第06讲 一元二次方程的应用（5大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第03讲 一元二次方程的应用(5大知识点+10大典例+变式训练+过关检测) 典型例题一 传播问题 典型例题二 增长率问题 典型例题三 与图形有关的问题 典型例题四 数字问题 典型例题五 营销问题 典型例题六 工程问题 典型例题七 行程问题 典型例题八 图表信息问题 典型例题九 动态几何问题 典型例题十 握手、循环赛问题 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型,建立等量关系式; ②以利于表示等量关系式为原则,设未知数x; ③依据等量关系式和未知数x建立方程; ④解方程并解答。 注:一元二次方程通常有2解,但是,应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 【即时训练】 1.(2025 云南曲靖 模拟预测)我市一科技公司计划在办公楼旁搭建一个矩形无人机起降平台,其中一边利用办公楼墙壁,另三边用安全护栏围成.已知护栏总长为36米,起降平台的面积为162平方米.设与办公楼平行的一边长为x 米,则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【即时训练】 2.(24-25九年级上 湖南永州 期中)为满足师生阅读需求,学校建立“阅读公园”,并且不断完善藏书数量,今年9月份阅读公园中有藏书5000册,到今年11月份其中藏书数量增长到7200册,设该校这两个月藏书的月均增长率为,根据题意,请列出方程 . 知识点02 一元二次方程应用题常见类型 1)面积问题;2)平均变化率问题;3)销售利润问题;4)传播问题;5)循环问题;6)数字问题。 【即时训练】 1.(24-25九年级上 浙江舟山 阶段练习)在某种病毒的传播过程中,每轮传染平均1人会传染个人,若最初1个人感染该病毒,经过两轮传染,共有人感染,则与的函数关系式为( ) A. B. C. D. 【即时训练】 2.(24-25八年级下 安徽合肥 期中)将一个容积为的包装盒剪开铺平,纸样如图所示.则该包装盒图中的值为 . 知识点03 传播问题实例探索 数量关系: 第一轮传播后的量=传播前的量 (1+传播速度) 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量 (1+传播速度)=传播前的量 (1+传播速度)2 【即时训练】 1.(2024九年级上 江苏 专题练习)进入12月份来,甲型流感频发.某校有1名学生感染了甲型流感病毒,经过两轮传染后,一共有81人感染了此病毒.设每轮传染中一人可以传染x个人,则所列方程是( ) A. B. C. D. 【即时训练】 2.(24-25九年级上 湖北武汉 阶段练习)某种植物的主干长出若干相同数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是31,求每个支干又长出多少小分支?如果设每个支干又长出个小分支,那么依题意列方程并化简为一般式为 . 知识点04 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题 a(1+x)2=b,其中a为增长前的量,x为增长率,2为增长次数,b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b,其中a为降低前的量,x为降低率,2为降低次数,b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结:有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1 x)n=b(其中增长取“+” ,降低取“-”). 【即时训练】 1.(2025 河南焦作 模拟预测)技术对我国具有重大战略意义,它不仅仅是一项通信技术的升级,更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎.某市近年来大力发展通信,已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元;2024年投入发展通信的资金为5000万元.设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为,则下列方程中正确的是( ) A. B. C. D. 【即时训练】 2.(2025 重庆 模拟预测)医保局第十批药品集采政策出台后,某种药品原价100元/盒,经过连续两轮降价后,现在仅卖49元/盒.若两轮降价的百分率相同,则该种药品平均每次降价的百分率为 . 知识点05 碰面问题(循环问题) 1、重叠类型(双循环) n支球队互相之间都要打一场比赛,总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的(n-1)支球队比赛,∴1支球队需要比(n-1)场 ∵存在n支这样的球队,∴比赛场次为:n(n-1)场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛,∴上述求法有重叠部分 ∴m= 2、不重叠类型(单循环) n支球队,每支球队要在主场与所有球队各打一场,总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的(n-1)支球队比赛,∴1支球队需要比(n-1)场 ∵存在n支这样的球队,∴比赛场次为:n(n-1)场 ∵A与B比赛在A的主场,B与A比赛在B的主场,不是同一场比赛,∴上述求法无重叠 ∴m= 【即时训练】 1.(24-25九年级上 辽宁鞍山 阶段练习)在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛场.设有个队参赛,根据题意,可列方程为( ) A. B. C. D. 【即时训练】 2.(24-25九年级上 湖北荆州 期中)在本届全市青少年校园足球比赛中,每两支足球队之间都要进行一次主场比赛和一次客场比赛,共有30场比赛,则参加本届足球比赛的足球队共有 支. 【典型例题一 传播问题】 【例1】(24-25九年级上 广东汕头 期末)在一次聚餐上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯66次,则参加聚餐的人数为( ) A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 【例2】(24-25九年级上 河南郑州 阶段练习)请根据图片内容填空:每轮传染中,平均一个人传染了 人. 【例3】(2025八年级下 全国 专题练习)春季流感爆发,有一人患了流感,经过两轮传染后共有人患了流感. (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人? (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感? 1.(24-25九年级上 北京朝阳 阶段练习)流感是一种传染性极高的疾病,我们要加强预防和治疗.有一个人患了流感,经过两轮传染后共有个人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染的人数为多少? 2.(23-24九年级上 辽宁丹东 阶段练习)请根据图片内容,回答下列问题: (假设每轮传染人数相同) 每轮传染中,平均一个人传染了几个人? 3.(23-24八年级下 山东威海 期中)近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾,严重影响了人们的生活,最近小王收到一条垃圾短信,此短信要求接到短信的人必须转发给若干人,如果收到此短信的人都按要求转发,从小王开始计算,转发两轮后共有91人有此短信. (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人? (2)如果收到短信的人都按要求转发,从小王开始计算,三轮后会有多少人有此短信? 4.(23-24九年级上 天津和平 阶段练习)某个植物的主干长出若干数目的枝干,每个枝干又长出同样数目的小分支,主干、枝干和小分支的总是133. 若设每个支干长出x个小分支, (1)分析:根据问题中的数量关系,填空: ①主干的数目为_; ②从主干中长出的枝干的数目为_(用含x的式子表示); ③又从上述枝干中长出的小分支的数目为_(用含x的式子表示). (2)完成问题的求解. 【典型例题二 增长率问题】 【例1】(2025 云南 模拟预测)某书店今年3月份盈利6000元,5月份盈利6200元.设该书店每月盈利的平均增长率为,根据题意,下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【例2】(24-25八年级下 浙江温州 期中)某超市一月份的营业额为200万元,二月份、三月份每月的营业额逐月递增,三月份营业额为242万元.设营业额的平均月增长率为,由题意可列方程为 . 【例3】 (24-25九年级上 辽宁朝阳 期中)某商场以每件元的价格购进一批商品,当每件商品的售价为元时,每月可售出件.为了扩大销售,商场决定采取适当降价的方式促销,经调查发现,如果每件商品降价元,那么商场每月就可以多售出件. (1)要使商场每月销售这种商品的利润达到元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价多少元? (2)该商场1月份的销售量为件,月份和月份的平均增长率为.若前三个月的总销售量为件,求值. 1.(24-25九年级上 甘肃张掖 期末)为确保广大民众能够用上价格实惠的药品,医保局与药品供应商进行了多次谈判协商.其中,某药品原价为每盒元,经过两次相同百分率的降价后,价格降至每盒元,求每次降价的百分率 2.(2025 湖南长沙 模拟预测)为了满足人们对于精神文明的需求,某市决定逐步在各社区建设微型图书阅览室.2022年投入资金2000万元,2024年投入资金2880万元,假定每年投入资金的增长率相同. (1)求该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率; (2)2024年每个社区建设微型图书阅览室的平均费用为100万元.2025年为提高微型图书阅览室品质,每个社区建设费用增加25%,如果投入资金年增长率保持不变,求该市在2025年最多可以给多少个社区建设微型图书阅览室? 3.(24-25九年级上 广东江门 阶段练习)为了更好推广顺德美食——双皮奶,让我们一起制定销售方案吧: 主题:双皮奶销售方案制定问题 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计,该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份,7月份销售量为750份;而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份. 素材3 为了尽快减少库存,决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销,已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元.经试验,发现该款双皮奶每降价1元,月销售量就会增加100份. 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少? 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元,求该双皮奶应该降价多少元? 4.(2025 辽宁铁岭 模拟预测)为了增强全民健身,年春季,某市将于举办万人马拉松活动,以下是本次马拉松活动的相关信息: 项目 距离 报名费 规模 马拉松 千米 元/人 人 半程马拉松 千米 元/人 人 健康跑 3千米 元/人 人 (1)若某校选派选手参加了本次活动,参赛选手只完成半程马拉松或健康跑中的一个项目,学校共花费了报名费元,派出的所有参赛选手完成挑战后跑过的距离总和为千米.请求出该校报名半程马拉松和健康跑各几人? (2)该校一直以来重视学生的体育锻炼,组建了长跑兴趣小组,已知年该校参加健康跑仅有4人,且年~年参赛人数的增长率相同,求该校参加健康跑人数的增长率? 【典型例题三 与图形有关的问题】 【例1】(2025九年级上 全国 专题练习)矩形的周长为,其中一边长为,面积为,则列出关于的方程为( ) A. B. C. D. 【例2】(2025 吉林通化 模拟预测)如图,小区物业规划在一个长,宽的矩形场地上,修建一个小型停车场,阴影部分为停车位所在区域,两侧是宽的道路,中间是宽的道路.如果阴影部分的总面积是,那么x满足的方程是 . 【例3】(2025 广东深圳 模拟预测)深圳地铁线路延长段工程正在紧锣密鼓施工,原计划40天完成一段轨道铺设任务.由于采用了新的施工技术,实际只用了25天就全部完工,并且实际每天铺设的轨道长度比原计划多150米. (1)求原计划每天铺设轨道多少米. (2)该地铁线路某站点的装修设计图中,要在一块矩形的墙面区域内,嵌入两个相同的正方形装饰图案.已知矩形墙面的长为8米,宽为6米,嵌入装饰图案后剩余可利用的墙面面积是原来矩形墙面面积的.求正方形装饰图案的边长为多少米. 1.(23-24九年级上 陕西商洛 阶段练习)如图,把校园的小圆形草地的半径增加得到大圆形草地,草地的面积是原来的2倍.求小圆形草地的半径. 2.(24-25九年级上 广东广州 期中)如图所示,某学校有一道长为米的墙,计划用米长的围栏靠墙围成一个面积为平方米的矩形草坪,求的长. 3.(2025九年级上 全国 专题练习)如下图,某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造.先在正方形空地一边修一条4m宽的小路,再在另一边修一条5m宽的小路,剩余部分用于栽种鲜花,面积为.求原正方形空地的边长.(用两种方法解答) 4.(24-25九年级上 贵州遵义 期中)现有一块长为30米,宽为20米的矩形空地,建成矩形花园,要求在花园内修建如图所示的小路,小路的宽度相同,剩余的部分种植花草.如图,要使小路的总面积为96平方米,设小路宽度为米. (1)所有路的总面积为_(用含的代数式表示); (2)求的值. 【典型例题四 数字问题】 【例1】(24-25九年级上 河北唐山 期中)两个相邻奇数的积是195,则这两个奇数的和为( ) A.26 B.28 C.或26 D.或28 【例2】(24-25九年级上 山西大同 期中)2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”,“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低.如图是2024年11月的月历表,在月历表中用方框圈出9个数字,若圈出的9个数字中,最大数与最小数的乘积为297,则最小的数为 . 【例3】(2025 广东深圳 模拟预测)2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子,在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示),若圈出的四个数中,最小数与最大数的乘积为,求这个最小数(请用方程知识解答). 1.(24-25九年级上 河南 阶段练习)一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大7,且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数,求这个两位数. 2.(23-24九年级上 辽宁丹东 期中)2014年2月27日,第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定,将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日,今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日,在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示),若圈出的四个数中,最小数与最大数的乘积为65,求这个最大数(请用方程知识解答). 3.(24-25九年级上 黑龙江双鸭山 期末)如图所示的是2025年1月的日历表,用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数,请解答下列问题. (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180,求最小数. (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗?若能,请求出最小数;若不能,请说明理由. 4.(2025 安徽淮北 模拟预测)【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质,如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图,其中灰球代表碳原子,白球代表氢原子.第1种如图1有4个氢原子,1个碳原子;第2种如图2有6个氢原子,2个碳原子;第3种如图3有8个氢原子,3个碳原子;第4种如图4有10个氢原子,4个碳原子;……, (1)直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子, 个碳原子; 【规律发现】 请用含 n 的式子填空: (2)第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ; (3)第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ; 【规律应用】 (4)求正整数n,使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍. 【典型例题五 营销问题】 【例1】(23-24九年级上 四川成都 阶段练习)某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出,平均每天可售30件,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现:每件降价1元,则每天可多售5件,如果每天要盈利800元,每件应降价x元,下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【例2】(23-24九年级上 广东佛山 期中)某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:这种台灯的单价每上涨1元,其销售量将减少10个.若实现平均每月10000元的销售利润,设涨价x元,则可列方程为 . 【例3】(24-25九年级上 广东湛江 期中)某商场一种商品的进价为30元/件,售价为40元/件,该商品平均每天可以销售48件.商场为尽快减少该商品的库存,经调查,若该商品每件降价1元,则每天可多销售8件.若商场销售该商品想要每天获得504元的利润,则每件应降价多少元? 1.(24-25九年级上 湖南岳阳 期中)郯城有一片银杏种植基地,为了提高银杏产量,基地负责人进行了实验.发现当每平方米种植4棵银杏树苗时,平均每棵树苗的产量为100千克.在一定范围内,每多种植1棵树苗,平均每棵树苗的产量就会减少5千克.现在要使这片种植基地每平方米的银杏总产量达到540千克,那么每平方米应该种植多少棵银杏树苗? 2.(24-25九年级上 贵州六盘水 期中)某公司研发的一款垂直轴风力发电机可以应用在路灯照明、交通监控、通讯基站等.已知该发电机每月可销售300台,每台的利润为2000元,若在每台降价幅度不超过1000元的情况下,每台降价100元,则每月可多销售100台. (1)分析:设每台降价元(为整百数).请完成下表: 每台利润(元) 月销售量(台) 降价前 _ _ 降价后 _ _ (2)当该发电机降价多少时,月利润能达到120万元? 3.(2025 江苏泰州 模拟预测)在国家积极政策的鼓励下,中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升,某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了80%,年销售单价下降了20%. (1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆,销售单价为b万元,请用代数式填表: 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 a b 2025 (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同,求年增长率. 4.(24-25九年级上 辽宁阜新 期中)为解决山区苹果滞销的难题,镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动,某水果批发商响应号召,以市场价每千克10元的价格收购了6000千克苹果,并立即将其冷藏,请根据下列信息解答问题: ①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元; ②这批苹果平均每天有10千克损坏,不能出售; ③每天的冷藏费用为300元; ④这批苹果最多保存110天. 若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售. (1)多少天后这批苹果的市场价为每千克13元? (2)求3天后一次性全部售出所得的利润为多少元? (3)若m天后一次性出售所得利润为9100元,求m的值. 【典型例题六 工程问题】 【例1】(2024 辽宁鞍山 模拟预测)某花木园,计划在园中栽96棵桂花树,开工后每天比原计划多栽2棵,结果提前4天完成任务.问原计划每天栽多少棵? 【例2】(24-25八年级下 江苏泰州 期末)问题:“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道,由于采用新的施工方式,_,提前2天完成任务,求原计划每天修建下水管道的长度?” 条件:(1)实际每天修建的长度比原计划多; (2)原计划每天修建的长度比实际少75米. 在上述的2个条件中选择1个_(仅填序号)补充在问题的横线上,并完成解答. 【例3】(24-25八年级下 重庆北碚 期末)甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程,计划每天各施工米.已知甲乙每天施工所需成本共万元.因地质情况不同,甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元. (1)分别求出甲,乙每合格完成米的桥梁施工成本; (2)实际施工开始后,甲每合格完成米隧道施工成本增加万元,且每天多挖.乙每合格完成米隧道施工成本增加万元,且每天多挖米.若最终每天实际总成本比计划多万元,求的值. 1.(24-25八年级下 上海静安 期中)为加强防汛工作,市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固,由于采用新的加固模式,现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米,因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天,为进一步缩短该段加固工程的时间,如果要求每天加固224米,那么在现在计划的基础上,每天加固的长度还要再增加多少米? 2.(24-25八年级下 重庆北碚 期中)甲、乙两工程队合作完成某修路工程,该工程总长为4800米,原计划32小时完成.甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米,刚好按时完成任务. (1)求甲工程队每小时修的路面长度; (2)通过勘察,地下发现大型溶洞,此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米,在实际施工中,乙工程队修路效率保持不变的情况下,时间比原计划增加了()小时;甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米,而修路时间比原计划增加m小时,求m的值. 3.(2024 福建厦门 模拟预测)某市创建“绿色发展模范城市”,针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放,分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理,若江水污染指数记为Q,沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工),从当年开始,所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算,第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12 .经过三年治理,境内长江水质明显改善 . (1)求的n值; (2)从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家,求m的值,并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量; 4.(2024 山东济宁 模拟预测)阅读下面材料: 一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,它通常用字母表示,我们可以用公式来计算等差数列的和.(公式中的n表示数的个数,a表示第一个数的值,) 例如:3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=10 3+ 2=120. 用上面的知识解决下列问题. (1)计算:2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116 (2)某县决定对坡荒地进行退耕还林.从2009年起在坡荒地上植树造林,以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少,下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据.问到哪一年,可以将全县所有坡荒地全部种上树木. 2009年 2010年 2011年 2012年 植树后坡荒地的实际面积(公顷) 25 200 24 000 22 400 20400 【典型例题七 行程问题】 【例1】(24-25九年级上 河南周口 期末)汽车在公路上行驶,它行驶的路程和时间之间的关系式为,那么行驶,需要的时间为( ) A. B. C. D. 【例2】(2024 福建龙岩 模拟预测)《九章算术》中有一题:“今有二人同立,甲行率七,乙行率三,乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会,问甲乙各行几何?”大意是说:“甲、乙二人同从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3,乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.甲、乙各走了多少步?”请问甲走的步数是 . 【例3】(24-25九年级上 福建泉州 期中)某学校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点、以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系:(),乙以4的速度匀速运动,半圆的长度为21. (1)甲运动4后的路程是多少? (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间? 1.(23-24九年级上 内蒙古呼和浩特 期中)在物理中,沿着一条直线且加速度不变的运动,叫做匀变速直线运动.在此运动过程中,每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数,路程等于时间与平均速度的乘积.