第09讲 探索三角形相似的条件（1大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第09讲 探索三角形相似的条件（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 利用两角对应相等判定相似 典型例题二 利用三边对应成比例判定相似 典型例题三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 典型例题四 选择或补充条件使两个三角形相似 典型例题五 相似三角形的判定综合 典型例题六 相似三角形判定定理的证明 知识点01 相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④ 【即时训练】 2．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，则 ． 【即时训练】 3．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【典型例题一 利用两角对应相等判定相似】 【例1】（2025·上海金山·模拟预测）下列说法中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．含角的两个等腰三角形一定相似 D．含角的两个等腰三角形一定相似 【例2】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）． 【例4】（2025·山东济宁·模拟预测）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【例5】（2024九年级上·四川眉山·竞赛）如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有 对． 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 3．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，利用尺规作图在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 4．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中和中，，，，和相似吗？为什么？ 5．（2025·广东·模拟预测）如图，已知在中． (1)实践与操作：用尺规作图法在边上找一点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法，不用证明） (2)应用与求解：若为边上的中线，且，，的周长为，求的周长． 【典型例题二 利用三边对应成比例判定相似】 【例1】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例3】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 【例4】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，于点，连接，过点作交于点．求证：． 【例5】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A．B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·期中）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④ 3．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 5．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形，是一个格点三角形． (1)在图①中，请判断与是否相似，并说明理由； (2)在图②中，请画出一个格点三角形与相似，且相似比为． 【典型例题三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 【例1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 【例4】（2025·广东广州·模拟预测）如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【例5】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在和中，已知，．求证：． 1．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)； (2)． 4．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 5．（2025·四川·模拟预测）如图1，在中，，点D是边上的动点（点D不与点B，C重合），点E，F分别在边，上，且满足，． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)如图2，连接，将沿翻折，使点D落在点G处，连接，， ①求证：； ②若，，当是等腰三角形时，求的长． 【典型例题四 选择或补充条件使两个三角形相似】 【例1】（24-25八年级下·山东东营·期中）如图，下列选项中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，若，点D为的中点，则当 时，． 【例4】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）在与中，，要使，还需满足 ．（（写出一个条件即可） 【例5】（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，与交于点，连接和，要使，请添加一个条件： ． 1．（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，在中，于D，下列条件中，不能使的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，、是以为直径的半圆上任意两点，连接、、，与相交于点，要使与相似，可以添加的一个条件是 （填正确结论的序号）． ①；②；③；④． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知． （1）添加条件______（答案不唯一，写出一个即可），使得； （2）由（1），你还能得到哪两个三角形相似？说明理由． 5．（23-24九年级上·湖南常德·期中）如图1，在中，是边上的一点，联结．要使，还需要补充的一个条件是______，或______．    请回答： (1)补充的条件是______，或______； (2)请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题： 如图2，在中，，．求的度数． 【典型例题五 相似三角形的判定综合】 【例1】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（   ） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B．C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）现有一个直角三角形的两条边长分别为3和6，另一个直角三角形的两条边长分别为2和4，则这两个直角三角形 相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 【例4】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是 （写出一个即可）．    【例5】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 1．