2026届高三数学一题多变-解析几何中角度问题讲义

第2题 解析几何中角度问题（一题多变） 【永州市2024届高三第二次模拟考试】已知分别是双曲线的左、右焦点，点为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于两点，点在轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点，则（    ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】 由可得，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，从而可得，在中，由余弦定理可得，进而可得，而，从而可求解. 【详解】 如图 ， ， ， ， 设，则， 平分 ， ， ， 由双曲线定义可知， ，即， 在中，由余弦定理知 化简得 ， 由得 ， 不妨令一条渐近线与线段的交点在第一象限，则 ， . 故选：B 【点睛】关键点点睛：这道题的关键是由可得，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，从而可得. 【题后反思】 圆锥曲线中离心率得问题主要还是建立的齐次式的方程，进行求解．对于这种类离心率问题的处理方法也一样，在建立方程时．几何法：将题目中线段利用将其表示出来，然后再利用相似三角形、勾股定理、余弦定理等等建立方程．代数法：将题目中点的坐标用表示出来，然后将其带入直线方程或者曲线方程．在解圆锥曲线小题时结合定义解题很重要． 【变化角度】变化载体，仍求角，如下： （2024·西藏林芝·模拟预测）已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为，过抛物线的焦点和C的虚轴端点的直线l与C的一条渐近线平行．将C的两条渐近线分别记为，右焦点记为F，若以OF为直径的圆M交直线于O，A两点，点B在上，且，则（    ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】 直线l与C的一条渐近线平行求出可得点坐标，根据得点坐标代入，可得渐近线方程，设，求出，利用平方关系、商数关系、余弦的二倍角公式计算可得答案. 【详解】 过的直线斜率为，则，则，依题知， 且，则，即， 根据，得，代入， 得，渐近线方程， 设， ，由，所以， ． 故选：A. 【点睛】方法点睛：当解析中与向量问题的结合时，一般的思路有两个，一个是寻找几何关系，比如：中点、垂直、角平分线等，利于数形结合求解；另一个是通过向量坐标化，进而转成代数运算求解. 【举一反三】 （2024·陕西西安·三模） 1．已知点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆在第一象限与双曲线的右支交于点，与双曲线的渐近线交于点，直线与轴交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】设，，由双曲线的定义得到，再由勾股定理得到，再联立渐近线与圆的方程求出点坐标，由得到，即可解得，最后由锐角三角函数计算可得. 【详解】依题意可得，设，，由双曲线的定义，可得，① 又由圆的性质可得，则，② 联立，解得或，所以， 由，可得，即，③， 由①②③，解得， 在直角三角形中，． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题关键是得到，，再由锐角三角函数计算即可. （2024·湖南邵阳·三模） 2．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，与其中一条渐近线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得∥，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，由余弦定理可得，从而可求解. 【详解】因为，则∥，且，， 设，则， 又因为平分，则， 可得，， 由双曲线定义可知，， 可得，且， 因为，则， 可得， 即，化简得， 不妨令一条渐近线与线段的交点在第一象限，则， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：这道题的关键是由可得∥，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，再结合余弦定理分析求解. 【变换角度】变问法为求渐近线方程，如下： （23-24高三上·陕西·阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的渐近线方程为（    ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】 根据共线向量的性质、角平分线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理、双曲线的渐近线方程进行求解即可. 【详解】 因为，所以∽． 设，则，设，则，． 因为平分，由角平分线定理可知，， 所以，所以． 由双曲线定义知，即，解得． 又由，得， 所以，即是等腰三角形． 由余弦定理知， 即，化简得，所以， 则双曲线的渐近线方程为．    故选：D 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用角平分线性质和共线向量的性质. 【举一反三】 （2024·全国·模拟预测） 3．双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，易得，再在中，求得，然后利用正弦定理求解. 【详解】解：如图所示： 由，得， 因为直线垂直于双曲线的一条渐近线， 所以在中，，则， 在中，， ， ， 由正弦定理，得，即， 即．整理，得， 即．又，所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为． 故选：D． 【点睛】思路点睛：在，由，表示，再在中，利用两角和的正弦公式表示，然后由正弦定理，建立a，b，c的关系而得解. （2024·黑龙江齐齐哈尔·二模） 4．设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是 ． 【答案】 【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得，再求的正切值，进而即可求得渐近线方程. 【详解】根据题意，作图如下：    依题意，为的角平分线，且， 设，由角平分线定理可得：，则； 在中，由余弦定理； 在中，由余弦定理可得，， 即，解得. 故，， 所以的渐近线方程是． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法： ①直接求出，从而得解； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，从而得解； ③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解. 【变换角度】变问法为求相关线段长，如下： （2024·浙江金华·三模）已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为（    ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】 先根据题意画出图象，由角平分线的性质可得点到直线与的距离相等，进而利用直线的方程可得点的坐标，然后列方程求点的坐标，从而可得. 【详解】 由题意可知，点只能在第一、四象限，不妨设点在第一象限，如图所示：    设，又， 由题意可知，直线的斜率一定存在， 所以，直线，即，则点， 直线，化为一般形式得， 因为点在的角平分线上，所以点到直线与的距离相等， 点到直线的距离， 点到直线的距离， 于是，化简得， 即， 又点在椭圆上，所以，得， 因此，，即， 解得或，点在第一象限，所以，， 则点， 所以. 故选：C. 【点睛】思路点睛：首先设点的坐标，再求出直线，直线的表达式以及点的坐标，最后再根据点到角两边的距离相等以及点在椭圆上，解出点的坐标，最后再求线段的长度. 【举一反三】 （2024·四川·三模） 5．已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】合理构建图形，利用角平分线定理和等比定理得到，再求短轴长度即可. 【详解】 如图，连接在和中， 利用角平分线定理可得 由等比定理可得从而. 故椭圆的短轴长为，故B正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理构建图形，然后利用角平分线定理和等比定理得到，再求解短轴长度即可． （2024·河北秦皇岛·二模） 6．已知A，B为椭圆：上两个不同的点（直线与y轴不平行），F为C的右焦点，且，若线段的垂直平分线交x轴于点P，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，，求出和，由条件得，依次求得线段的中点坐标和其中垂线斜率，写出中垂线方程，令，求得点横坐标即得. 【详解】 如图，由题意知，设，， 根据点A，B在C上，则，， 所以， 同理可得，所以， 所以， 因线段的中点为，， 则的垂直平分线的斜率为， 又由，，作差化简得：， 则线段垂直平分线的方程为， 令，得：， 解得，所以. 故选：A.    【变换角度】变问法为求离心率或范围，如下： （23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）设双曲线的左､右焦点分别为为左顶点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点（点在第一象限）.若，则双曲线的离心率 ， . 【思路分析】 第一空，利用向量平行的性质与平行线分线段成比例得到，从而得到，由此得解；第二空，利用余弦定理，分别在与中，得到与，从而得解. 【详解】 如图， 由题意，知，设双曲线的焦距为，则. 由，得，且， 所以，所以，即， 所以双曲线的离心率. 连接，设， 则. 在和中，由余弦定理的推论， 得， 化简整理，得， 所以在中，由余弦定理的推论， 得. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）. 【举一反三】 （2024·湖北·二模） 7．函数的图象是等轴双曲线，其离心率为，已知对勾函数的图象也是双曲线，其离心率为．则 ． 【答案】 【分析】首先得到双曲线的两条渐近线方程分别为，，根据双曲线的对称性可得渐近线与实轴的夹角为，即，利用二倍角公式求出，最后由离心率公式计算可得. 【详解】由对勾函数的性质可在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，当时，且函数为奇函数，函数图象关于原点对称， 双曲线的方程为， 双曲线的两条渐近线方程分别为，， 渐近线与实轴的夹角为，， ，解得或（舍去）， ， ． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是得到双曲线的两条渐近线方程，从而得到渐近线与实轴的夹角. 8．设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为，且的重心满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据，得到，，然后由等面积法由，结合，解得，再利用距离公式得到，进而得到A的坐标，代入双曲线方程求解即可. 