第十一章不等式与不等式组 复习学案 2024-2025学年人教版七年级数学下册

第十一章不等式与不等式组 小结导学案 一、学习目标 1. 系统掌握不等式、不等式的性质、一元一次不等式及一元一次不等式组的核心概念。 1. 熟练运用不等式性质求解一元一次不等式与不等式组，能准确在数轴上表示解集。 1. 提升从实际问题中抽象出不等式（组）模型并解决问题的能力，强化数学应用意识。 二、学习重难点 重点：不等式的性质及其应用；一元一次不等式和一元一次不等式组的解法与解集表示；利用不等式（组）解决实际问题。 难点：准确运用不等式性质 3（两边乘除负数时不等号变向）；在实际问题中精准找出不等关系，列出合适的不等式（组）；理解不等式组解集多种情况并正确判断。 三、知识点自主预习填空 1. 用符连接而成的式子叫做__________。 1. 不等式的性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向__________；性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个__________，不等号的方向不变；性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个__________，不等号的方向__________。 1. 只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式叫做__________。 1. 解一元一次不等式的一般步骤为：去分母、、移项、、系数化为1。 1. 把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，组成__________，其解集是各个不等式解集的__________。 四、知识点详细讲解与要点讲解 知识点 1：不等式的概念与性质 详细内容： 不等式是用不等号连接的式子，用于表示两个量之间的不等关系 。例如3 > 2，x +等。 不等式有三条重要性质： 1. 性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。如a > b，则a + c > b + c，a - c > b - c 。 1. 性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。即a > b，c > 0时，ac > bc，。 1. 性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。当a > b，c < 0时，ac < bc，。 常考易错点：混淆不等式性质 2 和 3，在乘除负数时忘记改变不等号方向；对 “同一个数（或式子）” 理解不透彻，导致错误运用性质 1 。 经典例题 1：若-2x > 4，根据不等式性质，在不等式两边同时__________，可得x < -2。 A. 乘-2 B. 除以-2 C. 加2 D. 减2 答案：B 解析：要将-2x > 4变形为x < -2，需消除x的系数-2，根据不等式性质 3，两边同时除以-2，不等号方向改变，所以选 B。 知识点 2：一元一次不等式 详细内容： 一元一次不等式具备三个特征：只含一个未知数、未知数次数为1、不等号两边是整式 。解一元一次不等式步骤类似一元一次方程，但要注意不等式性质的运用 。例如解，先去分母得，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作，最终得出解集。 常考易错点：去分母漏乘不含分母项；去括号忽略符号；移项未变号；系数化为1时未考虑系数正负对不等号方向的影响 。 经典例题 2：解不等式3 答案： 去括号得：； 移项得：； 合并同类项得：； 系数化为1得：。 解析：按照解一元一次不等式步骤，逐步化简求解，注意每一步的运算规则与不等式性质的应用。 知识点 3：一元一次不等式组 详细内容： 一元一次不等式组由多个含相同未知数的一元一次不等式组成，其解集是各不等式解集的公共部分 。求解时先分别解每个不等式，再通过数轴或口诀（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到）确定解集 。如，解第一个不等式得x > 1，解第二个得x 公共部分是，即不等式组解集。 常考易错点：解不等式出错影响后续解集确定；混淆解集情况口诀导致错误判断；在数轴上表示解集时，空心圈与实心点使用不当 。 经典例题 3：不等式集是（ ） A. x > 1 B. C. D. 无解 答案：C 解析：解x + 2 > 3得x > 1，解，属于 “大小小大中间找”，所以解集是1 < ，选 C。 知识点 4：不等式（组）的实际应用 详细内容： 应用不等式（组）解决实际问题，关键在于找出题目中的不等关系，如 “不超过”“不少于”“至少” 等关键词 。设未知数后列出不等式（组），求解并结合实际意义检验结果 。例如，某商店进两种商品，甲进价10元，售价15元；乙进价20元，售价28元。若准备用不超1000元进共60件，且利润不少于400元，设进甲商品x件，可列不等解。 常考易错点：不能准确挖掘不等关系，列错不等式（组）；未根据实际情况（如商品数量为整数）对解进行筛选 。 经典例题 4：为迎接校庆，学校计划购买A、B两种奖品共50件，A种奖品每件15元，B种奖品每件20元，总费用不超过850元，求最多可购买A种奖品多少件？ 答案：设购买A种奖品x件，则购买B种奖品(50 - x)件。 根据题意列不等式：15x + 去括号得：； 移项得：0； 合并同类项得：0； 系数化为1得：。 因为x为奖品数量，所以x最大取30。 答：最多可购买A种奖品30件。 解析：根据总费用不超过850元列出不等式，求解后结合实际意义确定x的最大值。 五、效果检测（判断题） 1. 是一元一次不等式。（ ） 1. 若a > b，则-3a > -3b。（ ） 1. 解一元一次不等式2 - 3x > 5，移项得3x > 5 - 2。（ ） 1. 不等式组是x > 2。（ ） 1. 用数轴表示不等式x < -1的解集时，在-1处画实心点。（ ） 1. 一元一次不等式3x。（ ） 1. 从实际问题列出不等式（组）的关键是找出相等关系。（ ） 1. 不等式。（ ） 1. 若x = 3是不等式ax > 5的一个解，则a一定大于0。（ ） 1. 解不等式母得x - 1 > 2。（ ） 6、 课后作业 1．若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知实数满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知是实数，若，则下列不等式中，不正确的是（    ） A． B． C． D．2 4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式组的整数解有且只有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若不等式组恰好有两个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．若不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知是常数，关于，的二元一次方程组，满足，则的取值范围是 ． 10．已知，若，则的取值范围是 ． 三、解答题 11．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围． 12．（1）计算：； （2）解不等式：． 13．解方程组与不等式： (1)； (2)． 14．（1）解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． （2）解不等式组： 15．（1）计算：； （2）解不等式组：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 七、答案与解析 （一）知识点自主预习填空答案 1. 不等式 1. 不变；正数；负数；改变 1. 一元一次不等式 1. 去括号；合并同类项 1. 一元一次不等式组；公共部分 （二）效果检测答案与解析 1. 答案：× 解析：该不等式含有两个未知数x和y，不满足一元一次不等式 “一元” 条件，所以不是一元一次不等式。 1. 答案：× 解析：因为-3 < 0，根据不等式性质 3，a > b两边同时乘-3，不等号方向改变，应是-3a < -3b。 1. 答案：× 解析：移项要变号，解2 - 3x > 5，移项应得-3x > 5 - 2，不是3x > 5 - 2。 1. 答案：× 解析：根据 “同大取大”，不等式集应是x > 4，不是x > 2。 1. 答案：× 解析：x < -1不包含-1，在数轴上-1处应画空心圈，不是实心点。 1. 答案：√ 解析：解3x - 1，移项，两边除以，所以该说法正确。 1. 答案：× 解析：从实际问题列出不等式（组）的关键是找出不等关系，不是相等关系。 1. 答案：√ 解析：解解x - 2 < 0得x < 2，属于 “大小小大中间找”，解集< 2。 1. 答案：× 解析：当a < 0时，若x = 3是ax > 5的一个解，如a = -2，-2×3 = -6，但当x = 3时，-2×3 > 5不成立；当a > 0时，3a > 5，所以a不一定大于0。 1. 答案：√ 解析：不等两边同时乘2去分母，得x - 1 > 2，该说法正确。 （三）课后作业答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B D B D B B 1．C 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：， ，，，故选项A、B错误，选项C正确； 当，则，即，故选项D错误； 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．注意：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、由，两边乘以2后仍保持方向，即，故本选项不符合题意； B、整理得，，由，得，故本选项符合题意； C、由，两边乘以负数，不等号方向改变，得，故本选项不符合题意； D、由，两边减5后仍保持方向，即，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了不等式性质，解题的关键是掌握：不等式的两边加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；乘以或除以同一个不为0的正数，不等号的方向不变；乘以或除以同一个不为0的负数，不等号的方向改变． 直接利用不等式的基本性质分析即可得答案． 【详解】解：， ∴，，， 故A，C，D正确，B错误． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了不等式的解集在数轴上的表示，依次判断各选项即可． 【详解】A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意． 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式组整数解有且只有2个，得出关于m的不等式是解此题的关键．先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于m的不等式即可． 【详解】解：∵关于的不等式组有解， 解不等式组，得， ∵该不等式组的整数解有且只有2个， ∴不等式组的整数解为，， ∴， 解得： 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了解不等式组，求不等式组的整数解，先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围，即可作答． 【详解】解：解不等式组： ∴解第一个不等式，得； ∴解第二个不等式，得； ∴不等式组的解集为， 由题意，该解集中有3个整数解，整数解的范围为（共3个）， ∴， 故选：D． 7．B 【分析】本题考查解不等式组，确定解集范围．根据恰好有两个整数解的条件，建立关于的不等式求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵恰好有两个整数解，由于，可能的整数解为0和1， ∴， 解得：， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，根据不等式组的解集口诀：大大小小没有解得出k的取值范围即可． 【详解】解：原不等式组为， ∵不等式组无解， ∴， 故选：B． 9． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组，一元一次不等式的解法是解题的关键． 把两个方程相加，得到，然后根据，求出的取值范围． 【详解】解：， 得：， ∴ ∵， ∴， 解得:， 故答案为：． 10．． 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练运用消元思想以及等量代换思想进行计算是解题的关键．本题先得出，进一步代入，结合即可得出的取值范围． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了已知方程组的解求字母参数的值，解一元一次不等式，解题关键是掌握加减消元法． 先利用加减消元法求出方程组的解，代入中，得到关于字母参数的不等式求解． 【详解】解： 得：， 即， ∵， ∴， 解得． 12．（1）2；（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元一次不等式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算立方根和绝对值，再计算加减法即可得到答案； （2）按照去分母，移项，合并同类项的步骤解不等式即可得到答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2） 去分母得：， 移项得： 合并同类项得：． 13．(1)； (2)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握解法及步骤是解题的关键． （）利用加减消元法解方程组； （）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为即可求解；． 【详解】（1）解： 得：， 得：， ∴得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴二元一次方程组的解为； （2）解： ． 14．（1）；正整数解为：；（2） 【分析】本题考查的是解一元一次不等式、一元一次不等式组， （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，并求得正整数解，即可求解 （2）先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， ∴正整数解为：； （2） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：． 15．（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，求不等式组的解集，熟练掌握相关运算法则，解不等式的步骤，正确的计算是解题的关键． （1）先计算立方根与算术平方根、化简绝对值，再计算加减法即可得； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式 （2） 解不等式①得，， 解不等式②得，， 原不等式组的解集为． $$