（2025·江苏常州·模拟预测）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形是“全相似四边形”．如图，和关于直线对称，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南濮阳·期末）如图，在正方形网格中的斜三角形：①；②；③．其中能与相似的是 （只填写序号） 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，．用尺规过点作直线与交于点，使得（其中与不平行，不写作法，保留作图痕迹）． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，点在上，，且，． (1)求证：； (2)求的长． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”． (1)在中，． ①如图1，若，请过顶点C画出的“形似线段”，并标注必要度数； ②如图2，若，则的“形似线段”的长是______． (2)如图3，在中，，，，若是的“形似线段”，求的长． 【典型例题六 相似三角形判定定理的证明】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）下列三角形中，与下图中的三角形相似的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点D，E在边AC，AB上，下列条件无法使∽的是（　） A． B．∠B=∠ADE C． D． 【例3】（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，已知∠1＝∠2＝∠3，图中有 对相似三角形． 【例4】（24-25九年级上·北京东城·期末）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为 ；当时，为 ．（用含的式子表示） 【例5】（24-25九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 1．（24-25九年级·全国·课后作业）下列各组条件中，不能判定与相似的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）在和中，如果，，，，，，那么这两个三角形能否相似的结论是 ，理由是 ． 3．（24-25九年级上·四川乐山·期中）已知：如图，在中，D、E分别在边、上，连接，，，，，求证：． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，已知，，，． 求的值； 求的长． 5．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，． 求的长； 过点作，交轴于点，求点的坐标； 在的条件下，如果、分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 1．（2024·河北承德·模拟预测）将的各边长作如下变化，得到的新三角形与相似的是（   ） A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，，的平分线交于D，在所有三角形中，相似的是（    ）． A． B． C． D．不存在 3．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·山东烟台·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）    A． 甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 6．（24-25九年级上·湖南永州·期中）如图，要使与相似，则只需添加一个适当的条件是 ．（填一个即可）． 7．（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，的高相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ． 8．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．    9．（2024·山东菏泽·模拟预测）题目：“如图，纸片的直角边，是纸片边上不与、、重合的一点，欲过点剪下一个与相似的三角形．问有几种不同的剪法．”对于其答案，甲答：当点在斜边上时有三种不同的剪法；乙答：当点在直角边上时有三种不同剪法；丙答：当点在直角边上时有四种不同的剪法．回答正确的人是 ．    10．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，中，，点、、分别在、、上，且四边是正方形．若，，，，则 ． 11．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 12．（24-25九年级上·广西·期中）如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 13．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在的方格纸中，每个方格边长为，和都是格点三角形． (1)填空：______，______ (2)判断与是否相似，并说明你的结论． 14．（2024·浙江杭州·模拟预测）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 15．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．    探究： (1)如图甲，已知中，你能把分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由． (2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把图乙第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割如图；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割如图依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形为正整数，设此时小三角形的面积为． 若的面积为1， 求n的值？           当时，请写出一个反映，，三者之间关系的等式（不用证明） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 探索三角形相似的条件（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 利用两角对应相等判定相似 典型例题二 利用三边对应成比例判定相似 典型例题三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 典型例题四 选择或补充条件使两个三角形相似 典型例题五 相似三角形的判定综合 典型例题六 相似三角形判定定理的证明 知识点01 相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．分别算出四个三角形的边长，然后根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：①三角形的三边的长度为：，2，， ②三角形的三边的长度为：，3，， ③三角形的三边的长度为：，2，， ④三角形的三边的长度为：，2，， ∵， ∴相似三角形的是①和④ 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据两组角对应相等的两三角形相似即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 【即时训练】 3．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】证明：，， ， ， ， ． 【典型例题一 利用两角对应相等判定相似】 【例1】（2025·上海金山·模拟预测）下列说法中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．含角的两个等腰三角形一定相似 D．含角的两个等腰三角形一定相似 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．利用相似三角形的判定依次判断可求解． 【详解】解：A、两个等腰三角形不一定相似，故选项A不符合题意； B、两个直角三角形不一定相似，故选项B不符合题意； C、含角的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不符合题意； D、含角的两个等腰三角形一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 首先，利用两角对应相等可证得，然后由，可得，进而可证得，于是得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或（答案不唯一）． 【例4】（2025·山东济宁·模拟预测）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 【例5】（2024九年级上·四川眉山·竞赛）如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有 对． 【答案】4/四 【分析】本题考查相似的判定，熟练掌握相似的判定条件是解题的关键． 是、、的公共角，然后根据所给的相等的角，可找出图中的相似三角形； 再根据，可知，可得出，即可判定出，看共有几组即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴图中相似三角形有4对． 故答案为：4． 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可． 【详解】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：，，；第二个三角形的两个角分别为：，；故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似； 在图②中：，， ∴， ∵， ∴， 故①组和②组的两个三角形都相似． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，利用尺规作图在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，相似三角形的判定， 以点A为圆心以为半径画弧，同样以点B为圆心，以为半径画弧，再以点E为圆心以为半径画弧，交前弧于点H，作交于点D，则点D即为所求作的点.由，可得. 【详解】解：如图所示：点即为所求． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中和中，，，，和相似吗？为什么？ 【答案】相似，利用见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，先根据三角形的内角和定理，求出的度数，再根据两组对应角相等的两个三角形相似，即可得出结论． 【详解】解：和相似，理由如下： 在中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 5．（2025·广东·模拟预测）如图，已知在中． (1)实践与操作：用尺规作图法在边上找一点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法，不用证明） (2)应用与求解：若为边上的中线，且，，的周长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)17 【分析】本题主要考查相似三角形的判定、尺规作角、三角形中线的定义以及三角形周长的计算．解题的关键在于理解相似三角形判定中角的关系用于尺规作图；利用三角形中线定义得到线段相等关系，进而通过已知三角形周长求出相关线段和，从而得出所求三角形的周长． （1）本题要求用尺规作图找出使的点．根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似．在中，已有是和的公共角，所以只需作出 ，就能满足相似条件，点即为所求，且尺规作图方法不唯一． （2）已知是边上的中线，根据三角形中线的定义，可得．已知的周长为，，可先求出的值，再利用，将的值求出，最后加上的长度，就能得出的周长． 【详解】（1）解：如图，作，则点即为所求．（作法不唯一） （2）解：为边上的中线， ． 的周长为16，， ， ∴， ，即的周长为17． 【典型例题二 利用三边对应成比例判定相似】 【例1】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了网格与勾股定理、相似三角形的判定，先分别算出每条边的长度，再根据三边成比例进行判定两个三角形相似，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，，，， 则 ∵， ∴与不相似， 故A选项不符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故B选项不符合题意； 则 ∵， ∴与相似， 故C选项符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故D选项不符合题意； 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边跟不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边跟成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边跟不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边跟不成比例，故不符合题意； 故选：B． 【例4】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，于点，连接，过点作交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、矩形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． 由矩形的性质得，则、，再根据垂直的性质可得，进而得到；再根据角的和差可得，最后根据两组对应角相等的三角形相似即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵于点，交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【例5】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转作图，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定定理． （1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求作的三角形； （2）解：如图所示， 1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先求出题干三角形的三边长，再分别求出各选项三角形的三边长，判断三边是否对应成比例来判断相似． 【详解】解：可求题干三角形中三边长（从小到大）为：， A、可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； B、可求三角形三边长（从小到大）为：，则，故相似，符合题意； C、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； D、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意， 故选：B． 2．（23-24九年级上·全国·期中）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查网格中的相似三角形，观察图形可知小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为，则小长方形的长为，正方形的边长为，分别求出每个三角形的边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：观察图形可知：小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为，则小长方形的长为，正方形的边长为， 图①三角形的三条边长分别为：， 图②三角形的三条边长分别为：， 图③三角形的三条边长分别为：， 图④三角形的三条边长分别为：， ∵， ∴图①和图④的两个三角形相似； 故选D． 3．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两个三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， B、，，，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意， C、有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意， D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， 故选：C． 4．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 5．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形，是一个格点三角形． (1)在图①中，请判断与是否相似，并说明理由； (2)在图②中，请画出一个格点三角形与相似，且相似比为． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三边对应成比例，两三角形相似是解题的关键； （1）根据勾股定理分别求出两三角形的三边长，再根据三边对应成比例，两三角形相似求解即可； （2）由勾股定理可知：，由三角形与相似，且相似比为可知，的三边为：，再根据勾股定理作图即可． 【详解】（1）解：相似，理由： ，， ， ； （2）解：如图：为所求， 【典型例题三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 【例1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．， ， 即， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．， ， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三角形的一个角为判断即可．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：由题意，，， ， 选项A中的三角形是有一个角为，且该角度的邻边之比为，符合题意． 故选：A． 【例3】（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 【例4】（2025·广东广州·模拟预测）如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 【例5】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在和中，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 由得，由得即可得结论． 【详解】证明：， ， 即， ， ， ． 1．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片中，，，． A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断． 【详解】解：， A选项中，三条线段的长为，因为，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与相似；而B选项中长直角边与短直角边的比为3，C、D选项中的两直角边的比为． 故选：A． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)； (2)． 【答案】(1)与相似，理由见解析 (2)与相似，理由见解析 【分析】（）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定求解； （）根据三边对应成比例的两个三角形相似即可判定求解； 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：与相似，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：与相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 5．（2025·四川·模拟预测）如图1，在中，，点D是边上的动点（点D不与点B，C重合），点E，F分别在边，上，且满足，． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)如图2，连接，将沿翻折，使点D落在点G处，连接，， ①求证：； ②若，，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见详解； (2)①证明见详解； ②或或． 【分析】（1）由等边对等角可得：，，，继而得到，再由三角形内角和定理得到，然后得到，，即可证明四边形是平行四边形； （2）①由翻折可知：，，再结合已知条件可得到，再令，，由翻折可知：，，继而得到，即可证明； ②分三种情况：，，进行讨论，通过角度之间的转换得到边相等，进而求出的长． 【详解】（1）解：， ， 又，， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）①证明：由翻折可知：，， ，， ，， ， 令，， ，， ， ， 由翻折可知：，， ， ， ， 又， ； ②是等腰三角形， 可以分为三种情况，分别是：，，， 第一种情况： 当时，， ， ∵四边形是平行四边形， 点、、分别是、、的中点，此时点与点重合， ； 第二种情况： 当时，， ， ， ， ， ， ， ， 过点作交于点，如图3： 在中，， ， ， ， 在中，， ； 第三种情况： ， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 过点作交于点，如图4： 在中，， ， ， ， 综上所述：的长为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定，三角函数，勾股定理等知识，是一道几何综合题，用到了分类讨论的数学思想方法，熟记相关的性质和判定，会通过角度之间的转换得到边相等是解题的关键． 【典型例题四 选择或补充条件使两个三角形相似】 【例1】（24-25八年级下·山东东营·期中）如图，下列选项中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键；利用相似三角形的判定方法依次判断即可． 【详解】解：在和中， A. 若，则有，又由，由两组对应边成比例，且夹角对应相等的两三角形相似，故不符合题意； B. ∵， ∴， ∵ ∴，故选项符合题意； C. ，，由两组角分别对应相等的两个三角形相似，故不符合题意； D. ，又由，由两组角分别对应相等的两个三角形相似，故不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 【例3】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，若，点D为的中点，则当 时，． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：∵点D为的中点，， ∴， ∵， ∴要使，则， 此时； 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）在与中，，要使，还需满足 ．（（写出一个条件即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，本题中已知，再添加即可使． 【详解】解：∵，， ∴． 所以可添加： （答案不唯一）； 故答案为： （答案不唯一）． 【例5】（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，与交于点，连接和，要使，请添加一个条件： ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法可增加角或边的条件即可． 【详解】解：可添加一个条件是：． ∵，， ∴ 故答案为：(答案不唯一)． 1．（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，在中，于D，下列条件中，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数定义，相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：，， ， ， ， ，故A不符合题意； ，， ， ， ，故B不符合题意； ， ， ， ， ， ，故C不符合题意； 的斜边和直角边与的两直角边和对应成比例，不能判定； 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，、是以为直径的半圆上任意两点，连接、、，与相交于点，要使与相似，可以添加的一个条件是 （填正确结论的序号）． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】由两角法可得①正确；由等弦对等弧、等弧所对圆周角相等及两角法可知②正确；由两边夹一角法可以判断③正确，④错误． 【详解】解：如图，∠ADC=∠ADB， ①、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故①选项正确； ②、∵AD=DE， ∴， ∴∠DAE=∠B， ∴△ADC∽△BDA，故②选项正确； ③、∵=BD•CD， ∴AD：BD=CD：AD， ∴△ADC∽△BDA，故③选项正确； ④、∵CD•AB=AC•BD， ∴CD：BD=AC：AB， 但∠ADC=∠ADB不是对应夹角，故④选项错误． 故答案为①②③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．熟练掌握三角形相似的判定方法及圆周角定理是解题关键． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 【答案】不相似，可添加或或（答案不唯一）． 【详解】本题考查了相似三角形的判定，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，或“两角对应相等，两三角形相似”即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 解：不定相似，因为和不是成比例的两边的夹角。 若添加，则可根据“两角对应相等，两三角形相似”得到； 若添加，则可根据“两角对应相等，两三角形相似”得到； 若添加，则可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 得到。 故可添加：，或或（答案不唯一）． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知． （1）添加条件______（答案不唯一，写出一个即可），使得； （2）由（1），你还能得到哪两个三角形相似？说明理由． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2），见解析 【分析】（1）添加的条件是∠BAC＝∠DAE，根据相似三角形的判定定理得出即可； （2）根据相似三角形的性质定理得出∠E＝∠C，再根据相似三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：（1）添加的条件是∠BAC＝∠DAE， ∵，∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE， 故答案为：∠BAC＝∠DAE（答案不唯一）； （2）△AOE∽△COD， 理由是：∵△ABC∽△ADE， ∴∠E＝∠C， ∵∠AOE＝∠COD， ∴△AOE∽△COD． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质定理，能灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理进行推理是解此题的关键． 5．（23-24九年级上·湖南常德·期中）如图1，在中，是边上的一点，联结．要使，还需要补充的一个条件是______，或______．    请回答： (1)补充的条件是______，或______； (2)请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题： 如图2，在中，，．求的度数． 【答案】(1)，，或； (2)． 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．运用两个角对应相等或者夹角相等，两边对应成比例即可证明（1）；延长到点D，使，易得，然后由相似三角形的对应角相等，求得，则可求得的度数，继而求得（2）中的的度数． 【详解】（1）解：由是公共角，可得要使， 所以还需要补充的一个条件是：，，或； （2）解：如图，延长到点D，使，    ∵， 即 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典型例题五 相似三角形的判定综合】 【例1】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（   ） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判断，等腰三角形的性质．根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，故本选项不符合题意； B、有一个角相等的两个直角三角形不一定相似，故本选项不符合题意； C、有一个角是的两个等腰三角形，其三个角一定为，，，一定相似，故本选项符合题意； D、有一组角是对顶角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断A不符合题意； 根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，可判断B不符合题意； 根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，可判断C不符合题意； 由对应成比例的边所夹的角不相等，可知阴影三角形与原三角形不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、且，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，阴影三角形已知两边所夹的角是，原三角形已知两边所夹的角是 ， ，故两三角形不相似，故本选项符合题意； 故答案为D． 【例3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）现有一个直角三角形的两条边长分别为3和6，另一个直角三角形的两条边长分别为2和4，则这两个直角三角形 相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 【答案】不一定 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分类思想的运用，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．如图，分两种情况讨论，当一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4，再利用两边对应成比例，且夹角相等可得两个三角形相似，当一个直角三角形的斜边长为6，直角边长为3时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4，先利用勾股定理求解另一直角边，可得夹直角的两边不成比例，从而可判断两个三角形不相似，从而可得答案． 【详解】解：这两个直角三角形不一定相似． 理由如下： 如图，当一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4， 由于而夹角为直角，所以这两个直角三角形相似； 如图，当一个直角三角形的斜边长为6，直角边长为3时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4， 根据勾股定理得另一直角边长则所以这两个直角三角形不相似． 综上：这两个直角三角形不一定相似； 故答案为：不一定． 【例4】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是 （写出一个即可）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先利用勾股定理求出三边的长，再根据三边对应成比例的三角形相似在图中找到与三边对应边成比例的三角形即可． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得， ，， ∴，， ∴， 同理可得，， 故答案为：（答案不唯一）． 【例5】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 1．（2025·江苏常州·模拟预测）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形是“全相似四边形”．如图，和关于直线对称，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，设交于点O． ∵和关于直线对称， ∴， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证，故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·河南濮阳·期末）如图，在正方形网格中的斜三角形：①；②；③．其中能与相似的是 （只填写序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑是解题关键． 分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：根据网格可知：，，，的三边之比是， 同理可求：①的三边之比是； ∴与不相似， ②中，． ∴②与相似， ③中，． ∴与不相似， 故答案为：②． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，．用尺规过点作直线与交于点，使得（其中与不平行，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析． 【分析】本题考查作一个角等于已知角，三角形相似判定与性质，掌握作一个角等于已知角的方法与步骤是解题关键． 利用作一个角等于已知角方法：作，利用相似三角形的判定定理即可判定． 【详解】解：过点以任意长为半径画弧交角的两边分别为、，再以点D为圆心以长为半径画弧交于，再以点为圆心，长为半径画弧交前弧于，则，过点D作射线交于点E，如图所示， ，， ． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，点在上，，且，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定、解直角三角形的相关计算、勾股定理等知识． （1）由，，即可证明； （2）在中，由三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由三角函数求得的长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵在中，， ， ， ， ， ， ∴的长度为． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”． (1)在中，． ①如图1，若，请过顶点C画出的“形似线段”，并标注必要度数； ②如图2，若，则的“形似线段”的长是______． (2)如图3，在中，，，，若是的“形似线段”，求的长． 【答案】(1)①见解析；②或 (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，勾股定理，解题的关键是掌握三角形相似的判定及性质，及利用分论讨论的思想进行求解． （1）①使即可，②分情况讨论，当时，当时，结合勾股定理求解； （2）进行分类讨论，分和，结合，，进行求解． 【详解】（1）解：①如图所示，线段即为所求，； ②当时，如下图： ， ， ， ， 当时，如下图： 设，则， ， 解得：， ， 则的“形似线段”的长是或， 综上分析可知，的“形似线段”的长为或． （2）解：①若， 则． ，，， ． ②若， 则． ，，， ． 综上所述，． 【典型例题六 相似三角形判定定理的证明】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）下列三角形中，与下图中的三角形相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图示知该三角形是腰长为3的等腰三角形，所以由相似三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】如图： A．根据图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； B．由图示知，该等腰三角形与已知等腰三角形可以由“两边及其夹角法”证得相似．故本选项正确； C．由图示知，该三角形为等边三角形，则它的内角均为60°，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； D．由图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点D，E在边AC，AB上，下列条件无法使∽的是（　） A． B．∠B=∠ADE C． D． 【答案】C 【分析】由于两个三角形有公共角，则根据有两组对应相等的两个三角形相似可对、选项进行判断，根据两组对边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对、选项进行判断. 【详解】， 当或，， 当时，. 故选. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组对应相等的两个三角形相似. 【例3】（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，已知∠1＝∠2＝∠3，图中有 对相似三角形． 【答案】4 【分析】根据已知先判定线段DE∥BC,再根据相似三角形的判定方法进行分析,从而得到答案. 【详解】解:由题意的:∠1=∠2=∠3 DE∥BC△ADE~△ABC, DE//BC∠EDC=∠DCB,又∠ACD=∠ABC, △EDC~△DCB, 同理:∠3=∠2,∠A=∠A, △ABC~△ACD, △ADE~ △ABC, △ABC~△ACD, △ADE~△ACD 相似三角形共4对. 故答案：4. 【点睛】本题考查考查了平行线的判定;及相似三角形的判定: (1)两角对应相等的两个三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似; (3)三边对应成比例的两个三角形相似; (4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 【例4】（24-25九年级上·北京东城·期末）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为 ；当时，为 ．（用含的式子表示） 【答案】 , 【详解】如图，过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由条件可以表示出HO、GO的值，通过证明△PHO∽△QGO由相似三角形的性质就可以求出结论． 解答：解：过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G， ∴∠OHP=∠OGQ=90°． ∵∠ACB=90°， ∴四边形HCGO为矩形， ∴∠HOG=90°， ∴∠HOP=∠GOQ， ∴△PHO∽△QGO， ∴． ∵，设OA=x，则OB=2x，且∠ABC=30°， ∴AH=x，OG=x． 在Rt△AHO中，由勾股定理，得 OH=x， ∴， ∴=． 故答案为． 【例5】（24-25九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 【答案】 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 1．（24-25九年级·全国·课后作业）下列各组条件中，不能判定与相似的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据：有两个角对应相等的两个三角形相似. 【详解】A. ，,有两个角对应相等的两个三角形相似.     B. ，，,得，有两个角对应相等的两个三角形相似. C. ，，两个等腰三角形不一定相似；     D. ①，②，①+②得，所以，有两个角对应相等的两个三角形相似. 故选C 【点睛】考核知识点：三角形相似的条件.熟记三角形相似的条件是关键. 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）在和中，如果，，，，，，那么这两个三角形能否相似的结论是 ，理由是 ． 【答案】 两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似 【分析】先计算出=，=，得到=，加上∠A=∠A′=34°，于是根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断两三角形相似． 【详解】∵AC=5cm,AB=4cm,A′C′=2cm,A′B′=1.6cm， ∴==,=， ∴=， 而∠A=∠A′=34°， ∴△ABC∽△A′B′C′. 故答案为△ABC∽△A′B′C′；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质. 3．（24-25九年级上·四川乐山·期中）已知：如图，在中，D、E分别在边、上，连接，，，，，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据题意求得，，再根据相似三角形的判定证明即可． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，已知，，，． 求的值； 求的长． 【答案】(1);(2)． 【分析】（1）根据AD、BD的长求出AB的长，即可求出的值；（2）根据DE//BC可证明△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质即可求出BC的长； 【详解】∵， ∴ ∴； ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质：平行于三角形的一边的直线截三角形的另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似；有两个角对应相等的三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边成比例；熟练掌握相似三角形的判定定理及性质是解题关键. 5．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，． 求的长； 过点作，交轴于点，求点的坐标； 在的条件下，如果、分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】的长为；的坐标为；存在，的值为或． 【分析】（1）根据点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3）可知OB=3，AO=4，利用勾股定理即可求出AB． （2）根据BC⊥AB，BO⊥AC，利用射影定理即可求出OC，然后可知C点的坐标． （3）假设△APQ与∽△ABC，利用其对应边成比例即可求出x的值． 【详解】(1)∵点A.B的坐标分别为A(−4,0),B(0,3)， ∴OB=3，AO=4， ∴ (2)∵BC⊥AB，BO⊥AC， ∴ 即 ∴C点的坐标是(2.25,0)； (3) 当△APQ与∽△ABC时,PQ∥BC， ∴ ∵AP=CQ=x， ∴ 解得 当△APQ与∽△ACB时,   即 解得：. 答：(1)AB的长为5;(2)C的坐标为(2.25,0);(3)存在,x的值为或． 【点睛】考查相似三角形的判定与性质, 坐标与图形性质, 勾股定理, 射影定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 1．（2024·河北承德·模拟预测）将的各边长作如下变化，得到的新三角形与相似的是（   ） A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：的边长分为， 则，，， 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，，的平分线交于D，在所有三角形中，相似的是（    ）． A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查等边对等角，相似三角形的判定，根据等边对等角，求出，角平分线得到，根据两组对应角对应相等的三角形相似推出，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； 故选C． 3．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键． 分别利用相似三角形的各种判定方法判断即可求解． 【详解】解：A、当且，故，此选项正确，但不符合题意； B、当且，故，此选项正确，但不符合题意； C、当时，无法得到，此选项错误，但符合题意； D、当，即，且，故，此选项正确，但不符合题意． 故选：C． 4．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法依次判断即可．本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， A.若添加，则根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，故A选项正确，不符合题意； B. 若添加，则根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，故B选项正确，不符合题意； C. 若添加，则不能得出，故C选项错误，符合题意； D. 若添加，则根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似” 可得，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 5．（23-24九年级上·山东烟台·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，根据题意得，，，，可得，，即可证得；再根据题意得，，可得，可知新矩形与原矩形不相似，即可求解． 【详解】解：甲：根据题意得，，，， ∴，， ∴， ∴甲说法正确； 乙：根据题意得，，，则，， ∴，， ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴乙说法不正确； 故选：A．    6．（24-25九年级上·湖南永州·期中）如图，要使与相似，则只需添加一个适当的条件是 ．（填一个即可）． 【答案】（任选其一即可） 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）进行添加即可． 【详解】解：与中，，已满足一组对角相等， 根据相似三角形的判定定理，添加或，根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可证与相似； 添加，根据“两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似” ，可证与相似； 故答案为：（任选其一即可）． 7．（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，的高相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可知，从而可证，即得出，即可解答． 【详解】解：∵的高相交于点O， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．    【答案】4 【分析】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可． 【详解】解：如图： ①过点D作AB的垂线段PD，则△APD∽△ACB； ②过点D作BC的平行线PE，交AB于E，则△ADE∽△ACB ③过点D作AB的平行线PF，交BC于F，则△DCF∽△ACB； ④作∠DGC＝∠A，则△GCD∽△ACB． 故答案为：4 【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定方法，解题关键是理解并掌握平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，有两个角对应相等的三角形相似． 9．（2024·山东菏泽·模拟预测）题目：“如图，纸片的直角边，是纸片边上不与、、重合的一点，欲过点剪下一个与相似的三角形．问有几种不同的剪法．”对于其答案，甲答：当点在斜边上时有三种不同的剪法；乙答：当点在直角边上时有三种不同剪法；丙答：当点在直角边上时有四种不同的剪法．回答正确的人是 ．    【答案】甲、丙 【分析】根据相似三角形的性质结合题意，点在斜边上，点在直角边或直角边上，分类讨论即可求解． 【详解】解：当点在斜边上时有三种不同的剪法：沿过点垂直的垂线剪，故甲对；    当点在直角边上时有四种不同剪法： 如图所示，过作交于,则 过作交于，则， 作，则，，则， 作交于点，则，    同理点在直角边上时有四种不同剪法，故乙错，丙对； 故答案为：甲和丙． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 10．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，中，，点、、分别在、、上，且四边是正方形．若，，，，则 ． 【答案】 【分析】设正方形CDEF的边长为x，则EF=ED=x，则利用勾股定理表示出BD=，再证明Rt△BED∽Rt△EAF，利用相似比求出x的值，则开始计算出S△BDE，然后利用相似三角形的性质计算出S△AFE，从而得到△AFE与△BDE的面积和. 【详解】解：设正方形CDEF的边长为x，则EF=ED=x， 所以BD=， ∵ED∥AC， ∴∠BED=∠A， ∴Rt△BED∽Rt△EAF， ∴BD：FE=BE：AE，即：x=3：4， 解得x=， ∴BD=， ∴S△BDE=BD•ED=••=， ∵=（）2， ∴S△AFE=， ∴S1+S2=+=6． 故答案是：6. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了正方形的性质. 11．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，相似三角形的判定，先在的内部作，再结合平行线的性质可得． 【详解】解：如图，点P即为所求． 理由：∵， ∴， 由作图可得：， ∴． 12．（24-25九年级上·广西·期中）如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，A，C三点共线 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 由勾股定理得，； （2）解：∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 13．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在的方格纸中，每个方格边长为，和都是格点三角形． (1)填空：______，______ (2)判断与是否相似，并说明你的结论． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． （1）根据图形求出，根据勾股定理求出即可； （2）求出的值，求出和的值，再根据相似三角形的判定定理即可解答． 【详解】（1）解：由图可知：， 根据勾股定理∶． 故答案为：，． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∴． 14．（2024·浙江杭州·模拟预测）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【答案】①，证明见解析或②，证明见解析． 【分析】若选择条件①，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 若选择条件②，可利用两角相等的两个三角形相似． 【详解】解：选择条件①的证明为： ∵， ∴， 又∵， ∴； 选择条件②的证明为： ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键． 15．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．    探究： (1)如图甲，已知中，你能把分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由． (2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把图乙第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割如图；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割如图依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形为正整数，设此时小三角形的面积为． 若的面积为1， 求n的值？           当时，请写出一个反映，，三者之间关系的等式（不用证明） 【答案】(1)能，详见解析 (2)①；② 【分析】（1）过直角顶点作斜边的垂线即可得出两个与原直角三角形相似的三角形．由于这两个三角形都与原三角形共用一个锐角，又都有一个直角，因此有两个对应角相等，因此都与原三角形相似． （2）①先得出公式，然后按所求的公式进行计算，即可得解．②，，进而即可得解． 【详解】（1）能正确画出分割线（如图，过点C作，垂足为D，即是满足要求的分割线）．    理由：∵ ∴； （2）由图可知，每分割一次得到的图形的小三角形的个数都是前面一个图形中小三角形的个数的4倍，因此当第n个图时，如果设原三角形的面积为S，那么小三角形的面积应该是， ∵的面积为1， ∴经n阶分割所得的小三角形的面积为 ∴， ∴ ②∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是相似图形的识别，关键要联系实际，根据相似图形的定义进行分析．要结合前面几个简单图形得出一般化规律，然后用得出的规律来求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$