【详解】如图所示： 因为， 所以， 所以，， 所以， 又， 解得， 设，， 所以， . 所以， 解得， 所以，代入双曲线方程得：， 解得， 所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的第一定义和焦半径公式以及内切圆的应用，离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题. （23-24高二下·上海·期中） 9．古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图平面直角坐标系，求出点M、E的坐标，代入双曲线方程，进而求得渐近线方程，利用两角差的正切公式求出两渐近线所夹锐角的正切值，再求出余弦值即可. 【详解】设交于， 以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立如图所示坐标系， 因为圆锥的高，是的中点，且截面垂直于底面， 所以，所以，又因为底面圆半径， 所以，，所以， 设双曲线方程为，将代入， 得，解得，则双曲线的两条渐近线方程为， 由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为， 所以双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是在求得双曲线渐近线方程后，利用两角差的正切公式求出两渐近线所夹锐角的正切值. 10．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查椭圆和双曲线的定义，椭圆和双曲线的离心率，平面几何分析方法，值域的求法.由于椭圆和双曲线有公共点，那么公共点既满足椭圆的定义，也满足上曲线的定义，根据已知条件有，利用定义列出两个离心率的表达式，根据题意求的表达式，表达式分母还有二次函数含有参数，根据三角形两边和大于第三边，求出的取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为，由椭圆和双曲线的几何性质可得，，依题意可知，，代入可得，.故，三角形两边的和大于第三边，故，，故故. 故选：B. 【点睛】（1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系． （2）双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系． （2024·天津河西·一模） 11．已知双曲线C：（，）的焦距为，左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可知，再根据角平分线定理及双曲线定义得是等边三角形，根据边的关系利用余弦定理即可得结果. 【详解】因为，所以，所以， 所以，又， 所以， 又平分，由角平分线定理可知，， 所以，所以， 由双曲线定义知， 所以，， 所以，，，故是等边三角形， 所以，在中， ， 化简得：，所以， 双曲线C的方程为， 故选：A.    【点睛】方法点睛：根据向量共线，角平分线定理及双曲线定义，结合余弦定理可解此题. （2024·四川绵阳·模拟预测） 12．过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得，然后利用点差法可得，进而可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】首先证明：双曲线上的任意点到左焦点与左准线的距离之比为常数（离心率）. 依题意，则点到直线的距离， 所以，则. 由题可知在左支上在右支上，如图，设，在左准线上的射影为，因为， 则且，所以， 设，则， 所以，，即， 所以， 所以，当且仅当即时，等号成立， 故选：C. （2024·安徽合肥·模拟预测） 13．如图，已知圆和椭圆，点，，直线交轴于，直线平行轴交于（点在轴上方），，直线交于点，直线交轴于点，则椭圆的长轴长为 ． 【答案】8 【分析】设出点坐标，结合题意，利用斜率相等可得点坐标，同理可逐步计算出点、点、点、点坐标，最后结合点坐标解出的值即可得解. 【详解】设，由， 解得，，即，即， 则有，即， 又，解得，即， 则，由，有， 设，，有，由可得， 故，化简得，即或（舍去）， 则，则，由，解得， 故椭圆的长轴长为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于设出点坐标，结合题意，利用斜率相等逐步计算出点、点、点、点坐标，最后结合点坐标解出的值. （2024·山东菏泽·模拟预测） 14．已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，点是上第一象限内的一点，到直线的距离为，且，则 ． 【答案】## 【分析】设，依题意可得，即可得到离心率，从而得到，设直线、的斜率分别为、，即可得到，再由及二倍角正切公式求出即，即可求出，最后根据正弦定理及二倍角公式计算可得. 【详解】设，则， 则点到直线的距离， 所以， 则 ， 即椭圆的离心率为，所以， 设直线、的斜率分别为、，其中、， 所以， 又， 所以， 即，解得（负值已舍去），即， 显然为锐角，所以， 由正弦定理， 所以 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是由距离推导出，再由点差法求出. （2024·全国·模拟预测） 15．已知椭圆：与双曲线有相同的左，右顶点A，B，过点A的直线l交于点P，交于点Q．若为等边三角形，则双曲线的虚轴长为 ． 【答案】 【分析】设出坐标，结合椭圆和双曲线的性质表示出和，再由图形关系得到，用正切展开式整理出关于的一元二次方程，解出再验证即可. 【详解】由题意，得，． 设双曲线的方程为，，则， 所以． 同理，得．如图，设，则，，．      由，得．整理，得， 解得或．． 当时，（舍去）； 当时，，所以（负值已舍去），所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是能够利用图形关系和斜率关系得到. （2024·河北·二模） 16．阅读下列两则材料： 材料1．圆锥曲线的轴与顶点的定义：对平面内一圆锥曲线，若存在直线，使得对于曲线上任意一点，要么点在直线上，要么曲线上存在与点相异的一点，使得点与点关于直线对称，则称曲线关于直线对称，直线称为曲线的轴，曲线与其轴的交点称为曲线的顶点． 材料2．某课外学习兴趣小组通过对反比例函数的图象的研究发现：反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线为轴和轴，两条渐近线的夹角为． ①若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，由此可求得其离心率为． ②若，则将与联立可求得双曲线的顶点坐标为，． 完成下列填空： 已知函数的图象是双曲线，直线和轴是双曲线的两条渐近线，则双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为 ． 【答案】## 【分析】根据材料1得到双曲线的轴和顶点的定义，根据双曲线的离心率和其渐近线的斜率之间的关系求双曲线的离心率，利用双曲线的离心率的定义求双曲线的焦点坐标. 【详解】直线和轴是双曲线的两条渐近线， 由阅读材料可知，双曲线的焦点所在的对称轴是直线. 由顶点的定义知，对称轴与双曲线的交点即顶点，联立得， 解得：或，所以双曲线的位于第一象限的顶点为. 若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，则双曲线的离心率 ， 设双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为，则，所以，所以，所以双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2题 解析几何中角度问题（一题多变） 【永州市2024届高三第二次模拟考试】已知分别是双曲线的左、右焦点，点为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于两点，点在轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点，则（    ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】 由可得，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，从而可得，在中，由余弦定理可得，进而可得，而，从而可求解. 【详解】 如图 ， ， ， ， 设，则， 平分 ， ， ， 由双曲线定义可知， ，即， 在中，由余弦定理知 化简得 ， 由得 ， 不妨令一条渐近线与线段的交点在第一象限，则 ， . 故选：B 【点睛】关键点点睛：这道题的关键是由可得，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，从而可得. 【题后反思】 圆锥曲线中离心率得问题主要还是建立的齐次式的方程，进行求解．对于这种类离心率问题的处理方法也一样，在建立方程时．几何法：将题目中线段利用将其表示出来，然后再利用相似三角形、勾股定理、余弦定理等等建立方程．代数法：将题目中点的坐标用表示出来，然后将其带入直线方程或者曲线方程．在解圆锥曲线小题时结合定义解题很重要． 【变化角度】变化载体，仍求角，如下： （2024·西藏林芝·模拟预测）已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为，过抛物线的焦点和C的虚轴端点的直线l与C的一条渐近线平行．将C的两条渐近线分别记为，右焦点记为F，若以OF为直径的圆M交直线于O，A两点，点B在上，且，则（    ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】 直线l与C的一条渐近线平行求出可得点坐标，根据得点坐标代入，可得渐近线方程，设，求出，利用平方关系、商数关系、余弦的二倍角公式计算可得答案. 【详解】 过的直线斜率为，则，则，依题知， 且，则，即， 根据，得，代入， 得，渐近线方程， 设， ，由，所以， ． 故选：A. 【点睛】方法点睛：当解析中与向量问题的结合时，一般的思路有两个，一个是寻找几何关系，比如：中点、垂直、角平分线等，利于数形结合求解；另一个是通过向量坐标化，进而转成代数运算求解. 【举一反三】 （2024·陕西西安·三模） 1．已知点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆在第一象限与双曲线的右支交于点，与双曲线的渐近线交于点，直线与轴交于点，若，则 ． （2024·湖南邵阳·三模） 2．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，与其中一条渐近线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变换角度】变问法为求渐近线方程，如下： （23-24高三上·陕西·阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的渐近线方程为（    ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】 根据共线向量的性质、角平分线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理、双曲线的渐近线方程进行求解即可. 【详解】 因为，所以∽． 设，则，设，则，． 因为平分，由角平分线定理可知，， 所以，所以． 由双曲线定义知，即，解得． 又由，得， 所以，即是等腰三角形． 由余弦定理知， 即，化简得，所以， 则双曲线的渐近线方程为．    故选：D 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用角平分线性质和共线向量的性质. 【举一反三】 （2024·全国·模拟预测） 3．双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． （2024·黑龙江齐齐哈尔·二模） 4．设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是 ． 【变换角度】变问法为求相关线段长，如下： （2024·浙江金华·三模）已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为（    ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】 先根据题意画出图象，由角平分线的性质可得点到直线与的距离相等，进而利用直线的方程可得点的坐标，然后列方程求点的坐标，从而可得. 【详解】 由题意可知，点只能在第一、四象限，不妨设点在第一象限，如图所示：    设，又， 由题意可知，直线的斜率一定存在， 所以，直线，即，则点， 直线，化为一般形式得， 因为点在的角平分线上，所以点到直线与的距离相等， 点到直线的距离， 点到直线的距离， 于是，化简得， 即， 又点在椭圆上，所以，得， 因此，，即， 解得或，点在第一象限，所以，， 则点， 所以. 故选：C. 【点睛】思路点睛：首先设点的坐标，再求出直线，直线的表达式以及点的坐标，最后再根据点到角两边的距离相等以及点在椭圆上，解出点的坐标，最后再求线段的长度. 【举一反三】 （2024·四川·三模） 5．已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B． C． D． （2024·河北秦皇岛·二模） 6．已知A，B为椭圆：上两个不同的点（直线与y轴不平行），F为C的右焦点，且，若线段的垂直平分线交x轴于点P，则（    ） A． B． C． D．    【变换角度】变问法为求离心率或范围，如下： （23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）设双曲线的左､右焦点分别为为左顶点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点（点在第一象限）.若，则双曲线的离心率 ， . 【思路分析】 第一空，利用向量平行的性质与平行线分线段成比例得到，从而得到，由此得解；第二空，利用余弦定理，分别在与中，得到与，从而得解. 【详解】 如图， 由题意，知，设双曲线的焦距为，则. 由，得，且， 所以，所以，即， 所以双曲线的离心率. 连接，设， 则. 在和中，由余弦定理的推论， 得， 化简整理，得， 所以在中，由余弦定理的推论， 得. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）. 【举一反三】 （2024·湖北·二模） 7．函数的图象是等轴双曲线，其离心率为，已知对勾函数的图象也是双曲线，其离心率为．则 ． 8．设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为，且的重心满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． （23-24高二下·上海·期中） 9．古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 10．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是 A． B． C． D． （2024·天津河西·一模） 11．已知双曲线C：（，）的焦距为，左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． （2024·四川绵阳·模拟预测） 12．过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（   ） A． B． C． D． （2024·安徽合肥·模拟预测） 13．如图，已知圆和椭圆，点，，直线交轴于，直线平行轴交于（点在轴上方），，直线交于点，直线交轴于点，则椭圆的长轴长为 ． （2024·山东菏泽·模拟预测） 14．已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，点是上第一象限内的一点，到直线的距离为，且，则 ． （2024·全国·模拟预测） 15．已知椭圆：与双曲线有相同的左，右顶点A，B，过点A的直线l交于点P，交于点Q．若为等边三角形，则双曲线的虚轴长为 ． （2024·河北·二模） 16．阅读下列两则材料： 材料1．圆锥曲线的轴与顶点的定义：对平面内一圆锥曲线，若存在直线，使得对于曲线上任意一点，要么点在直线上，要么曲线上存在与点相异的一点，使得点与点关于直线对称，则称曲线关于直线对称，直线称为曲线的轴，曲线与其轴的交点称为曲线的顶点． 材料2．某课外学习兴趣小组通过对反比例函数的图象的研究发现：反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线为轴和轴，两条渐近线的夹角为． ①若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，由此可求得其离心率为． ②若，则将与联立可求得双曲线的顶点坐标为，． 完成下列填空： 已知函数的图象是双曲线，直线和轴是双曲线的两条渐近线，则双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$