．解直角三角形，勾股定理，解题的关键在于根据题意准确找出最大最小值的情况． 1．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点A的坐标是（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称－最短路径以及含的直角三角形的性质，等边三角形的性质，坐标与图形，根据题意得出的值最小时的情况是解本题的关键． 作点关于轴的对称点，过点作交轴于点，进而得出的值最小的情况，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】解：作点关于轴的对称点，过点作交轴于点，如图：    则此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 2．（23-24八年级下·四川南充·期中）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC中点B(8，4)，若将沿AC折叠，使B落在处，则的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，翻折问题，勾股定理，掌握坐标与图形的性质是解题的关键．过点作轴垂足为，根据折叠的性质及矩形的性质可得，最后根据直角三角形面积的两种算法即可解答． 【详解】解：过点作轴，垂足为，则轴， ∵四边形为矩形， ∴， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中 ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点纵坐标为：． 3．（24-25九年级上·河南许昌·期中）定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为．若此时长方形的周长与面积的数值相等，则点叫做“等周积点”． (1)请判断点___________“等周积点”（填“是”或“不是”）； (2)若点是“等周积点”，求的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】（）根据“等周积点”的定义判断即可； 【详解】（1）解：∵， ∴点是“等周积点”， 故答案为：是； （）过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，可得，进而根据“等周积点”的定义列出方程解答即可； 本题考查了坐标与图形，理解新定义是解题的关键． （2）解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为， ∵点的坐标为 ∴， ∴长方形周长为，长方形的面积为， ∵点是“等周积点”， ， 解得． 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为．若点按下列规律跳动：第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，． 根据上述规律，解答下列问题 (1)写出点的坐标：__________； (2)第次跳动后，点的坐标为__________； (3)求三角形的面积． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（）由已知点坐标可得点的坐标为，据此即可求解； （）由已知点坐标可得点，据此即可求解； （）根据由（）、（）所得规律可得，，，即得，再根据三角形面积公式计算即可求解； 本题考查了点的坐标规律变化问题，坐标与图形，由已知点的坐标找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴第次向右跳动至点，点的坐标为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴点， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：由（）、（）可得，，，， ∴， ∵点到线段的距离为， ∴三角形的面积． 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，下面三组图形中，位似图形有（　　） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：三组图形都是相似图形，第一组和第三组图形的对应点连线所在的直线经过同一点，第二组图形的对应点连线所在的直线不经过同一点， 第一组和第三组图形是位似图形，第二组不是位似图形， 故选：C． 【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形必须同时满足两个条件：①两个图形是相似图形；②两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，二者缺一不可． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的性质，位似图形与相似图形的关系．根据位似图形的性质，得到，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴ ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：B． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点是坐标原点，点坐标分别为，则位似中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，连接对应点，连线的交点即为位似中心，根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，为位似中心， 故选：B． 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，两点分别位于坐标轴上，且，若，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形与坐标，涉及全等三角形的性质、勾股定理等知识，先由全等三角形的性质得到，，再由勾股定理求出，结合点在第四象限，即可得到答案．熟记全等三角形的性质及勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：， ，， 则由勾股定理可得， 点在第四象限， ， 故选：D． 5．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，点的坐标为，以原点为位似中心，将位似缩小后得到．若点的坐标为，的面积为1，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【分析】利用对应点坐标的变化即可得出相似比；利用位似图形面积比等于相似比的平方进而得出答案． 【详解】解∶∵△ABC和△A'B' C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点A (3，6) ，A'( 1，2)， ∴△ABC与△A'B' C'的相似比等于3∶ 1． △△A'B'C'与△ABC的面积之比为9 ∶ 1． ∵△A'B'C'的面积为1， ∴△ABC的面积为9． 故选∶ D． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，熟练掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）画位似图形的依据是 ． 【答案】两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 【分析】由位似图形的定义：两个图形是相似图形，而且每组对应点所在的直线经过同一点，结合相似三角形的判定解答即可． 【详解】解：画位似图形的依据是：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 故答案为：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【点睛】本题考查了位似图形的有关知识，如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，熟知位似图形的概念是关键． 7．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，且，则与的相似比为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似图形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形， ∴， ∴与的相似比为． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形是位似图形，已知且点在x轴上，那么这两个正方形的位似中心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查位似变换，掌握对应顶点的连线的交点为位似中心是解题的关键．连接与交于点，根据相似三角形的判定与性质可得出的长，即可得出位似中心的坐标． 【详解】为正方形， 且点， ， 点坐标为， 正方形和正方形是位似图形 点与点对应，点与点对应， 连接与交于点， ， ， 点坐标为， ， 设为，则， ， ， 即， 解得， ，， 这两个正方形的位似中心的坐标是， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一个边长为3的正三角形沿着轴负方向滚动，点的初始位置为，当三角形的任一顶点落在轴上时，点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】根据三角形的任一顶点落在轴上，结合边长为3的正三角形沿着轴负方向滚动情况，可分为以下三种情况，情形1：当点落在y轴上时，情形2：当落在y轴上时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长交的延长线于N，情形3：当落在y轴上时，结合等边三角形性质，坐标与图形，勾股定理，相似三角形性质和判定，进行讨论求解，即可解题． 【详解】解：如图， 情形1：当点落在y轴上时，此时． 情形2：当落在y轴上时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长交的延长线于N， 由正三角形性质可知，， 则， ∵，， ∴， ∴， 过点N作轴于Q． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 由线段中点坐标特点有， 情形3：当落在y轴上时，， 综上所述，满足条件的点B的坐标为：或或． 【点睛】本题考查等边三角形性质，坐标与图形，勾股定理，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 10．（24-25九年级上·四川·阶段练习）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的性质，由题意得出和的位似比，从而得出和的面积的比是，即可得解． 【详解】解：点与点是对应点，原点是位似中心， 和的位似比， 和的面积的比是， 又的面积是3， 的面积是12． 故答案为：12． 11．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 【答案】见解析 【分析】本题考查了位似图形，解题的关键是掌握位似图形的概念．位似图形的概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心． 根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】图①中两个三角形是位似图形，位似中心是点A； 图②中对应顶点的连线不交于一点，故题图②中的两个图形不是位似图形； 图③中两个矩形是位似图形，位似中心是点P． 12．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，ABC与是位似图形，且相似比是1：2．若AB＝2cm，在图中画出位似中心O，并求的长． 【答案】画图见解析，cm 【分析】连接对应点的连线的交点即为位似中心，根据位似比等于相似比，即可求得． 【详解】如图，连接，交点即为位似中心， 相似比是1：2， ， cm， cm． 【点睛】本题考查了根据位似图形找位似中心，根据相似比对应边的长，掌握位似的定义与性质是解题的关键． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)点关于原点对称的点的坐标为________； (2)请以原点为位似中心，在轴左侧画一个，使与位似，且相似比为，点、、的对应点分别为、、． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了画位似图形，求关于原点对称的点的坐标： （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数即可得到答案； （2）把A、B、C的横纵坐标都乘以负2得到其对应点、、的坐标，然后描出、、，最后顺次连接、、即可． 【详解】（1）解；∵， ∴点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求． 14．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，，以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将放大，放大后得到． (1)写出点、、的坐标（点A、B、C的对应点分别为、、）； (2)求与的周长比． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】（1）根据以坐标原点O为位似中心，位似比为2，可知横纵坐标都是以前的两倍即可得到答案； （2）根据周长比等于位似比即可的到答案． 【详解】（1）解：∵以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将放大，、、， ∴点的坐标为、的坐标为、的坐标为， ∴点的坐标为、的坐标为、的坐标为； （2）解：由题意可得， 与的周长比为． 【点睛】本题考查位似，解题的关键是熟练掌握位似及周长比等于位似比． 15．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形内，是的中点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿着运动，设运动时间为． (1)点坐标是_____，点坐标是_____； (2)当点在上（包含端点）运动时，求的取值范围； (3)当三角形的面积为时，直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据长方形的性质解答即可求解； （）分别求出点从点到点用时和从到用时即可求解； （）求出长方形的面积，再分情况解答即可求解； 本题考查了坐标与图形，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，，轴，轴， ∴点坐标为， ∵点是的中点， ∴， ∴点坐标为； 故答案为：，； （2）解：点从点到点用时秒，从到用时秒， ， 即； （3）∵， ∴当点和点重合时，， 此时点的坐标为； 当点在上时， 设点坐标为， 则， ， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 当点在上时， ∵， ∴点在上时，三角形的面积不可能为； 综上，点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $$