精品解析：2024年广东省东莞市大岭山新风中学九年级中考数学一模试卷

2024年广东省东莞市新风中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数中，比﹣2小的数是（　　） A. ﹣5 B. ﹣1 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比-2小的数是-5． 【详解】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知：﹣5＜﹣2． 故选A． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小． 2. 在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形是指将图形沿着某条直线对折，直线两边的图形能够完全重叠，根据定义判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，故选项错误； B、是轴对称图形，故选项正确； C、不是轴对称图形，故选项错误； D、不是轴对称图形，故选项错误． 故选：B 【点睛】本题考查轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的定义是关键． 3. 据统计，电影《长津湖》上映第16天，累计票房突破45.6亿元．将数据45.6亿用科学记数法表示为（ ） A. 45.6×108 B. 4.56×109 C. 4.56×1010 D. 0.456×1011 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：45.6亿=4560000000=4.56×109， 故选：B． 【点睛】此题考查了用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，掌握运算法则是解题的关键． 5. 在一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个球的标号恰好是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查概率的计算，明确概率的意义时解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比． 直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵在一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5， 其中有2个偶数， ∴随机摸出一个球的标号恰好是偶数的概率是． 故选：D． 6. 某工厂为了解工人加工某工件的情况，随机抽取了部分工人一天加工该工件的个数进行了统计，统计数据如表所示，则被抽取的工人一天加工该工件的中位数和众数分别是（ ） 一天加工该工件的个数（个） 70 80 90 100 110 工人人数 4 11 10 8 7 A. 90，80 B. 90，90 C. 95，90 D. 95，80 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数及众数的定义进行判断即可． 【详解】4+11+10+8+7=40， ∵把抽取的40名工人一天加工该工件的个数从小到大排列后，第20，21个数都是90， ∴中位数90， ∵一天加工80个的人数最多， ∴众数是80． 故选：A． 【点睛】本题考查中位数和众数，熟练掌握中位数及众数的概念是解题的关键． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可 【详解】， 由①得，x＞2； 由②得，x≤3， 故此不等式组的解集为：2＜x≤3． 在数轴上表示为： 故选C． 【点睛】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．熟练掌握不等式解集的表示方法是解题关键. 8. 如图所示，已知，点在线段上（不与点、点重合），，．则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质、平行线的性质．根据三角形的外角性质可求得，再由平行线的性质即可求的度数． 【详解】解：，， ， ， ．   故选：A ． 9. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线都在直线的上方，当时，直线在x轴上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】设A点坐标为， 把代入， 得，解得， 则A点坐标为， 所以当时，， ∵函数的图象经过点， ∴时，， ∴不等式的解集为． 故选：D 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 10. 数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面，下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆与圆的位置关系，圆锥的理解，勾股定理的应用，正方形的性质，弧长的计算，选择合适的方法解题是关键，先设正方形的边长为，设小圆的半径为，再分别计算每个选项的小圆的周长与扇形的弧长，再比较即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 如图，连接，，则， ，在上， 设， 过作于，连接， ∴四边形为矩形， ∴，，， 而， ∴， 解得：（舍去），， ∴大的半圆的弧长为， 小圆的周长为，故A不符合题意； 如图， 由正方形与圆的性质可得：， ∴大的半圆的弧长为， 小圆的周长为，故B符合题意； 如图，连接，，则， 设， 同理可得：，，， ∴， 解得：， ∴∴大的扇形的弧长为， 小圆的周长为，故C不符合题意； 如图，连接，， 设， 当刚好要围成一个圆锥时，则扇形的弧长等于小圆的周长， ∴， ∴， 而图中裁剪的条件中没有这个条件，故D不一定能够刚好围成圆锥，不符合题意； 故选B 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法，提公因式，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 式子成立的条件是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”，列不等式求解即可． 【详解】解：要使有意义，必须， 解得，， 故答案为：． 13. 若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点在平面直角系中的对称，求不等式的解集，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称的性质是解题的关键． 根据点关于轴对称的点，横坐标变为相反数，纵坐标不变，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第二象限， ∴点， ∴且， 解得，， 故答案为：． 14. 将一个正五边形和一个正六边形按如图所示的方式放在直线上，连接正五边形的对角线，则的度数为______． 【答案】##84度 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，三角形内角和定理等知识，利用正多边形的性质求出，即可解决问题 【详解】解：由题意： ∴ 又 ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 15. 一个四位数，且满足各数位上的数字互不相同，且都不为零．若将的个位数字与千位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到新的一个数，记，若为整数，我们称为“善雅数”．例如：，为“善雅数”．求______；若是“善雅数”，当最大时，______． 【答案】 ①. 138 ②. 1289 【解析】 【分析】本题考查了新定义，理解新定义，掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据“善雅数”的定义直接进行求解即可； （2）根据当最大时，则最大，可以确定出，时，最大，即可求出结果． 【详解】解：根据题意“善雅数”的定义， ， 当最大时，则最大， ∴当，时，最大， 故答案为：，． 三．解答题（共10小题，满分75分） 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【详解】解： 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据完全平方公式和平方差公式将原式展开，再合并同类项即可．掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值． 【小问1详解】 解：由题意得 当时，原方程有实数根，即 ； 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ， ， ， ， 解得，（舍去）， 实数的值是1． 19. 如图，点为外一点． （1）过点作两条切线、(尺规作图，保留痕迹，不写作法)； （2）证明：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，以的中点为圆心，长为半径作圆，交于点，作直线，则即为所求； （2）根据切线的性质，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 解：如图，、为所求， 理由：为直径， ，， ，是的切线； 【小问2详解】 证明：连接、， 、为两条切线， ，， 在与中， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查了作垂线，作圆的切线，直径所对的圆周角是直角，切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键． 20. 为了帮助贫困家庭的学生，某学校号召同学们自愿捐款．已知八（1）班同学捐款总额为500元，八（2）班同学捐款总额为480元，八（1）班捐款人数比八（2）班多2人，且两个班级人均捐款额恰好相等,问八（1）班有多少人捐款? 【答案】八（1）的人数是50人. 【解析】 【分析】设八（2）班捐款人数为x人，则八（1）班捐款人数为（x+2）人，根据“两次人均捐款额恰好相等”这个等量关系列出方程进行求解即可得. 【详解】设八（2）班捐款的人数是x人，则八（1）班捐款为（x+2）人，由题意得 ， 解得：x=48， 经检验，x=48是原方程的根， 八（1）的人数是48+2=50（人）. 答：八（1）的人数是50人. 【点睛】本题考查分式方程的应用，关键是弄清题意，根据关键语句找到合适的等量关系，列出方程． 21. 某校开设了“”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表． 校本课程 　频数 　频率 36 0.45 　 0.25 16 8 　 　合计 1 请您根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）统计表中的　 　，　 　； （2）“”对应扇形的圆心角为　 度； （3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数； （4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“”、“”、“”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率． 【答案】（1）80，0.20 （2）36 （3）500人 （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出算式，再求出即可； （2）根据题意列出算式，再求出即可； （3）根据题意列出算式，再求出即可； （4）先列出表格，再根据题意列出算式，再求出即可． 小问1详解】 解：根据题意可得： ， ， 故答案为：80，0.20； 【小问2详解】 解：“”对应扇形的圆心角的度数为： ， 故答案为：36； 【小问3详解】 解：估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为： （人）； 【小问4详解】 解：列表格如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种， 所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：． 【点睛】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率、用样本估计总体、频数分布表、扇形统计图等知识点，能根据题意列出算式是解答此题的关键． 22. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目，滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点，推杆与铅垂线的夾角为，点在同一平面内．当推杆与铁环相切于点时，手上的力量通过切点传遥到铁环上，会有较好的启动效果． （1）求证：． （2）实践中发现，切点只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点是该区域内最低位置，此时点距地面的距离最小，测得，已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用； （1）过点作，分别交于点，交于点，根据切线的性质可得，进而得出，根据为的切线得出，得出，等量代换得出，即可得证； （2）在中，根据含30度角的直角三角形的性质得出，解得出，根据矩形的性质可得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图1，过点作，分别交于点，交于点． 与相切于点 ， 为的切线， ； 【小问2详解】 解：如图1，在中 由（1）知， 在中， 四边形为矩形， ． 23. 如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点． （1）求的值和反比例函数解析式； （2）求出点的坐标； （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，确定函数表达式是解题的关键． （1）将点的坐标分别代入两个函数表达式，即可求解； （2）联立两个函数表达式即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入两个函数表达式得： ，解得：， 则一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 联立两个函数表达式得：， 解得：或， 即点； 【小问3详解】 观察函数图象知，当时，的取值范围为：或． 24. 如图1，是中的平分线，，以为半径的与相交于点，且． （1）求证：切线； （2）如图2，设与的切点为，连接．当时，求的半径； （3）若是线段的中点，连与交于，在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质得出，根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，即可证得是切线； （2）连接，根据切线得出，根据“直径所对的圆周角是直角”，得出，推出，根据等边对等角，由，得出，则，公共角，证明，得出，由，得，计算求出、，计算，最后根据，计算即可求得的半径； （3）连接，过点作，交的延长线于，由（2）得，，，，，得出，，结合勾股定理得出，求出、，根据，求出，根据勾股定理计算，根据与的切点为，得出，，根据勾股定理计算，得出，由，得出，求出，根据是线段的中点，求出，推出，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，得出，，结合，计算，根据计算，求出的值，根据的边上的高和的边上的高相等，则，得出答案即可． 【小问1详解】 证明：如图，过点作于， ∵是的平分线，，，为半径， ∴，点也在圆上，即也为半径， 又∵， ∴是切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径为； 小问3详解】 解：如图，连接，过点作，交的延长线于， ∵由（2）得，，，，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与的切点为， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相等， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质、圆的切线的判定、角平分线的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点、作辅助线推理是解题的关键． 25. 如图，直线与坐标轴分别交于点，以为边在轴的右侧作正方形． （1）求点的坐标； （2）如图，点是轴上一动点，点在的右侧，． ①如图1，问点是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ②如图2，点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）①是，；②或 【解析】 【分析】（1）先求出，得到，，再由正方形的性质可得，解之即可得到答案； （2）①过点作轴，通过证明，得到，即可求解；②连接，可得点H与点重合，作点关于直线的对称点，可得，求得直线的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：①过点作轴，如下图： 由题意可得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 由题意可得：，即， ∴E在定直线上； ②连接，由题意可得为等腰直角三角形， ∴ ∵四边形为正方形， ∴ ∴， ∴当点与点重合时满足题意， ∵点是线段的中点， ∴， 由①可得，， 设直线解析式为，将、代入可得 ，解得， ∴直线解析式为， 设交于M， 在中，当时，，即点 作点关于直线的对称点，则 ∴， ∴点为直线与的交点， 同理可得直线解析式为 联立，解得 此时； 综上，点坐标为或 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称的性质等等，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年广东省东莞市新风中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数中，比﹣2小的数是（　　） A. ﹣5 B. ﹣1 C. 0 D. 1 2. 在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 据统计，电影《长津湖》上映第16天，累计票房突破45.6亿元．将数据45.6亿用科学记数法表示为（ ） A. 45.6×108 B. 4.56×109 C. 4.56×1010 D. 0.456×1011 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个球的标号恰好是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 某工厂为了解工人加工某工件的情况，随机抽取了部分工人一天加工该工件的个数进行了统计，统计数据如表所示，则被抽取的工人一天加工该工件的中位数和众数分别是（ ） 一天加工该工件的个数（个） 70 80 90 100 110 工人人数 4 11 10 8 7 A. 90，80 B. 90，90 C. 95，90 D. 95，80 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，已知，点在线段上（不与点、点重合），，．则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面，下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 因式分解：____________． 12. 式子成立的条件是_______ 13. 若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ________． 14. 将一个正五边形和一个正六边形按如图所示的方式放在直线上，连接正五边形的对角线，则的度数为______． 15. 一个四位数，且满足各数位上数字互不相同，且都不为零．若将的个位数字与千位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到新的一个数，记，若为整数，我们称为“善雅数”．例如：，为“善雅数”．求______；若是“善雅数”，当最大时，______． 三．解答题（共10小题，满分75分） 16 解方程： 17. 计算： 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m值 19. 如图，点为外一点． （1）过点作两条切线、(尺规作图，保留痕迹，不写作法)； （2）证明：平分． 20. 为了帮助贫困家庭的学生，某学校号召同学们自愿捐款．已知八（1）班同学捐款总额为500元，八（2）班同学捐款总额为480元，八（1）班捐款人数比八（2）班多2人，且两个班级人均捐款额恰好相等,问八（1）班有多少人捐款? 21. 某校开设了“”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表． 校本课程 　频数 　频率 36 0.45 　 0.25 16 8 　 　合计 1 请您根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）统计表中的　 　，　 　； （2）“”对应扇形的圆心角为　 度； （3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数； （4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“”、“”、“”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率． 22. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目，滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点，推杆与铅垂线的夾角为，点在同一平面内．当推杆与铁环相切于点时，手上的力量通过切点传遥到铁环上，会有较好的启动效果． （1）求证：． （2）实践中发现，切点只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点是该区域内最低位置，此时点距地面的距离最小，测得，已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长． 23. 如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点． （1）求的值和反比例函数解析式； （2）求出点的坐标； （3）当时，直接写出取值范围． 24. 如图1，是中的平分线，，以为半径的与相交于点，且． （1）求证：切线； （2）如图2，设与的切点为，连接．当时，求的半径； （3）若是线段的中点，连与交于，在（2）的条件下，求的值． 25. 如图，直线与坐标轴分别交于点，以为边在轴的右侧作正方形． （1）求点的坐标； （2）如图，点是轴上一动点，点在的右侧，． ①如图1，问点是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ②如图2，点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$