精品解析： 广东省东莞市高埗宝文学校2024-2025学年九年级下学期第一次质检数学试卷

2024-2025学年广东省东莞市高埗宝文学校九年级（下） 第一次质检数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果是（ ） A. 5 B. C. 13 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2. 在以下著名的数学曲线中，既是轴对称也是中心对称的图形为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A，B，D是轴对称图形，不是中心对称的图形； C既是轴对称图形，也是中心对称的图形． 故选C． 3. 在，，0，2这四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据实数大小比较的基本原则解答即可． 本题考查了实数的大小比较，熟练掌握比较原则是解题的关键． 【详解】解：由， 得， 故最大的数是， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，单项式乘以多项式，去括号，整式的加减运算法则进行判定即可求解． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D ． 5. 9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法列出全部可能情况，从中找出是偶数的情况，根据概率公式P(A)=事件包含的结果/总体可能的结果计算即可． 【详解】解：从9张卡片中任意抽出一张，正面的数有1~9共9种可能，其中为偶数的情况有2、4、6、8共4种， 所以正面的数是偶数的概率P=， 故选 ：C． 【点睛】本题考查了概率，需熟练运用列举法进行分析，会使用列表法、树状图法求概率． 6. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 7. 下列分式方程中，解为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可． 【详解】当时， A． 中，左边，右边，A不符合题意； B．中，，分母等于0，分式无意义，B不符合题意； C． 中，左边右边，C符合题意； D． 中，分母，D不符合题意． 故答案是：C 【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是正确理解分式方程解的意义，做题时要考虑分母是否为0的情况． 8. 已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，先求出，再根据全等三角形对应角相等即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴ ∵， ∴ 故选：D 9. 如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与图象的交点坐标为得到时，，于是可对③进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三象限， ，所以①正确； 一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ，， ，所以②错误； 一次函数与图象的交点坐标为， 时，，所以③正确； 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 一次函数与x轴的交点坐标为， 当时，， 当时，，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，数形结合是解答本题的关键． 10. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点， ==3，且∠AED=∠B，则△AED与△ABC的面积比是（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 3：16 D. 4：9 【答案】C 【解析】 【分析】根据∠AED=∠B，∠A=∠A，证得△ADE∽△ACB，得=,又==3，得AD=AD,AE=AC,于是推出4AD2=AC2，即()2=,即为△AED与△ABC的面积比. 【详解】∵∠AED=∠B，∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴=, ∵==3， ∴AD=AB,AE=AC, ∴4AD2=AC2， ∴()2=, ∴△AED与△ABC的面积比为()2=, 故选C. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到相似三角形，再跟已知条件产生联系. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若一组数据、、、、、众数是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是利用众数求未知数据的值，解题关键是熟练掌握众数的定义． 根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即可得出答案． 【详解】解：这组数据中的众数是，即出现次数最多的数据为， 故． 故答案为：． 12. 某个不等式组的解集用数轴表示如图． 那么这个不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴求不等式组的解集，会利用数轴求不等式组的解集，理解含端点值用实心圆圈，不含端点值用空心圆圈是解题的关键． 【详解】解：由数轴得 这个不等式的解集是， 故答案：． 13. 已知关于的方程没有实数根，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据所给方程没有实数根，得出，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于x的方程没有实数根， 所以， 解得． 故答案为：． 14. 计算：=___． 【答案】1． 【解析】 【详解】解：因为分式的分母相同，所以只要将分母不变，分子相加即可：． 故答案为：1 15. 如图，三角形的三条边长都是2厘米，分别以线段、、的中点D、E、F为圆心，2厘米为直径画半圆，那么阴影部分的面积是_______（结果保留π） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了半圆面积求法，半圆面积的求法是解题关键．连接，，，利用割补法可征得阴影部分的面积=半圆的面积，即可求得答案． 【详解】解：连接，，，   阴影部分的面积一个以1厘米为半径的半圆的面积（平方厘米） 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，解题关键在于掌握运算法则．利用负指数幂、零指数幂、绝对值、二次根式化简等性质．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解： 17. 先化简，再求值：，请你任选一个你喜欢的m的值代入求解，且是负整数． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 是负整数，且 ， 当时，原式． 18. 如图，中，． （1）利用尺规作的角平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写做法） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是作角平分线和含度角的直角三角形的性质，等角对等边； （1）依据角平分线的作图方法即可得到； （2）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数，进而得出，，根据含度角的直角三角形的性质得出，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 19. 市种子培育基地用、、三种型号的甜玉米种子共1500粒进行发芽试验，从中选出发芽率高的种子进行推广，通过试验知道，型号种子的发芽率为80%，根据试验数据绘制了下面两个不完整的统计图（图1、图2）： （1）型号种子的发芽数是_________粒： （2）通过计算说明，应选哪种型号的种子进行推广（精确到1%）； （3）如果将已发芽的种子放到一起，从中随机取出一粒，求取到型号发芽种子的概率． 【答案】（1）480；（2）应选A型号的种子进行推广，理由见解析；（3）从中随机取出一粒，求取到C型号发芽种子的概率为． 【解析】 【分析】（1）由扇形图可知C型号种子百分比，再求出C型号种子，根据发芽率，即可求解； （2）分别计算出三种种子的发芽率即可求解； （3）用型号发芽种子的数量除以、、三种型号发芽数的总数即可． 【详解】解：（1）C型号种子百分比为：1-30%-30%=40% C型号种子数为：150040%=600（粒） 型号种子的发芽数是：60080%=480（粒） （2）分别计算三种种子的发芽率： A型号：，B型号：，C型号：； 所以应选A型号的种子进行推广． （3）在已发芽的种子中；有A型号的420粒，B型号的370粒，C型号的480粒； 故从中随机取出一粒，求取到C型号发芽种子的概率为． 【点睛】本题重点考察数据的整理和分析，读懂扇形统计图和直方图，以及概率的计算方式，灵活运用即可． 20. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）设，根据勾股定理得出，求出，再根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是切线； 【小问2详解】 解：设， 在中，，， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴． 21. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备分两次购入、两款头盔，第一次购进了、两款头盔共个，款头盔进价元，售价元；款头盔进价元，售价元． （1）第一次购进头盔的金额不得超过元，则至少购进多少个款头盔？ （2）第一批头盔销量不错，批发店准备再购进一批，第二批两款头盔的进价不变，款头盔进货量在（1）的最少进货量的基础上增加了个，售价比第一次提高了元；款头盔售价和第一次相同，进货量为个，但是在运输过程中有已经损坏，无法销售，结果第二批头盔的销售利润为元，求的值． 【答案】（1）个 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，理清题意，正确列出一元一次不等式以及一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据“第一次购进头盔的金额不得超过元”列出一元一次不等式，解之即可求解； （2）根据“第二批头盔的销售利润为元”列出一元二次方程，解之即可求解． 【小问1详解】 解：设第一次购进款头盔个，则购进款头盔个， 根据题意，得：， 解得， 答：款头盔至少购进个； 【小问2详解】 解：根据题意，可得， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为． 22. 张老师善于通过合适主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“矩形纸片的剪拼”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现 将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图，将以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点作，交的延长线于点，则四边形的形状是______． （2）探究迁移 如图，若将以点为旋转中心逆时针旋转，得到的，若，，三点在同一条直线上，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． （3）拓展应用 如图，在的条件下，将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点，与相交于点，连接，求的值． 【答案】（1）菱形 （2）正方形，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，进而得到，可得到四边形为平行四边形，再由旋转的性质得：，即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，再由四边形是矩形，可得，从而得到四边形是矩形，然后根据，即可解答； （3）先求得，可得到，从而得到，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 由旋转的性质得：， ∴四边形为菱形； 故答案为：菱形 【小问2详解】 解：四边形是正方形，理由如下： ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【小问3详解】 解：在和中，，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、正方形的判定、直角三角形的性质，旋转的性质和平移的性质，是中考的压轴题，解题时需要抓住图形在变换中的性质，递进式的解答． 23. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标及直线的函数表达式． （2）M为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，过点M作于点D，当线段最长时，求点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接．在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，； （2）点M的坐标为； （3）存在，点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先求出点、、的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点M作轴交于点E，由题意可得点M的坐标为，点E的坐标为，在中，，，解直角三角形并结合二次函数的性质即可得解； （3）作的垂直平分线交x轴于点F，连接，则，过点M作轴于点N，则，设，由勾股定理求出，再由，求出即可得解． 【小问1详解】 解：当时，， 解得，． 点A在点B的左侧， A，B两点的坐标分别为，． 当时，， 点C的坐标为． 设直线的函数表达式为， 把，代入，得， 解得， 直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：如图，过点M作轴交于点E， 点B的坐标为，点C的坐标为， ，． 在中，根据勾股定理可得． 为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，轴交于点E， 点M的坐标为，点E的坐标为， ． 轴， ， ． 在中，，， ， 当时，线段最长， 点M的坐标为 【小问3详解】 解：存在，点P的坐标为或． 如图，作的垂直平分线交x轴于点F，连接，则，过点M作轴于点N， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 点M的坐标为，A，B两点的坐标分别为，， ，， ，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， ， ， 当时，， ， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省东莞市高埗宝文学校九年级（下） 第一次质检数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果是（ ） A. 5 B. C. 13 D. 2. 在以下著名的数学曲线中，既是轴对称也是中心对称的图形为（　　） A B. C. D. 3. 在，，0，2这四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2 4. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列分式方程中，解为是（　　） A. B. C. D. 8. 已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点， ==3，且∠AED=∠B，则△AED与△ABC的面积比是（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 3：16 D. 4：9 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若一组数据、、、、、的众数是，则的值为______． 12. 某个不等式组的解集用数轴表示如图． 那么这个不等式的解集是________． 13. 已知关于的方程没有实数根，那么的取值范围是______． 14. 计算：=___． 15. 如图，三角形的三条边长都是2厘米，分别以线段、、的中点D、E、F为圆心，2厘米为直径画半圆，那么阴影部分的面积是_______（结果保留π） 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： 17. 先化简，再求值：，请你任选一个你喜欢的m的值代入求解，且是负整数． 18. 如图，中，． （1）利用尺规作的角平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写做法） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 19. 市种子培育基地用、、三种型号的甜玉米种子共1500粒进行发芽试验，从中选出发芽率高的种子进行推广，通过试验知道，型号种子的发芽率为80%，根据试验数据绘制了下面两个不完整的统计图（图1、图2）： （1）型号种子的发芽数是_________粒： （2）通过计算说明，应选哪种型号的种子进行推广（精确到1%）； （3）如果将已发芽的种子放到一起，从中随机取出一粒，求取到型号发芽种子的概率． 20. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是切线； （2）若，，求的长． 21. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备分两次购入、两款头盔，第一次购进了、两款头盔共个，款头盔进价元，售价元；款头盔进价元，售价元． （1）第一次购进头盔的金额不得超过元，则至少购进多少个款头盔？ （2）第一批头盔销量不错，批发店准备再购进一批，第二批两款头盔的进价不变，款头盔进货量在（1）的最少进货量的基础上增加了个，售价比第一次提高了元；款头盔售价和第一次相同，进货量为个，但是在运输过程中有已经损坏，无法销售，结果第二批头盔的销售利润为元，求的值． 22. 张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“矩形纸片的剪拼”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现 将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图，将以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点作，交的延长线于点，则四边形的形状是______． （2）探究迁移 如图，若将以点为旋转中心逆时针旋转，得到的，若，，三点在同一条直线上，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． （3）拓展应用 如图，在条件下，将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点，与相交于点，连接，求的值． 23. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标及直线的函数表达式． （2）M为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，过点M作于点D，当线段最长时，求点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接．在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$