若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动,并且均匀减速,4秒后小球停止运动. (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少? (2)小球滚动5米用了多少秒?(精确到0.1,,) 2.(23-24九年级上 全国 单元测试)一辆汽车以30米/秒的速度行驶,司机发现前方路面有情况,紧急刹车后汽车又滑行30米后停车. (1)则在这段时间内的平均车速为多少?从刹车到停车用了多长时间? (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少? (3)汽车滑行20米时用了多长时间? 3.(24-25九年级上 重庆九龙坡 阶段练习)九龙坡区有七条特色的山城步道,不仅景色宜人,而且各有特色.中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园,公园里有一条长的登山步道,学校两个登山小队组织周末登山活动,计划沿步道登山,若两队同时出发,第一队的登山速度是第二队登山速度的倍,他们比第二队早40分钟到达步道终点. (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时? (2)到达步道终点后,第一队队长小明继续沿着另一条山路登山,直至山顶.在他从山路登山开始的前30分钟内,平均每分钟消耗热量10卡路里,超过30分钟后,每多登山2分钟,平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里,在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量,小明从山路登山直至山顶共用多少分钟? 4.(23-24九年级上 广东深圳 期中)如图,已知数轴上A,B,C三个点表示的数分别是a,b,c,且,若点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B,且点A,B表示的数互为相反数. (1)a的值为 ,c的值为 ; (2)动点 P,Q分别同时从点A,C 出发,点P以每秒3个单位长度的速度向终点C移动,点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A 移动,点P表示的数为x. ①若点P,Q在点B处相遇,求m的值; ②若点Q的运动速度是点P的2倍,当点P,Q之间的距离为2时,求此时x 的值. 【典型例题八 图表信息问题】 【例1】(24-25九年级上 宁夏银川 阶段练习)根据下表提供的信息,一元二次方程的解大概是( ) 2 3 4 5 6 5 13 A.0 B.3.5 C.3.8 D.4.5 【例2】(24-25九年级上 江苏南京 阶段练习)有支球队参加篮球比赛,每两队之间都比赛一场,共比赛了45场,则根据题意列出方程 . 【例3】(24-25九年级上 河北唐山 期中)如图,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数. (1)当时,请直接写出的值; (2)当时,求的值. 1.(24-25九年级上 全国 课后作业)一名跳水运动员进行跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度满足关系:,那么他最多有多长时间完成规定动作?(结果保留根号) 2.(2024九年级 全国 专题练习)近年来,随着城市居民入住率的增加,污水处理问题成为城市的难题.某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水,减少污水排放,规定:居民用水量每月不超过a吨时,只需交纳10元水费,如果超过a吨,除按10元收费外,超过部分,另按每吨5a元收取水费(水费+污水处理费). (1)某市区居民2018年3月份用水量为8吨,超过规定水量,用a的代数式表示该用户应交水费多少元; (2)下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况; 月份 用水量(吨) 交水费总金额(元) 4 7 70 5 5 40 根据上表数据,求规定用水量a的值. 3.(2024 河北唐山 模拟预测)在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律,如图是2019年1月份的日历.我们任意选择其中所示的菱形框部分,将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后,相对的两对数分别相乘,再相减,例如:,.不难发现,结果都是48. (1)请证明发现的规律; (2)若用一个如图所示菱形框,再框出5个数字,其中最小数与最大数的积为435,求出这5个数中的最大数; (3)嘉琪说:她用一个如图所示菱形框,框出5个数字,其中最小数与最大数的积是95,直接判断他的说法是否正确(不必叙述理由). 4.(24-25九年级上 全国 单元测试)近年来,随着城市居民入住率的增加,污水处理问题成为城市的难题.某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水,减少污水排放,规定:居民用水量每月不超过a吨时,只需交纳10元水费,如果超过a吨,除按10元收费外,超过部分,另按每吨5a元收取水费(水费+污水处理费). (1)某市区居民2018年3月份用水量为8吨,超过规定水量,用a的代数式表示该用户应交水费多少元; (2)下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况; 月份 用水量(吨) 交水费总金额(元) 4 7 70 5 5 40 根据上表数据,求规定用水量a的值. (3)结合当地水资源状况,谈谈如何开展水资源环境保护?如何节约用水? 【典型例题九 动态几何问题】 【例1】(23-24九年级上 四川广安 期末)如图,在中,,,,动点P,Q分别从点A,B同时开始沿,运动(运动方向如图所示),点P的速度为,点Q的速度为,当点Q移动到点C时,两点同时停止运动,设运动的时间为,当的面积为时,则可列方程为( ) A. B. C. D. 【例2】(24-25八年级下 安徽合肥 期中)根据物理学规律,如果把一物体从地面以的速度竖直上抛,那么经过x秒物体离地面的高度(单位:)约为.根据上述规律,则物体经过 秒落回地面. 【例3】(24-25九年级上 黑龙江佳木斯 阶段练习)如图,在矩形中,,,点P从点A出发,沿以的速度向点B运动,同时点Q从点B出发,沿以的速度向点C运动,点P到达终点后,P,Q两点同时停止运动.当运动多少时,的面积是. 1.(24-25八年级下 安徽滁州 期中)如图,中,,,动点从点出发以速度向点移动,同时动点从出发以的速度向点移动,设它们的运动时间为. (1)根据题意知:_,_;(用含t的代数式表示) (2)为何值时,的面积等于四边形的面积的? 2.(24-25九年级上 黑龙江齐齐哈尔 阶段练习)如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,,动点P、Q分别从点A、C同时出发同时停止,点P以的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以的速度向D移动. (1)P、Q两点从出发开始经过几秒,四边形的面积为; (2)P、Q两点从出发开始经过几秒,点P和点Q的距离是. 3.(24-25九年级上 辽宁营口 期中)如图,在矩形中,,,点从点开始以的速度沿边向移动,点从点开始以的速度沿边向点移动.如果、分别从、同时出发,设移动的时间为t. 求: (1)当t为多少时,的面积等于? (2)当t为多少时,是以为斜边的直角三角形? 4.(24-25八年级下 新疆阿克苏 期中)如图所示,在四边形中,,,,动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动,动点从点开始沿着方向向点以的速度运动.点分别从点和点同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动. (1)当运动秒时,线段_(用含有t的代数式表示) (2)经过多长时间,四边形是矩形? (3)经过多长时间,PQ的长为? 【典型例题十 握手、循环赛问题】 【例1】(2025 黑龙江佳木斯 模拟预测)2024年法国巴黎奥运会,男子篮球比赛有若干支队伍参加了单循环比赛,一共进行66场比赛,则参加比赛的队伍共有( ) A.10支 B.11支 C.12支 D.8支 【例2】(24-25九年级上 贵州贵阳 期中)2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛(每两支队伍之间进行一场比赛),共进行了55场,则共有多少支队伍参加比赛?根据题意,设有n支参赛队伍,可列方程 . 【例3】(24-25九年级上 湖南永州 期中)年“奔跑吧 少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行,若初中组采用单循环赛制(每两个球队之间都要进行一场比赛),则共要比赛场.试求初中组共有多少支球队参加比赛. 1.(24-25九年级上 安徽宿州 期末)元旦晚宴上大家两两碰杯一次,总共碰杯55次,那么有几人参加了这次宴会( ) A.8人 B.9人 C.10人 D.11人 2.(24-25八年级下 黑龙江哈尔滨 期中)第33届“哈洽会”有若干家公司参加,每两家公司之间都签订了一份合同,所有公司共签订了45份合同.则参加此次“哈洽会”的公司有 家. 3.(24-25八年级下 安徽安庆 期中)某市第四中学将组织一次八年级篮球联赛,赛制为单循环(每两队之间赛一场),恰好需要打场比赛,问共有多少支球队参加比赛? 4.(2025 贵州贵阳 模拟预测)象棋是一种源自中国的传统棋类游戏,具有悠久的历史和深厚的文化底蕴.九年级(1)班利用课余时间开展象棋比赛,班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局,信息如下: (1)若该班级共有n个参赛选手,则每个选手都要与_个选手比赛一局,比赛总共有_局; (2)求这次比赛共有多少个选手参加? 1.(2025九年级上 全国 专题练习)某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛(每两支队伍之间都赛1场),单循环比赛共进行了45场,则参加比赛的队伍有( ) A.8支 B.10支 C.7支 D.9支 2.(2025 湖南长沙 模拟预测)据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示,2022年和2024年全国居民人均可支配收入分别为3.7万元和4.5万元.设2022年至2024年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为,依题意可列方程为( ) A. B. C. D. 3.(2025 安徽合肥 模拟预测)在设计人体雕像时,使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感.如图,按此比例设计一座高度为的雷锋雕像,雕像的下部应设计为多高?设雕像的下部高为,则所列方程为( ) A. B. C. D. 4.(2025 云南临沧 模拟预测)如图,某中学规划修建一个矩形苗圃,苗圃的一面靠墙(墙最长可用长度为),另外三边用木栏围成,中间也用垂直于墙的木栏隔开,分成面积相等的两个区域,并在两个区域中各留米宽的门(门不用木栏),修建所用木栏总长为,且矩形的面积为,请求出的长,设长为,则可以列出方程是( ) A. B. C. D. 5.(24-25八年级下 安徽亳州 期中)如图,在中,,,,一动点从点出发沿着方向以的速度运动,另一动点从点出发沿着边以的速度运动,,两点同时出发,运动时间为.当时,( ) A. B. C.或 D.或 6.(2025 云南楚雄 模拟预测)某动画电影在首映当日票房为1.2亿元,2天后当日票房达到2.44亿元.设平均每天票房的增长率为x,则可列方程为 . 7.(2025 重庆 模拟预测)某市2025年1月5G手机用户数量为20万,同年3月5G用户数量增长至万,设2、3月份用户数量的月平均增长率为x,根据题意,可列方程为 . 8.(26-27九年级上 全国 课后作业)某种植物的根特别发达,它的主根长出若干数目的支根,支根中的又长出同样多的小支根,而其余支根长出一半数目的小支根.主根、支根、小支根的总数是109根,则这种植物的主根长出 根支根. 9.(24-25九年级上 黑龙江大庆 期中)将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感,还存在数学规律的图案,请仔细观察,按此规律,如果某个图中小圆的个数恰好为60个,那么它应该是第 个图. 10.(26-27九年级上 全国 课后作业)如图所示的是某月的月历表,在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如:8,14,15,16,17,24).若圈出的6个数中,最大数与最小数的积为225,则这6个数的和为 . 11.(2025 辽宁盘锦 模拟预测)“要致富,先修路”,某地区为了大力发展乡镇经济,推进乡村道路建设,计划用三年时间对整个地区的乡村公路进行全面改造,已知2024年省政府已拨原款4亿元人民币,若每年拨款的增长率相同,预计2026年拨款亿元人民币,则每年拨款的增长率为多少? 12.(24-25九年级上 陕西咸阳 阶段练习)新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选.某停车场为了解决充电难的问题,现将长为140米,宽为90米的矩形停车场进行改造.如图,将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度,减少的这部分区域用于修建充电桩,剩余停车场的面积为平方米,求和减少的长度是多少? 13.(24-25九年级上 江西南昌 期中)匀变速直线运动中,每个时间段内的平均速度(初始速度与末速度的算术平均数)与路程,时间的关系为.现有一个小球以的速度开始向前滚动,并且均匀减速,后小球停止运动. (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少? (2)小球滚动约用了多少秒(结果保留小数点后一位,参考数据:) 14.(24-25九年级上 重庆九龙坡 自主招生)某咖啡店2024年12月销售咖啡1200杯,每杯成本10元、售价15元.因新年人们对咖啡的需求增加,咖啡豆售价随之上涨,影响了该咖啡店每杯咖啡的售价和月销售量.2025年1-2月该咖啡店每杯咖啡的成本均为12元. (1)2025年1月该咖啡店的销售量为1500杯,但销售利润与2024年12月持平,求2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是多少元? (2)2025年2月该咖啡店每杯咖啡的售价比1月每杯咖啡的售价提高了,2025年2月的销售量比2024年12月的销售量减少了,且2025年2月的销售利润是2024年12月销售利润的,求的值. 15.(24-25九年级上 广东梅州 阶段练习)【问题背景】 如图,在 中, ,,,点 P从点A 开始沿边向点 B 以 的速度运动,点Q 同时从点B 开始沿边向点C 以的速度运动,设运动时间为. 【构建联系】 (1)点Q,P出发几秒后, 的面积等于? (2)的面积能否等于 ?请说明理由. 【深入探究】 (3)当t为何值时, ? 学科网(北京)股份有限公司 $$ 第03讲 一元二次方程的应用（5大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 传播问题 典型例题二 增长率问题 典型例题三 与图形有关的问题 典型例题四 数字问题 典型例题五 营销问题 典型例题六 工程问题 典型例题七 行程问题 典型例题八 图表信息问题 典型例题九 动态几何问题 典型例题十 握手、循环赛问题 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 【即时训练】 1．（2025·云南曲靖·模拟预测）我市一科技公司计划在办公楼旁搭建一个矩形无人机起降平台，其中一边利用办公楼墙壁，另三边用安全护栏围成．已知护栏总长为36米，起降平台的面积为162平方米．设与办公楼平行的一边长为x 米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程应用题，根据题意找到等量关系列出关系式即可． 因为是矩形，所以另一边为 米，再根据矩形面积公式：长×宽＝面积可得． 【详解】解：与办公楼平行的一边长为 米，与相邻的一边长为米． ∴ 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今年9月份阅读公园中有藏书5000册，到今年11月份其中藏书数量增长到7200册，设该校这两个月藏书的月均增长率为，根据题意，请列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确抽象出一元二次方程是解题关键．设该校这两个月藏书的月均增长率为，根据题意列一元二次方程即可． 【详解】解：设该校这两个月藏书的月均增长率为， 根据题意得，， 故答案为：． 知识点02 一元二次方程应用题常见类型 1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江舟山·阶段练习）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有人感染，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，解方程即可． 本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得 即． 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．则该包装盒图中的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意表示出长方体的长和宽，进而表示出长方体的体积即可．再解得或，本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，一元二次方程的应用，正确表示长方体的棱长是解题的关键． 【详解】解：由题意得：长方体的长为 ，宽为 则根据题意 ， 整理得：； 解得或， 故答案为：或 知识点03 传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 【即时训练】 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人， 第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染． 根据题意得：． 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出个小分支，那么依题意列方程并化简为一般式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由题意设每个枝干长出的小分支的数目是个，则主干上长出了个枝干，每个枝干又长出个小分支，则一共又长出个小分支，根据“主干、枝干和小分支的总数是31”，即可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：设每个枝干长出个小分支， 根据题意，得：，即． 故答案为：． 知识点04 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). 【即时训练】 1．（2025·河南焦作·模拟预测）技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展通信，已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元；2024年投入发展通信的资金为5000万元．设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的运用．设投入发展通信的资金的年平均增长率为，根据“2022年投入1000万元，预计2024年投入5000万元”，可以分别用x表示2022以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】解：设投入发展通信的资金的年平均增长率为， 则2023的通信资金为： 万元， 2024的通信资金为：万元， 那么可得方程：． 故选：C． 【即时训练】 2．（2025·重庆·模拟预测）医保局第十批药品集采政策出台后，某种药品原价100元／盒，经过连续两轮降价后，现在仅卖49元／盒．若两轮降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是找出题目中的等量关系． 设该种药品平均每场降价的百分率为，根据原价为元可以表示出两次降价后的价格， 结合现在仅卖元/瓶，列出关于的方程，通过解方程即可得到降价的百分率． 【详解】解：该种药品平均每场降价的百分率为， 根据题意得， 解得或， 由于是平均每次降价的百分率， ∴ ， 故舍去， 即． 故答案为． 知识点05 碰面问题（循环问题） 1、重叠类型（双循环） n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= 2、不重叠类型（单循环） n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m= 【即时训练】 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场．设有个队参赛，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，设有个队参赛，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设有个队参赛， 根据题意得：， 故选：． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）在本届全市青少年校园足球比赛中，每两支足球队之间都要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有30场比赛，则参加本届足球比赛的足球队共有 支． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有x个足球队，比赛场次共有场，再根据共有30场比赛来列出方程，从而求解． 【详解】解：设有x个足球队参加， 根据题意得：， 整理得， ∴， 解得：，（舍去）； ∴共有6个足球队参加比赛． 故答案为：6． 【典型例题一 传播问题】 【例1】（24-25九年级上·广东汕头·期末）在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，则参加聚餐的人数为（   ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程． 设参加聚餐的人数为x人，每人碰杯次数为次，根据一共碰杯66次，列出一元二次方程，解之即可得出答案． 【详解】解：设参加聚餐的人数为x人， 依题可得：， 化简得：， 解得：，（舍去）， 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 人． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每轮传染中，平均一个人传染了人，根据“感染1个人，此人未被有效隔离，经过两轮传染后共有121名感染者”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设平均一个人传染了个人，根据题意得， 解得，，（舍去） 所以，平均一个人传染了10个人， 故答案为：10． 【例3】（2025八年级下·全国·专题练习）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)经过三轮传染后共有人会患流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意得： ， ，（不合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）（人）， 答：经过三轮传染后共有人会患流感． 1．（24-25九年级上·北京朝阳·阶段练习）流感是一种传染性极高的疾病，我们要加强预防和治疗．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为多少？ 【答案】9 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为，则第一轮传染后的感染人数为，第二轮传染的人数为，根据两轮共有人患流感建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为， 根据题意得, 即， ∴， ∴或(舍去)， 答：每轮传染中平均一个人传染的人数为9． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立方程． 2．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）请根据图片内容，回答下列问题：    （假设每轮传染人数相同） 每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ 【答案】每轮传染中，平均一个人传染了10个人． 【分析】设平均一个人传染了x个人，第一轮传染了x人，第一轮传染后一共有名感染者；第二轮传染时这人每人又传染了x人，则第二轮传染了人，列出方程求解即可． 【详解】解：设平均一个人传染了x个人． 则可列方程：． 解得，（舍去）． 答：每轮传染中，平均一个人传染了10个人． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确地理解题意，找出题目中的等量关系列出方程求解是解题的关键． 3．（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 4．（23-24九年级上·天津和平·阶段练习）某个植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总是133． 若设每个支干长出x个小分支， (1)分析：根据问题中的数量关系，填空： ①主干的数目为______； ②从主干中长出的枝干的数目为______（用含x的式子表示）； ③又从上述枝干中长出的小分支的数目为______（用含x的式子表示）． (2)完成问题的求解． 【答案】(1)①1；②x；③ (2)见解析 【分析】（1）①主干为1； ②由于每个枝干长出x个小分支，故主干共长出x个分支； ③由于每个枝干长出x个小分支，故x个枝干共长出个小分支； （2）根据总数=主干+枝干+小分支列方程即可解决． 【详解】（1）解：①由于主干只有1个， 故答案为：1； ②∵每个枝干长出x个分支， ∴从主干上共长出个分支， 故答案为：x； ③∵每个枝干长出x个分支， ∴从x个枝干上共长出个小分支， 故答案为：； （2）解：由题意有：， 解得：，（舍）， ∴每个枝干长出11个小分支． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准数量关系，正确列出一元二次方程是解决问题的关键． 【典型例题二 增长率问题】 【例1】（2025·云南·模拟预测）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键． 根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以，即可建立方程． 【详解】解：设该书店每月盈利的平均增长率为， 由题意得： ， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）某超市一月份的营业额为200万元，二月份、三月份每月的营业额逐月递增，三月份营业额为242万元．设营业额的平均月增长率为，由题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：由题意，； 故答案为：． 【例3】 （24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品的售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件． (1)要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ (2)该商场1月份的销售量为件，月份和月份的平均增长率为．若前三个月的总销售量为件，求值． 【答案】(1)每件商品应降价元 (2)值为 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键． （1）设每件商品应降价元，则每件利润为（元），降价后的销售量为件，由此列式求解即可； （2）根据题意，分别算出月份月份的销售量，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：设每件商品应降价元，则每件利润为（元）， ∵售价为元时，每月可售出件，每件商品降价元，商场每月就可以多售出件， ∴降价后的销售量为（件）， ∴，整理得，， 解得，，， ∴当降价元时，每月销售量为（件），当降价元时，每月销售量为（件）， ∵有利于减少库存， ∴每件商品应降价元； （2）解：根据题意，月份的销售量为件，月份的销售量为， ∵前三个月的总销售量为件， ∴， 令，整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， 解得，， ∴值为． 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒元，求每次降价的百分率 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每次降价的百分率为x，根据两次降价后每盒元，可列方程，解方程即可求出降价的百分率． 【详解】解：设每次降价的百分率为x． 由题意，得． 解得，（舍去）． 答：每次降价的百分率为． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）为了满足人们对于精神文明的需求，某市决定逐步在各社区建设微型图书阅览室．2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率； (2)2024年每个社区建设微型图书阅览室的平均费用为100万元．2025年为提高微型图书阅览室品质，每个社区建设费用增加25%，如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2025年最多可以给多少个社区建设微型图书阅览室？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，故，再解出的值，即可作答． （2）先理解题意，得，且结合为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：设该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为， 依题意，得， 解得（舍去）， ∴该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为； （2）解：设该市在2025年可以给个社区建设微型图书阅览室， 依题意，得， 解得， ∵为正整数， ∴该市在2025年最多可以给个社区建设微型图书阅览室． 3．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 【答案】任务1：该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务：该双皮奶应该降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 任务1：设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解； 任务：设该双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：任务1：设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务：设该双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 由题意可得：， 解得：或， ∵为了减少库存， ∴， ∴该双皮奶应该降价元． 4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）为了增强全民健身，年春季，某市将于举办万人马拉松活动，以下是本次马拉松活动的相关信息： 项目 距离 报名费 规模 马拉松 千米 元/人 人 半程马拉松 千米 元/人 人 健康跑 3千米 元/人 人 (1)若某校选派选手参加了本次活动，参赛选手只完成半程马拉松或健康跑中的一个项目，学校共花费了报名费元，派出的所有参赛选手完成挑战后跑过的距离总和为千米．请求出该校报名半程马拉松和健康跑各几人？ (2)该校一直以来重视学生的体育锻炼，组建了长跑兴趣小组，已知年该校参加健康跑仅有4人，且年~年参赛人数的增长率相同，求该校参加健康跑人数的增长率？ 【答案】(1)该校有2名同学报了半程马拉松，有9名同学报了健康跑 (2)该校参加健康跑人数的增长率为 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题关键是找准等量关系列出方程． （1）设该校有x名同学报了半程马拉松，有y名同学报了健康跑，根据“学校共花费了报名费元”、“派出的所有参赛选手完成挑战后跑过的距离总和为千米”列出方程组求解； （2）设增长率为m，根据“年~年参赛人数的增长率相同”、“年该校参加健康跑仅有4人”、“年该校参加健康跑有9人”，列出方程求解． 【详解】（1）设该校有x名同学报了半程马拉松，有y名同学报了健康跑， 依题意得：， 解得． 答：该校有2名同学报了半程马拉松，有9名同学报了健康跑． （2）设增长率为m， 由题意得， 解得：，（舍去）， 答：该校参加健康跑人数的增长率为． 【典型例题三 与图形有关的问题】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）矩形的周长为，其中一边长为，面积为，则列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键；先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积长宽，出方程． 【详解】解：长方形的周长为，其中一边为，则长方形的另一边长为， 根据题意得， 故选：C． 【例2】（2025·吉林通化·模拟预测）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得， 故答案为： 【例3】（2025·广东深圳·模拟预测）深圳地铁线路延长段工程正在紧锣密鼓施工，原计划40天完成一段轨道铺设任务．由于采用了新的施工技术，实际只用了25天就全部完工，并且实际每天铺设的轨道长度比原计划多150米． (1)求原计划每天铺设轨道多少米． (2)该地铁线路某站点的装修设计图中，要在一块矩形的墙面区域内，嵌入两个相同的正方形装饰图案．已知矩形墙面的长为8米，宽为6米，嵌入装饰图案后剩余可利用的墙面面积是原来矩形墙面面积的．求正方形装饰图案的边长为多少米． 【答案】(1)250米 (2)米 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设原计划每天铺设轨道米，则实际每天摊铺沥青米，根据轨道总长度相等列出方程，解方程即可； （2）设正方形装饰图案的边长为米，根据面积的熟练关系，列出方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设轨道米，则实际每天摊铺沥青米 根据题意，得 解之得， 所以，原计划每天铺设轨道米． （2）解：设正方形装饰图案的边长为米， 根据题意，得， 解之，得（不合题意，舍去） 所以，正方形装饰图案的边长为米． 1．（23-24九年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，把校园的小圆形草地的半径增加得到大圆形草地，草地的面积是原来的2倍．求小圆形草地的半径．    【答案】 【分析】设小圆形草地的半径为，根据小圆面积大圆的面积列方程即可． 【详解】解：设小圆形草地的半径为， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：小圆形草地的半径为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据小圆面积大圆的面积列出方程是解题的关键． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图所示，某学校有一道长为米的墙，计划用米长的围栏靠墙围成一个面积为平方米的矩形草坪，求的长．    【答案】8米 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式面积的计算方法是解题的关键． 设矩形草坪边的长为米，则边的长为米，根据围成一个面积为平方米的矩形草坪，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设矩形草坪边的长为米，则边的长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 答：的长为米． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造．先在正方形空地一边修一条4m宽的小路，再在另一边修一条5m宽的小路，剩余部分用于栽种鲜花，面积为．求原正方形空地的边长．（用两种方法解答） 【答案】20m 【详解】方法一：解：设原正方形空地的边长为xm． 根据题意，得． 整理，得， 解得（不合题意，舍去），． 故原正方形空地的边长为20m． 方法二：解：设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分是长为，宽为的长方形． 根据题意，得． 整理，得， 解得（不合题意，舍去），． 故原正方形空地的边长为20m． 4．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）现有一块长为30米，宽为20米的矩形空地，建成矩形花园，要求在花园内修建如图所示的小路，小路的宽度相同，剩余的部分种植花草．如图，要使小路的总面积为96平方米，设小路宽度为米． (1)所有路的总面积为___________（用含的代数式表示）； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程与图形面积，因式分解法解一元二次方程，掌握以上知识是关键． （1）水平方向小路面积为，竖直方向小路面积为，由此即可求解； （2）根据题意列式得，用因式分解法求一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：水平方向小路面积为，竖直方向小路面积为， 故所有路的总面积为：． （2）解：由题意：， 化简得：， 解得：， 经检验：不符合题意，舍去． 故：． 【典型例题四 数字问题】 【例1】（24-25九年级上·河北唐山·期中）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这两个奇数分别为，由题意得方程，求得n的值，即可求得这两个奇数的和． 【详解】解：设这两个奇数分别为， 由题意得：， 即， 解得：， 而， 故两个奇数和为：或28； 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·山西大同·期中）2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设最小数为x，可知最大数为，根据题意得出，再求出解即可． 【详解】解：最小数为x，可知最大数为，根据题意，得 ， 解得． ∴最小的数为11． 故答案为：11． 【例3】（2025·广东深圳·模拟预测）2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解日历表的中数与数的关系，正确列式求解是关键． 设这个最小数为，则最大数为，由此列方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 1．（24-25九年级上·河南·阶段练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 【答案】81 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握用数位上的数字表示两位数的方法，充分理解“和的平方”． 设个位上的数为，则十位上的数为，根据十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设个位上的数为，则十位上的数为， 依题意，得 整理得： 解得：，（舍去） 所以，，． 答：这个两位数是81． 2．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）． 【答案】这个最小数为5 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为x，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为x，则最大数为，根据题意， 得． 解得或（不符合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 3．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 4．