11.2 一元一次不等式导学案　2024—2025学年人教版七年级数学下册

11.2 一元一次不等式导学案 本导学案围绕一元一次不等式展开，通过明确学习目标、剖析重难点，结合知识点详解、例题与练习，助力学生掌握一元一次不等式的概念、解法及应用，提升数学思维与解题能力。 一、学习目标 1. 准确理解一元一次不等式的概念，能熟练辨别一元一次不等式。 1. 熟练掌握一元一次不等式的解法，能正确求解并在数轴上表示解集。 1. 学会运用一元一次不等式解决实际问题，培养数学建模和逻辑推理能力。 二、学习重难点 重点：一元一次不等式的概念；一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示；运用一元一次不等式解决实际问题。 难点：在解不等式过程中，正确运用不等式性质，特别是当系数为负数时不等号方向的改变；从实际问题中准确找出不等关系，列出一元一次不等式。 三、知识点自主预习填空 1. 只含有______个未知数，未知数的次数是______，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。 1. 解一元一次不等式的一般步骤为：去分母、、移项、、系数化为1。 1. 在去分母时，若不等式两边同时乘同一个负数，不等号的方向______；系数化为1时，当不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向______。 1. 用数轴表示一元一次不等式的解集时，大于向______画，小于向______画；不等号为 “>”“<” 时，数轴上表示边界值的点用______表示；不等，数轴上表示边界值的点用______表示。 四、知识点详细讲解与要点讲解 知识点 1：一元一次不等式的概念 详细内容： 一元一次不等式是只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式。例如一元一次不等式的定义。其中 “一元” 表示只有一个未知数，“一次” 表示未知数的最高次数是1 。判断一个不等式是否为一元一次不等式，需要同时满足这几个条件，缺一不可。 常考易错点：容易忽略 “未知数的次数是1” 和 “不等号两边都是整式” 这两个条件。例如，分母中含有未知数x，不满足整式条件，所以不是一元一次不等式； 5，未知数x的次数是2，也不是一元一次不等式 。 经典例题 1：下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A. x + y > 5 B. C. 2 D. 答案：C 解析：A 选项含有两个未知数x和y，不满足 “一元”；B 选项未知数x的次数是2，不满足 “一次”；D 选项分母中含有未知数x，不是整式，不满足条件；C 选项只含有一个未知数x，未知数次数是1，且不等号两边都是整式，是一元一次不等式，所以选 C。 变式题 1：的一元一次不等式，则m的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 0 答案：B 解析：因为式，所以|m。由|m| - 1 = 1可得|m| = 2，即m = \pm 2；又因为m 所以综上m = -2，选 B。 知识点 2：一元一次不等式的解法 详细内容： 解一元一次不等式的一般步骤和一元一次方程类似，但在运用不等式性质时要特别注意不等号方向的变化。 1. 去分母：根据不等式性质 2 或 3，在不等式两边同时乘各分母的最小公倍数，去掉分母。若乘的数是负数，不等号方向改变。 1. 去括号：根据乘法分配律去掉括号，注意括号前的符号，若括号前是负号，去括号后括号内各项要变号。 1. 移项：根据不等式性质 1，把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号。 1. 合并同类项：将同类项进行合并，化简不等式。 1. 系数化为 ：根据不等式性质 2 或 3，在不等式两边同时除以未知数的系数。当系数为负数时，不等号方向改变 。例如解不等式2x - 3 > 5x + 1，移项得2x - 5x > 1 + 3，合并同类项得-3x > 4，系数化为1，两边同时除以-3，不等号方向改变，得到。 常考易错点：去分母时漏乘不含分母的项；去括号时，忽略括号前的负号导致括号内各项变号错误；移项忘记变号；系数化为1时，没有根据系数的正负正确改变不等号方向。 经典例题 2：解不等，并把解集在数轴上表示出来。 答案：。在数轴上表示为：先画数轴，找到-1这个点，画实心点（因包含-1），然后向右画一条线。 解析： 去分母，两边同时乘6得：； 去括号得：4x -3； 移项得：46； 合并同类项得：； 系数化为1，两边同时除以-5，不等号方向改变，，即。 变式题 2：解不等式3(2 - x) < 2(x + 9)，并将解集在数轴上表示出来。 答案：。在数轴上表示为：画数轴，（即-2.4）这个点，画空心圈（因为x > ），然后向右画一条线。 解析： 去括号得：6 - 3x < 2x + 18； 移项得：-3x - 2x < 18 - 6； 合并同类项得：-5x < 12； 系数化为1，两边同时除以-5，不等号方向改变，得。 知识点 3：一元一次不等式的实际应用 详细内容： 运用一元一次不等式解决实际问题，关键在于找出实际问题中的不等关系，设出未知数，列出一元一次不等式并求解。常见的实际问题类型有：方案选择问题（如购物方案、租车方案等）、资源分配问题、销售利润问题等 。例如，某商店为了促销，规定购买某种商品不超过10件时，每件5元；超过10件时，超过部分每件3元。若小明购买这种商品共花了85元，设小明购买了x件商品，可列出不等式10×5 + 3(x - 10求解得出x的取值范围，进而确定购买商品的数量 。 常考易错点：不能准确分析实际问题中的不等关系，导致列出错误的不等式；在求解不等式后，忽略对结果的实际意义进行检验，例如商品数量不能为负数或小数等情况。 经典例题 3：某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分。小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？ 答案：设小明答对x道题，则答错或不答(20 - x)道题。根据题意得10x - 5(20 - x) > 90， 去括号得10x - 100 + 5x > 90， 移项得10x + 5x > 90 + 100， 合并同类项得15x > 190， 系数化为1得x >，因为x为正整数，所以x的最小值为13。 答：他至少要答对13道题。 解析：根据得分规则，答对的分数为10x分，答错或不答扣的分数为5(20 - x)分，因为小明得分要超过90分，所以列出不等式10x - 5(20 - x) > 90，求解后根据x为正整数确定最小值。 变式题 3：某工程队计划在10天内修路6千米，施工前2天修完1.2千米后，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少千米？ 答案：设以后几天内平均每天要修路x千米。 因为总共要在10 - 2 - 2 = 6天内修完剩下的6 - 1.2 = 4.8千米，所以可列不等4.8， 系数化为1得x 。 答：以后几天内平均每天至少要修路0.8千米。 解析：先计算出剩余的修路天数和剩余的修路长度，再根据 “以后几天修的路要大于等于剩余的路” 列出不等式求解。 五、效果检测（判断题） 1. 不等式2x + 5y \leq 10是一元一次不等式。（ ） 1. 解不等式2x > -4，两边同时除以2，得x > -2，此过程运用了不等式性质 2。（ ） 1. 解一元一次不等式3 - 2x > 5，移项得2x > 5 - 3。（ ） 1. 不等式> 0，去分母得x + 1 - 1 > 0。（ ） 1. 若不等式ax > b的解集是，则a < 0。（ ） 1. 一元一次不等解集在数轴上表示时，在2处画空心圈，然后向右画一条线。（ ） 1. 解不等式-3x < -6，两边同时除以-3，不等号方向不变，得x < 2。（ ） 1. 从实际问题中列出一元一次不等式，关键是找出其中的相等关系。（ ） 6、 课后作业 1．下列不等式中属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的一元一次不等式中，m的值应为（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．不等式的负整数解的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 5．若是关于的一元一次不等式，则满足的条件是 ． 6．已知是关于的一元一次不等式，则的值是 ，这个一元一次不等式的解集是 ． 7．已知是正整数，若式子的值是负数，则满足条件的的和是 ． 8．用不等式表示不等关系“x与7的差不小于x的5倍” ． 9．某景区的门票是每人30元，一次性购满40张，每张可少5元．若少于40人时，一个团队至少要有 人进景区，买40张门票反而合算． 10．解不等式的过程可以用如图所示的框图表示，其中A所表示的不等式为 ，最后一步的依据是： ． 三、解答题 11．解方程（或不等式） (1)解方程组： (2)解不等式：，并写出它的负整数解． 12．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来： 七、答案与解析 （一）知识点自主预习填空答案 1. 一；1 1. 去括号；合并同类项 1. 改变；改变 1. 右；左；空心圈；实心点 （二）效果检测答案与解析 1. 答案：× 解析：不等有两个未知数x和y，不满足一元一次不等式 “一元” 的条件，所以不是一元一次不等式，该说法错误。 1. 答案：√ 解析：不等式2x > -4两边同时除以2（2是正数），不等号方向不变，得到x > -2，运用了不等式性质 2，该说法正确。 1. 答案：× 解析：解不等式3 - 2x > 5，移项应该是-2x > 5 - 3，而不是2x > 5 - 3，移项要变号，所以该说法错误。 1. 答案：× 解析：不等 0，去分母应该是两边同时乘2，得到x + 1 - 2 > 0，而不是x + 1 - 1 > 0，漏乘了-1这一项，所以该说法错误。 1. 答案：√ 解析：根据不等式性质 3，不等式ax > b两边同时除以a后，解号方向改变，所以a < 0，该说法正确。 1. 答案：× 解析：一元一次不，解不等式，在数轴上表示时，因为包含2，所以在2处应该画实心点，不是空心圈，该说法错误。 1. 答案：× 解析：解不等式-3x < -6，两边同时除以-3，根据不等式性质 3，不等号方向应该改变，得到x > 2，不是x < 2，所以该说法错误。 1. 答案：× 解析：从实际问题中列出一元一次不等式，关键是找出其中的不等关系，而不是相等关系，所以该说法错误。 （三）课后作业答案与解析 题号 1 2 3 4 答案 B D A B 1．B 【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是的不等式是一元一次不等式，对各选项逐一分析即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解： 不等式含有两个未知数，且次数为，不一元一次不等式，该选项不合题意；   不等式是一元一次不等式，该选项符合题意；   不等式含有两个未知数，不一元一次不等式，该选项不合题意；    不等式含有一个未知数，但次数为，不一元一次不等式，该选项不合题意； 故选：． 2．D 【分析】根据一元一次不等式的定义：“含有一个未知数，且含未知数的项的次数为1的不等式”，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或0； 故选：D． 3．A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键． 解一元一次不等式，通过移项即可求解． 【详解】解：不等式为， 移项，得：， 不等式的解集为． 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求不等式的整数解，先把解出来，再统计其中负整数的个数，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴不等式的负整数解分别为， ∴负整数解的个数为3， 故选：B． 5． 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义：只含有1个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式是解题的关键．根据一元一次不等式的定义即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得：． 故答案为：． 6． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解法，熟练掌握一元一次不等式中未知数次数为且系数不为是解题的关键．要确定的值，需根据一元一次不等式的定义，即未知数的次数为且系数不为；再解所得不等式求解集． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， 未知数的次数，且系数． 由，解得； 由，得． 综上，． 把代入原不等式，得，即， 两边同时除以，得． 故答案为：； ． 7．10 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的求解及正整数的应用，熟练掌握解一元一次不等式的步骤和正整数的概念是解题的关键．先根据式子值为负数列出不等式，求解出的取值范围，再结合是正整数确定的值，最后求和． 【详解】解：式子的值是负数， ， 不等式两边同时乘得， 移项可得． 又是正整数， 的值为，，，． 它们的和为． 故答案为： ． 8． 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，根据不等关系，列出不等式即可． 【详解】解：用不等式表示不等关系“x与7的差不小于x的5倍”为：． 故答案为：． 9．34 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，设一个团队至少要有x人进景区，买40张门票反而合算，根据题意列不等式计算即可． 【详解】解：设一个团队至少要有x人进景区，买40张门票反而合算， ∴， 解得：， ∵x需取整数， ∴一个团队至少要有34人进景区，买40张门票反而合算， 故答案为：34． 10． 不等式两边同时除以一个小于0的数或式子，不等号要改变方向 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，不等式的性质，把不等式两边同时除以可得第一空答案，根据不等式的性质可得第二空答案． 【详解】解：把不等式两边同时除以得，， ∴A所表示的不等式为，最后一步的依据是：不等式两边同时除以一个小于0的数或式子，不等号要改变方向； 故答案为：；不等式两边同时除以一个小于0的数或式子，不等号要改变方向． 11．(1) (2)，它的负整数解有，，， 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解，然后写出负整数解即可． 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∴它的负整数解有，，，． 12．，数轴见解析 【分析】先求得不等式的解集，根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，数用实点覆盖，无等号，数用空心圆圈覆盖，解答即可． 本题考查了解不等式，不等式解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得： 去括号，得 移项，得 合并同类项， 两边同时除以，得． 数轴表示为： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$