第07讲 用树状图或表格求概率（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第07讲 用树状图或表格求概率（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 游戏的公平性 典型例题二 列举法求概率 典型例题三 求某事件的频率 典型例题四 由频率估计概率 典型例题五 列表法或树状图法求概率 典型例题六 几何概率 典型例题七 概率的综合应用 典型例题八 用频率估计概率的综合应用 知识点01 用树状图或表格求概率 1.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： (1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 【即时训练】 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）月日是国际数学节，某科技兴趣小组在今年的国际数学节策划了三个富有科技感的挑战活动，分别是“编程大冒险”、“算法解谜”和“机器人搭建赛”．小组中的成员小美和小宇每人都将随机选择参加其中一个活动，那么他们恰好选到同一个活动的概率是（　　） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图，三根同样的绳子、、穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等，若姐姐在左侧随机选中绳子，则妹妹在右侧随机恰好选中绳子的概率为 ． 知识点02 用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 要点： （1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点： 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某商场利用如图所示的转盘进行抽奖游戏，规定：顾客随机转动转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影区域就能获奖（若指向分界线，则重转）．通过大量游戏，发现中奖的频率稳定在0.3，那么可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·山西朔州·阶段练习）某研究单位研制出一种新药，为了检验该药的治疗效果，统计了患者中志愿者服用新药后的治愈情况．统计数据如表： 服药患者人数 20 50 100 200 300 500 治愈患者人数 17 44 87 172 257 429 治愈频率 0.850 0.880 0.870 0.860 0.857 0.858 根据上表数据，估计患者中志愿者服用该新药治愈的概率约为 ．（精确到0.01） 【典型例题一 游戏的公平性】 【例1】（2024九年级上·全国·专题练习）小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（　　） A．公平 B．对小颖有利 C．对小明有利 D．无法确定 【例2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 【例3】（2025九年级上·全国·专题练习）晓刚设计了一个游戏：任意掷出一个瓶盖，若盖面朝上则甲胜；若盖面朝下则乙胜．你认为这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 【例4】（2025·湖北·模拟预测）如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 1．（2025·山西·模拟预测）明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（   ） A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断 2．（24-25九年级上·北京顺义·期末）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可） 3．（2025九年级上·全国·专题练习）有一个抛两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不算赢，重来． (1)这个游戏是否公平？请说明理由． (2)如果你认为这个游戏不公平，那么请你修改游戏规则，使游戏公平． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）小明和小亮设计了如下游戏方案：如图，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1，3，6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）．分别转动转盘两次，转盘自由停止后，若指针所指扇形的数字之和大于7，则小明获胜；若数字之和小于7，则小亮获胜．用树状图或表格法表示游戏所有可能出现的结果，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【典型例题二 列举法求概率】 【例1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）现有标有数字0，4，5的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位正整数，摆出的三位数不是5的倍数的概率是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）有一个正五边形（如图所示的正五边形）的小花园，每个顶点处各有一个花坛，已知花坛中已经种植了凌霄，花坛中已经种植了三角梅，在剩余三个花坛中随机种上凤仙花、木槿、月季（每个花坛中只能种植一种花卉），则凤仙花与木槿两种花卉相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 【例3】（23-24九年级上·贵州遵义·期末）将三个小球分别标上，，三种化学元素符号（除标记符号外，其余均相同），放入一个不透明的袋中，探匀后从中任意摸出个小球，能够组成（一氧化碳）的概率是 ． 【例4】（2024·广东茂名·模拟预测）为迎接体育中考，小雯决定利用寒假进行体能训练，她每天随机完成如表中的两项内容，则训练时不用带体育器材的概率是 ． 项目 ①快走 ②跳绳 ③慢跑 ④骑自行车 训练量 20分钟 500下 30分钟 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南开封·模拟预测）开封是一座历史悠久的古城，以其深厚的文化底蕴和令人垂涎的美食吸引着无数游客前来探访．为了进一步提升游客体验，某旅行社推出了免费品尝美食活动，每位游客可以从如图所示的四种美食中任选两种进行品尝，那么游客小华选到开封灌汤包和汴京烤鸭的概率为 ． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）甲、乙、丙、丁四人随机站成一排照相． (1)甲不在两端的概率是_________； (2)若甲站在外端，求丙与丁相邻的概率． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）一个不透明的袋子中，装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中随机摸出1个球，摸到的球是红球的概率为_____. (2)搅匀后从中随机摸出2个球，求2个球都是红球的概率. 【典型例题三 求某事件的频率】 【例1】（23-24九年级上·青海果洛·期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 【例3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在整数20250416中，数字“0”出现的频率是 ． 【例4】（24-25九年级上·北京东城·期末）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 1．（24-25九年级上·江西吉安·期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 2．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是 ． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）一个不透明的袋子中共装有4个小球，其中2个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次 (1)随机摸球10次，其中摸出白球3次，则这10次摸球中，摸出白球的频率是______； (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小李做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 63 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.63 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 (1)当实验次数为10000次时，估计摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1） (2)盒子内有白球数量为 ； (3)通过增加这个不透明盒子内某种球的数量，可以使得摸到白球的概率为0.5，请写出应该增加什么颜色的球，并求出增加的数量． 【典型例题四 由频率估计概率】 【例1】（24-25九年级上·福建三明·期中）在一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其它完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（   ） A．21 B．24 C．27 D．30 【例2】（2025·贵州贵阳·模拟预测）在学习“用频率估计概率”这节课时，教材“读一读”环节介绍了“估计6个人中有2个人生肖相同的概率”的模拟试验，课后某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 200 500 1000 2000 3000 “有2个人生肖相同”的次数 24 53 126 259 522 780 “有2个人生肖相同”的频率 0.24 0.265 0.252 0.259 0.261 0.26 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率（精确到0.01）大约是（   ） A．0.24 B．0.25 C．0.26 D．0.27 【例3】（24-25九年级上·陕西汉中·期中）为了估计抛掷同一枚瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的频率稳定在，由此可估计抛掷瓶盖落地后凸面向上的概率为 ． 【例4】（2025·新疆阿克苏·模拟预测）某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为 ，（结果精确到0.1） 累计抽测的学生数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 1．（2025·四川成都·模拟预测）九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（    ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A．3个 B．4个 C．5个 D．10个 2．（24-25九年级上·广东广州·期末）数学小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可估计黑色部分的面积约为 ． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）（1）如图，是两个可以自由转动的转盘，指针位置固定．转盘①被分成4个大小相同的扇形，颜色分别为红、黑、蓝、黄四种颜色；转盘②被分成两个不同的扇形，颜色分别为红、黄两种颜色．同时转动两个转盘，停止后，求指针恰好都落在黄色区域的概率． （2）现有一个不透明的袋子和红、黄两种颜色小球若干个（除颜色外其它均相同），请设计一个与（1）中概率相等的摸球游戏，写出你的设计方案． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 命中的次数 命中的频率 (1)填空：______，______； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是_______（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮次，则他命中的次数大约是_______次； 【典型例题五 列表法或树状图法求概率】 【例1】（2025·河南鹤壁·模拟预测）如图所示，圆形转盘被等分成三个扇形，并分别标有数字，0，．随机转动转盘两次（指向边界处重转），转盘停止后指针所指区域的数字都是有理数的概率是（    ） A． B． C． D． 0 0 【例2】（2025·山西·模拟预测）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上并从中随机抽取两张，则抽到的卡片内容都是物理变化的概率是（     ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海嘉定·期末）在一副扑克牌中拿出2张红桃、2张黑桃的牌共4张，洗匀后，从中任取2张牌恰好为同花色的概率是 ． 【例4】（2025·河南驻马店·模拟预测）如图电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，能够让两个小灯泡同时发光的概率为 ． 1．（2025·四川南充·模拟预测）如图，一个可以自由转动的转盘等分为4个扇形．转动两次，转盘停止时指针均指向区域的概率是（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·河南周口·模拟预测）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，分为红、蓝、绿、黄四种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置．自由转动转盘两次，两次停止后指针（不指向交线）指向的颜色可以配成紫色（红、蓝可配成紫色）的概率是 ． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个． (1)若在甲袋中再放入x个红球，2个白球，摇匀后从甲袋中摸出1个小球，且摸出的小球是红色的概率为，求x的值． (2)若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的两个球都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式写出分析过程）． 4．（2025·江西九江·模拟预测）某学校计划购买甲、乙两种品牌的教学器材，甲品牌有，，三种型号，乙品牌有，两种型号，现要从甲、乙两种品牌的教学器材中各选一种型号进行购买． (1)下列事件是不可能事件的是________． A．购买A型号的教学器材 B．购买，两种型号的教学器材 C．既选择甲品牌的教学器材，又选择乙品牌的教学器材 D．选购F型号的教学器材 (2)若每种型号的教学器材被选中的可能性相同，请用列表法或画树状图法求，两种型号的教学器材被选中的概率． 【典型例题六 几何概率】 【例1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在，，三个区域中的豆子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·贵州毕节·期末）七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，是一个由“七巧板”地砖铺成的地板，一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都相同，那么小球停在4号地砖上的概率是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图，若随机向8×8正方形网格内投针（针尖落在网格内各点的概率均相等），则针尖落在阴影部分的概率为 ． 【例4】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，正方形内接于，随机向该圆形区域投掷飞镖1次，假设飞镖投中圆形区域中的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中，则重投1次），则飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是 ． 1．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）设计比赛的靶子是由10个同心圆组成，如图．已知这个靶子上面每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，规定：从最外面的圆环到最里面的小圆的环数依次为1环、2环、……、10环．在第33届巴黎夏季奥运会射击比赛中，某选手射出一发子弹，他射中8环的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，正方形的对角线交于点中，，将绕点旋转（边在正方形外面），现随机向正方形内抛掷一枚小针，则针尖落在与正方形重叠部分的概率为 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，转盘黑色扇形和白色扇形的圆心角分别为和． (1)让转盘自由转动一次，指针落在白色区域的概率是多少？ (2)让转盘自由转动两次，请用树状图或者列表法求出指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转） 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在三个正方形的中心各有一个可以自由转动的指针，请回答下列问题：    (1)在图①中，随机地转动指针，指针指向直角三角形的概率是多大？ (2)有人说，图①中的直角三角形比图②中的直角三角形大，所以转动图①的指针使之指向直角三角形的概率，要比转动图②中的指针使之指向直角三角形的概率大．请判断这种说法是否正确，并说明理由． (3)如果将对角线分正方形所成的四个直角三角形中的三个涂黑，如图③，有人说，在图③中，指针不是指向黑色就是指向白色，所以指向白色三角形的概率为．请判断这种说法是否正确，并说明理由． 【典型例题七 概率的综合应用】 【例1】（2024·河北沧州·模拟预测）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（    ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 【例3】（24-25九年级上·吉林·期末）在一个万人的小镇，随机调查了人，其中人会在日常生活中进行垃圾分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是 ． 【例4】（2024·北京门头沟·模拟预测）下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表： 月户用电量x（千瓦时/户．月） 户数（户） 5 22 27 31 15 从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为 ． 1（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（　 　） A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②① 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 （填“公平”、“不公平”）． （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 3．（24-25九年级上·全国·期末）一工厂生产某种型号的节能灯的质量抽检结果如表： 抽检个数 50 100 200 300 400 500 次品个数 1 3 5 6 7 9 (1)根据表格中的数据求任抽1件是次品的概率； (2)厂家承诺：顾客买到次品包换．如果卖出这批节能灯800个，那么要准备多少个兑换的节能灯？ 4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【典型例题八 用频率估计概率的综合应用】 【例1】（2025·广西柳州·模拟预测）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 【例2】（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图所示的是“向阳”兴趣小组对某试验中一种结果的统计情况，该试验结果最有可能为（   ） A．投掷一枚正六面体骰子，朝上的点数为3的倍数 B．掷一枚硬币朝上的是正面 C．不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个绿球和4个红球，摸出一个球是红球 D．从一副扑克牌中取一张牌，花色为红桃 【例3】（2024·辽宁鞍山·模拟预测）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动.如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为 . 【例4】（2024·山东青岛·模拟预测）某商场为了吸引顾客，举行摸球（球除颜色外其余完全相同）游戏进行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可以随机抽取一个球，抽得“红球”、“黄球”、“蓝球”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“白球”不赠购物券．小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000次抽奖结果如下： 球的颜色种类 红球 黄球 蓝球 白球 出现次数 500 1000 2000 6500 则小明随机抽取一球所获购物券金额的平均数为 元． 1．（24-25九年级·安徽·阶段练习）某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是（  ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数 C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 2．（24-25九年级上·北京石景山·期末）某林场要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，在移植过程中的统计结果如下表所示： 移植的幼树n/棵 500 1000 2000 4000 7000 10000 12000 15000 成活的幼树m/棵 423 868 1714 3456 6020 8580 10308 12915 成活的频率 0.846 0.868 0.857 0.864 0.860 0.858 0.859 0.861 在此条件下，估计该种幼树移植成活的概率为 （精确到）；若该林场欲使成活的幼树达到4.3万棵，则估计需要移植该种幼树 万棵. 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， (1)请估计摸到白球的概率将会接近___________； (2)计算盒子里白球有多少个？ (3)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 4．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 _______ 590 968 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 _______ (1)填写表中的空格； (2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）； (3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数． 1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）王强和李明准备在双休日到营根附近游玩，他们各自从湿地公园、三月三广场、百花桥三个景点随机选择两个，他们选择的景点相同的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的广东省政区图，他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北保定·期末）甲，乙两位同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示．则符合这一结果的试验可能是（    ） A．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任取一个球，取到红球的概率 B．在内任意写出一个整数，能被2整除的概率 C．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 5．（24-25九年级上·全国·课后作业）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）甲、乙、丙、丁四人练习传球，开始球在甲手上，每人都可以把球传给另外三人中的一人．经过3次传球后，球回到甲手上的概率是 ． 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）甲、乙两同学手中各有分别标注1，2，3三个数字的纸牌，甲制定了游戏规则：两人同时各出一张牌，当两纸牌上的数字之和为偶数时甲赢，奇数时乙赢，则甲获胜的概率是 ． 8．（24-25九年级上·江苏常州·期中）小强通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率是0.4，以下给出4个判断：①小强定点投篮1次，不一定能投中；②小强定点投篮1次，一定能投中；③小强定点投篮10次，一定能投中4次；④小强定点投篮4次，一定能投中1次．其中正确的是 （只需填写序号）． 9．（2025·山东济南·模拟预测）《易经》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．太极图是关于太极思想的图示，里面包含表示一阴一阳的图形，在不考虑颜色的情况下，它是一个中心对称图形．如图，在太极图的大圆形内部随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是 ． 10．（2024·北京·模拟预测）农科院新培育出A、B两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下： 下面有三个推断： ①在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子． ②当实验种子数里为100时，两种种子的发芽率均为0.96所以他发芽的概率一样； ③随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.98；其中不合理的是 （只填序号） 11．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字，，，，，．小明与小颖用这个转盘做游戏，两人约定：自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域则小明胜，指针指向偶数区域则小颖胜，若转到边界线上则重新转．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 12．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外，其他均相同的球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的统计数据． 摸球总次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 摸到黄球的次数 14 24 38 52 b 86 97 111 120 133 摸到黄球的频率 a (1)表中__________，__________． (2)估计从袋中摸出一个球是黄球的概率是__________．（精确到0.01） 13．（24-25九年级上·河南郑州·期中）丹尼斯大卖场为回馈新老顾客，进行有奖促销活动．活动规定：凡一次性购物满元者即可获得一次转转盘的机会，转盘被等分成份，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分别获一、二、三等奖，获得奖项如下： 一等奖：空气炸锅一个 二等奖：双肩背包一个 三等奖：洗衣液一桶 根据以上信息，解答下列问题： (1)转一次转盘，会有_____种不同的结果；其中获得双肩背包的概率为_____； (2)若一次性购物满元，则转一次转盘，获奖的概率是多少？ (3)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将_____个空白扇形涂上颜色． 14．（24-25九年级上·福建厦门·期中）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（为了方便记录，把a≤x＜b记作：[a，b）．） 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 4000 5000 8000 10000 … 摸到白球的次数m 749 1499 2998 3751 6000 7501 … 摸到白球的频率 0．7490 0．7495 0．7495 0．7502 0．750 0．7501 … (1)根据试验结果试估算口袋中白球有多少只？ (2)在（1）的基础上，若同时从该口袋中摸出两个球，用画树状图或列表法求这两个球颜色相同的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 用树状图或表格求概率（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 游戏的公平性 典型例题二 列举法求概率 典型例题三 求某事件的频率 典型例题四 由频率估计概率 典型例题五 列表法或树状图法求概率 典型例题六 几何概率 典型例题七 概率的综合应用 典型例题八 用频率估计概率的综合应用 知识点01 用树状图或表格求概率 1.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： (1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 【即时训练】 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）月日是国际数学节，某科技兴趣小组在今年的国际数学节策划了三个富有科技感的挑战活动，分别是“编程大冒险”、“算法解谜”和“机器人搭建赛”．小组中的成员小美和小宇每人都将随机选择参加其中一个活动，那么他们恰好选到同一个活动的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，再根据树状图解答即可求解，掌握用树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：用分别表示“编程大冒险”、“算法解谜”和“机器人搭建赛”，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中他们恰好选到同一个活动的结果有种， ∴他们恰好选到同一个活动的概率是， 故选：． 【即时训练】 2．（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图，三根同样的绳子、、穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等，若姐姐在左侧随机选中绳子，则妹妹在右侧随机恰好选中绳子的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列举法求概率的知识，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 由三根同样的绳子、、穿过一块木板，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵共有三根同样的绳子、、穿过一块木板， ∴姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子BB1的概率为：． 故答案为：． 知识点02 用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 要点： （1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点： 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某商场利用如图所示的转盘进行抽奖游戏，规定：顾客随机转动转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影区域就能获奖（若指向分界线，则重转）．通过大量游戏，发现中奖的频率稳定在0.3，那么可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式的应用；由概率公式的意义即可得出答案． 【详解】解：， 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·山西朔州·阶段练习）某研究单位研制出一种新药，为了检验该药的治疗效果，统计了患者中志愿者服用新药后的治愈情况．统计数据如表： 服药患者人数 20 50 100 200 300 500 治愈患者人数 17 44 87 172 257 429 治愈频率 0.850 0.880 0.870 0.860 0.857 0.858 根据上表数据，估计患者中志愿者服用该新药治愈的概率约为 ．（精确到0.01） 【答案】0.86 【分析】本题考查用频率估计概率，根据大量重复试验得到的频率稳定的数值即为概率解答即可． 【详解】解：估计患者中志愿者服用该新药治愈的概率约为0.86， 故答案为：0.86． 【典型例题一 游戏的公平性】 【例1】（2024九年级上·全国·专题练习）小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（　　） A．公平 B．对小颖有利 C．对小明有利 D．无法确定 【答案】A 【分析】先利用概率公式计算出小颖胜的概率为，小明胜的概率为，然后再利用两者的概率相等可判断游戏公平． 【详解】解：掷一枚硬币，共有2种等可能的结果，其中正面朝上的结果数为1，反面朝上的结果数为1， ∴小颖胜的概率为，小明胜的概率为， ∵， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 【点睛】本题考查了游戏公平性和概率公式，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则不公平． 【例2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 【答案】D 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇，而和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种，则和为偶数的概率和和为奇数的概率相同，故游戏公平，据此可得答案． 【详解】解：根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇； ∵奇数与奇数的和为偶数，偶数与偶数的和为偶数，奇数与偶数的和为奇数， ∴和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种， ∴和为偶数的概率和和为奇数的概率相同， ∴这个游戏是公平的， 故选：D． 【例3】（2025九年级上·全国·专题练习）晓刚设计了一个游戏：任意掷出一个瓶盖，若盖面朝上则甲胜；若盖面朝下则乙胜．你认为这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平．因为瓶盖不是均匀的，盖面朝上的机会小于盖面朝下的机会，故这个游戏不公平． 【详解】解：每面朝上的可能性相等时，游戏公平．而瓶盖本身是不均匀的，所以将会造成游戏失去公平性． 故答案为：不公平． 【例4】（2025·湖北·模拟预测）如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 【答案】小丽 【分析】考查了判断游戏公平性．解题关键抓住判断游戏公平性要先计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 先用列表法求得各自获胜的概率，再进行比较进行判断即可． 【详解】解：列表得：       B           A 2 5 9 3 2，3 5，3 9，3 6 2，6 5，6 9，6 8 2，8 5，8 9，8 共有 9 种可能，其中小美获胜的次数为，小丽获胜的次数为5， ∴， ∴， ∴小丽的获胜可能性较大． 故答案为：小丽． 1．（2025·山西·模拟预测）明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（   ） A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图可得： 由数轴图可得，共有种等可能出现的结果，其中四面体与地面接触的数字之和为奇数的情况有种，和为偶数的情况有， ∴明明胜的概率为，亮亮胜的概率为， ∵， ∴对亮亮有利， 故选：C． 2．（24-25九年级上·北京顺义·期末）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可） 【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一） 【分析】由游戏规则分析判断即可作出结论． 【详解】解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜； 若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下： 乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜， 故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）． 【点睛】本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）有一个抛两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不算赢，重来． (1)这个游戏是否公平？请说明理由． (2)如果你认为这个游戏不公平，那么请你修改游戏规则，使游戏公平． 【答案】(1)不公平，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）根据概率公式分别计算出甲、乙赢得游戏的概率，比较大小即可得出答案； （2）答案不唯一，只需使两者获胜的概率相等即可． 【详解】（1）解：不公平．理由如下： 因为抛两枚硬币，所有机会均等的结果为正正，正反，反正，反反． 所以出现两个正面的结果只有一种； 出现一正一反的结果有两种． 因为二者结果数量不等，所以这个游戏不公平． （2）解：游戏规则一：若出现两个相同面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢． 游戏规则二：若出现两个正面，则甲赢；若出现两个反面，则乙赢；若出现一正一反，则甲，乙都不赢． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）小明和小亮设计了如下游戏方案：如图，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1，3，6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）．分别转动转盘两次，转盘自由停止后，若指针所指扇形的数字之和大于7，则小明获胜；若数字之和小于7，则小亮获胜．用树状图或表格法表示游戏所有可能出现的结果，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】这个游戏对双方不公平，理由见详解 【分析】本题考查的游戏公平性的判断以及用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，可知，共有9种等可能的结果，由概率公式得小明获胜的概率，小亮获胜的概率，即可得出结论． 【详解】解：这个游戏对双方不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中指针所指区域的数字之和大于7的结果有3种，数字之和小于7的结果有4种， ∴小明获胜的概率，小亮获胜的概率， ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 【典型例题二 列举法求概率】 【例1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）现有标有数字0，4，5的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位正整数，摆出的三位数不是5的倍数的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据题意列出所有可能，根据概率公式即可求解． 【详解】∵有数字0，4，5的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位正整数， ∴摆出的三位数有405，450，504，540， ∴共4种可能，其中不是5的倍数是504，有1个， ∴摆出的三位数不是5的倍数的概率是． 故选：C． 【例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）有一个正五边形（如图所示的正五边形）的小花园，每个顶点处各有一个花坛，已知花坛中已经种植了凌霄，花坛中已经种植了三角梅，在剩余三个花坛中随机种上凤仙花、木槿、月季（每个花坛中只能种植一种花卉），则凤仙花与木槿两种花卉相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，由于花坛中已经种植了凌霄，花坛中已经种植了三角梅，则列举种植凤仙花、木槿、月季的可能结果，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率的方法是解题的关键． 【详解】解：∵花坛中已经种植了凌霄，花坛中已经种植了三角梅， ∴种植凤仙花、木槿、月季的可能结果为 凤仙花、木槿、月季； 凤仙花、月季、木槿； 月季、凤仙花、木槿； 月季、木槿、凤仙花； 凤仙花、月季、木槿； 凤仙花、木槿、月季； ∴一共有种等可能结果，凤仙花与木槿两种花卉相邻的结果有种， ∴凤仙花与木槿两种花卉相邻的概率是， 故选：． 【例3】（23-24九年级上·贵州遵义·期末）将三个小球分别标上，，三种化学元素符号（除标记符号外，其余均相同），放入一个不透明的袋中，探匀后从中任意摸出个小球，能够组成（一氧化碳）的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，熟练掌握相关方法是解题的关键．列举出所有可能出现的情况，求出相应的概率即可． 【详解】解：可能出现的情况：，，，，，，共有种可能出现的结果，其中能够组成（一氧化碳）的有种， 即能够组成（一氧化碳）的概率是， 故答案为：． 【例4】（2024·广东茂名·模拟预测）为迎接体育中考，小雯决定利用寒假进行体能训练，她每天随机完成如表中的两项内容，则训练时不用带体育器材的概率是 ． 项目 ①快走 ②跳绳 ③慢跑 ④骑自行车 训练量 20分钟 500下 30分钟 【答案】 【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．列举出所有等可能发生的情况求解即可． 【详解】解：每天随机完成如表中的两项内容，有①②；①③；①④；②③；②④；③④，一共6种情况，其中不用带体育器材的有1种情况， 故训练时不用带体育器材的概率是． 故答案为：． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定抽取三边长包含的基本事件，和三张卡片上的数字作为边长能构成三角形的基本事件，即可求出能构成三角形的概率． 【详解】解：抽取三边长包含的基本事件为：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个； 设事件B＝“抽取三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“ 则事件B包含的基本事件有：（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个， 故p（B）＝ ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了用列举法来求古典概率的问题，关键是列举要不重不漏，难度不大． 2．（2025·河南开封·模拟预测）开封是一座历史悠久的古城，以其深厚的文化底蕴和令人垂涎的美食吸引着无数游客前来探访．为了进一步提升游客体验，某旅行社推出了免费品尝美食活动，每位游客可以从如图所示的四种美食中任选两种进行品尝，那么游客小华选到开封灌汤包和汴京烤鸭的概率为 ． 【答案】 【分析】该题考查了列举法求概率，先列举出所有可能情况，再由概率公式求解即可． 【详解】解：从四种美食中任选两种的所有可能情况有：（开封灌汤包，桶子鸡）、（开封灌汤包，花生糕）、（开封灌汤包，汴京烤鸭）、（桶子鸡，花生糕）、（桶子鸡，汴京烤鸭）、（花生糕，汴京烤鸭），共6种， 其中选到开封灌汤包和汴京烤鸭的情况只有1种，所以概率为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）甲、乙、丙、丁四人随机站成一排照相． (1)甲不在两端的概率是_________； (2)若甲站在外端，求丙与丁相邻的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式，即事件A的概率=事件A的结果数÷所有等可能的结果数，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先写出所有等可能的情况，再得出甲不在两端的的情况，利用概率公式求解即可； （2）先写出所有等可能的情况，再得出丙与丁相邻的情况，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）甲、乙、丙、丁四人随机排成一横排，可以是（甲乙丙丁），（甲丙乙丁），（乙甲丙丁），（乙丙甲丁），（丙甲乙丁），（丙乙甲丁），（甲乙丁丙），（甲丙丁乙），（乙甲丁丙），（乙丙丁甲），（丙甲丁乙），（丙乙丁甲），（甲丁乙丙），（甲丁丙乙），（乙丁甲丙），（乙丁丙甲），（丙丁甲乙），（丙丁乙甲），（丁甲乙丙），（丁甲丙乙），（丁乙甲丙），（丁乙丙甲），（丁丙甲乙），（丁丙乙甲）共24种情况，其中甲不在两端的的情况有12种情况， 甲不在两端的概率是， 故答案为：； （2）甲、乙、丙、丁四人随机排成一横排，甲站在外端的有12种情况，分别是（甲乙丙丁），（甲丙乙丁），（甲乙丁丙），（甲丙丁乙），（乙丙丁甲），（丙乙丁甲），（甲丁乙丙），（甲丁丙乙），（乙丁丙甲），（丙丁乙甲），（丁乙丙甲），（丁丙乙甲）共12种情况，其中丙与丁相邻的情况有8种情况， 丙与丁相邻的概率为． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）一个不透明的袋子中，装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中随机摸出1个球，摸到的球是红球的概率为_____. (2)搅匀后从中随机摸出2个球，求2个球都是红球的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列举法求解概率，概率公式，正确列出所有情况是解题的关键． （1）由概率公式直接求解； （2）先列举出所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中，装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同， ∴搅匀后从中随机摸出1个球，摸到的球是红球的概率为， 故答案为：； （2）解：所有可能的结果有：（红1，红2）、（红1，红3）、（红1，白）、（红2，红3）、（红2，白）、（红3，白），共6种，它们出现的可能性相同， 所有的结果中，满足“2个球都是红球”（记为事件）的结果有3种，所以． 【典型例题三 求某事件的频率】 【例1】（23-24九年级上·青海果洛·期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是频率的计算应用． 频率∶每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率，熟知频率公式是解题的关键； 由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，利用频率公式直接求解即可求得答案． 【详解】骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 掷得朝上一面的点数是6的频率为：， 故选：B． 【例2】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率的计算，根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动， A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率为，不合题意； C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率约为，符合题意； D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为，不合题意； 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在整数20250416中，数字“0”出现的频率是 ． 【答案】 【分析】本题考查频率，用0的个数除以所有数字的个数，进行计算即可． 【详解】解：由题意，数字“0”出现的频率是； 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·北京东城·期末）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率． 【详解】解：表中从左往右，频率分别为， 钉尖朝上的概率约为； 故答案为：． 1．（24-25九年级上·江西吉安·期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【答案】C 【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意． 【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 2．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 【详解】解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）一个不透明的袋子中共装有4个小球，其中2个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次 (1)随机摸球10次，其中摸出白球3次，则这10次摸球中，摸出白球的频率是______； (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）画出树状图可得，共有16种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有4种结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是； 故答案为：； （2）解：画树状图得， 共有16种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有4种结果， ∴． 故两次摸出的小球都是红球的概率为． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小李做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 63 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.63 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 (1)当实验次数为10000次时，估计摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1） (2)盒子内有白球数量为 ； (3)通过增加这个不透明盒子内某种球的数量，可以使得摸到白球的概率为0.5，请写出应该增加什么颜色的球，并求出增加的数量． 【答案】(1) (2) (3)增加个黑球 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识，已知概率求数量； （1）计算出其平均值即可； （2）概率接近于（1）得到的频率； （3）首先确定40个球的颜色，然后使得黑球和白球的数量相等即可确定答案． 【详解】（1）解：∵摸到白球的频率为， ∴当实验次数为10000次时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：． （2）解：∵摸到白球的频率为， ∴假如你摸一次，你摸到白球的概率为， ∵盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个， ∴白球个数为， 故答案为：． （3）解：由（2）得盒子内白球数24，则黑球数， ∴使得摸到白球的概率为0.5，即两种球的个数一样多，需要增加个黑球． 【典型例题四 由频率估计概率】 【例1】（24-25九年级上·福建三明·期中）在一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其它完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（   ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，概率公式的应用，准确计算是解题的关键． 利用黄球的实际个数除以其概率得到总数，总数减去黄球个数即为红球个数． 【详解】解：根据题意得两种球的总数为（个）， 则红球的个数为（个）， 故选：A． 【例2】（2025·贵州贵阳·模拟预测）在学习“用频率估计概率”这节课时，教材“读一读”环节介绍了“估计6个人中有2个人生肖相同的概率”的模拟试验，课后某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 200 500 1000 2000 3000 “有2个人生肖相同”的次数 24 53 126 259 522 780 “有2个人生肖相同”的频率 0.24 0.265 0.252 0.259 0.261 0.26 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率（精确到0.01）大约是（   ） A．0.24 B．0.25 C．0.26 D．0.27 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率．根据表格中的数据解答即可． 【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率大约是0.26． 故选C． 【例3】（24-25九年级上·陕西汉中·期中）为了估计抛掷同一枚瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的频率稳定在，由此可估计抛掷瓶盖落地后凸面向上的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，理解在大量重复试验的情况下，事件发生的频率会逐渐稳定，此时该频率可近似看作事件发生的概率是解题的关键． 根据在大量重复试验中，某一事件发生的频率近似等于这一事件发生的概率，即可解答． 【详解】解：∵小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的频率稳定在， ∴可估计抛掷瓶盖落地后凸面向上的概率为． 故答案为： 【例4】（2025·新疆阿克苏·模拟预测）某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为 ，（结果精确到0.1） 累计抽测的学生数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 【答案】0.4 【分析】本题主要考查利用频率估算概率，熟练掌握利用频率估算概率是解题的关键；利用大量重复实验时的频率可估计概率求解即可． 【详解】解：随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.4，所以该市初中生近视的概率为0.4； 故答案为:0.4． 1．（2025·四川成都·模拟预测）九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（    ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A．3个 B．4个 C．5个 D．10个 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键． 根据表格中信息可得到红球的概率，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：从给出的表格中可以看到，随着摸球总次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在左右， 设口袋中红球有个， 由于摸到红球的频率稳定值可近似看作摸到红球的概率，即， 解得：， 所以口袋中红球的个数最可能是个， 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东广州·期末）数学小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可估计黑色部分的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率的实际应用，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键．先求出点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.75左右，再用这个结果乘以大正方形的面积即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）（1）如图，是两个可以自由转动的转盘，指针位置固定．转盘①被分成4个大小相同的扇形，颜色分别为红、黑、蓝、黄四种颜色；转盘②被分成两个不同的扇形，颜色分别为红、黄两种颜色．同时转动两个转盘，停止后，求指针恰好都落在黄色区域的概率． （2）现有一个不透明的袋子和红、黄两种颜色小球若干个（除颜色外其它均相同），请设计一个与（1）中概率相等的摸球游戏，写出你的设计方案． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解； （2）根据(1)中的概率设计合理的方案即可． 【详解】解：（1）列表如下：        转盘① 转盘② 黄 红 蓝 黑 黄 （黄，黄） （红，黄） （蓝，黄） （黑，黄） 黄 （黄，黄） （红，黄） （蓝，黄） （黑，黄） 红 （黄，红） （红，红） （蓝，红） （黑，红） 共有12种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“都落在黄色区域”（记为事件A）的结果有3种，即（黄，黄）、（黄，黄）， 所以． （2）游戏可以设计为：在一个不透明的袋子中装入除颜色外均相同的六个小球，其中五个红球、一个黄球，每次随机摸出一个球，恰为黄球． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 命中的次数 命中的频率 (1)填空：______，______； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是_______（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮次，则他命中的次数大约是_______次； 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （）根据频率估算概率即可； （）根据概率进行判断即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是， 故答案为：； （3）解：由（）可知，该运动员投中的概率为， ∴（次）， 估计他命中的次数为次， 故答案为：． 【典型例题五 列表法或树状图法求概率】 【例1】（2025·河南鹤壁·模拟预测）如图所示，圆形转盘被等分成三个扇形，并分别标有数字，0，．随机转动转盘两次（指向边界处重转），转盘停止后指针所指区域的数字都是有理数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及转盘停止后指针所指区域的数字都是有理数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 0 0 共有9种等可能的结果，其中转盘停止后指针所指区域的数字都是有理数的结果有：，，，，共4种， ∴转盘停止后指针所指区域的数字都是有理数的概率为． 故选：B． 【例2】（2025·山西·模拟预测）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上并从中随机抽取两张，则抽到的卡片内容都是物理变化的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率．画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽取两张卡片内容均为物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：设四张卡片从左到右分别为A、B、C、D，则四张卡片内容中是物理学变化的有：B，D．画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为物理变化的结果有：共2种， ∴抽取两张卡片内容均为物理变化的概率为． 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·上海嘉定·期末）在一副扑克牌中拿出2张红桃、2张黑桃的牌共4张，洗匀后，从中任取2张牌恰好为同花色的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法求概率， 列表得出所有可能出现的结果，进而得出符合条件的结果，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：把张红桃记作A、，张黑桃分别记为、， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中从中任取2张牌恰好是同花色的结果有4种， 从中任取2张牌恰好是同花色的概率为． 故答案为：． 【例4】（2025·河南驻马店·模拟预测）如图电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，能够让两个小灯泡同时发光的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：设，，，分别用1、2、3、4表示， 画树状图如图所示： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中能够让两个小灯泡同时发光的情况有种， ∴能够让两个小灯泡同时发光的概率为， 故答案为：． 1．（2025·四川南充·模拟预测）如图，一个可以自由转动的转盘等分为4个扇形．转动两次，转盘停止时指针均指向区域的概率是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表得到所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可，熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 【详解】解：将其余3个扇形即为1、2、3， 列表如下： 1 2 3 1 2 3 由表格可知，共有16种等可能的情况，其中转动两次，转盘停止时指针均指向区域的情况有1种， 转动两次，转盘停止时指针均指向区域的概率是， 故选：C 2．（2025·河南周口·模拟预测）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，分为红、蓝、绿、黄四种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置．自由转动转盘两次，两次停止后指针（不指向交线）指向的颜色可以配成紫色（红、蓝可配成紫色）的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法求概率，先根据情况列表显示所有的结果，再找到可以配成紫色（红、蓝可配成紫色）的数量，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：如图，所有可能性如下： 红1 蓝1 红2 绿 蓝2 黄 红1 红1，红1 蓝1，红1 红2，红1 绿，红1 蓝2，红1 黄，红1 蓝1 红1，蓝1 蓝1，蓝1 红2，蓝1 绿，蓝1 蓝2，蓝1 黄，蓝1 红2 红1，红2 蓝1，红2 红2，红2 绿，红2 蓝2，红2 黄，红2 绿 红1，绿 蓝1，绿 红2，绿 绿，绿 蓝2，绿 黄，绿 蓝2 红1，蓝2 蓝1，蓝2 红2，蓝2 绿，蓝2 蓝2，蓝2 黄，蓝2 黄 红1，黄 蓝1，黄 红2，黄 绿，黄 蓝2，黄 黄，黄 ∴共有36种情况，其中两次停止后指针（不指向交线）指向的颜色可以配成紫色（红、蓝可配成紫色）有8种， ∴两次停止后指针（不指向交线）指向的颜色可以配成紫色（红、蓝可配成紫色）的概率是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个． (1)若在甲袋中再放入x个红球，2个白球，摇匀后从甲袋中摸出1个小球，且摸出的小球是红色的概率为，求x的值． (2)若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的两个球都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式写出分析过程）． 【答案】(1)5 (2)，过程见解析 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握用列表法与树状图法求概率以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据概率公式列方程求解即可． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸出的都是白色小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得：． ∴x的值为5． （2）解：列表如下∶ 红 白 黑 红 白 白 共有9种等可能的结果，其中摸出的都是白色小球的结果有2种， ∴摸出的都是白色小球的概率为． 4．（2025·江西九江·模拟预测）某学校计划购买甲、乙两种品牌的教学器材，甲品牌有，，三种型号，乙品牌有，两种型号，现要从甲、乙两种品牌的教学器材中各选一种型号进行购买． (1)下列事件是不可能事件的是________． A．购买A型号的教学器材 B．购买，两种型号的教学器材 C．既选择甲品牌的教学器材，又选择乙品牌的教学器材 D．选购F型号的教学器材 (2)若每种型号的教学器材被选中的可能性相同，请用列表法或画树状图法求，两种型号的教学器材被选中的概率． 【答案】(1)D (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：A．购买A型号的教学器材，是随机事件，故不符合题意； B．购买，两种型号的教学器材，是随机事件，故不符合题意； C．既选择甲品牌的教学器材，又选择乙品牌的教学器材，是必然事件，故不符合题意； D．选购F型号的教学器材，是不可能事件，故符合题意； 故选：D； （2）解：画树状图如图所示： ， 由图可得，一共有种等可能出现的结果，其中，两种型号的教学器材被选中的情况有种， 故，两种型号的教学器材被选中的概率为． 【典型例题六 几何概率】 【例1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在，，三个区域中的豆子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率及频率估计概率，根据落在三个区域的豆子数比等于各部分面积比，用各个区域面积比估计概率计算即可． 【详解】解：落在，，三个区域中的豆子数的比等于，，的面积比． “豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值， 故选：A． 【例2】（23-24九年级上·贵州毕节·期末）七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，是一个由“七巧板”地砖铺成的地板，一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都相同，那么小球停在4号地砖上的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．根据几何概率的求法：小球落在4号地砖上的概率就是4号地砖的面积与总面积的比值． 【详解】解：如图， 由“七巧板”地砖的特点设，，， ∴4号地砖的面积为，整个正方形的面积为， ∴小球停在4号地砖上的概率是， 故选D 【例3】（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图，若随机向8×8正方形网格内投针（针尖落在网格内各点的概率均相等），则针尖落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，掌握事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示是解题关键，根据割补法可求出阴影部分面积，再求出正方形网格总面积，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：将上边和左边的弓形阴影割补到下边和右边，则可得阴影部分面积为， 正方形网格总面积为， 针尖落在阴影部分的概率为器， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，正方形内接于，随机向该圆形区域投掷飞镖1次，假设飞镖投中圆形区域中的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中，则重投1次），则飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率．设正方形的边长为a，则圆的直径为，求出正方形的面积为，圆的面积为，然后用正方形的面积除以圆的面积即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，则圆的直径为， ∴正方形的面积为，圆的面积为， ∴飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是． 故答案为：． 1．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）设计比赛的靶子是由10个同心圆组成，如图．已知这个靶子上面每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，规定：从最外面的圆环到最里面的小圆的环数依次为1环、2环、……、10环．在第33届巴黎夏季奥运会射击比赛中，某选手射出一发子弹，他射中8环的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率，设最小的圆的半径为1，根据每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，结合圆的面积求出8环的面积，再乘以整个大圆的面积即可得出结果． 【详解】解：设最小的圆的半径为1，则从里到外，圆的半径依次为， ∴他射中8环的概率是； 故选B． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，正方形的对角线交于点中，，将绕点旋转（边在正方形外面），现随机向正方形内抛掷一枚小针，则针尖落在与正方形重叠部分的概率为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，概率公式即可得出结论． 【详解】解：正方形的对角线交于点， ，，， ， ，， ， ， 设正方形的边长为， ， ， 正方形与Rt两个图形重叠部分的面积 针尖落在与正方形重叠部分的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，转盘黑色扇形和白色扇形的圆心角分别为和． (1)让转盘自由转动一次，指针落在白色区域的概率是多少？ (2)让转盘自由转动两次，请用树状图或者列表法求出指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何概率模型，涉及简单概率公式、列举法求概率等知识，熟记简单概率公式、几何概率模型解法及列举法求概率方法是解决问题的关键． （1）根据几何概率模型，利用图中面积关系，由简单概率公式代值求解即可得到答案； （2）由题意，画树状图，得到全部可能得结果，利用简单概率公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵转盘黑色扇形和白色扇形的圆心角分别为和， ∴白色扇形是黑色扇形的2倍， ∴让转盘自由转动一次，指针落在白色区域的概率是； （2）解：画树状图如下：          共有9种等可能的结果，两次指针都落在白色区域的结果有4种， ∴一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率为． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在三个正方形的中心各有一个可以自由转动的指针，请回答下列问题：    (1)在图①中，随机地转动指针，指针指向直角三角形的概率是多大？ (2)有人说，图①中的直角三角形比图②中的直角三角形大，所以转动图①的指针使之指向直角三角形的概率，要比转动图②中的指针使之指向直角三角形的概率大．请判断这种说法是否正确，并说明理由． (3)如果将对角线分正方形所成的四个直角三角形中的三个涂黑，如图③，有人说，在图③中，指针不是指向黑色就是指向白色，所以指向白色三角形的概率为．请判断这种说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)不正确，见解析 (3)不正确，见解析 【分析】（1）图①中四个三角形的面积相等，再结合几何概率进行计算即可； （2）图①和图②中，和所占的比例式相等的，据此即可得出答案； （3）根据图形分别求出白色部分和黑色部分分别占整个图形的几分之几，进而求得结果． 【详解】（1）解：由正方形的性质可得，四个小三角形的面积是相等的，因此指针指向每一个三角形的概率都是一样的， 在题图①中，随机转动指针，指针指向直角的概率为； （2）解：不正确， 理由如图： 由正方形的性质可得，四个小三角形的面积是相等的，因此指针指向每一个三角形的概率都是一样的， 在题图②中，指针指向直角的概率为，与题图①中的概率一样； （3）解：不正确， 理由如下： 在题图③中，由于白色部分、黑色部分分别占正方形的，， 指针指向这两部分的概率分别是，． 【点睛】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的求法是解题的关键． 【典型例题七 概率的综合应用】 【例1】（2024·河北沧州·模拟预测）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 【答案】C 【分析】本题考查概率的应用，计算出所有情况的概率直接比较判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，，，， ∵， ∴大可能看到的内容是时间， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（    ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 【答案】B 【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可． 【详解】解：∵取一位数时一次就拨对密码的概率为； 取两位数时一次就拨对密码的概率为； 取三位数时一次就拨对密码的概率为； 取四位数时一次就拨对密码的概率为； ∵， ∴密码的位数至少需要四位，故选项B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 【例3】（24-25九年级上·吉林·期末）在一个万人的小镇，随机调查了人，其中人会在日常生活中进行垃圾分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是 ． 【答案】 【分析】根据概率的概念，由符合条件的人数除以样本容量，即可得解. 【详解】由题意，得 故答案为：. 【点睛】此题主要考查概率的求解，熟练掌握，即可解题. 【例4】（2024·北京门头沟·模拟预测）下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表： 月户用电量x（千瓦时/户．月） 户数（户） 5 22 27 31 15 从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为 ． 【答案】0.8． 【分析】根据用电量大于240小于等于400为第二档，即可得出结论． 【详解】由表格可知这100户中， 有户为第二档人， ∴， 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查了概率问题，正确读懂表格是解题的关键． 1（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（　 　） A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②① 【答案】A 【详解】解：图1阴影部分为270°，图2阴影部分为240°，图3每份为45°，阴影部分共4份为180°，图4每份为45°阴影部分共5份为225°，所以①②④③， 故选A． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 （填“公平”、“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】列举出所有情况，看“和为6”及“和为9”情况数占所有情况数的多少即可． 【详解】解：如图所示： （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 共有36种情况，和为6情况数是5种，所以甲赢的概率为；和为9的情况数有4种，所以概率为 ． ∵＞， ∴不公平． 故答案为不公平． 【点睛】此题考查用列表格的方法解决概率问题；得到“和为6”及“和为9”的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 3．（24-25九年级上·全国·期末）一工厂生产某种型号的节能灯的质量抽检结果如表： 抽检个数 50 100 200 300 400 500 次品个数 1 3 5 6 7 9 (1)根据表格中的数据求任抽1件是次品的概率； (2)厂家承诺：顾客买到次品包换．如果卖出这批节能灯800个，那么要准备多少个兑换的节能灯？ 【答案】(1)0.02 (2)16 【分析】（1）根据概率的求法，找准两点：1、符合条件的情况数目；2、全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率； （2）需要准备兑换的节能灯数＝销售的节能灯×次品的概率，依此计算即可． 【详解】（1）抽查总体数m＝50+100+200+300+400+500＝1550， 次品件数n＝1+3+5+6+7+9＝31， 这批节能灯中任抽1个是次品的概率为0.02； （2）根据（1）的结论：这批节能灯中任抽1件是次品的概率为0.02， 则800×0.02＝16（个）． 答：准备16个兑换的节能灯． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【答案】(1)7，0，小明 (2) (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查概率的实际应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）根据规则，进行求和计算即可； （2）先求出小明第三次投掷的点数与前两次的点数之和超过10的结果，再利用概率公式进行计算即可； （3）求出小亮第三次投掷和不超过10和超过10的概率，进行判断即可． 【详解】（1）解：小明得分：（分）； 小亮投掷的点数之和为：， ∴小亮得分为0分； ∴小明赢； 故答案为：7，0，小明； （2）小明前两次投掷的点数和为：， ∴当小明第三次投掷的点数为时，最终得分为0分， ∴； （3）不会，理由如下： 小亮前两次投掷的点数和为：， ∴当小亮第三次投掷的点数，即为：3，4，5，6时，小亮的得分为0分，概率为：，小亮第三次投掷的点数为1，2时，小亮得分不为0，概率为， ∵， ∴不会投掷第三次． 【典型例题八 用频率估计概率的综合应用】 【例1】（2025·广西柳州·模拟预测）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了频数、频率及总数间的关系，熟练掌握三者间的关系是解题的关键．用球的总个数分别乘以摸到白球频率求出其对应个数，继而可得答案． 【详解】解：根据题意得：个， 即估计口袋中白球的个数是18个． 故选：B 【例2】（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图所示的是“向阳”兴趣小组对某试验中一种结果的统计情况，该试验结果最有可能为（   ） A．投掷一枚正六面体骰子，朝上的点数为3的倍数 B．掷一枚硬币朝上的是正面 C．不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个绿球和4个红球，摸出一个球是红球 D．从一副扑克牌中取一张牌，花色为红桃 【答案】A 【分析】根据概率公式计算概率，后比较判断即可． 【详解】∵投掷一枚正六面体骰子，朝上的点数为3的倍数的数有3，6两种可能， ∴朝上的点数为3的倍数的概率为， 与图像频率稳定在相吻合， 故A符合题意； ∵掷一枚硬币朝上的是正面概率为， ∴与图像频率稳定在不吻合， 故B不符合题意； ∵不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个绿球和4个红球，摸出一个球是红球概率为， ∴与图像频率稳定在不吻合， 故C不符合题意； ∵从一副扑克牌中取一张牌，花色为红桃概率为， ∴与图像频率稳定在不吻合， 故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式计算是解题的关键． 【例3】（2024·辽宁鞍山·模拟预测）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动.如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为 . 【答案】 【分析】先求出点落在区域内白色部分的频率稳定在左右，再用这个结果乘以正方形的面积即得答案. 【详解】解：根据题意：点落在区域内白色部分的频率稳定在左右， ∴可以估计这个区域内白色部分的总面积约为； 故答案为：. 【点睛】本题考查了频率估计概率的实际应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题关键. 【例4】（2024·山东青岛·模拟预测）某商场为了吸引顾客，举行摸球（球除颜色外其余完全相同）游戏进行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可以随机抽取一个球，抽得“红球”、“黄球”、“蓝球”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“白球”不赠购物券．小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000次抽奖结果如下： 球的颜色种类 红球 黄球 蓝球 白球 出现次数 500 1000 2000 6500 则小明随机抽取一球所获购物券金额的平均数为 元． 【答案】14 【分析】用分别获得100元、50元、20元的购物券的金额乘以对应的概率，再求和即可． 【详解】解：小明随机抽取一球所获购物券金额的平均数为元； 故答案为：14． 【点睛】本题考查了概率问题，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． 1．（24-25九年级·安徽·阶段练习）某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是（  ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数 C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 【答案】D 【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在0.33左右，进而得出答案． 【详解】A、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合这一结果，故此选项错误； B、从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数的概率为，不符合这一结果，故此选项错误； C、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：，不符合这一结果，故此选项错误； D、从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为：，符合这一结果，故此选项正确． 故选：． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 2．（24-25九年级上·北京石景山·期末）某林场要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，在移植过程中的统计结果如下表所示： 移植的幼树n/棵 500 1000 2000 4000 7000 10000 12000 15000 成活的幼树m/棵 423 868 1714 3456 6020 8580 10308 12915 成活的频率 0.846 0.868 0.857 0.864 0.860 0.858 0.859 0.861 在此条件下，估计该种幼树移植成活的概率为 （精确到）；若该林场欲使成活的幼树达到4.3万棵，则估计需要移植该种幼树 万棵. 【答案】 0.86 5 【分析】（1）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． （2）利用表格中数据估算这种幼树移植成活率的概率即可．然后用样本概率估计总体概率即可确定答案． 【详解】（1）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率 ∴这种幼树移植成活率的概率约为0.86． （2）由表格可知，随着树苗移植数量的增加，树苗移植成活率越来越稳定． 当移植总数为15000时，成活率为0.861，于是可以估计树苗移植成活率为0.86， 则该林业部门需要购买的树苗数量约为4.3÷0.86=5万棵． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， (1)请估计摸到白球的概率将会接近___________； (2)计算盒子里白球有多少个？ (3)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1) (2)15个 (3)15个 【分析】本题主要考查了概率，熟练掌握用频率估计概率，概率的定义及计算公式，用概率还原事件，是解决问题的关键， （1）用频率稳定于，估计概率就是； （2）用60乘，计算即得； （3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据摸到白球的概率为建立方程，解方程检验，即得， 【详解】（1）∵大量重复摸球实验，摸到白球的频率稳定于， ∴摸到白球的概率接近； 故答案为：； （2）（个）， 答：盒子里白球有15个； （3）设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：， 解得：， 经检验得：为所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：需要往盒子里再放入15个白球． 4．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 _______ 590 968 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 _______ (1)填写表中的空格； (2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）； (3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数． 【答案】(1)298；0.601 (2)0.60 (3)3个 【分析】本题考查了利用频率估计概率： （1）根据摸到白球的个数等于摸球个数乘以摸到白球的频率，摸到白球的频率等于摸到白球的个数除以摸球个数计算即可； （2）根据频率估计概率计算； （3）由概率的估计值可计算白球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：298；0.601； （2）解：当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.60； 故答案为：0.60． （3）解：摸到白球的概率的估计值是0.60， 摸到红球的概率的估计值是0.40， 袋中有红球2个， 球的个数共有：（个）， 袋中白球的个数为（个）． 1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）王强和李明准备在双休日到营根附近游玩，他们各自从湿地公园、三月三广场、百花桥三个景点随机选择两个，他们选择的景点相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列举法求解概率，从三个景点点选择两个，那么每人都有3种选择，则两人选择的景点一共有种等可能性的结果数，其中他们选择的景点相同的结果数有3种，据此利用概率计算公式求解即可． 【详解】解；王强的选择有：湿地公园，三月三广场；湿地公园，百花桥；三月三广场，百花桥；一共3种， 李明的选择有：湿地公园，三月三广场；湿地公园，百花桥；三月三广场，百花桥；一共3种， ∴两人选择的景点一共有种等可能性的结果数，其中他们选择的景点相同的结果数有3种， ∴他们选择的景点相同的概率是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题考查了列表法、树状图法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的同时闭合和，有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为． 故选：B． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的广东省政区图，他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用频率估算概率，几何概率，先根据折线图，利用频率估算出概率，再利用几何概率的计算公式，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率稳定在左右， ∴， ∴不规则图案的面积为； 故选D． 4．（24-25九年级上·河北保定·期末）甲，乙两位同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示．则符合这一结果的试验可能是（    ） A．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任取一个球，取到红球的概率 B．在内任意写出一个整数，能被2整除的概率 C．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 【答案】A 【分析】根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是： ，故该选项符合题意； B、任在内任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故该选项不符合题意； C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故该选项不符合题意； D、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，正确计算出各自的概率是解题的关键． 5．（24-25九年级上·全国·课后作业）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可． 【详解】设三行三列的方格棋盘的格子坐标为，其中开始时骰子所处的位置为，则图题（2）所示的位置为，则从到且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为，故选C． 【点睛】本题主要考查概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键． 6．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）甲、乙、丙、丁四人练习传球，开始球在甲手上，每人都可以把球传给另外三人中的一人．经过3次传球后，球回到甲手上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了树状图法计算概率，计算概率的方法有树状图法与列表法，画树状图是解题关键． 【详解】解：画树状图： 共有27种等可能的结果，其中符合要求的结果有6种， 第三次传球后球回到甲手里的概率是 故答案为：． 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）甲、乙两同学手中各有分别标注1，2，3三个数字的纸牌，甲制定了游戏规则：两人同时各出一张牌，当两纸牌上的数字之和为偶数时甲赢，奇数时乙赢，则甲获胜的概率是 ． 【答案】 【分析】根据列举法可进行求解概率． 【详解】解：由题意可知两纸牌上的数字之和有以下几种情况： ；；；；；；；；共9种情况， 其中5个偶数，4个奇数． ∴甲获胜的概率是， 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键． 8．（24-25九年级上·江苏常州·期中）小强通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率是0.4，以下给出4个判断：①小强定点投篮1次，不一定能投中；②小强定点投篮1次，一定能投中；③小强定点投篮10次，一定能投中4次；④小强定点投篮4次，一定能投中1次．其中正确的是 （只需填写序号）． 【答案】① 【分析】本题考查了利用频率估计概率，正确地理解频率和概率的定义是解题的关键．根据概率的定义判断即可． 【详解】解：由题意可知， 小强定点投篮1次，不一定能投中，故①说法正确，②说法错误； 小强定点投篮10次，不一定能投中4次，故③说法错误； 小强定点投篮4次，不一定能投中1次，故④说法错误． 所以正确的是①． 故答案为：①． 9．（2025·山东济南·模拟预测）《易经》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．太极图是关于太极思想的图示，里面包含表示一阴一阳的图形，在不考虑颜色的情况下，它是一个中心对称图形．如图，在太极图的大圆形内部随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，中心对称图形的性质，熟练掌握几何概率等于几何图形面积比是解题的关键． 利用图形的对称性质，图形黑色部分与白色部分面积相等，等于圆面积的一半，根据几何概率的计算公式计算即可． 【详解】解：∵太极图是中心对称图形， ∴黑色部分与白色部分面积相等，即黑色阴影区域占圆的面积的一半， ∴在太极图中随机取一点， 此点取自黑色部分的概率是， 故答案为： 10．（2024·北京·模拟预测）农科院新培育出A、B两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下： 下面有三个推断： ①在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子． ②当实验种子数里为100时，两种种子的发芽率均为0.96所以他发芽的概率一样； ③随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.98；其中不合理的是 （只填序号） 【答案】②． 【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得． 【详解】①在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率约为0．98、B种子的出芽率约为0．97，可能会高于B种子，故①合理； ②在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量为100，数量太少，不可用于估计概率，故②推断不合理． ③随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0．98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0．98，故推断合理． 故答案为：②． 【点睛】本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间． 11．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字，，，，，．小明与小颖用这个转盘做游戏，两人约定：自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域则小明胜，指针指向偶数区域则小颖胜，若转到边界线上则重新转．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】公平，见解析 【分析】本题考查了概率的求法与运用，根据奇数区和偶数区在整个转盘中所占的份数，再通过概率的几何意义即可解答，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：公平，理由， 小明胜的概率，小颖胜的概率， ∵， ∴游戏是公平的． 12．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外，其他均相同的球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的统计数据． 摸球总次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 摸到黄球的次数 14 24 38 52 b 86 97 111 120 133 摸到黄球的频率 a (1)表中__________，__________． (2)估计从袋中摸出一个球是黄球的概率是__________．（精确到0.01） 【答案】(1)；68 (2)0.33 【分析】本题考查了频率与概率相关知识，解题的关键是理解频率的计算公式并依据大量重复试验时频率可估计概率． （1）根据频率公式计算的值． （2）根据大量重复试验下，频率稳定值即概率来求解． 【详解】（1）解：频率的计算公式为：频率， ， ， 故答案为：，68； （2）当试验次数很大时，频率稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值． 观察表格中数据，随着摸球总次数的增加，摸到黄球的频率逐渐稳定在左右，精确到0.01为0.33，所以从袋中摸出一个球是黄球的概率约是0.33． 故答案为：0.33． 13．（24-25九年级上·河南郑州·期中）丹尼斯大卖场为回馈新老顾客，进行有奖促销活动．活动规定：凡一次性购物满元者即可获得一次转转盘的机会，转盘被等分成份，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分别获一、二、三等奖，获得奖项如下： 一等奖：空气炸锅一个 二等奖：双肩背包一个 三等奖：洗衣液一桶 根据以上信息，解答下列问题： (1)转一次转盘，会有_____种不同的结果；其中获得双肩背包的概率为_____； (2)若一次性购物满元，则转一次转盘，获奖的概率是多少？ (3)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将_____个空白扇形涂上颜色． 【答案】(1)4； (2)（获奖） (3)3 【分析】本题考查了概率公式，解题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式进行计算； （2）根据概率公式进行计算； （3）根据顾客获得购物券的概率是和概率公式设计游戏规则即可． 【详解】（1）解：∵指针分别指向红、黄、蓝色区域，分别获一、二、三等奖，二等奖获得双肩背包，黄色扇形有2个， ∴转一次转盘，会有4种不同的结果，其中获得双肩背包的概率为， 故答案为：4，； （2）∵红、黄、蓝色区域共7个扇形，共有16个扇形， ∴若一次性购物满500元，则转一次转盘，获奖的概率是； （3）， ∴需要再将3个空白扇形涂上颜色． 故答案为：3． 14．（24-25九年级上·福建厦门·期中）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（为了方便记录，把a≤x＜b记作：[a，b）．） 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 【答案】（1）；（2）900元，300元，-100元， 【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）ºC和最高气温低于20ºC的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率． （2）当温度大于等于25°C时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在[20，25）°C时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20°C时，需求量为200，求出Y=-100元，从而当温度大于等于20ºC时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率． 【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据， 得到最高气温位于区间[20，25）ºC和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54， 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：ºC）有关． 如果最高气温不低于25ºC，需求量为500瓶， 如果最高气温位于区间[20，25）ºC，需求量为300瓶， 如果最高气温低于20ºC，需求量为200瓶， ∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p＝； （2）∵当温度大于等于25ºC时，需求量为500瓶，Y＝450×2＝900元； 当温度在[20，25）ºC时，需求量为300瓶，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元； 当温度低于20ºC时，需求量为200瓶，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元； ∴当温度大于等于20ºC时，Y＞0， ∵由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20ºC的天数有： 90﹣（2+16）＝72， ∴估计Y大于零的概率P＝． 【点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，用运算作出推理论证，找出Y>0的天数是解决问题的关键． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 4000 5000 8000 10000 … 摸到白球的次数m 749 1499 2998 3751 6000 7501 … 摸到白球的频率 0．7490 0．7495 0．7495 0．7502 0．750 0．7501 … (1)根据试验结果试估算口袋中白球有多少只？ (2)在（1）的基础上，若同时从该口袋中摸出两个球，用画树状图或列表法求这两个球颜色相同的概率． 【答案】(1)3只； (2) 【分析】（1）先根据统计表中第三行的数据求出频率的稳定值，用频率估计概率可得摸到白球的概率，利用概率公式即可求得； （2）先利用树状图列出随机摸出两个球的所有可能的结果，再找出摸出两个球都是黑球的结果，最后利用概率公式计算即可得． 【详解】（1）解：（1）统计表中第三行的数据分别为： 0．7490 0．7495 0．7495 0．7502 0．750 0．7501 因此，当n很大时，摸到白球的频率将会接近， 白球的概率为，设口袋中白球个数为x个， 则，解得，即口袋中白球个数为3个； （2）解； 设白球为，黑球为B，由题意，将这4个球中3白1黑，摸球的所有可能的结果有12种，如下表所示： 它们每一种结果出现的可能性相等， 从表中看出，两次摸出的两个球颜色相同的概率的结果有6种， 故两次摸出的球都是黑的概率为． 【点睛】本题考查了用频率估计概率、和树状图求概率．会用频率求频数，会用树状图列出所有可能的结果以及找出黑球出现的次数是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$