精品解析：黑龙江省双鸭山市友谊县第三中学2024-2025学年下学期 期中考试八年级数学试题

2024-2025学年度第二学期友谊县第三中学期中考试 八年级数学试题 考试时间：90分钟 总分120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式定义，立方根的求解，求一个数的绝对值，利用二次根式的性质化简，解题关键是熟练掌握相关运算． 根据二次根式定义，立方根的求解，求一个数的绝对值，利用二次根式的性质化简对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，无意义，不能计算，不符合题意，选项错误； 选项，，计算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，计算正确，符合题意，选项正确； 选项，，计算错误，不符合题意，选项错误． 故选：． 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．结合二次根式的性质求解即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标系中两点距离计算公式，坐标系中点和点的距离为，据此求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离为， 故选；D． 5. 已知，，为的三条边长，满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴能构成直角三角形， 故A不符合题意； B、∵， ∴能构成直角三角形， 故B不符合题意； C、∵，，， ∴能构成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵， ∴最大角， ∴不能构成直角三角形， 故C符合题意； 故选：C． 6. 如图，在的方格中，每个小正方形的边长为1，点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，点E所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了网格与勾股定理，实数与数轴，正确理解题意利用勾股定理求得是解题的关键． 根据勾股定理求出，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点E所表示的数是， 故选：D． 7. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（ ）． A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，勾股定理的应用，作辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，设旗杆的高度为，则，，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，标注各点，过点作于点， ，， 设旗杆的高度为，则，， 在中，， ， 解得：， 故选：A 8. 如图，菱形的对角线相交于点O，于点H．若，菱形的周长为32，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含度直角三角形的性质和勾股定理，灵活运用所学知识是解题关键．由菱形的性质可知，，，再根据含度直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为32， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，则， 又∵， ∴， 故选：B． 9. 已知：中，，D为边上一点，，，于H，延长线交于E，则的长为（　　） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，由等腰三角形的性质得出，证出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，对角线，交于点O，平分交于E，点M为的中点，连接并延长分别交，于点N，R下列结论：①是等腰三角形；②；③平分；④是等边三角形，正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，由正方形性质结合平分得到，然后得到，即可证明①正确；结合点M为的中点和等腰三角形得到，，即可证明②正确；过作于，于，证明，得到得到③正确；由可得不可能是等边三角形，④错误． 【详解】解：∵正方形， ∴，，，，， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故①正确； ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故②正确； 过作于，于，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 故③正确； ∵， ∴， ∴不可能是等边三角形， 故④错误， 综上所述，正确的是①②③， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握这个知识点是解题关键． 根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 计算的结果是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，根据零指数幂及绝对值进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为： 13. 如图所示，四边形的对角线，互相平分，若要添加一个适当的条件使它成为菱形，则这个条件可以是_______________(只填一个即可)． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定求解即可． 【详解】解：∵四边形的对角线，互相平分， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图所示，在中，，点D是的中点，点E是的中点，连接，若，则____．  【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，由直角三角形的性质得出，由三角形中位线定理得出，由勾股定理求出，则可求出答案．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：点D是的中点，点E是的中点， , ,点D是的中点， ， 根据勾股定理， ． 故答案为：3． 15. 跨学科一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，轴对称的知识．根据题意，作点关于的对称点交轴于点，则，，过点作轴，根据点，可得，，根据勾股定理，求出，即可． 【详解】解：作点关于的对称点交轴于点， ∴，， 过点作轴， ∵点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴光线从点到点经过的路线长是． 故答案为：． 16. 有一个水池，水面是一个边长为10 m的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1m，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度是_____m． 【答案】12 【解析】 【分析】首先设水池的深度为m，则这根芦苇的长度为m，根据勾股定理可得方程，求解即可． 【详解】解：设水池的深度为m，由题意得： ， 解得：， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，能从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题的关键． 17. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是___. 【答案】3 【解析】 【分析】先估算,再估算,根据6－的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2, y=,然后再代入计算即可求解. 【详解】因为, 所以, 因为6－的整数部分为x,小数部分为y, 所以x=2, y=, 所以(2x＋)y=, 故答案为:3. 【点睛】本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法. 18. 如图，在正方形中，，为边上一点，．为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作于点、于点，连接、，则的最小值为______． 【答案】13 【解析】 【分析】连接、，由四边形为矩形，得，由正方形的对称性得，即知，故当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，由，，可得，从而的最小值为13． 【详解】解：连接、，如图： ，，， 四边形为矩形， ， 四边形是正方形， 由正方形的对称性可得， ， ， 当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，如图： ，， ， ， 的最小值为13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是把求的最小值问题转化成求的长． 19. 如图，点是矩形的边上的动点，沿直线将折叠，点落在点位置．已知：，则当点恰好落在矩形的对称轴上时，的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，轴对称的性质，矩形的对称轴为对边中点形成线段所在的直线，据此分情况讨论，分别画出图形，根据折叠和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图1，取、的中点、，则直线是矩形的对称轴，当点恰好落在上时，连接， ∵垂直平分， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得； 如图2，取、的中点、，则直线是矩形的对称轴，当点恰好落在上时，连接， ∵矩形，， ∴，， ∵、的中点、， ∴，四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴， ∵中，，，，， ∴， 解得， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 20. 如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B1，…．依次规律继续下去，则正方形AnBnCnDn的面积为____． 【答案】． 【解析】 【详解】在Rt△A1BB1中，由勾股定理可知； = = ， 即正方形A1B1C1D1的面积= ； 在Rt△A2B1B2中，由勾股定理可知： = = ； 即正方形A2B2C2D2的面积= ，…， ∴正方形AnBnCnDn的面积= ． 故答案为 ． 考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题． 三、解答题 21. 计算： （1）； （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算．解题的关键在于熟练掌握二次根式的性质进行化简并正确计算． （1）先计算二次根式的乘法，然后化简，最后进行加减运算即可； （2）先根据二次根式的性质进行化简计算括号里的，然后进行除法运算，最后进行加减运算即可； （3）先根据二次根式的性质化简，计算乘法，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．先计算括号内减法，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 23. “一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，， （1）护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； （2）证明： 【答案】（1）无人机飞行路径的长为 （2） 证明：，， ， 是直角三角形，且， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 答：无人机飞行路径的长为； 【小问2详解】 略 24. 如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点． （1）求证：； （2）连接，为的中点，连接．若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形中位线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据四边形是平行四边形，得到，从而证明，进而得证； （2）根据三角形的中位线，即可求解； 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∴， ， ， 在和中， ，，， ， ； 【小问2详解】 解：∵点为的中点，， 是的中位线， ， ，． 25. 如图，在矩形中，，点从点出发沿向终点运动，点从点出发沿向终点运动．两点同时出发，它们的速度都是．连接．设点运动的时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形？ （2）当为何值时，四边形是菱形？ 【答案】（1）当时，四边形是矩形 （2）当时，四边形是菱形 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理的运用， （1）根据题意可得，，当时，四边形是矩形，由此列式求解即可； （2）根据题意可证四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 已知点从点运动，点从点运动．两点同时出发，速度都是，设点运动的时间为， ∴， ∴， 已知，，则当时，四边形是矩形， ∴， 解得，， ∴当时，四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵， ∴， 在中，， ∴，整理得，， 解得，， ∴当时，四边形是菱形． 26. （1）【初步感知】如图1， 在正方形中， E、F分别是、边上的点， 且， 求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后， 将沿进行翻折， 得到， 射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是          ． （2）【类比探究】 如图3， 正方形中， E、F分别在边、的延长线上， 且， 连接， 试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． （3）【拓展应用】 如图4，在四边形中，，，，且，，，直接写出的长． 【答案】初步感知：； 类比探究：，理由如下： 在上截取，连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 拓展应用： 【解析】 【分析】初步感知：先证明、C、M在同一直线上，再证明，得出，根据，得出； 类比探究：在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； 拓展应用：在上取点M，连接，证明，得出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：初步感知：∵将绕着点D逆时针旋转到， ∴，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴、C、M在同一直线上， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 类比探究：略 拓展应用：在上取点M，使连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，则，， ∵， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期友谊县第三中学期中考试 八年级数学试题 考试时间：90分钟 总分120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（ ） A. B. 4 C. D. 5 5. 已知，，为的三条边长，满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 6. 如图，在的方格中，每个小正方形的边长为1，点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，点E所表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（ ）． A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 8. 如图，菱形的对角线相交于点O，于点H．若，菱形的周长为32，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 9. 已知：中，，D为边上一点，，，于H，延长线交于E，则的长为（　　） A. B. C. D. 1 10. 如图，在正方形中，对角线，交于点O，平分交于E，点M为的中点，连接并延长分别交，于点N，R下列结论：①是等腰三角形；②；③平分；④是等边三角形，正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 有意义，则的取值范围是______． 12. 计算的结果是___________． 13. 如图所示，四边形的对角线，互相平分，若要添加一个适当的条件使它成为菱形，则这个条件可以是_______________(只填一个即可)． 14. 如图所示，在中，，点D是的中点，点E是的中点，连接，若，则____．  15. 跨学科一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是_______． 16. 有一个水池，水面是一个边长为10 m的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1m，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度是_____m． 17. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是___. 18. 如图，在正方形中，，为边上一点，．为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作于点、于点，连接、，则的最小值为______． 19. 如图，点是矩形的边上的动点，沿直线将折叠，点落在点位置．已知：，则当点恰好落在矩形的对称轴上时，的长为_______． 20. 如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B1，…．依次规律继续下去，则正方形AnBnCnDn的面积为____． 三、解答题 21. 计算： （1）； （2） （3） 22. 先化简，再求值：，其中． 23. “一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，， （1）护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； （2）证明： 24. 如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点． （1）求证：； （2）连接，为的中点，连接．若，求的长． 25. 如图，在矩形中，，点从点出发沿向终点运动，点从点出发沿向终点运动．两点同时出发，它们的速度都是．连接．设点运动的时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形？ （2）当为何值时，四边形是菱形？ 26. （1）【初步感知】如图1， 在正方形中， E、F分别是、边上的点， 且， 求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后， 将沿进行翻折， 得到， 射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是          ． （2）【类比探究】 如图3， 正方形中， E、F分别在边、的延长线上， 且， 连接， 试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． （3）【拓展应用】 如图4，在四边形中，，，，且，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $