第十讲： 有理数的除法法则（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第十讲： 有理数的除法法则 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：有理数的除法及分数化简 有理数除法法则 (一) ： 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数. 有理数除法法则 (二) ： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 知识点02：有理数的加减乘除混合运算 有理数混合运算的顺序： 有理数的加、减、乘、除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学所学的混合预算一样：按照“先乘除，再加减”的顺序进行； 同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的. 考点1：有理数的除法运算 【典型例题】 计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 【变式训练1】 下列计算结果比小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减乘除，有理数的大小比较，有理数的加减乘除，有理数的大小比较法则即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：A． 【变式训练2】 若，则“”内应填的实数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，用2除以进行计算即可，熟练掌握有理数的乘除运算法则，是解题的关键． 【详解】解：由题意，“”内应填的实数是； 故选A． 考点2：有理数的乘除混合运算 【典型例题】 计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，先把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶C． 【变式训练1】 （   ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法混合计算，先把除法变成乘法，再根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 【变式训练2】 下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，根据相关法则计算并判断即可． 【详解】解：A、，故此选项正确，不符合题意； B、，故此选项不正确，符合题意； C、，故此选项正确，不符合题意； D、，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 考点3：有理数的除法的实际应用 【典型例题】 曙光机械厂加工一批机械零件，如果每天加工50个，需要24天完成；如果每天加工60个，需要（    ）天完成 A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】本题考查了分数的应用，如果每天加工个，需要天完成，可求出总零件数是个，如果每天加工个，需要天，计算即可． 【详解】解： （天） 答：需要20天能完成任务． 故选：B． 【变式训练1】 胜利小学计划招生人，实际 招生人， 实际多招了几分之几的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法、除法应用，根据题意列出算式即可，掌握有理数减法、除法的应用是解题的关键． 【详解】解： 实际多招了， 故选：． 【变式训练2】 若，则①；②、互为相反数；③；④，上述命题正确的是（      ） A．①②③ B．①②④ C．④ D．①② 【答案】B 【分析】本题考查有理数的相反数、倒数、加法和除法，熟练掌握互为相反数的两数和为，互为相反数的非零两数商为是解题的关键．利用，得出，再利用倒数的性质得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴两数互为相反数，即，且，， 即， ∴， ∴，、互为相反数， ∴①②正确；③错误； ∵， ∴④正确； 综上，①②④正确， 故选：B． 考点4：四则混合运算的实际应用 【典型例题】 两列火车分别从两城相对开出，1.5小时后两车在途中相遇．已知甲车每小时行80千米，乙车每小时行60千米，两城之间的距离是（    ）千米 A．180 B．210 C．240 D．270 【答案】B 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据“路程时间速度”，代入数据解答即可． 【详解】解：（千米）， ∴两城之间的距离是210千米， 故选：B 【变式训练1】 学校要买40盒彩笔，单价25元，三个商店的优惠方式各不相同，甲商店“买10送2”，乙商店打八五折，丙商店每满100元返现金16元，选择（   ）商店最合算． A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，根据优惠方式列式计算出三家商店所需费用，比较大小即可． 【详解】解：甲商店：（元）， 乙商店：（元）， 丙商店：（元）， ， 因此选择丙商店最合算． 故选C． 【变式训练2】 “五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2850米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数运算的应用，正确理解题意、列出算式是解题的关键． 根据：每升高100米，气温约下降列出算式解答即可． 【详解】解：由题意得： ， 故选：A． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法运算．先把除法运算转化成乘法运算，再利用有理数乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 2．选一选：下列算式中，先算除法，再算加法，最后算乘法的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数四则混合运算顺序，根据“先乘除、后加减，有括号先算括号里面的”逐项判断即可． 【详解】解：A，，先算乘法，再乘加法，最后算除法，不合题意； B，，先算加法，再算乘法，最后算除法，不合题意； C，，先算除法，再算加法，最后算乘法，符合题意； D，，先算加法，再算除法，最后算乘法，不合题意； 故选C． 3．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算法则成为解题的关键． 根据有理数的乘除法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 4．若，且，异号，则的符号为（ ） A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 【答案】A 【分析】根据同号得正，异号得负判断即可． 【详解】解：∵，异号， ∴， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，除法，熟记同号得正，异号得负是解题的关键． 5．某同学在计算时，误将“”看成“+”，结果是，则的正确结果是（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的除法，先利用错误的结果求出a的值，再把a代入计算正确的结果即可． 【详解】解：依题意， 故选：D． 6．规定，如，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，根据新定义转化为有理数的除法计算即可． 【详解】解：根据题意，得， ． 故选B． 7．如果，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数除法，熟知绝对值为非负数是解题的关键．根据一个数的绝对值是非负数可以解题． 【详解】， 则， ， ，， 一定是负数． 故选：B． 8．计算的结果是（   ） A．6 B．36 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法计算，直接根据有理数的乘除计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 9．如果，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数除法的符号法则，同号为正，得到同为正或同为负，再根据两数和为负，得到，同为负，即可． 【详解】解：∵， ∴同为正或同为负， ∵， ∴同为负，即：； 故选B． 二、填空题 10．计算： . 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数是解题的关键. 【详解】解：， 故答案为：. 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先变除法为乘法，然后根据有理数乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．计算的结果是 ． 【答案】4 【分析】根据乘除混合运算，按照顺序自左到右依次计算即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13．有5张分别写着数字的卡片，从中一次性随机取出2张卡片，则最大的乘积是 ，最小的商是 ． 【答案】 24 【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．找出两个数字，使其乘积最大即可；找出两个数字，使其商最小即可． 【详解】解：从中取出2张卡片，最大的乘积是：； 最小的商是：． 故答案为：24；． 14．小明在做除法运算时，将除法变成乘法时，除数没有变成其倒数，算出结果为，则括号中的数为 ，正确的结果为 ． 【答案】 【分析】先根据题意可得除数为，再进行计算，再运用除数即可列出式子，再运用有理数的除法运算即可求解． 【详解】解：除数为 ∴正确的结果为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是关键． 15．甲、乙两车，在同一条路上相距220千米，若两车相向而行，则2小时相遇；若同向而行，则10小时甲赶上乙，则甲车的速度为 千米/小时． 【答案】66 【解析】略 16．“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为 ． 【答案】－6或零下6 【分析】根据题意“海拔每升高100米，气温约下降”，列出式子即可求解． 【详解】解：山顶的气温约为 故答案为：－6或零下6． 【点睛】本题考查了有理数混合运算（不带乘方）的应用，正负数的意义，理解题意是解题的关键． 17．从，，，4，5中取3个不同的数相乘．可得到的最大乘积为a，最小乘积为b，则 ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘法法则找出最大乘积a和最小乘积b，再根据有理数的除法法则即可求解． 【详解】解：由题意可知： a=（-3）×（-2）×5=30， b=（-3）×4×5=-60， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法法则和除法法则，解题的关键是根据乘法法则求出找出最大乘积a和最小乘积b． 三、解答题 18．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （3）根据含0的有理数乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：． 19．10筐苹果，以每筐30千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下：． 问：平均每筐苹果重多少？ 【答案】平均每筐苹果重千克 【分析】本题考查了正数和负数，有理数四则运算的实际应用，利用有理数的加法得出与标准的差是解题关键．根据有理数的加法，可得与标准的差，根据有理数的除法，可得平均数． 【详解】解： （千克） 答：平均每筐苹果重千克． 20．数学老师布置了一道题： 计算：÷． 小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法来解决这个问题． 小明的解法： 原式的倒数为， 所以． (1)小明的解答是否正确？请说明理由； (2)请你运用小明的方法计算：÷． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2) 【分析】（1）正确，利用倒数的定义判断即可； （2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数； （2）解：原式的倒数为 ， 则． 21．某班抽查了10名同学的期末考试成绩，以80分为标准，超出80分的部分记为正数，不足80分的部分记为负数，记录结果如下：，，，，，，，， 0 ，． (1)这10名同学的最高分比最低分高多少分？ (2)求这10名同学的平均成绩． 【答案】(1)这10名同学的最高分比最低分高23分； (2)这10名同学的平均成绩是82分． 【分析】此题主要考查了正负数的意义，有理数的混合运算． （1）根据有理数的减法法则计算求解即可； （2）把所有记录相加，再加上10名同学每人80分的标准分计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：分， 这10名同学的最高分比最低分高23分； （2）解：分， 分， 分． 答：这10名同学的平均成绩是82分． 22．在机器人社团活动中，小明通过编程使一只电子蚂蚁从点A处出发，在一直线上连续匀速左右爬行6趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负，电子蚂蚁爬行情况依次记为（单位：）． (1)电子蚂蚁离开起点A最远是_______． (2)电子蚂蚁最后位于起点A的右侧还是左侧？距起点A多少？ (3)若电子蚂蚁共用了15秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度． 【答案】(1) (2)电子蚂蚁最后位于起点A的右侧，距起点 (3)电子蚂蚁的速度为 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加法应用，有理数的除法应用，根据题意正确的列式计算是解题的关键； （1）根据绝对值的意义，求出每一趟离开起点的距离，进而即可求解； （2）各数据相加即可求解； （3）计算出电子蚂蚁爬行的总路程，再除以时间即可求解； 【详解】（1）解：第一趟电子蚂蚁离开起点距离是， 第二趟电子蚂蚁离开起点距离是， 第三趟电子蚂蚁离开起点距离是， 第四趟电子蚂蚁离开起点距离是， 第五趟电子蚂蚁离开起点距离是， 第六趟电子蚂蚁离开起点距离是， ∴电子蚂蚁离开起点最远是， 故答案为：12； （2）解：， 答：电子蚂蚁最后位于起点A的右侧，距起点； （3）解：， 答：电子蚂蚁的速度为． 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【变式训练2】 “五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2850米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A．12 B． C． D． 2．选一选：下列算式中，先算除法，再算加法，最后算乘法的是（　　）． A． B． C． D． 3．计算：（    ） A． B． C． D． 4．若，且，异号，则的符号为（ ） A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 5．某同学在计算时，误将“”看成“+”，结果是，则的正确结果是（   ） A．6 B． C．4 D． 6．规定，如，则（    ） A． B． C． D． 7．如果，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 8．计算的结果是（   ） A．6 B．36 C． D．1 9．如果，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．计算： . 11．计算： ． 12．计算的结果是 ． 13．有5张分别写着数字的卡片，从中一次性随机取出2张卡片，则最大的乘积是 ，最小的商是 ． 14．小明在做除法运算时，将除法变成乘法时，除数没有变成其倒数，算出结果为，则括号中的数为 ，正确的结果为 ． 15．甲、乙两车，在同一条路上相距220千米，若两车相向而行，则2小时相遇；若同向而行，则10小时甲赶上乙，则甲车的速度为 千米/小时． 16．“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为 ． 17．从，，，4，5中取3个不同的数相乘．可得到的最大乘积为a，最小乘积为b，则 ． 三、解答题 18．计算： (1)； (2)； (3)． 19．10筐苹果，以每筐30千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下：． 问：平均每筐苹果重多少？ 20．数学老师布置了一道题： 计算：÷． 小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法来解决这个问题． 小明的解法： 原式的倒数为， 所以． (1)小明的解答是否正确？请说明理由； (2)请你运用小明的方法计算：÷． 21．某班抽查了10名同学的期末考试成绩，以80分为标准，超出80分的部分记为正数，不足80分的部分记为负数，记录结果如下：，，，，，，，， 0 ，． (1)这10名同学的最高分比最低分高多少分？ (2)求这10名同学的平均成绩． 22．在机器人社团活动中，小明通过编程使一只电子蚂蚁从点A处出发，在一直线上连续匀速左右爬行6趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负，电子蚂蚁爬行情况依次记为（单位：）． (1)电子蚂蚁离开起点A最远是_______． (2)电子蚂蚁最后位于起点A的右侧还是左侧？距起点A多少？ (3)若电子蚂蚁共用了15秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度． 学科网（北京）股份有限公司 $$