（2025·安徽淮北·模拟预测）【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 【答案】（1）12，5；（2）n；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元二次方程的应用，正确找到图形之间的规律是解题的关键． （1）观察前面四幅图可知碳原子个数为序号，氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据（1）所求即可得到答案； （4）根据（1）所求结合题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）第1种化合物的分子模型中，碳原子个数为1，氢原子的个数为， 第2种化合物的分子模型中，碳原子个数为2，氢原子的个数为， 第3种化合物的分子模型中，碳原子个数为3，氢原子的个数为， 第4种化合物的分子模型中，碳原子个数为4，氢原子的个数为， ， ∴第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n，氢原子的个数为， ∴第5种化合物的分子结构模型图有个氢原子，5个碳原子， 故答案为：12，5； （2）由（1）可得第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n， 故答案为：； （3）由（1）可得第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 故答案为：； （4）由题意得，， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 【典型例题五 营销问题】 【例1】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价x元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，即可得解． 【详解】解：设每件降价 元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得：， 故选：A 【例2】（23-24九年级上·广东佛山·期中）某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．若实现平均每月10000元的销售利润，设涨价x元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据总利润=单台利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个台灯， 依题意，得：， 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·广东湛江·期中）某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？ 【答案】每天要想获得504元的利润，每件应降价3元 【分析】设每天要想获得504元的利润，且更有利于减少库存，设每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．本题考查一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可． 【详解】解：设每件应降价x元． 根据题意列方程，， 解得，，， ∵尽快减少库存， ∴舍去， 故， 答：每天要想获得504元的利润，每件应降价3元． 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）郯城有一片银杏种植基地，为了提高银杏产量，基地负责人进行了实验．发现当每平方米种植4棵银杏树苗时，平均每棵树苗的产量为100千克．在一定范围内，每多种植1棵树苗，平均每棵树苗的产量就会减少5千克．现在要使这片种植基地每平方米的银杏总产量达到540千克，那么每平方米应该种植多少棵银杏树苗？ 【答案】当每平方米应该种植6棵或18棵银杏树苗，种植基地每平方米的银杏总产量达到540千克． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程成为解题的关键． 设每平方米应该种植x棵银杏树苗，种植基地每平方米的银杏总产量达到540千克，然后根据题意列一元二次方程求解，再根据实际意义解答即可． 【详解】解：设每平方米应该种植x棵银杏树苗，种植基地每平方米的银杏总产量达到540千克， 由题意可得：， 整理得：， 解得：或6， 经验证：或6，均使每棵产量为正且符合实际意义． 所以当每平方米应该种植6棵或18棵银杏树苗，种植基地每平方米的银杏总产量达到540千克． 2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）某公司研发的一款垂直轴风力发电机可以应用在路灯照明、交通监控、通讯基站等．已知该发电机每月可销售300台，每台的利润为2000元，若在每台降价幅度不超过1000元的情况下，每台降价100元，则每月可多销售100台． (1)分析：设每台降价元（为整百数）．请完成下表： 每台利润（元） 月销售量（台） 降价前 ______ ______ 降价后 ______ ______ (2)当该发电机降价多少时，月利润能达到120万元？ 【答案】(1)2000，300，， (2)当该发电机降价500元时，月利润能达到120万元 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用， （1）根据题意完成表格即可； （2）根据表格及题目中的等量关系列方程并解方程即可解决． 【详解】（1）解：设每台降价元（为整百数），则 每台利润（元） 月销售量（台） 降价前 2000 300 降价后 （2）设每台发电机应降价元， 由题意，可列方程为， 整理得， 解得，， 每台降价幅度不超过1000， ， 答：当该发电机降价500元时，月利润能达到120万元． 3．（2025·江苏泰州·模拟预测）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了80％，年销售单价下降了20％． (1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 a b 2025 (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【答案】(1) (2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为 【分析】本题考查了代数式的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，2025年销售A型汽车总量为，年销售A型汽车单价为， 2025年销售型汽车总额为亿元， 又∵2023年销售A型汽车总量为，年销售A型汽车单价为， ∴2023年销售型汽车总额为亿元， 填表如下： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 故答案为：； （2）解：设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为， 根据题意，得， 解得(舍去)， 答：该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为． 4．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克10元的价格收购了6000千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题： ①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元； ②这批苹果平均每天有10千克损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为300元； ④这批苹果最多保存110天． 若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售． (1)多少天后这批苹果的市场价为每千克13元？ (2)求3天后一次性全部售出所得的利润为多少元？ (3)若m天后一次性出售所得利润为9100元，求m的值． 【答案】(1)30天后这批苹果的市场价为每千克13元 (2)3天后一次性全部售出所得的利润为591元 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用，正确理解题意列出式子和方程求解是解题的关键． （1）用上涨的价格除以每天上涨的价格即可得到答案； （2）求出三天后的价格以及没有损坏的苹果质量，进而求出销售额，再减去购买苹果的成本和冷藏费用即可得到答案； （3）根据利润等于销售额减去购买苹果的成本和冷藏的费用建立方程求解即可． 【详解】（1）解：天， 答：30天后这批苹果的市场价为每千克13元； （2）解： 元， 答：3天后一次性全部售出所得的利润为591元； （3）解：由题意得，， 整理得：， 解得（舍去）或． 【典型例题六 工程问题】 【例1】（2024·辽宁鞍山·模拟预测）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 【例2】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【例3】（24-25八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 1．（24-25八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 2．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 3．（2024·福建厦门·模拟预测）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ． （1）求的n值； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量； 【答案】（1）；（2），60家 【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，列出关于n的一元一次等式，从而求出答案； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，列出关于m的一元二次等式，从而求出m及第二年用乙方案新治理的工厂数量． 【详解】解：(1)由题意可得：， 解得； (2)由题意可得：， 解得：，（舍去）， ∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：（家）． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据所给条件，找出合适的等量关系，列出方程从而求解． 4．（2024·山东济宁·模拟预测）阅读下面材料： 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母表示，我们可以用公式来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，） 例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋×2＝120． 用上面的知识解决下列问题． （1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116 （2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木． 2009年 2010年 2011年 2012年 植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25 200 24 000 22 400 20400 【答案】（1）1180；（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木． 【分析】（1）根据题意，由公式来计算等差数列的和，即可得到答案； （2）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意，得 ，，， ∵， ∴； （2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得 1200x+×400＝25200， 整理得：（x﹣9）（x+14）＝0， ∴x＝9或x＝﹣14（负值舍去）． ∴2009+9-1=2017； 答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题． 【典型例题七 行程问题】 【例1】（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 【例2】（2024·福建龙岩·模拟预测）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ． 【答案】 【分析】设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ，即甲走的步数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·福建泉州·期中）某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：（），乙以4的速度匀速运动，半圆的长度为21． （1）甲运动4后的路程是多少？ （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】（1）甲运动4后的路程是14；（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3． 【分析】（1）根据题目所给的函数解析式把t＝4s代入求得l的值即可； （2）根据图可知，二者第一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可． 【详解】(1)当时， （）， 答：甲运动4后的路程是14； （2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21，甲走过的路程为，乙走过的路程为4， 则， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，试题比较新颖．解题关键是根据图形分析相遇问题，第一次相遇时二者走的总路程为半圆． 1．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 3．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 4．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．    (1)a的值为 ，c的值为 ； (2)动点 P，Q分别同时从点A，C 出发，点P以每秒3个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A 移动，点P表示的数为x． ①若点P，Q在点B处相遇，求m的值； ②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x 的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B，得出，根据相反数的定义得出，即可求出a的值；根据绝对值的非负性，即可求出c的值； （2）解：①先得出点B表示的数为6，求出点P 从点A 运动到点B 所用时间为（秒），再求出．即可求解；②设运动时间为t秒，t秒后点P 表示的数为，点Q 表示的数为，根据两点之间距离的求法得出，求出或2；即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B， ∴， ∵点A，B表示的数互为相反数， ∴，则， 解得：， ∵， ∴，解得：， 故答案为：，10； （2）解：①∵，点A，B表示的数互为相反数， ∴，即点B表示的数为6， ∵点P 的速度是每秒3个单位长度，点P，Q在点B处相遇，， ∴点P 从点A 运动到点B 所用时间为（秒）， ∵， ∴； ②设运动时间为t秒，t秒后点P 表示的数为，点Q 表示的数为， ， 则或， 解得：或2； ∴或， 综上：x的值为或0． 【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，以及相反数．关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，能根据题意列出算式或方程． 【典型例题八 图表信息问题】 【例1】（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 【答案】D 【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断 【详解】时，， 时，， 则的解的范围为， 即一元二次方程的解大概是4.5． 故选D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程 ． 【答案】 【分析】先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为． 【详解】解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， 共比赛场数为， 共比赛了45场， ， 故答案为． 【点睛】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系． 【例3】（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当时，请直接写出的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）或；（2）或 【分析】（1）根据题意可得：，然后求解一元二次方程即可； （2）根据题中计算图可得：，由，代入化简可得：，求解方程，然后代入即可得． 【详解】解：（1）由题意可得：， ， 则或， 解得或； （2）由题意得：， ， ， 整理得：， ∴， 则或， 解得或， 或． 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出与之间关系是解题关键． 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）一名跳水运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度满足关系：，那么他最多有多长时间完成规定动作？(结果保留根号) 【答案】 【分析】由题意可得，把函数值h=5直接代入关系式即可求得t的值，注意负值舍去． 【详解】解：由题意可知，将h=5代入关系式中， 得到：， 整理即：． 解得：，(负值舍去)， 答：运动员完成动作的时间最多不超过秒． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法及应用，关键是读懂题意，将距离水面的最大值h=5m代入函数关系式，就可以求出时间的最大值． 2．（2024九年级·全国·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 3．（2024·河北唐山·模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 【答案】（1）证明见解析；（2）这5个数中最大数为29．（3）嘉琪的说法不正确． 【分析】（1）、根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）、设最大数为x，列出方程组解答即可； （3）参考（2）问题思路，解出最大数，然后根据最大数所在位置即可判定． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7）， ∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7）， =a2﹣1﹣（a2﹣49）， =48． （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14）， 依题意，得：x（x﹣14）＝435， 解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）． 答：设这5个数中最大数为29． （3）嘉琪的说法不正确． 设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确． 【点睛】本题考查方程的应用问题，解题关键是准确的设未知数，然后列出方程解答． 4．（24-25九年级上·全国·单元测试）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析; 【分析】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合理即可； 【详解】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元； （2）由题意得：5a（7-a）+10=70， 解得：a=3或a=4 5a（5-a）+10=40 解得：a=3或a=2， 综上，规定用水量为3吨； （3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 【典型例题九 动态几何问题】 【例1】（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿，运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为，当的面积为时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程在几何图形中的应用，当运动时，，，根据“的面积为”即可列出方程． 【详解】当运动时，，，， ∵， ∴， 即． 故选：D 【例2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的时间应用，根据落回地面时，物体的高度为0列出方程求解即k． 【详解】解：当时，解得（舍去）或， ∴物体经过秒落回底面， 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．当运动多少时，的面积是． 【答案】或时 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为，则，， 依题意，得． 整理，得， 解得，， 或时，的面积是． 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用． （1）根据路程速度时间，即可求解； （2）根据题意可得面积等于面积的，根据的面积等于三角形的面积的列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． ∴，， 则； 故答案为：． （2）解：∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 解得． 答：当时，的面积等于四边形的面积的． 2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，动点P、Q分别从点A、C同时出发同时停止，点P以的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以的速度向D移动． (1)P、Q两点从出发开始经过几秒，四边形的面积为； (2)P、Q两点从出发开始经过几秒，点P和点Q的距离是． 【答案】(1)5秒 (2)秒或秒 【分析】题主要考查动点问题，涉及解一元一次方程和勾股定理，代数式的表示， （1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则，，根据梯形的面积公式求解即可； （2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作，垂足为E，则，有，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， 答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得． 答：从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是． 3．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)不存在某一时刻使得的面积等于 (2)当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式列出方程可得出答案． （2）用含的代数式分别表示图中各线段，在中，利用勾股定理可求出，同理，在中利用勾股定理也可以求出，联合起来，得到关于的一元二次方程，解即可，然后根据实际意义确定的值． 【详解】（1）解：不存在． 设出发秒时的面积等于． ， ， ， ， 原方程无实数根， 即不存在某一时刻使得的面积等于． （2）解：， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ，即， 整理得， 解之得，， 即当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形． 4．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 【答案】(1)t， (2) (3)经过5秒或9秒，的长为 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键 （1）根据路程=速度乘以时间列式即可； （2）四边形为矩形，根据，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意，得线段， 故答案为：t，； （2）解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：； （3）解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 【典型例题十 握手、循环赛问题】 【例1】（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）2024年法国巴黎奥运会，男子篮球比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，一共进行66场比赛，则参加比赛的队伍共有（    ） A．10支 B．11支 C．12支 D．8支 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设参加比赛的队伍共有x支，则每支队伍都要与其他支队伍比赛一场，且相同两支队伍之间的比赛只算一场，据此建立方程求解即可． 【详解】解；设参加比赛的队伍共有x支， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴参加比赛的队伍共有12支， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则共有多少支队伍参加比赛？根据题意，设有n支参赛队伍，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数），即可列出关于一元二次方程． 【详解】解：设参加比赛的队伍共有支，根据题意得： ． 故答案为： ． 【例3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 【答案】初中组共有支球队参加比赛． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设初中组有支球队参赛，利用比赛总场数参赛球队数参赛球队数，即可得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】设有支球队参赛，则每个队参加场比赛， 则共有场比赛， 由题意得， 整理得： 即 解得：或（舍去） 答：初中组共有支球队参加比赛． 1．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）元旦晚宴上大家两两碰杯一次，总共碰杯55次，那么有几人参加了这次宴会（   ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】D 【分析】此题考查一元二次方程的应用中的基本数量关系：单循环比赛进行的总场数为，依此数量关系推广到一般问题． 此题利用基本数量关系：两两碰杯一次，总次数为（n表示人数）列方程解答即可． 【详解】解：设有x人参加了这次宴会，根据题意列方程得， ， 解得（不合题意，舍去）， ∴有11人参加了这次宴会． 故选：D． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有 家． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有家公司参加“哈洽会”，依题意得，求解即可，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质并根据题意列出方程． 【详解】解：设有家公司参加“哈洽会”，依题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴参加此次“哈洽会”的公司有家， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）某市第四中学将组织一次八年级篮球联赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），恰好需要打场比赛，问共有多少支球队参加比赛？ 【答案】有支球队参加比赛 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设应邀请支球队参加比赛，根据计划安排171场比赛，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】设有支球队参加比赛，由题意得， ， 解得， 又 有支球队参加比赛． 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1) (2)45个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 1．（2025九年级上·全国·专题练习）某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1场），单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍有（   ） A．8支 B．10支 C．7支 D．9支 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设参加比赛的队伍有支，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设参加比赛的队伍有支，根据题意得， 解得：，（舍去） 故选：B． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2022年和2024年全国居民人均可支配收入分别为3.7万元和4.5万元．设2022年至2024年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查一元二次方程的实际应用，根据年平均增长率的等量关系：，列出方程即可． 【分析】解：设2022年至2024年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为， 由题意，得： 故选B． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，雕像的下部应设计为多高？设雕像的下部高为，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程方程的应用，根据使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，列出方程即可． 【详解】解：设雕像的下部高为，则：雕像的上部高为，由题意，得： ， 即：； 故选A． 4．（2025·云南临沧·模拟预测）如图，某中学规划修建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最长可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在两个区域中各留米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长为，且矩形的面积为，请求出的长，设长为，则可以列出方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．设长为，矩形的面积为，据此列出方程即可． 【详解】解：设长为，根据题意可得： ， 即， 故选：． 5．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意得，，则，由勾股定理得到，则，则由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 在中，，，，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， 故选：C． 6．（2025·云南楚雄·模拟预测）某动画电影在首映当日票房为1.2亿元，2天后当日票房达到2.44亿元．设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程中的增长率问题，理解清楚题目意思是解决问题的关键，根据增长率算出2天后的票房为，由题目告知两天后的票房为2.44亿元，列出方程即 【详解】1天后票房为，2天后票房为，故列方程为． 故答案为： 7．（2025·重庆·模拟预测）某市2025年1月5G手机用户数量为20万，同年3月5G用户数量增长至万，设2、3月份用户数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设2、3月份用户数量的月平均增长率为x，某市2025年1月5G手机用户数量为20万，同年3月5G用户数量增长至万，据此可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：∵某市2025年1月5G手机用户数量为20万，同年3月5G用户数量增长至万， 可得：， 故答案为： 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 【答案】12 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程即可，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这种植物的主根长出x根支根．由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴这种植物的主根长出12根支根． 故答案为：12． 9．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感，还存在数学规律的图案，请仔细观察，按此规律，如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第 个图． 【答案】7 【分析】本题考查了图形规律的探究和一元二次方程的解法，第1个图形中小圆的个数为；第2个图形中小圆的个数为；第3个图形中小圆的个数为；…；则知第n个图形中小圆的个数为；假设存在第x个图的小圆个数为60，列方程为，再解方程即可． 【详解】解：由题意可知第1个图形有小圆个； 第2个图形有小圆个； 第3个图形有小圆个； 第4个图形有小圆个； ∴第n个图形有小圆个， 设第x个图中小圆的个数恰好为60个，根据题意得 解得（不符题意，舍去） 所以，第7个图中小圆的个数恰好为60个． 故答案为：7． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为 ． 【答案】100 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为225，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 【详解】解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为，根据题意得出：， 解得：，（不合题意舍去）， 故最小的数为：9， 中间一行的数字分别为：15，16，17，18， 最大的数为：25， 故这6个数的和为：． 故答案为：100． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 11．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）“要致富，先修路”，某地区为了大力发展乡镇经济，推进乡村道路建设，计划用三年时间对整个地区的乡村公路进行全面改造，已知2024年省政府已拨原款4亿元人民币，若每年拨款的增长率相同，预计2026年拨款亿元人民币，则每年拨款的增长率为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出题中的等量关系是解题的关键．设每年拨款的增长率为，则2025年的拨款是2024的拨款乘以，2026年的拨款是2025年拨款乘以，据此列方程求解即可． 【详解】解：设每年拨款的增长率为， 依题意得，， 解得：，（不合题意舍去）， 答：每年拨款的增长率为． 12．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为140米，宽为90米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为平方米，求和减少的长度是多少？ 【答案】边和边减少的长度是20米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设边和边减少的长度均为x米，则剩余停车场是长为米，宽为米的矩形，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设边和边减少的长度均为x米，则剩余停车场是长为米，宽为米的矩形， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：边和减少的长度是20米． 13．（24-25九年级上·江西南昌·期中）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．（24-25九年级上·重庆九龙坡·自主招生）某咖啡店2024年12月销售咖啡1200杯，每杯成本10元、售价15元．因新年人们对咖啡的需求增加，咖啡豆售价随之上涨，影响了该咖啡店每杯咖啡的售价和月销售量．2025年1-2月该咖啡店每杯咖啡的成本均为12元． (1)2025年1月该咖啡店的销售量为1500杯，但销售利润与2024年12月持平，求2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是多少元？ (2)2025年2月该咖啡店每杯咖啡的售价比1月每杯咖啡的售价提高了，2025年2月的销售量比2024年12月的销售量减少了，且2025年2月的销售利润是2024年12月销售利润的，求的值． 【答案】(1)2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是元 (2)的值为 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）设2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是元，根据2025年1月该咖啡店的销售量为1500杯，但销售利润与2024年12月持平，列出一元一次方程求解即可； （2）利用总利润等于单杯的利润销售量，列出关于a的一元二次方程求解，并取符合实际的值即可． 【详解】（1）解：设2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是元，根据题意得： 解得：， 答：2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是元； （2）解：根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：或（舍去）， 答：的值为． 15．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）【问题背景】 如图，在 中， ，，，点 P从点A 开始沿边向点 B 以 的速度运动，点Q 同时从点B 开始沿边向点C 以的速度运动，设运动时间为． 【构建联系】 （1）点Q，P出发几秒后， 的面积等于? （2）的面积能否等于 ?请说明理由． 【深入探究】 （3）当t为何值时， ? 【答案】（1）或；（2）不能，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意得，，根据三角形面积公式列方程求解即可； （2）根据（1）的方法列出方程，再判断出方程是否有解即可； （3）根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：依题意，得 ，，则 整理，得 解得   即或后，的面积等于； （2）不能，理由如下： 由（1）得   整理，得 ， ， ∴该方程无实数根，即的面积不能等于； （3）在中，∵， ∴， 由勾股定理，得 整理，得， 解得或（舍去）. 即当t为时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$