专题08 指数运算及指数函数（十大题型精练）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

专题8 对数运算及指数函数 题型1 指数的运算 1．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】借助指数幂的运算法则计算即可得. 【详解】对A：，，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误. 故选：A． 2．（25-26高一上·四川成都·周测）计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【详解】原式． 3．（多选题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化 【详解】由，知A正确；由，知B正确；由，知C错误；由，知D错误． 4．（24-25高一下·山西大同·月考）（多选题）下列运算结果中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算 【分析】根据指数运算律计算求解判断各个选项. 【详解】A选项，，正确； B选项，，错误； C选项，当时，，当时，，错误； D选项，，正确. 故选：AD. 5．已知，则 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【详解】由，得，即，得，故． 6．（24-25高二上·四川绵阳·周测）已知且，则 的最小值为 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式结合指数的运算，即可得解. 【详解】由题意，，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 题型2 指数函数的图像 7．函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】根据指数函数单调性得到，根据得到. 【详解】由于的图象单调递减，所以， 又，所以，即，. 故选：D． 8．如图，曲线是对数函数图象，已知a的取值分别为，则相应的曲线对应的a的值依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【详解】解法1  对数函数的曲线在第一象限部分，随着底数a的增大而逆时针旋转，故．即只有B符合． 解法2  取知，直线与四条曲线交点的横坐标满足，得．故B符合． 9．函数的部分图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【详解】因为该函数是偶函数，所以排除A，B．又恒成立，所以C正确． 10．（24-25高一上·广东广州·期中）当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、一次函数的图像和性质、判断指数型函数的图象形状 【分析】根据各选项中的图象，由一次函数的图象确定的取值情况，再由指数型函数图象判断特征判断即可. 【详解】对于A，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，A正确； 对于B，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，B错误； 对于C，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，C错误； 对于D，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，D错误. 故选：A 题型3 指数型函数的定义域 11．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求指数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 12．（24-25高一上·江苏常州·周测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、求指数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据抽象函数定义域法以及指数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数有，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 13．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】判断指数函数的单调性、求指数型复合函数的定义域 【分析】解不等式，可得出原函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 14．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求指数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】利用函数有意义列出不等式组，求解即得定义域. 【详解】函数的意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 题型4 指数型函数的值域 15．函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求指数函数在区间内的值域 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 16．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、求指数型复合函数的值域 【分析】化简解析式得出，结合指数函数的值域可求得函数的值域；计算的值，可得出曲线的对称中心坐标. 【详解】因为， 因为，则，故，即函数的值域为， 因为， 所以，， 因此，函数的对称中心为. 故答案为：；. 17．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】应用二次函数、指数函数的性质求复合函数的值域即可. 【详解】由，则， 所以函数的值域为. 故答案为： 18．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）函数的值域为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】根据二次函数性质以及指数函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由于， 且函数在R上单调递减，故， 故函数的值域为， 故答案为： 题型5 指数型函数的单调性 19．（24-25高一上·北京大兴·期末）在区间上单调递增的函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断指数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据常见幂函数的单调性和指数函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，由幂函数在上单调递增，得函数在上单调递减，故A错误； 对于B，由幂函数的单调性，得函数在上单调递减，故B错误； 对于C，由二次函数的性质，得函数在上单调递减，故C错误； 对于D，因为指数函数在上单调递增，且指数函数在上单调递减，即函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故D正确； 故选：D. 20．（23-24高一上·河南郑州·周测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、判断指数函数的单调性 【分析】运用复合函数单调性“同增异减”规则来解题即可. 【详解】设，根据二次函数的单调性可知， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，根据“同增异减”可得， 函数的单调递减区间是. 故选：A. 21．函数的单调递减区间为 ；函数的值域是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域、判断指数型复合函数的单调性 【详解】令，当时，u单调递增．而在上是减函数，所以函数的单调递减区间为．又，所以． 22．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】判断指数函数的单调性 【分析】根据指数函数的单调性即可得解. 【详解】， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 23．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断指数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 易知函数在上单调递增， 函数在上单调递增，则，且有，解得， 所以，，即实数的取值范围是. 故答案为：. 24．（23-24高三上·上海静安·周测）函数的严格增区间是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断指数函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】由指数函数、二次函数单调性结合复合函数单调性单调性即可求解. 【详解】因为关于单调递减，若函数关于单调递增， 则由复合函数单调性可知只需单调递减即可， 而的单调递减区间为， 所以函数的严格增区间是. 故答案为：. 题型6 指数型函数的奇偶性 25．下列函数为偶函数且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用函数的解析式直接判断函数奇偶性和单调性即可判断. 【详解】对于A，为非奇非偶函数，在上是增函数，故A错误； 对于B，，函数为偶函数；当时，为减函数，故B正确； 对于C，，函数为偶函数，在上是增函数，故C错误； 对于D，，在定义域内为奇函数，在上是减函数，故D错误． 故选：B 26．（2025高二下·天津南开·学业考试）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据正弦函数、幂函数、指数函数及对数函数的图象及性质，结合函数奇偶性、单调性的定义即可求解. 【详解】由正弦函数的性质可知：函数为上的奇函数， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项A错误； 由幂函数的图象及性质可知：函数为上的奇函数，且在上单调递增，为增函数，故选项B正确； 由指数函数的图象与性质可知：函数为上的增函数，且为非奇非偶函数，故选项C错误； 由对数函数的图象与性质可知：函数为上的增函数，是为非奇非偶函数，故选项D错误. 故选：B. 27．（2025·四川泸州·模拟预测）已知是奇函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由奇函数性质可得，列方程求，再检验所得结果即可. 【详解】由，可得，所以， 所以的定义域为， 因为是奇函数，所以， 又，， 所以，解得. 当时，， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以此时是奇函数 故选：D. 28．（23-24高一上·广东中山·期末）已知数是奇函数，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据函数的奇偶性列方程来求得. 【详解】由，解得，所以的定义域是， 是奇函数，所以， ， 解得. 故选：C 29．（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据为偶函数，得在(或其子集)上为偶函数，求得的取值范围. 【详解】函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数， 在(或其子集)上为偶函数， 恒成立， 恒成立， 故选:  A . 30．（24-25高三下·辽宁·周测）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则不等式的解集为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、指数式与对数式的互化、由指数函数的单调性解不等式 【分析】由奇函数定义可得，由此变形给定不等式，再利用换元法，结合指数函数性质求得解集. 【详解】函数的定义域为，由是奇函数，得， 即，则不等式化为， 令，则有，即，因此或， 由，得，即，解得； 由，得，即，解得， 所以所求不等式的解集为. 故答案为： 31．（24-25高一下·河北石家庄·期中）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性、复合函数的单调性 【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 题型7 指数型函数的综合应用-比较大小 32．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】将变形为，再利用指数函数在上的单调性即可得解. 【详解】，又在上单调递减，， ，即． 故选：B 33．（24-25高二下·贵州铜仁·周测）已知实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质及指数函数的单调性判断各项的大小关系. 【详解】A：当，则，错； B：当，则，错； C：当，有； 当，有； 当，有，对； D：由在定义域上单调递减，则，错. 故选：C 34．下列大小关系正确的是（   ） ①，②，③，④． A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小 【详解】对于①，因为指数函数单调递减，所以，①错误．对于②，因为指数函数单调递减，所以；又因为幂函数在上单调递增，所以，所以，②正确对于③，因为幂函数在上单调递增．所以，③正确．对于④，因为幂函数在上单调递减，所以，即，④错误． 35．已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】指数函数图像应用、比较指数幂的大小 【详解】画出函数和的图象，借助图象分析满足等式时a，b的大小关系，如图所示． 令，若，则；若，则；若，则． 36．（24-25高一上·江西·期末）（多选题）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、作差法比较代数式的大小 【分析】根据作差法判断AC的真假，利用指数函数、幂函数的单调性判断B的真假；利用特例验证D的真假. 【详解】对A：因为，所以.故A正确； 对B：因为，且函数在上单调递减，所以， 又幂函数在上单调递增，所以，所以，故B正确； 对C：因为，所以，所以，故C正确. 对D：令，，则，，则，所以不一定成立，故D错误. 故选：ABC 37．（多选题）若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、由指数函数的单调性解不等式、比较指数幂的大小 【分析】把不等式等价变形，结合函数的单调性可得，逐项判断可得正确答案. 【详解】由得， 令，则． 因为函数在上都是增函数，所以在上是增函数， 所以，故A正确． 当时，，故B错误． 因为函数在上单调递增，所以由得，故C正确． 因为函数在上单调递减，所以由得，故D正确． 故选：ACD． 题型8 指数型函数的综合应用-求参数的范围 38．（24-25高一下·湖北·周测）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据复合函数的单调性有在上单调递减，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，函数在上单调递增， 易知在上单调递减， 当时，满足题设， 当时，或， 综上，. 故选：B. 39．（24-25高一上·江西九江·期末）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【分析】由指数复合函数的区间单调性有，即可求参数范围. 【详解】函数在上单调递减，且在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， ，即， 的取值范围是. 故选：A 40．（24-25高一上·河北衡水·周测）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据指数函数以及二次函数的性质即可结合分类求解. 【详解】当时， 时，，时，， 要使值域为，则，解得， 当时， 时，， 时，， 此时无法使得值域为， 综上可得 故选：A 41．（2025·广西·模拟预测）若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列出不等式求解即得. 【详解】由函数在R上是增函数，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 42．（23-24高二上·浙江·期末）函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、由指数（型）的单调性求参数 【分析】由复合函数的单调性来进行分情况讨论得出a的取值范围. 【详解】解：函数由和复合而成， 由于是单调递增，函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减. 当时，不符合题意； 当时，单调递减，满足题意； 当时，开口向下，对称轴为， 故需要满足，显然成立，满足题意， 综上：. 故答案为：. 43．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知函数在上单调递增，则实数的值可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 【答案】8（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据复合函数单调性法则知在上单调递增，利用绝对值函数单调性列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，且在定义域上单调递增， 根据复合函数单调性法则知，在上单调递增，所以，所以， 则实数的取值范围为，故实数的值可以是8. 故答案为：8（答案不唯一） 题型9 指数函数的实际应用 44．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（1） 【分析】由已知可得出，，，将代入关系可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】由题知，，，所以，可得， 再经过分钟后，该物体的温度为， 即该物体的温度为． 故选：C． 45．（24-25高一上·四川眉山·期末）为保保农副产品的安全，防止农药残留超标影响公众健康，我国制定了种农药在种（类）农副产品中的项农药最高残留限量（MRL）国家标准.百菌清是农药中常用的一种杀菌剂，其最高残留限量为.一果园检测发现，某次喷洒农药后，耙耙柑上的百菌清残留量达到了，并以每天的速度降解，直至天后残留量为原来的.若在该次喷洒农药的天后，百菌清残留量为，则在该次喷洒农药的（   ）天后，百菌消残留量约为.（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（1）、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】由题意可知，天后，百菌清残留量为，结合题意可得出，，然后解方程，利用指数与对数的互化可求得的值. 【详解】由题意可知，天后，百菌清残留量为， ，所以，，， 令，即，则， 所以，，所以，，故， 所以，在该次喷洒农药的天后，百菌消残留量约为. 故选：B. 46．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）“阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：，） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（1）、指数式与对数式的互化 【分析】设至少需要经过天，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】设至少需要经过天，木棒第一天剩余的长度为米， 木棒第二天剩余的长度为米，木棒第三天剩余的长度为米，， 以此类推可知，木棒第天剩余的长度为米， 由题意可得，可得， 所以，， 所以，，则， 故至少需要天. 故答案为：. 47．（23-24高一上·云南昆明·月考）如图，将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂” 次．（参考数据：取） 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】列出指数函数模型的解析式、对数的运算性质的应用 【分析】根据题意求出第次“打水漂”的速率，建立不等式，解出即可. 【详解】根据题意可知， 设石片第n次“打水漂”时的速率为，则， 由， 得，则， 即，则， 故至少需要“打水漂”的次数为6． 故答案为：6. 题型10 指数型函数的综合应用 48．（24-25高二下·辽宁锦州·周测）已知函数为奇函数． (1)求并判断的单调性． (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，在上为增函数 (2) 【难度】0.65 【知识点】判断指数函数的单调性、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）由奇函数的性质可得，可求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可；判断出函数在上为增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可； （2）由函数的奇偶性与单调性得出对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据一元二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）对任意的，，则函数的定义域为， 因为函数为奇函数，则，解得， 此时，， ，故函数为奇函数，合乎题意， 函数在上为增函数，理由如下： 任取、且，则， 所以， 即，所以函数在上为增函数. （2）因为函数为上的奇函数，且为增函数， 由得， 所以，即对任意的恒成立， 当时，则有，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 49．（24-25高一上·山东威海·期末）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，设为，． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、对数的运算、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用换元法结合指数函数性质求解不等式即可. （2）（i）将方程有根问题转化为函数交点问题，结合二次函数的性质求解参数范围即可. （ii）利用韦达定理得到，结合求出的参数范围得到，再利用指数函数性质求解不等式，证明原命题即可. 【详解】（1）对于，令， 则可化为， 若，则，即， 解得，得到，解得， 则的取值范围为. （2）（i）若关于的方程有两个不相等的实数根， 则方程有两个不相等的正实数根， 得到与有两个不相同的横坐标大于的交点， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 而，最小值为，故， （ii）因为方程有两个不相等的正实数根， 所以有两个不相等的正实数根， 而我们把方程的两个根设为，， 则设的两个根为， 由韦达定理得，即， 结合，得到， 即，解得，原命题得证. 50．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求在区间上的最小值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【难度】0.65 【知识点】已知函数值求自变量或参数、求已知指数型函数的最值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由代入可得； （2）设，换元后利用二次函数的性质可得； （3）先将条件转化为，因，故对任意的恒成立，即在上恒成立，进而可得. 【详解】（1）由，得，即：，解得. （2）当时，， 令，因为，所以， 所以， 当时，取最小值，所以在区间上的最小值为. （3）若对任意的，总存在，使得， 可得：. 又因为，所以对任意的，， 则对任意的恒成立， 即，即，令，. 因为在区间上为增函数，所以 所以实数的取值范围是. 51．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断的单调性并根据定义证明； (3)若存在区间，使得函数在区间上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据指数函数的最值求参数、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据奇函数的性质列方程，解方程即可； （2）利用单调性的定义判断和证明； （3）根据的单调性列方程，然后根据方程得到是方程的两个根，然后列不等式求解即可. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数， 得，解得，故． ，即是奇函数，所以． （2）函数为增函数． 证明：设任意实数， 因为，所以， 所以，所以函数为增函数． （3）由（2）知函数在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增． 依题意，，即 令，因此是方程的两个根， 即的两个不等的正根，于是解得， 所以的取值范围是． 【点睛】关键点睛：（3）的解题关键在于由得到是方程的两个根，然后转化为一元二次方程根的分布问题求解即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8 对数运算及指数函数 题型1 指数的运算 1．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川成都·周测）计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 3．（多选题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山西大同·月考）（多选题）下列运算结果中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则 ． 6．（24-25高二上·四川绵阳·周测）已知且，则 的最小值为 题型2 指数函数的图像 7．函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，曲线是对数函数图象，已知a的取值分别为，则相应的曲线对应的a的值依次为（   ） A． B． C． D． 9．函数的部分图象大致是（   ） A．B．C． D． 10．（24-25高一上·广东广州·期中）当时，函数和的图象只可能是（    ） A．B．C．D． 题型3 指数型函数的定义域 11．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·江苏常州·周测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是 ． 14．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为 ． 题型4 指数型函数的值域 15．函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 17．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是 ． 18．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）函数的值域为 题型5 指数型函数的单调性 19．（24-25高一上·北京大兴·期末）在区间上单调递增的函数可以是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·河南郑州·周测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 21．函数的单调递减区间为 ；函数的值域是 ． 22．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）函数的单调递增区间是 ． 23．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 24．（23-24高三上·上海静安·周测）函数的严格增区间是 . 题型6 指数型函数的奇偶性 25．下列函数为偶函数且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 26．（2025高二下·天津南开·学业考试）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ）. A． B． C． D． 27．（2025·四川泸州·模拟预测）已知是奇函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 28．（23-24高一上·广东中山·期末）已知数是奇函数，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．4 D． 29．（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 30．（24-25高三下·辽宁·周测）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则不等式的解集为 31．（24-25高一下·河北石家庄·期中）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 题型7 指数型函数的综合应用-比较大小 32．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高二下·贵州铜仁·周测）已知实数，则（    ） A． B． C． D． 34．下列大小关系正确的是（   ） ①，②，③，④． A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 35．已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 36．（24-25高一上·江西·期末）（多选题）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 37．（多选题）若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型8 指数型函数的综合应用-求参数的范围 38．（24-25高一下·湖北·周测）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·江西九江·期末）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一上·河北衡水·周测）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（2025·广西·模拟预测）若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是 . 42．（23-24高二上·浙江·期末）函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 43．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知函数在上单调递增，则实数的值可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 题型9 指数函数的实际应用 44．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 45．（24-25高一上·四川眉山·期末）为保保农副产品的安全，防止农药残留超标影响公众健康，我国制定了种农药在种（类）农副产品中的项农药最高残留限量（MRL）国家标准.百菌清是农药中常用的一种杀菌剂，其最高残留限量为.一果园检测发现，某次喷洒农药后，耙耙柑上的百菌清残留量达到了，并以每天的速度降解，直至天后残留量为原来的.若在该次喷洒农药的天后，百菌清残留量为，则在该次喷洒农药的（   ）天后，百菌消残留量约为.（参考数据：，） A． B． C． D． 46．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）“阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：，） 47．（23-24高一上·云南昆明·月考）如图，将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂” 次．（参考数据：取） 题型10 指数型函数的综合应用 48．（24-25高二下·辽宁锦州·周测）已知函数为奇函数． (1)求并判断的单调性． (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 49．（24-25高一上·山东威海·期末）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，设为，． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 50．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求在区间上的最小值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 51．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断的单调性并根据定义证明； (3)若存在区间，使得函数在区间上的值域为，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$