第10讲 相似三角形的性质（1大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第10讲 相似三角形的性质（1大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 利用相似求坐标 典型例题二 重心的有关性质 典型例题三 利用相似三角形的性质求解 典型例题四 证明三角形的对应线段成比例 典型例题五 在网格中画与已知三角形相似的三角形 典型例题六 利用相似三角形测高 典型例题七 运用相似三角形的性质解决动点问题 典型例题八 运用相似三角形的性质解决最值问题 典型例题九 相似三角形实际综合应用 典型例题十 相似三角形的判定与性质综合 知识点01 相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 【即时训练】 1．（2025·重庆·模拟预测）若两个相似三角形周长的比为，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若两个相似三角形面积之比为，则它们的相似比为 ． 【典型例题一 利用相似求坐标】 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知直角坐标系中四点A(－2，4)、B(－2，0)、C(2，－3)、D(2，0)．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为 ． 【例3】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 1．（2025·海南海口·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，求点C的坐标．    4．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在 (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 【典型例题二 重心的有关性质】 【例1】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，点G为的重心，若，则为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，为的中线，G为的重心，若，则 ． 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知在中，点是三角形的重心，连结并延长，交与点G，过点作，交于点，交于点，若，则的长为 ． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，对角线    交于点是的中点，连结交于点F．若的面积为36，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，是三角形的重心，，过点的直线，则 ． 3．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 4．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图1，已知平行四边形，为锐角，，E为边上一点，沿折叠，点D恰好落在边F处． (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，再沿折叠，点A落在G处，点B落在H处． ① 若点G恰好为的重心（即三条中线的交点）． 求的值； ② 若添加_____度，且的值为_____两个条件，则以F、H、C、G为顶点的四边形就变成矩形（直接写出结论）． 【典型例题三 利用相似三角形的性质求解】 【例1】（2025·重庆开州·模拟预测）若两个相似三角形的面积之比是1：4，则这两个相似三角形的周长之比是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）若，且，则其对应边上的中线 ． 【例3】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，点分别是的边的中点，若的面积为，则的面积是 ． 1．（2025·河南·模拟预测）如图1，在中，动点沿折线以的速度匀速运动，设点的运动时间为，的长度，与的函数图象如图2所示．当（不考虑全等）时，的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东德州·模拟预测）如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）对角线把梯形分成四个三角形．已知两个三角形的面积分别是5和20．求梯形的面积是多少． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，在中，． (1)在上求作一点D，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的长． 【典型例题四 证明三角形的对应线段成比例】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·全国·单元测试）如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为 ． 【例3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为 . 3．（2025·上海松江·模拟预测）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知BO是△ABC的AC边上的高，其中BO＝8，AO＝6，CO＝4，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动，同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动，MN交OB于点P．当M运动到点A时，点M、N同时停止运动．设点M运动时间为t． （1）线段AN的取值范围是　 　； （2）当0＜t＜2时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP与△MNA相似，求CM的长； （3）当2＜t＜5时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP是等腰三角形，求CM的长．    【典型例题五 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【例1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A．B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 ． 【例3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于 ． 1．（24-25九年级上·北京·期末）如图，下面方格纸中小正方形边长均相等.和的各顶点均为格点（小正方形的顶点），若~且两三角形不全等，则P点所在的格点为（    ） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 2．（23-24九年级上·山东济南·期中）中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，如图所示是中国象棋的棋盘（各个小正方形的边长均相等），根据“马走日”的规则，“马”应该落在位置 处，能使“马”，“炮”，“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”，“车”，“相”所在位置的格点构成的三角形相似． 3．（2025·湖北荆州·模拟预测）小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形叫做格点图形。如图，在的正方形网格中，画出符合要求的格点三角形.    (1)在图1中画出以C为旋转中心顺时针旋转的三角形； (2)在图2中画出以为边的三角形，且与相似（不全等）. 4．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，的顶点都在格点上．    (1)画格点三角形， 使得且面积比为； (2)利用格点在边上求作M、N两点，使得将面积三等分． 【典型例题六 利用相似三角形测高】 【例1】（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（   ）米．    A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片的距离为米，胶片的高为米，若需要投影后的图像高米，则投影机光源A到屏幕的距离为 米． 【例3】（2024·吉林松原·模拟预测）如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离，和表示射入室内的光线，若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为 ． 1．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）早在西汉时期，我国天文学家就提出了一种测量日高的公式——“重差术”．如图，用长度为的杆子（“表”）在间距为的两个地点测日影，测得影长分别为、，用这种方式计算出的日高公式 ．（用、、、的代数式表示） 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 4．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离为1.2米；然后，苏海沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，求雕像的高度．    【典型例题七 运用相似三角形的性质解决动点问题 】 【例1】（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，中，，，，，点是边上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的值是（    ）    A．2或 B． C．3或 D．3 【例2】（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为，当 s时，以A、P、Q为顶点的三角形与相似． 【例3】（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间为 秒． 1．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，，，，，垂足为，线段上的动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，以线段为边向上作正方形，设点运动的时间为，当点落在的边上时，的值为 ． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·开学考试）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，当运动时间t为多少秒时？ 4．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)求点E落在区域（含边界）内的时长； (3)连接，当与相似时，求t的值； (4)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 【典型例题八 运用相似三角形的性质解决最值问题】 【例1】（2025·江苏·模拟预测）在以下列长度为边长的4个正方形铁片中，若要剪出一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，则符合要求的正方形铁片边长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在四边形中，，，，，．是边上的一个动点，若与相似，则的最大值为 ，最小值为 ． 【例3】（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形为正方形，点E在边的延长线上，连接并延长交直线于点F，若，则面积的最小值为 ． 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）如图，点D是等边的边上（不与A，C点重合）的动点，以为边作等边，与交于点F．已知的边长为a，在点D运动过程中， （1）始终都相似的三角形有 对； （2）的最大值为 ． 2．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）如图，，与之间的距离为3，在上方作等腰直角三角形，，，延长交于点D，在上方作等腰直角三角形，，，分别为、上的动点，且，连接，则的最大值为 ． 3．（2025·福建龙岩·模拟预测）在中，，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，． (1)如图1，若点是的中点，，则___________； (2)如图2，当时，求证：； (3)若，在点的运动过程中，当长取到最小值时，求的长． 4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）【问题初探】 （1）如图1，点D是 的边上一点，且．求证：； （2）如图2，在中，，E是边的中点，D是边下方的一个动点，满足，连接，求线段的最大值； 【拓展应用】 （3）如图3，在正方形中，，E是射线上的一个动点，点F在线段上，且满足，求的最小值． 【典型例题九 相似三角形实际综合应用】 【例1】（2025·四川内江·模拟预测）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为 . 【例3】（2025·辽宁阜新·模拟预测）如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是 ． 1．（24-25八年级下·山东济南·期中）图1是装满了液体的高脚杯（数据如图所示），图2是用去部分液体后的高脚杯（数据如图所示），则图2中液面的宽度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，有一块三角形余料，高，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点和点分别在边上，若满足，则的长为 ． 3．（2025九年级·陕西·专题练习）如图（1），现有两个边长之比为1：2的正方形与，已知点在同一直线上，且点重合，请你利用这两个正方形，通过裁割、平移、旋转的方法，拼出两个相似比为1；3的三角形． 4．（24-25九年级上·天津河西·期末）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，为公共顶点，，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、（点不与点重合，点不与点重合）． （1）求证：； （2）在旋转过程中，试判断等式是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【典型例题十 相似三角形的判定与性质综合】 【例1】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，在中，点分别在边和上，且，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，直线，直线，与，，分别交于点，，及点，，，若，，，则 ． 【例3】（2025·湖南邵阳·模拟预测）在中，在边上取一点D，如图，根据下列作图过程：①以B点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与边交于点M，N；②以D点为圆心、长为半径向内作弧，交于P点；③以P点为圆心、为半径作弧，与前弧在内交于一点Q；④过Q点作射线交于E点．若，则 ． 1．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，在菱形中，，交的延长线于点E，于点F，若，四边形的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，中，，平分，点E为的中点，经过点E作于点F，交于点G，则 ． 3．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 4．（2025·河北·模拟预测）如图，在中，，，点D为边的中点，点E为边上任意一点，设为x．    【尺规作图】 （1）在图中画出等腰直角，使点D为直角顶点，为直角边，点F在直线的上方（保留作图痕迹，不写作法）； 【拓展运用】 在上述尺规作图的基础上，与交于点G，连接； （2）四边形能否成为正方形，若能，请求出此时x的值，若不能，请说明理由； （3）当时，求x的值； （4）直接写出的最大值．    1．（2025·重庆·模拟预测）两个相似三角形的相似比是，则这两三角形的周长的比是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·山东临沂·模拟预测）如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（   ） A．1.5 B．1 C．0.5 D． 3．（24-25九年级上·山西长治·期末）下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆江津·模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，是凸透镜的主光轴，O为凸透镜的中心，点F是焦点，，．若物距与像距之比为，测得蜡烛高，则像的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁·模拟预测）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是 ． 7．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，的中线，相交于点，若，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 9．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ． 10．（2025·江苏扬州·模拟预测）小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为 米． 11．（2025九年级上·全国·专题练习）已知，和分别是和边上的高，且，，是的中线，，求中对应中线的长． 12．（2025九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 13．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，与相似． 14．（2025·山东泰安·模拟预测）（1）如图1，在矩形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图2，在中，，，，E为边上一点(点E不与点A、B重合)，连接，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？ 15．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）清虚阁，位于山西省晋中市榆次老城中，俗称南阁，建成于明代成化五年（1469），是榆次区境内仅见的，也是晋中地区稀有的古代阁楼式建筑杰作，如图，某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量清虚阁的高度． 步骤一：在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且清虚阁，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线； 步骤二：从标杆后退到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线． 请你根据以上数据，计算清虚阁的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 相似三角形的性质（1大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 利用相似求坐标 典型例题二 重心的有关性质 典型例题三 利用相似三角形的性质求解 典型例题四 证明三角形的对应线段成比例 典型例题五 在网格中画与已知三角形相似的三角形 典型例题六 利用相似三角形测高 典型例题七 运用相似三角形的性质解决动点问题 典型例题八 运用相似三角形的性质解决最值问题 典型例题九 相似三角形实际综合应用 典型例题十 相似三角形的判定与性质综合 知识点01 相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 【即时训练】 1．（2025·重庆·模拟预测）若两个相似三角形周长的比为，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若两个相似三角形面积之比为，则它们的相似比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴它们的相似比为； 故答案为：． 【典型例题一 利用相似求坐标】 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知直角坐标系中四点A(－2，4)、B(－2，0)、C(2，－3)、D(2，0)．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】画出平面直角坐标系，把点标出来，找到符合条件的点P，通过相似三角形的判定去证明是否成立． 【详解】解：如图，P有四种情况， ①∵， ∴， 设， ， ，（舍去）， ； ②∵， ∴， 设， ， ， ； ③∵， ∴， 设， ， ，（舍去）， ； ④∵， ∴， 设， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的存在性问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，注意分类讨论的时候把情况考虑全面． 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据直线恒经过点，分类讨论，结合一次函数的图象，构建直角三角形，等腰直角三角形，结合勾股定理和相似三角形的判定和性质进行求值即可求解． 【详解】解：∵直线，即恒过点， 当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作轴交于点，如图：    ∵，故，， 在中，， 又∵，， ∴， ∴， 即，， 解得，， ∵两直线的夹角为，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 故， ∴， 在中，， 即， ∴， ∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为， 点到轴的距离为2，故点到轴的距离为， 即点的纵坐标为，点的横坐标为， 故； 当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作交于点，如图：    ∵，故，， 在中，， 又∵，， ∴， ∴，即， ， 解得，， ∵两直线的夹角为，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 故， ∴， 在中，， 即， ∴， ∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为， 点到轴的距离为2，故点到轴的距离为， 即点的纵坐标为，点的横坐标为， 故； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【例3】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【答案】或； 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 1．（2025·海南海口·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】先通过条件证明，然后根据相似三角形对应边成比例即可求出CO，从而得到点C的坐标． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴, 由点的坐标为，点的坐标为，可知AO=4，BO=2， ∴，即CO=1， ∴点C的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标系内点的坐标，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，求点C的坐标．    【答案】(－4，0)或(－1，0)或(1，0) 【分析】先计算直线与两个坐标轴的交点A， B的坐标，分两种情况讨论，若△AOB∽△COB，根据三角形相似，对应边成比例的性质，求得点C的坐标；若△AOB∽△BOC，根据三角形相似，对应边成比例的性质，求得点C的坐标． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A(4，0)，B(0，2)． 若△AOB∽△COB，则，即， 解得OC＝4，∴点C的坐标为(－4，0)； 若△AOB∽△BOC，则，即，解得OC＝1，∴点C的坐标为(－1，0)或(1，0)． 综上所述，点C的坐标为(－4，0)或(－1，0)或(1，0)． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点坐标、分类讨论法、相似三角形的性质，是常见典型的考点，熟练掌握相关知识是解题关键． 4．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在 (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点即可； （2）求出直线，直线的解析式，构建方程组求解． 【详解】（1）如图，点即为所求；    （2）∽， ：：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 直线的解析式为， 由，解得， 【点睛】本题考查作图相似变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数确定交点坐标． 【典型例题二 重心的有关性质】 【例1】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，点G为的重心，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的重心，三角形的重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，然后根据求出的值即可，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键. 【详解】解：为的重心， ， ，， ，即， ， ． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，为的中线，G为的重心，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形的重心定理，掌握三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果． 【详解】解：∵为的中线，G为的重心， ∴， ∴， 故答案为：9． 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知在中，点是三角形的重心，连结并延长，交与点G，过点作，交于点，交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，中位线的判定与性质，平行线分线段成比例等知识，连接，并延长交于H点，连接，根据点是的重心，可知、是的中线，即可得，，则有，进而可得，再根据，即有，问题得解． 【详解】解：连接，并延长交于H点，连接，如图， ∵点是的重心， ∴、是的中线， ∴点、点分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，对角线    交于点是的中点，连结交于点F．若的面积为36，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用三角形重心的性质，推出，求出的面积即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 是的中点，， 点F是的重心， ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，是三角形的重心，，过点的直线，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，熟知三角形重心的性质是解题的关键．连接并延长，与交于点，根据重心的性质得出与之间的关系，再由的长得出的长即可解决问题． 【详解】解：连接并延长，与交于点， 点是的重心， ，点为的中点． ，且， ， ． 故答案为：． 3．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形重心的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，是解题的关键； （1）过点作，得出，证明，进而可得，，得出，即可求解． （2）同（1）可得，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴矩形的面积为 （2）解：经过的重心时， ∴， 同（1）可得， ∴ ∵， ∴矩形的面积为 4．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图1，已知平行四边形，为锐角，，E为边上一点，沿折叠，点D恰好落在边F处． (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，再沿折叠，点A落在G处，点B落在H处． ① 若点G恰好为的重心（即三条中线的交点）． 求的值； ② 若添加_____度，且的值为_____两个条件，则以F、H、C、G为顶点的四边形就变成矩形（直接写出结论）． 【答案】(1)见解析 (2)①；②60， 【分析】（1）由折叠的性质可得，，证明，得出，从而可得，再由菱形的判定定理证明即可； （2）①延长交于，由重心的性质可得，即可得出，由折叠的性质可得，，证明，得出，，求出，由（1）可得，即可得解； （3）由平行四边形的性质可得，，，设，则，由（1）可得，四边形为菱形， ∴，结合题意可得和均为等边三角形，求出，，由折叠的性质可性质可得，，， ，证明四边形为平行四边形，再由等腰三角形的性质可得，即可得证． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：①延长交于， ∵为的重心， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴； ② 若添加度，且的值为两个条件，则以F、H、C、G为顶点的四边形就变成矩形， 理由如下：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴设，则， 由（1）可得，四边形为菱形， ∴， ∵， ∴和均为等边三角形， ∴， ∵， ∴由折叠的性质可性质可得：，，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 【点睛】本题考查了折叠的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定定理、等腰三角形的性质、三角形重心等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【典型例题三 利用相似三角形的性质求解】 【例1】（2025·重庆开州·模拟预测）若两个相似三角形的面积之比是1：4，则这两个相似三角形的周长之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知了两个相似三角形的面积比，即可求出它们的相似比；再根据相似三角形的相似比等于周长比即可得解． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4， ∴两个相似三角形的相似比为1：2， ∴这两个相似三角形的周长之比为1：2． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）若，且，则其对应边上的中线 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的对应中线的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 由相似三角形的性质推出，即可求解． 【详解】解：∵，和分别是对应边的中线， ∴， ∴， 故答案为：． 【例3】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，点分别是的边的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【答案】20 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到，，证明，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵D，E分别是的边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故答案为：20． 1．（2025·河南·模拟预测）如图1，在中，动点沿折线以的速度匀速运动，设点的运动时间为，的长度，与的函数图象如图2所示．当（不考虑全等）时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题由题图2可知，，，，根据时，得到，然后即可求解； 【详解】由题图2可知，，，， 又， ∴，， ∴， 当时，点在边上， ∴即， 解得， 故选：B. 2．（2025·山东德州·模拟预测）如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平移的性质，掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．设与交于点，根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算的面积即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵将沿边向右平移2个单位长度得到， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：8． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）对角线把梯形分成四个三角形．已知两个三角形的面积分别是5和20．求梯形的面积是多少． 【答案】45 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，梯形的面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 过点作，交于点，交于点，根据梯形的性质证明出，根据三角形的面积得出相似比，令，，则，最后利用梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， 四边形为梯形， ， ， 即， ， ∴， ， ， 令，，则， ∴， ∴， 所以，梯形的面积是45． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，在中，． (1)在上求作一点D，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，相似三角形的判定和性质． （1）根据相似三角形的性质得出，在根据尺规作图—作垂线的方法和步骤，作出即可； （2）根据相似三角形对应边成比例，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图，点D即为所求． （2）解：， ． 在中，， ． ， ． 【典型例题四 证明三角形的对应线段成比例】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断选项A和B，根据相似三角形的性质即可判断选项C和D． 【详解】A．∵， ∴， 故A符合题意； B．∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴. ， ∴， 故C不符合题意； D．∵， ∴， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·全国·单元测试）如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为 ． 【答案】1∶4 【分析】根据相似三角形的相似比等于对应边的比等于对应边高线、角分线、中线的比等于周长的比即可解题. 【详解】解：根据相似三角形的性质得三角形的相似比为1:4, ∴三角形对应角平分线的比为1:4. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质,属于简单题,熟悉相似三角形的概念是解题关键. 【例3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 【答案】4． 【分析】根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD的长． 【详解】∵△ABC∽△ACD，∴， ∵AB＝9，AC＝6，∴，解得：AD＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】延长AD，BE相交于点M，可得△DFG∽△HCG，△DMG∽△HBG，根据相似三角形的性质可得DF=DM，由△MDE∽△CDF可得，进而得出，再根据比例的性质解答即可． 【详解】解：如图，延长AD，BE相交于点M， ∵DF∥CH， ∴△DFG∽△HCG， ∴ ， ∵DM∥BH， ∴△DMG∽△HBG， ∴ ， ∵CH=BH， ∴DF=DM， 又∵矩形 △MDE∽△CDF， ∴ ∴ ∴   ∴DF＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为 . 【答案】 【分析】如图，过N作NF⊥AD于F，可得NF=AB，根据矩形的性质和折叠的性质可得∠MEN=∠B=90°，EN=BN，根据直角三角形两锐角互余的性质及平角的定义可得∠AME=∠NEF，进而可证明△AEM∽△FNE，根据AE=2AM可求出EF的长，在Rt△FNE中，利用勾股定理可求出EN的长，进而可求出CN的长. 【详解】如图，过N作NF⊥AD于F， ∵四边形ABCD是矩形，AB=6， ∴NF=AB=6， ∵矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处， ∴EN=BN，∠MEN=∠B=90°， ∴∠AEM+∠NEF=90°， ∵∠AEM+∠AME=90°， ∴∠AME=∠NEF， 又∵∠A=∠EFN=90°， ∴△AEM∽△FNE， ∴， ∵AE=2AM，NF=6， ∴EF=3， ∴BN=EN===， ∵BC=8， ∴CN=BC-BN=8-， 故答案为：8- 【点睛】本题考查矩形的性质、增大的性质及相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 3．（2025·上海松江·模拟预测）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知BO是△ABC的AC边上的高，其中BO＝8，AO＝6，CO＝4，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动，同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动，MN交OB于点P．当M运动到点A时，点M、N同时停止运动．设点M运动时间为t． （1）线段AN的取值范围是　 　； （2）当0＜t＜2时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP与△MNA相似，求CM的长； （3）当2＜t＜5时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP是等腰三角形，求CM的长．    【答案】（1）O＜AN＜25；（2）①见解析；②；（3）①见解析；②． 【分析】（1）首先求出点M运动时间，再求出点N运动的路程即可． （2）如图1中，①过点N作NH⊥AC于点H，设AN＝5k，CM＝2k，用k的代数式表示MN、NP即可解决问题． ②只可能是∠MNB＝∠MNA＝90°，△MNP∽△MNA∽△BOA，路程比例式即可解决问题． （3）如图2中，当2＜t＜5时，①方法和前面类似． ②当点M在OA上时，BN＝5k﹣10．由PO∥HN，得，得到PO＝，根据BP＝BN，列出方程即可解决． 【详解】解：（1）∵AC＝OC+AO＝10， 点M运动的速度为2单位长度/秒， ∴t＝＝5，∵5×5＝25， ∴0＜AN＜25． 故答案为0＜AN＜25． （2）如图1中，当0＜t＜2时， ①过点N作NH⊥AC于点H，设AN＝5k，CM＝2k，    ∵NH∥BO， ∴， ∴AH＝3K，OH＝6﹣3k，OM＝4﹣2k，MH＝10﹣5k， ∵PO∥NH， ∴＝＝ ②只可能是∠MNB＝∠MNA＝90°， △MNA∽△BOA， ∴， ∴＝， ∴k＝， ∴CM＝． （3）如图2中，当2＜t＜5时，    ①过点N作NH⊥AC于点H，设AN＝5k，CM＝2k， 则OH＝3k﹣6，OM＝2k﹣4， ∴MH＝5k﹣10， ∵PO∥NH， ∴＝＝． ②当点M在OA上时，BN＝5k﹣10． ∵PO∥HN， ∴， ∴PO＝， 若BP＝BN，则8﹣＝5k﹣10， ∴k＝， ∴CM＝， 若PB＝PN或BN＝NP， ∵∠PBN＞90°， ∴不成立， ∴若△BNP是等腰三角形，CM的长为． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用参数表示相应的线段，把几何问题转化为代数问题． 【典型例题五 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【例1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定．由相似三角形的判定，三角形的三边对应成比例，两三角形相似即可判断． 【详解】根据勾股定理可知： ， 三边比为： 根据格点图及勾股定理知 A．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； B．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； C．三角形的三边比为：，故本选项符合题意； D．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； 故选择：C 【例2】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，，判定． 【详解】解：这个格点三角形可以是（答案不唯一），理由如下： 由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【例3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于 ． 【答案】2.5 【分析】画出图形，利用数形结合的思想，画出相似比为1：的三角形，求出面积即可． 【详解】解：如图△ABC是面积最小的格点三角形，△DEF是面积最大的格点三角形， =2.5 故答案为：2.5． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 1．（24-25九年级上·北京·期末）如图，下面方格纸中小正方形边长均相等.和的各顶点均为格点（小正方形的顶点），若~且两三角形不全等，则P点所在的格点为（    ） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 【答案】D 【分析】根据三角形相似∽，然后利用DE=2，BC=1，所以DP=4，则易得点P落在P4处． 【详解】若∽且两三角形不全等， 则==2． 所以DP=4． 则易得点P落在P4处． 故选D 【点睛】本题考查了三角形相似的性质,掌握该性质是解答本题的关键. 2．（23-24九年级上·山东济南·期中）中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，如图所示是中国象棋的棋盘（各个小正方形的边长均相等），根据“马走日”的规则，“马”应该落在位置 处，能使“马”，“炮”，“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”，“车”，“相”所在位置的格点构成的三角形相似． 【答案】② 【分析】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，确定“帅”、“车”“相”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可； 【详解】解：由图可知：“帅”、“车”、“相”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为4，2，， “兵”、“炮”之间的距离为2， “炮”与②之间的距离为1，“兵”与②之间的距离为， 马应该落在②的位置， 故答案为：②． 3．（2025·湖北荆州·模拟预测）小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形叫做格点图形。如图，在的正方形网格中，画出符合要求的格点三角形.    (1)在图1中画出以C为旋转中心顺时针旋转的三角形； (2)在图2中画出以为边的三角形，且与相似（不全等）. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握旋转性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质可作出点A和B的对应点D和E，使，，，所得即为绕点C顺时针旋转的三角形； （2）根据相似三角形性质取点F，使，，连接，，所得． 【详解】（1）如图，取格点D，E，使，，， 连接，，， 即为所求作； （2）如图，取格点F，使，， 连接，， 即为所求作． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，的顶点都在格点上．    (1)画格点三角形， 使得且面积比为； (2)利用格点在边上求作M、N两点，使得将面积三等分． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查作图-位似变换，相似的性质等知识， （1）根据题意画出图形即可； （2）根据平行线等分线段定理即可得到结论； 解题的关键是掌握相似变换的性质． 【详解】（1）解：即为所求；    （2）如图，点、即为所求．    【典型例题六 利用相似三角形测高】 【例1】（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（   ）米．    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用等角的余角相等得到，则可判断，然后利用相似比可计算出． 【详解】解：如图，，，，    ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴ ， 即， ∴， 即旗杆的高度为． 故选：D 【例2】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片的距离为米，胶片的高为米，若需要投影后的图像高米，则投影机光源A到屏幕的距离为 米． 【答案】6 【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，因为光源与胶片组成的三角形与光源与投影后的图象组成的三角形相似，所以可用相似三角形的相似比解答． 【详解】解：如图所示，过A作于G，交与F， 因为， 所以，，米， 设， 则，即， 解得：， 米， 故答案为：6． 【例3】（2024·吉林松原·模拟预测）如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离，和表示射入室内的光线，若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为 ． 【答案】1.2 【分析】本题考查相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 1．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P；根据题意易得，通过证明，求出，再根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P， ∵水面离桌面的高度为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 根据勾股定理可得：， ∴， 即此时点C离桌面的高度为． 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）早在西汉时期，我国天文学家就提出了一种测量日高的公式——“重差术”．如图，用长度为的杆子（“表”）在间距为的两个地点测日影，测得影长分别为、，用这种方式计算出的日高公式 ．（用、、、的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据，，即：，可得，同理，可得，即：，则有，问题随之得解． 【详解】如图， 根据题意有：，，，，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 同理， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 【答案】教学楼AB的高度为16米 【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质得，即可求出AB． 【详解】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴Rt△AEB∽Rt△CED， ∴，即 解得：AB＝16（米）． 答：教学楼AB的高度为16米． 【点睛】此题考查了相似三角形的实际应用，利用入射角与反射角相等得到相似三角形是解题关键． 4．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离为1.2米；然后，苏海沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，求雕像的高度．    【答案】 【分析】根据已知条件推出，求得与的关系，再根据题意易得四边形、四边形、四边形均为矩形，得到，根据，得，构造一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：设米，如图，    根据题意可得，，， ∴， ∴, ∴， ∵点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，， ∴四边形、四边形、四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得 ∴ 答：雕像的高度为16.8米． 【点睛】本题考查相似三角形的判定、性质与实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【典型例题七 运用相似三角形的性质解决动点问题 】 【例1】（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，中，，，，，点是边上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的值是（    ）    A．2或 B． C．3或 D．3 【答案】A 【分析】根据含30度的直角三角形的性质求出，分两种情况：①，根据相似三角形的性质和判定求出，求出；②，根据相似三角形的性质和判定求出，求出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时， ，， ∴， ∴，即， ∴， ∴；    当时， ，， ∴， ∴，即， ∴， ∴；    综上：的值是2或， 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键． 【例2】（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为，当 s时，以A、P、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的动点问题，根据路程速度时间即可表示出的长度；再分两种情况进行讨论，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴， ∵，为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或时，以、、为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 【例3】（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间为 秒． 【答案】秒或4秒 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，设运动时间为秒，分和，两种情况，利用相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为秒， 当时，如图：    则，，， ，即：， 解得：， 当时，如图：    则，，， ，即：， 解得：， 综上所述，运动时间为秒或4秒， 故答案为：秒或4秒． 1．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．连接，交相交于点，当四边形为菱形时，可得，，由得到，进而得到，解方程即可求解． 【详解】解：如图2，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，， ，，， ， 点由点出发沿方向向点匀速运动，点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为 ∴， ，， ， ∴， ， ， ， ， 又， ， 解得， ， 当四边形是菱形时，的值为； 故选A． 2．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，，，，，垂足为，线段上的动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，以线段为边向上作正方形，设点运动的时间为，当点落在的边上时，的值为 ． 【答案】或11 【分析】需要分在的左边或右边两种情况分别求解即可． 【详解】解：，，，垂足为， ， 当在的左边时，如图： 在边上，由题意得：，， ， ， ， （秒， 当在的右边时，如图： 由题意得：，，， ， ， ， ， （秒． 故答案为：或11． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线截线段成比例、勾股定理、三角形相似，解题的关键是充分利用正方形性质，讨论的位置． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·开学考试）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，当运动时间t为多少秒时？ 【答案】运动时间t为秒时， 【分析】本题考查动点相似三角形，根据题意先表示出，由，则，代入数据计算即可解答． 【详解】解：根据题意：，，，， 则， ∵点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动， ∴（秒）即， ∵， ∴，即， ∴， 解得：（符合题意）， ∴运动时间t为秒时，． 4．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)求点E落在区域（含边界）内的时长； (3)连接，当与相似时，求t的值； (4)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 【答案】(1) (2)秒 (3)的值为或1 (4)1或 【分析】（1）由题意可知，得，由此可知，代入相关数据即可求解； （2）找到临界位置，当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内，再此时证明，可知，据此列出方程即可求解； （3）由（1）可知，，，则，则，分两种情况：当时，；当时，，即：，分别求解即可； （4）由题意得，若将的面积分成两部分，可知或，分两种情况：当时，，当时，，结合面积列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，，则， ∴； （2）由勾股定理可知，， 当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内， 此时，，，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，则， ∴， ∴，即：，解得：， 即：点落在区域（含边界）内的时长为秒； （3）由（1）可知，，，则， 则， ∵， ∴当时，，即：，解得：； 当时，，即：，解得：； 综上，当与相似时，的值为或1； （4）， 若将的面积分成两部分， 则或， 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在线段上，则， 即：点到的距离为1； 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在射线上，则， 即：点到的距离为； 综上，点到的距离为1或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、列代数式、方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 【典型例题八 运用相似三角形的性质解决最值问题】 【例1】（2025·江苏·模拟预测）在以下列长度为边长的4个正方形铁片中，若要剪出一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，则符合要求的正方形铁片边长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明△AEF∽△DCE，得出＝＝，设AE＝xcm，则AD＝CD＝4xcm，DE＝AD﹣AE＝3xcm，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示： △CEF是直角三角形，∠CEF＝90°，CE＝4，EF＝1， ∴∠AEF+∠CED＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠D＝90°，AD＝CD， ∴∠DCE+∠CED＝90°， ∴∠AEF＝∠DCE， ∴△AEF∽△DCE， ∴＝＝， 设AE＝xcm，则AD＝CD＝4xcm， ∴DE＝AD﹣AE＝3xcm， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝42， 解得：x＝， ∴AD＝4×＝． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【例2】（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在四边形中，，，，，．是边上的一个动点，若与相似，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，难度适中，解题的关键是进行分类讨论．由于，故要使与相似，分两种情况讨论：①，②，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出的长，即可解答． 【详解】解：∵，， ， ． 设的长为，则长为． 要使与相似，那么分两种情况： ①，则， 即， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ②，则， 即， 解得或， 经检验，或是分式方程的解且符合题意， 综上，的长为或或， ， 的最大值为，最小值为． 故答案为：，． 【例3】（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形为正方形，点E在边的延长线上，连接并延长交直线于点F，若，则面积的最小值为 ． 【答案】8 【分析】根据正方形的性质可得△BCE∽△AFB，从而得到，进而得到，然后设BE=x，则，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴BC∥AD，BC=CD=AD=AB=2， ∴BC∥AF， ∴△BCE∽△AFB， ∴，即， ∴， 设BE=x，则， ∴， ∵，即 ， ∴， ∴． 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次根式的应用，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次根式的性质是解题的关键． 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）如图，点D是等边的边上（不与A，C点重合）的动点，以为边作等边，与交于点F．已知的边长为a，在点D运动过程中， （1）始终都相似的三角形有 对； （2）的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质即可得出答案； （2）由题意可得，当时，最短，则取最大值，由等边三角形性质得到，，，求出，得到，即，又由，得到，再利用含角的直角三角形即可求解． 【详解】解：（1）∵和是正三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上，相似的三角形有对， 故答案为：； （2）由题意可得，当时，最短，则取最大值，如图： ∵和为正三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴ ∴的最大值为， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）如图，，与之间的距离为3，在上方作等腰直角三角形，，，延长交于点D，在上方作等腰直角三角形，，，分别为、上的动点，且，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，绝对值，平行线之间的距离，等腰直角三角形，构造A型相似是解题关键．分两种情况讨论，构造直角三角形，运用勾股定理表示出的值，然后构造A型相似即可． 【详解】 解：当N在F右边时，如图， 过A作垂直两条平行线，过M作垂直两条平行线，过E作 ∵三角形，三角形是等腰直角三角形，且 ∴，， ， 即，， ， 设， ， ， 构造如图的直角三角形， ， ， ， ， 故当在一条直线上时， 最大 当N在F左边时，如图， 过A作垂直两条平行线，过M作垂直两条平行线，过E作 ∵三角形，三角形是等腰直角三角形，且 ∴，， 则，， ， 设， ， ， ， ， 构造如图的直角三角形，， ， ， ， ， 故当在一条直线上时， 最大 ， 的最大值为 故答案为： 3．（2025·福建龙岩·模拟预测）在中，，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，． (1)如图1，若点是的中点，，则___________； (2)如图2，当时，求证：； (3)若，在点的运动过程中，当长取到最小值时，求的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质得到，得到，求出，即可求解； （2）过点作于点，则，证明，得到，证明，得到，即可得出结论； （3）过点作于点，在上截取，连接，则和都是等腰直角三角形，得到，，证明，得到，根据点在上运动时，对应的点在过点且满足的直线上运动，当时，长最小，此时是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得：，， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：过点作于点，则，如图： 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ， ； （3）解：如图，过点作于点，在上截取，连接，则和都是等腰直角三角形， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在上运动时，对应的点在过点且满足的直线上运动， 当时，长最小，此时是等腰直角三角形， 在中，， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）【问题初探】 （1）如图1，点D是 的边上一点，且．求证：； （2）如图2，在中，，E是边的中点，D是边下方的一个动点，满足，连接，求线段的最大值； 【拓展应用】 （3）如图3，在正方形中，，E是射线上的一个动点，点F在线段上，且满足，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的最小值为 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． （1）直接根据相似三角形的判定和性质即可证明； （2）延长至点F，使得，连接，根据等腰三角形的判定和性质得出，再由三角形中位线的判定和性质得出为的中位线，，利用三角形三边关系即可求解； （3）根据相似三角形的判定和性质得出，，转化为求线段DF的最小值，连接，继续利用相似三角形的判定和性质得出，确定点F的运动轨迹为以为直径的圆上，然后由勾股定理结合图形得出的最小值为，即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长至点F，使得，连接，如图所示： 则垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵E是边的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最大值为； （3）∵，， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， 连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是射线上的一个动点，点F在线段上， ∴点F的运动轨迹为以为直径的圆上， ∴， 连接， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 【典型例题九 相似三角形实际综合应用】 【例1】（2025·四川内江·模拟预测）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为 . 【答案】1 【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得，只要求出BM、BD即可解决问题． 【详解】 ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠DAC=∠ACD， ∴∠DAC=∠ABC， ∵∠C=∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∴ ∴， ∴CD=，BD=BC-CD=6-=， ∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB， ∴△ADM∽△BDA， ∴，即， ∴DM=，MB=BD-DM=-=， ∵∠ABM=∠C=∠MED， ∴A、B、E、D四点共圆， ∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD， ∴△ABD∽△MBE， ∴， ∴． 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题. 【例3】（2025·辽宁阜新·模拟预测）如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是 ． 【答案】12． 【详解】解：∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1． ∵位似比是1：2，∴相似比是1：2．∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：4． ∵△ABC的面积为3， ∴△A1B1C1的面积是：3×4=12． 故答案为：12． 1．（24-25八年级下·山东济南·期中）图1是装满了液体的高脚杯（数据如图所示），图2是用去部分液体后的高脚杯（数据如图所示），则图2中液面的宽度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．由题意得：，可得，，进而判定，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：如图， 由题意得：， ，， ， ， ， 解得：， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，有一块三角形余料，高，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点和点分别在边上，若满足，则的长为 ． 【答案】36 【分析】本题考查相似三角形的应用，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于点K， ∵， ∴可以设，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：36． 3．（2025九年级·陕西·专题练习）如图（1），现有两个边长之比为1：2的正方形与，已知点在同一直线上，且点重合，请你利用这两个正方形，通过裁割、平移、旋转的方法，拼出两个相似比为1；3的三角形． 【答案】见解析 【分析】连接BD并延长交A′D′于点E，交C′D′延长线于点F，将△DA′E绕点E旋转至△FD′E的位置，则△BAD∽△FC′B，且相似比为1：3． 【详解】解：①连接BD并延长交A′D′于点E，交C′D′延长线于点F； ②将△DA′E绕点E旋转至△FD′E的位置，则△BAD∽△FC′B，且相似比为1：3． 由题意可知，AB=AD=A′D=A′E=D′E=D′F， 可证△ADB≌△A'ED≌△DEF，BC：FC'=1：3， C'、D、'F在同一直线上， 则△BAD∽△FC′B，且相似比为1：3． 【点睛】此题主要利用了相似三角形的判定和正方形、旋转的性质等作图，难度中等． 4．（24-25九年级上·天津河西·期末）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，为公共顶点，，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、（点不与点重合，点不与点重合）． （1）求证：； （2）在旋转过程中，试判断等式是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）成立． 【分析】（1）由图形得∠BAE=∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA=∠BAD+45°，可得∠BAE=∠CDA，根据∠B=∠C=45°，证明两个三角形相似； （2）将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，证明△EAD≌△HAD转化DE、EC，使所求线段集中在Rt△BHD中利用勾股定理解决． 【详解】（1）∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°， ∴∠BAE=∠CDA， 又∠B=∠C=45°， ∴△ABE∽△DCA； （2）成立．如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置， 则CE=BH，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°． 连接HD，在△EAD和△HAD中， ∴△EAD≌△HAD（SAS）． ∴DH=DE． 又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°， ∴BD2+BH2=HD2，即BD2+CE2=DE2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线． 【典型例题十 相似三角形的判定与性质综合】 【例1】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，在中，点分别在边和上，且，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，相似三角形的面积比，熟悉掌握相似三角形的面积比为相似比的平方是解题的关键． 利用平行判定出，再通过比值关系运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，直线，直线，与，，分别交于点，，及点，，，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．过点A作交与点G，H，可证明四边形均为平行四边形，，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作交与点G，H， ∵， ∴四边形均为平行四边形，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【例3】（2025·湖南邵阳·模拟预测）在中，在边上取一点D，如图，根据下列作图过程：①以B点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与边交于点M，N；②以D点为圆心、长为半径向内作弧，交于P点；③以P点为圆心、为半径作弧，与前弧在内交于一点Q；④过Q点作射线交于E点．若，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了作图——作等角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．由作法可知，，证明出，进而得到，即可求解． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 1．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，在菱形中，，交的延长线于点E，于点F，若，四边形的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 先根据垂直的意义得出，再根据菱形的性质，得出，，然后根据平行线的性质得出，从而可证，再根据相似三角形的性质列出比例式，从而可得，再设，用m分别表示出，，，再证明四边形是梯形，然后用m表示出，得到关于m的方程求解，从而可求得，进而求出． 【详解】解：∵，交的延长线于点E，于点F， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则AE=， ∴， ， ∵，， ∴四边形是梯形， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴， 故选： D． 2．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，中，，平分，点E为的中点，经过点E作于点F，交于点G，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作，分别交，于点M，N．证明，得出，证明，得出，即可求出结果． 【详解】解：如图，作，分别交，于点M，N． ∵， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ， ， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质. （1）由可知，则，将数据代入计算即可； （2）由（1）知，根据计算即可. 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ，， ， ； （2）解：由（1）知，， ∴． 4．（2025·河北·模拟预测）如图，在中，，，点D为边的中点，点E为边上任意一点，设为x．    【尺规作图】 （1）在图中画出等腰直角，使点D为直角顶点，为直角边，点F在直线的上方（保留作图痕迹，不写作法）； 【拓展运用】 在上述尺规作图的基础上，与交于点G，连接； （2）四边形能否成为正方形，若能，请求出此时x的值，若不能，请说明理由； （3）当时，求x的值； （4）直接写出的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）1或7；（4）． 【分析】本题主要考查作垂线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作图是解答本题的关键． （1）连接，过点在的上方作的垂线，在垂线上截取，连接，则即为所求作的玩物丧志直角三角形； （2）根据正方形的性质得，从而可求出，即可得出的值；． （3）过点F作，交的延长线于点H证明得，，在中由勾股定理列方程求解即可； （4）延长到M，使，连接，证明，根据相似三角形的性质可得二次函数关系式，根据二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）如图所示，即为所作的等腰直角三角形．   ； （2）四边形能成为正方形 由，点D为边的中点，可得， 当四边形为正方形时，，   ， ， ， 在中，， ； （3）如图，过点F作，交的延长线于点H ， ， ，， ， ， 或 在中，即 解得， 的值为1或7   ； （4）延长到M，使，连接，   ， ， ，， ， ， ，即， 当时，有最大值，最大值为． 1．（2025·重庆·模拟预测）两个相似三角形的相似比是，则这两三角形的周长的比是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形的周长比等于相似比，据此进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是，相似三角形的周长比等于相似比， ∴这两三角形周长的比是， 故选：A． 2．（2025·山东临沂·模拟预测）如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（   ） A．1.5 B．1 C．0.5 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，解得， ∴ 故选：A． 3．（24-25九年级上·山西长治·期末）下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，理解并掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形网格的特点和勾股定理，计算出对应的角度或者边长即可判定相似三角形． 【详解】解：．由图可知，两个三角形中都有一个的夹角，且该角的两边比例为，那么，两个涂色的三角形相似，该选项正确，符合题意； ．第一个三角形为等腰三角形，且边长为，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； ．第一个三角形三边长为1，和，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； ．第一个三角形三边长为1，2和，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 4．（2025·重庆江津·模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，是凸透镜的主光轴，O为凸透镜的中心，点F是焦点，，．若物距与像距之比为，测得蜡烛高，则像的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是理解相似三角形对应边成比例．证明，得出，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， 即，解得． 故选：C． 5．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H ∵中，，，点是中点， ∴，平分， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵线段绕点顺时针旋转得到线段 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了三线合一，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．（2025·辽宁·模拟预测）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，牢固掌握其性质是解题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解∶∵两个相似三角形的相似比是， ∴这两个相似三角形的面积比是， 故答案为∶ ． 7．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，的中线，相交于点，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查三角形的重心，熟练掌握三角形的重心是三角形三条边中线的交点及三角形的重心把三角形的中线分成两部分是解题的关键；因此此题可根据三角形重心的性质进行求解即可． 【详解】解：∵的中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴； 故答案为3． 8．（24-25九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 根据题意得出，，易得，，分类讨论当时，利用相似三角形的性质得，解得；当时，，解得，综上所述，与相似，得的值． 【详解】解：由题意知，，， ，， 当时，， ，解得：； 当时，， ，解得：， 故答案为：或． 10．（2025·江苏扬州·模拟预测）小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为 米． 【答案】 【分析】过点D作于点E，连接，则，再根据同一时刻物高与影长成正比求出的长，进而可得出结论． 本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，连接， 则， ∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 11．（2025九年级上·全国·专题练习）已知，和分别是和边上的高，且，，是的中线，，求中对应中线的长． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形中对应线段成比例即可得到答案． 【详解】解：∵，和分别是和边上的高，且和是对应的中线， ∴， 即， ∴． 12．（2025九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】见解析 【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证． 【详解】如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 13．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，与相似． 【答案】(1)经过2秒或4秒，的面积等于； (2)线段不能将分成面积相等的两部分；理由见详解； (3)经过秒或2.4秒时，与相似． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）设经过秒，的面积等于，利用三角形面积公式列出方程求解即可； （2）根据面积之间的等量关系得到关于的一元二次方程，利用根的判别式即可求解； （3）设经过秒时，与相似，分①时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，由题意得，，， ∵的面积等于， ∴， 整理得， 解得，， 故经过2秒或4秒，的面积等于； （2）解：∵的面积， 根据题意得， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； （3）解：设经过秒时，与相似， ①时， ∴， ∴， ∴， ②当时， ∴， ∴， ∴， 综上所述，经过秒或2.4秒时，与相似． 14．（2025·山东泰安·模拟预测）（1）如图1，在矩形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图2，在中，，，，E为边上一点(点E不与点A、B重合)，连接，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？ 【答案】（1）①见解析；②；（2）或2． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题关键． （1）①根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可；②利用相似三角形对应边成比例求解即可； （2）由等腰直角三角形的性质，得到，证明，得到，由为等腰三角形且，可分别两种情况讨论：和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）①证明：由题意得， ∴， ∴， ∴． ②解：∵， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且， 若，则 ∴； 若，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或2． 15．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）清虚阁，位于山西省晋中市榆次老城中，俗称南阁，建成于明代成化五年（1469），是榆次区境内仅见的，也是晋中地区稀有的古代阁楼式建筑杰作，如图，某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量清虚阁的高度． 步骤一：在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且清虚阁，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线； 步骤二：从标杆后退到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线． 请你根据以上数据，计算清虚阁的高度． 【答案】清虚阁的高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键. 根据垂直的定义得到 ，根据相似三角形的性质得到，得到，求得，于是得到结论． 【详解】解： ， ， ， ， ，即 ， ， 解得， ， 解得， 答：清虚阁的高度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $$