专题08 指数运算及指数函数（十大考点精讲）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

专题8 指数运算及指数函数 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、根式与分数指数幂 2 知识点2、指数函数 2 知识点3、常用结论 2 三、探究重点难点 3 重难点题型1 指数运算与指数方程、指数不等式 3 重难点题型2 指数函数的图像 4 重难点题型3 指数型函数的定义域 5 重难点题型4 指数型函数的值域 6 重难点题型5 指数型函数的单调性 6 重难点题型6 指数型函数的奇偶性 7 重难点题型7 指数型函数的综合应用：比较大小 8 重难点题型8 指数型函数的综合应用：求参数范围 8 重难点题型9 指数型函数的实际应用 9 重难点题型10 综合应用 10 四、突破热点题型 12 知识点1 根式与分数指数幂 (1)、性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝ ，当n为偶数时，＝ ＝ (2)、规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于 0；0的负分数指数幂没有意义. (3)、有理指数幂的运算性质： ①，，；②，，； ③，，；④，，． 知识点2 指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过 点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是 在定义域上是 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 知识点3 常用结论 1、指数函数常用技巧 (1)、当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)、当时，，；的值越小，图象越 轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越 轴，递增速度越快． (3)、指数函数与的图象关于 ． 重难点题型1 指数运算及指数方程、指数不等式 例1.（24-25高二下·广西·周测）若，则的值为（   ） A． B． C． 例2.（24-25高一下·湖北随州·月考）（多选题）设是正整数，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 1.设，下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·广东汕尾·期末）（多选题）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型2 指数函数的图像 例3.函数图像的大致形状为（    ） A．  B．  C．  D．   例4.（24-25高一上·广东广州·期中）当时，函数和的图象只可能是（    ） A．B．C．D． 1.函数（且）的图象可能是（   ） A．B．C．D． 2.（24-25高一上·青海西宁·月考）函数与的图象大致是（    ） A．  B．  C．  D．   重难点题型3 指数型函数的定义域 例5.（23-24高一上·陕西榆林·周测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例6.（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 1.函数的定义域是 ． 2.（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数的定义域为 . 重难点题型4 指数型函数的值域 例7.（24-25高三下·甘肃白银·周测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例8.函数的值域为： . 1.（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，，则的值域为 . 2.（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 指数型函数的单调性 例9.函数的减区间是 ． 例10.（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ． 2.（24-25高一上·吉林·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点题型6 指数型函数的奇偶性 例11.（24-25高一上·全国·周测）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 例12.（24-25高二下·河南周口·期末）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 1.（24-25高一·江苏·假期作业）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 2.（2025·安徽·模拟预测）已知是奇函数，则 . 重难点题型7 指数型函数的综合应用：比较大小 例13.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．全不对 例14.将按从小到大的顺序排列为 ． 1.（23-24高一上·广西玉林·期中）设，，，则，，的大小关系为 ．（注：用“”将三个数按从小到大的顺序连接） 2.（24-25高二下·江苏无锡·周测）若偶函数在上单调递增，且， ， ，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 重难点题型8 指数型函数的综合应用：求参数的范围 例15．（23-24高三上·安徽合肥·月考）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例16.（24-25高一上·山西·周测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 1.（24-25高三上·广东东莞·月考）已知函数在区间上单调递减，则的最小值为 . 2.（24-25高一上·上海·周测）已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 重难点题型9 指数型函数的实际应用 例17.（24-25高三上·北京·月考）德国科学家Wilhelm Peukert于19世纪末提出蓄电池的容量（单位：Ah），放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数，不同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池，第一块蓄电池的容量为，Peukert常数为；第二块蓄电池的容量为，Peukert常数为.第一块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间；第二块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间，则（   ） A．，B．， C．， D．， 例18.（23-24高一上·河南开封·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 1.（2022·河南郑州·模拟预测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是．要使物体的温度变为，还要经过 分钟． 2.（24-25高一上·湖南永州·期末）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推断该生物死亡时间属于（    ）附：①参考数据：，②参考时间轴如图： A．东汉 B．三国 C．西晋 D．东晋 重难点题型10 综合应用 例19.（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数． (1)若，求在区间上的最小值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围． 例20.（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断的单调性并根据定义证明； (3)若存在区间，使得函数在区间上的值域为，求的取值范围． 1.（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数. (1)若在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在上最小值为4，求实数的值； 2.（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数. (1)判断奇偶性并证明； (2)利用定义证明在R上单调递增； (3)若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围. 1．若指数函数的图象如图所示，则1，a，b，c，d由小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·北京·周测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选题）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）（多选题）2008年世界卫生组织的事故调查显示，大约的交通事故与酒后驾驶有关.在中国，每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起；而造成死亡的事故中以上都与酒后驾车有关，酒后驾车的危害触目惊心，已经成为交通事故的第一大“杀手”.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100血液中酒精含量达到20~79的驾驶员即为酒后驾车，80及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，则（    ） A．若血液中的酒精含量为，则在停止喝酒后经过了2个小时 B．4小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下 C．5小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下 D．设小时后，血液中的酒精含量为，则 7．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是 ． 8．（24-25高二下·湖南长沙·周测）已知函数且，若在上为减函数，则的取值范围是 . 9．（24-25高一上·江西·阶段练习）已知函数在区间单调递减，则a的最小值为 ． 10．（24-25高一上·安徽·期中）已知定义在上的函数，且有，. (1)求函数的解析式并判断其奇偶性； (2)解不等式； (3)设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8 指数运算及指数函数 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、根式与分数指数幂 2 知识点2、指数函数 2 知识点3、常用结论 3 三、探究重点难点 3 重难点题型1 指数运算与指数方程、指数不等式 3 重难点题型2 指数函数的图像 5 重难点题型3 指数型函数的定义域 8 重难点题型4 指数型函数的值域 9 重难点题型5 指数型函数的单调性 11 重难点题型6 指数型函数的奇偶性 13 重难点题型7 指数型函数的综合应用：比较大小 15 重难点题型8 指数型函数的综合应用：求参数范围 17 重难点题型9 指数型函数的实际应用 19 重难点题型10 综合应用 22 四、突破热点题型 27 知识点1 根式与分数指数幂 (1)、性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ (2)、规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (3)、有理指数幂的运算性质： ①，，；②，，； ③，，；④，，． 知识点2 指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 知识点3 常用结论 1、指数函数常用技巧 (1)、当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)、当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)、指数函数与的图象关于轴对称． 重难点题型1 指数运算及指数方程、指数不等式 例1.（24-25高二下·广西·周测）若，则的值为（   ） A． B． C． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据指数运算律计算求解. 【详解】因为，则. 故选：A. 例2.（24-25高一下·湖北随州·月考）（多选题）设是正整数，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.94 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算 【分析】利用分数指数幂和根式的互化以及运算律即可逐项判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因是正整数，且，则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 1.设，下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算 【详解】A中，；B中，；C正确；D中，． 2.（24-25高一上·广东汕尾·期末）（多选题）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据指数运算的公式直接计算即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：CD 重难点题型2 指数函数的图像 例3.函数图像的大致形状为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】中含有，故是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可． 【详解】是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，， 时，图象与在第一象限的图象一样是增函数， 时，图象与的图象关于轴对称. 故选：B． 例4.（24-25高一上·广东广州·期中）当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状、一次函数的图像和性质、函数图像的识别 【分析】根据各选项中的图象，由一次函数的图象确定的取值情况，再由指数型函数图象判断特征判断即可. 【详解】对于A，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，A正确； 对于B，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，B错误； 对于C，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，C错误； 对于D，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，D错误. 故选：A 1.函数（且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】利用指数函数单调性和平移即可作出判断. 【详解】当时，，函数单调递增， 且图象由的图象向下平移个单位长度，故AB错误； 当时，，函数单调递减， 且图象由的图象向下平移个单位长度，故D正确C错误． 故选：D． 2.（24-25高一上·青海西宁·月考）函数与的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、指数函数图像应用 【分析】利用指数函数与一次函数的性质分类讨论分析选项即可. 【详解】易知在R上单调递增，可排除C、D选项； 对于A、B选项，为单调递减函数，则， 又过点，过点， 则可知两个函数在纵轴上的交点一次函数在下方，即A选项正确，B选项错误. 故选：A 重难点题型3 指数型函数的定义域 例5.（23-24高一上·陕西榆林·周测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域、求指数型复合函数的定义域 【分析】结合函数有意义的条件计算即可得. 【详解】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为. 故选：B. 例6.（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求指数（型)函数的定义域 【分析】函数定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得. 所以该函数的定义域为. 故选：B. 1.函数的定义域是 ． 【答案】. 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求指数（型)函数的定义域 【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，即可求得结果. 【详解】由题意得， 解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 2.（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求指数型复合函数的定义域 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于、中求解出的范围，则定义域可知. 【详解】由题意可知，解得且， 故函数的定义域为． 故答案为：. 重难点题型4 指数型函数的值域 例7.（24-25高三下·甘肃白银·周测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】结合函数单调性即可求解. 【详解】易知为减函数， 所以. 所以函数的值域为， 故选：A 例8.函数的值域为： . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的值域、求指数型复合函数的值域 【分析】根据指数函数和对数函数的值域求解. 【详解】因为， 所以， 所以函数的值域为. 故答案为： 1.（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，，则的值域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】由题意，利用换元法（令）可将原函数变形为关于的二次函数，结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，则， 原函数可变形为， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取到最小值，为； 当时，得， 所以在的值域为. 故答案为： 2.（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】令，所以，结合指数函数的单调性即可求出答案. 【详解】令，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故选：D. 重难点题型5 指数型函数的单调性 例9.函数的减区间是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【详解】令，则函数t的增区间是．而函数在上单调递减，故函数的减区间是． 例10.（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 1.（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ． 【答案】（说明写成也给分） 【难度】0.85 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】应用复合函数单调性结合指数函数单调性求解. 【详解】因为单调递减，单调递减，单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 2.（24-25高一上·吉林·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据二次函数的单调性，结合指数型复合函数的单调性即可求解. 【详解】由于为单调递增函数，为开口向下的二次函数，且对称轴为， 要使在区间上单调递减， 则只需要在区间上单调递减，故，解得， 故选：A 重难点题型6 指数型函数的奇偶性 例11.（24-25高一上·全国·周测）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数是偶函数定义分别判断各个选项排除B，再根据单调性判断B，D. 【详解】对于A：令，定义域关于原点对称，，即为偶函数， 当时，在上单调递减，故A正确； 对于B：令，定义域关于原点对称，，即为奇函数，故B错误； 对于C：的对称轴为在上单调递增，故C错误； 对于D：在上单调递增，故D错误， 故选:A． 例12.（24-25高二下·河南周口·期末）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数、指数幂的运算 【分析】利用奇函数的定义列式求解. 【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得， 即，则. 故选：B 1.（24-25高一·江苏·假期作业）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用 【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 令，（） 则，即为奇函数， 则， 又函数，（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048. 2.（2025·安徽·模拟预测）已知是奇函数，则 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、由奇偶性求参数 【分析】根据已知函数是奇函数，可得为奇函数，根据奇函数的定义列式，结合指数运算计算求解. 【详解】因为为奇函数， 所以为奇函数， ，即， 则恒成立， 则，所以， 当时，，经检验符合题意， 所以. 故答案为：1. 重难点题型7 指数型函数的综合应用：比较大小 例13.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．全不对 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由指数函数的单调性解不等式 【分析】应用指数函数的单调性计算求解. 【详解】函数在上为减函数， 因为，所以， 即恒成立，． 故选：B. 例14.将按从小到大的顺序排列为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小 【详解】；由得；；由得．故． 1.（23-24高一上·广西玉林·期中）设，，，则，，的大小关系为 ．（注：用“”将三个数按从小到大的顺序连接） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数与幂函数的单调性比较大小. 【详解】由题知，，已在定义域内单调递减，所以， 因为在定义域内单调递增，所以，所以，所以， 故答案为：. 2.（24-25高二下·江苏无锡·周测）若偶函数在上单调递增，且， ， ，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系 【分析】由函数为偶函数可知在的单调性，再根据幂函数性质和指数函数性质判断出，根据函数的单调性即可判断大小. 【详解】为偶函数且在上单调递增，则在上单调递减. 根据幂函数在上单调递增，得，再 由指数函数单调递增可知，，则， 故，即. 故选：B. 重难点题型8 指数型函数的综合应用：求参数的范围 例15．（23-24高三上·安徽合肥·月考）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【分析】由复合函数的单调性分析可知，内层函数在上为增函数，结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减， 所以函数在上为增函数，所以，解得. 故选：A. 例16.（24-25高一上·山西·周测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据分段函数的单调性，结合指数函数与一次函数的单调性，建立不等式，可得答案. 【详解】由函数在上单调递减，则， 由函数在上单调递减，则，解得， 由题意可得，解得. 综上所述可得. 故选：A. 1.（24-25高三上·广东东莞·月考）已知函数在区间上单调递减，则的最小值为 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【分析】问题转化为函数在上单调递减，结合二次函数的单调性，可求得取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递减，所以在上单调递减. 因为的单调递减区间为，所以，所以的最小值为1. 故答案为：1 2.（24-25高一上·上海·周测）已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据分段函数是增函数，转化为每段函数在对应区间单调递增，且在分界点处满足单调函数的定义，列式求解. 【详解】在上是严格增函数， ,解得． 故答案为： 重难点题型9 指数型函数的实际应用 例17.（24-25高三上·北京·月考）德国科学家Wilhelm Peukert于19世纪末提出蓄电池的容量（单位：Ah），放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数，不同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池，第一块蓄电池的容量为，Peukert常数为；第二块蓄电池的容量为，Peukert常数为.第一块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间；第二块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间，则（   ） A．，B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（1） 【分析】根据条件，列出关于，，，的关系式，根据指数函数的单调性，判断它们的大小关系. 【详解】由题意：，所以； ，所以. 因为指数函数在上单调递减，且，所以. 又指数函数在上单调递增，且，所以，所以，即. 故选：D 例18.（23-24高一上·河南开封·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数函数模型的应用（1） 【分析】根据所给函数模型，代入后整体计算即可得解. 【详解】因为前5h消除了的污染物， 所以，解得， 当经过10h后，， 所以10h后剩余的污染物含量. 故答案为： 1.（2022·河南郑州·模拟预测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是．要使物体的温度变为，还要经过 分钟． 【答案】120 【难度】0.85 【知识点】解析法表示函数、指数幂的运算、指数函数模型的应用（1） 【分析】先把现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是代入公式，再列出此物体的温度变为时的关系式，联立二式组成方程组，解之即可求得要使物体的温度变为，还要经过的时间. 【详解】∵现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是， ∴，即①， 要使物体的温度变为，则，即②， 联立①②，，解得， 故还要经过分钟． 故答案为：120． 2.（24-25高一上·湖南永州·期末）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推断该生物死亡时间属于（    ）附：①参考数据：，②参考时间轴如图： A．东汉 B．三国 C．西晋 D．东晋 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、指数式与对数式的互化、指数函数模型的应用（1） 【分析】由条件可得时，，由此可求，再由列方程求判断结论. 【详解】因为大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半， 所以可近似认为时，， 又与死亡年数之间的函数关系式为， 所以，故， 所以， 令，可得， 两边取以为底数的对数可得，又， 所以， ， 所以该生物体大约死亡于公元年，即该生物体死亡时间属于西晋. 故选：C. 重难点题型10 综合应用 例19.（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数． (1)若，求在区间上的最小值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、求已知指数型函数的最值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用换元，求得，将函数化成二次函数的最小值求解； （2）由题意得，根据函数的单调性和奇偶性得，从而将问题转化成对任意的恒成立，通过换元后，利用函数的单调性求出的最小值即可. 【详解】（1）当时，， 令，因为，所以，且， 故当时，取最小值，所以在区间上的最小值为． （2）若对任意的，总存在，使得， 可得：． 因为偶函数，且在上为增函数，故在为减函数， 因，则，于是对任意的，， 则对任意的恒成立， 从而，，设，则，且， 令，． 因为在区间上为增函数，所以 所以实数m的取值范围是． 例20.（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断的单调性并根据定义证明； (3)若存在区间，使得函数在区间上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、根据指数函数的最值求参数、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据奇函数的性质列方程，解方程即可； （2）利用单调性的定义判断和证明； （3）根据的单调性列方程，然后根据方程得到是方程的两个根，然后列不等式求解即可. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数， 得，解得，故． ，即是奇函数，所以． （2）函数为增函数． 证明：设任意实数， 因为，所以， 所以，所以函数为增函数． （3）由（2）知函数在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增． 依题意，，即 令，因此是方程的两个根， 即的两个不等的正根，于是解得， 所以的取值范围是． 【点睛】关键点睛：（3）的解题关键在于由得到是方程的两个根，然后转化为一元二次方程根的分布问题求解即可. 1.（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数. (1)若在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在上最小值为4，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】含参指数函数的最值、由指数（型）的单调性求参数 【分析】（1）由复合函数的性质得在上是增函数，由此可得的范围； （2）换元后根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论． 【详解】（1）令，由于是增函数，若在为增函数， 则在上是增函数， 则，所以 （2）令 即最小值为4 若则时最小，得. 若则时最小，得无解. 若时则时最小，得舍去. . 2.（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数. (1)判断奇偶性并证明； (2)利用定义证明在R上单调递增； (3)若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、指数函数最值与不等式的综合问题、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）求出定义域为R，且，得到为奇函数； （2）定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论； （3）由函数奇偶性和单调性得到，变形得到，换元后得到函数最小值，从而得到. 【详解】（1）函数为奇函数，理由如下： 定义域为R，又， 所以为奇函数； （2）证明：由（1）知，， 任取，且， 则 因为，则 所以，即， 所以在R上单调递增. （3）为奇函数， 由，得， 因为函数在R上单调递增， 所以，即， 由题意，存在实数，使得成立，则只需， 令，则， ，当时，，即， 所以k的取值范围为 1．若指数函数的图象如图所示，则1，a，b，c，d由小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【详解】利用特值法求解，取，可知． 2．（23-24高三下·北京·周测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求指数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 3．（2025·江西·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】作差，由函数的单调性与特殊值即可判断大小，从而判断A，B选项；作积，结合指数函数的性质判断的符合，从而可判断C，D选项. 【详解】因为，所以，且 因为是单调递减函数，且，即能成立，所以A，B都不正确； 因为，又当时，，则，当时，，则， 当时，， 综上，，所以C错误，D正确. 故选：D. 4．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数是减函数，所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 5．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选题）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、由基本不等式比较大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用的单调性判断A；利用的单调性判断B；利用重要不等式判断C；举出反例判断D. 【详解】选项A，函数在R上单调递增，又，所以，故A正确； 选项B，在R上单调递减，又，所以，故B错误； 选项C，，故C正确； 选项D，取时，得，故D错误． 故选：AC. 6．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）（多选题）2008年世界卫生组织的事故调查显示，大约的交通事故与酒后驾驶有关.在中国，每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起；而造成死亡的事故中以上都与酒后驾车有关，酒后驾车的危害触目惊心，已经成为交通事故的第一大“杀手”.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100血液中酒精含量达到20~79的驾驶员即为酒后驾车，80及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，则（    ） A．若血液中的酒精含量为，则在停止喝酒后经过了2个小时 B．4小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下 C．5小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下 D．设小时后，血液中的酒精含量为，则 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数函数模型的应用（1）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题意，D选项正确；A选项，当时求的值；BC选项，时求的取值. 【详解】设小时后，血液中的酒精含量为，则，D选项正确； 当时，由，解得，A选项正确； 当时，当时， 所以5小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下，B选项错误C选项正确. 故选：ACD. 7．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】应用二次函数、指数函数的性质求复合函数的值域即可. 【详解】由，则， 所以函数的值域为. 故答案为： 8．（24-25高二下·湖南长沙·周测）已知函数且，若在上为减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数单调性列出不等式，求解即可 【详解】当时，单调递减，此时， 若当时，单调递减，则，此时， 因为在R上单调递减，所以，解得，又，所以． 故答案为：． 9．（24-25高一上·江西·阶段练习）已知函数在区间单调递减，则a的最小值为 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、由指数（型）的单调性求参数 【分析】由复合函数的单调性的原则，结合二次函数的单调性，即可求解. 【详解】因为函数在区间单调递减， 函数，由复合函数单调性可知，，所以． 所以a的最小值为 4． 故答案为：4． 10．（24-25高一上·安徽·期中）已知定义在上的函数，且有，. (1)求函数的解析式并判断其奇偶性； (2)解不等式； (3)设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，为奇函数，证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】已知函数值求自变量或参数、函数奇偶性的定义与判断、指数函数最值与不等式的综合问题、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）代入求得的值，则解析式可知，根据的关系结合定义域证明出奇偶性； （2）根据奇偶性对不等式变形，再根据的单调性解不等式，由此可求结果； （3）先将问题转化为“”，然后根据单调性分析的最值，采用换元法分析的最值，由此可得结果. 【详解】（1）因为，所以，解得，所以； 为奇函数，证明如下： 定义域为且关于原点对称，因为， 所以为上的奇函数. （2）， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递减，所以在上单调递减； 因为，所以，所以， 所以，所以或，解得或， 所以不等式解集为. （3）因为，，使得，所以； 因为，，所以， 由指数函数性质可知，无最大值，但可以无限接近； 又因为，令， 所以，对称轴为且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以当时有，所以， 若，则， 综上所述，的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$